﻿ 地图投影计算机代数分析研究进展
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Research Progress in Mathematical Analysis of Map Projection by Computer Algebra
BIAN Shaofeng, LI Houpu, LI Zhongmei
Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China(Nos. 41631072;41571441;41604010)
First author: BIAN Shaofeng(1961—), male, professor, majors in map projection, geodesy and satellite navigation.E-mail:sfbian@sina.com
Corresponding author: LIHoupu E-mail：lihoupu 1985@126.com
Abstract: Map projection is an important component of modern cartography, and involves many fussy mathematical analysis processes, such as the power series expansions of elliptical functions, differential of complex and implicit functions, elliptical integral and the operation of complex numbers. The derivation of these problems by hand not only consumes much time and energy but also makes mistake easily, and sometimes can not be realized at all because of the impossible complexity. The research achievements in mathematical analysis of map projection by computer algebra are systematically reviewed in five aspects, i.e., the symbolic expressions of forward and inverse solution of ellipsoidal latitudes, the direct transformations between map projections with different distortion properties, expressions of Gauss projection by complex function, mathematical analysis of oblique Mercator projection, polar chart projection with its transformation. Main problems that need to be further solved in this research field are analyzed. It will be helpful to promote the development of map projection.
Key words: map projection     projection transformation     Gauss projection     polar projection     computer algebra

1 椭球各纬度间正反解符号表达式

 正反解 传统人工导出展开式精度/(″) 计算机代数系统导出展开式精度/(″) 精度提高数量级 等距离纬度正解 10-5 10-7 2 等角纬度正解 10-4 10-8 4 等面积纬度正解 10-4 10-8 4 等距离纬度反解 10-4 10-8 4 等角纬度反解 10-4 10-8 4 等面积纬度反解 10-4 10-8 4

2 不同变形性质地图投影间的直接变换

 图 1 地图投影间接变换和直接变换示意图 Fig. 1 Sketch of indirect and direct transformations of map projection

3 高斯投影的复变函数表示

 图 2 高斯投影分带示意图 Fig. 2 Sketch of zone dividing of Gauss projection

4 斜轴墨卡托投影数学分析

 图 3 斜轴墨卡托投影示意图 Fig. 3 Sketch of oblique Mercator projection

5 极区海图投影及其变换

 图 4 北极地区不分带高斯投影示意图 Fig. 4 Sketch of non-zonal Gauss projection in arctic regions

6 结论与展望

(1) 空间地图投影计算机代数分析。空间地图投影[104-106]是近40年才出现的一个新的研究领域，是图像数学基础研究的前沿课题，是卫星遥感制图学发展必然产生的问题。空间地图投影涉及地球形状、地球自转、卫星轨道摄动等非常复杂的数学分析问题，传统人工推演均采用一定的近似分析方法和数值积分，借助计算机代数系统强大的符号运算能力，可以推导和建立理论上更为严密、形式上更为简单、精度上更为精确的空间地图投影新公式和新算法，揭示各类空间地图投影复杂数学模型和海量数据背后隐藏的规律，实现空间地图投影在一些具体数学分析问题上的突破和创新。

(2) 中小比例尺地图投影计算机代数设计与分析。中小比例尺地图投影在过去有过一些研究和分析，但由于受时代的局限，在分析深度、广度和精细程度上都显得比较粗浅，绝非完美。许多投影是人工拟合得出的数值形式，参数选取有一定的随机性，缺乏严格的数学基础。利用先进的计算机代数分析工具，可以全面对比各类中小比例尺地图投影特点，对以前缺乏数学基础的各类数值拟合投影方法尽可能给出符号化的通用数学准则和表达式，提高我国中小比例尺地图投影的理论研究和设计水平。

(3) 海图投影及航线绘算计算机代数分析。海图投影及航线绘算是海图制图和航线设计的理论基础，在海洋监测与调查、海洋划界和航海中有着广泛的应用。传统的海图投影及航线绘算公式和算法，大多表现为数值形式，普适性不高，符号形式的算法部分存在高阶项误差，同时在极区的应用和研究也很有限。利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统对其进行系统分析，可以将以往算法的数值形式改进为符号形式，建立更适合的新模型和新算法，完善海图投影及航线绘算的理论体系。

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http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2017.20170396

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#### 文章信息

BIAN Shaofeng, LI Houpu, LI Zhongmei

Research Progress in Mathematical Analysis of Map Projection by Computer Algebra

Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2017, 46(10): 1557-1569
http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2017.20170396