地图被认为是人类最古老的3大交流工具之一，是空间信息传输的主要工具。地图负载了丰富的自然、人文、社会、经济等信息，是改变世界的十大地理思想之一。地图作为人类社会发展所不可或缺的重要媒介，在人类文明史上具有重要的地位。

地图学的研究，也像其他学科一样，从物质流、能量流和信息流等3大方面进行。这3种流贯穿地图学的整个过程，但在各个阶段侧重有所不同。传统的地图制作(从数据采集到地图绘制)主要是物质流，尽管也有信息流部分。在地图的解译和使用阶段，起主导作用的是地图能量流，尽管也有信息流和物质流部分。地图的能量指的是对人们的思想与决策行为的影响，因为“地图所赋予我们的现实超出我们的视野、我们的掌握、我们的时间，那是一种我们别无他法可以获得的现实”^[1]。阐述能量流的典型著作包括《地图的力量》^[1]及《地图的本质》^[2]。信息流的研究源自20世纪50年代，早期研究方法主要是模拟自然语言的交流过程，即作者-读者之间的信息传输，而地图被视为两者之间的介质^[3-4]。在20世纪60年代，地图学界将香农(Shannon)的信息传输理论^[5]引入地图学领域^[6]，试图建立基于现代信息论的地图信息论。

经过近50年的发展，地图信息论已经成为现代地图学的一个核心研究领域，国内外学者针对地图信息量计算这一核心目标已经开展了大量的研究工作，并取得了可喜的研究成果。本文旨在对近半个世纪以来，地图信息论的发展历程进行梳理，从狭义地图信息到广义地图信息度量的研究脉络对当前研究的进展进行回顾和总结，并对地图信息论研究存在的问题与发展方向进行探讨。

1 香农信息论与地图信息论

20世纪40年代末以来，信息量的度量首先在通信领域取得突破，美国科学家香农首先基于概率与统计思想提出了信源不确定性的度量指标--信息熵，奠定了现代信息论的基础^[5]。1967年Sukhov率先将信息论引入地图学领域，提出了用于度量地图符号多样性的信息熵度量指标^[6]，开启了地图信息论。

1.1 香农信息熵与信息论

信息的定义是信息度量的前提，信息论的创始人香农把信息的定义为“信息是事物运动状态或存在方式的不确定性”。信息量是对信息统计特征的一种描述，香农从统计上给出了信息传输模型中(图 1)信息量的计算方法。

信息熵：表示了信源所包含的平均信息量，它表征了信源输出后每个消息提供的平均信息量(或信源输出前的平均不确定度)，定义为

式中，P(x_i)表示随机变量X每一个可能取值x_i的概率。

互信息：设X为信源，Y为信宿，I(X;Y)表示信道传输的平均信息量，定义为

式中，H(X,Y)表示联合熵，代表了通信前后整个系统仍存在的不确定度；P(xy)表示事件x、y同时发生的概率，即联合概率。

条件熵：条件熵H(X|Y)表示给定随机变量Y时，随机变量X的平均不确定性，它表征了因信道干扰所损失的平均信息量；H(Y|X)表征了因信道干扰产生的噪声熵，分别定义为

上述公式表达了信号从信源到信宿的传输过程中的各种信息量，其关系如图 2所示。

信息论：香农把热力学的思想创造性地引入了信息学领域，建立了以信息熵为基础的信息传输理论-信息论。信息论运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题，是信息科学领域第一次脱离物理层面，仅仅只在数学层面完成自洽，并且在数学层面验证了数据传输的极限和压缩率的极限^[8]。

1.2 地图统计信息熵的定义：狭义地图信息论的兴起

自香农创建了信息论后，地图学界试图将信息论引入，建立一套地图信息传输理论。美国的Robinson教授等学者在20世纪50年代就开始在努力，提出了多个地图信息传输模型^[3]。图 3是由捷克地图学家Kolacny提出的一个代表性模型^[9]，可以看出，这仅仅是模仿图 1信息传输模型的概念模型。

要建立地图信息传输理论，必须建立一套数学模型。为此，前苏联制图学家Sukhov教授率先将香农的信息熵引入地图学^[6]，对地图信息进行度量。假设，N为地图上所以符号得总数，M为地图上符号的总类数，第i类符号的数量为K_i，则地图上每类符号的频率为

将式(6)代入式(1)，即可算出该地图的信息量。地图学界早期大部分的工作是通过计算频数的方式直接套用信息熵的计算公式，即式(1)。例如，计算地图上居民地行政分级、人口分级与汉字出现频率对居民地要素信息量进行度量^[10]；计算坐标、数字(字母)出现频次对地图上地物的位置和注记信息进行度量^[11]；计算每个地图符号的邻接度的频数得到拓扑关系的概率，用于计算地图的拓扑信息熵^[12]。

这种基于地图符号频率的信息熵实际上是统计信息熵，本文将基于这种统计信息熵的地图信息传输理论称为狭义地图信息论，因为地图不仅包含统计信息，更重要的是包含各种空间信息。目前，狭义地图信息论在地图综合^[13]和地图设计等方面得到普遍应用^[14]。

1.3 地图统计信息熵的先天不足：狭义地图信息论的局限性

引入信息论对地图信息进行度量使得地图负载信息的计算更为科学，然而基于概率频次的地图信息量计算方法到底反映了何种地图信息需要仔细分析。地图作为一种图形语言，从认识论的层次上，地图信息可以被划分为3个层次：语法地图信息、语义地图信息及语用地图信息^[15-16]。语法地图信息表征了地图上地物或现象的时空状态与组合存在方式；语义地图信息表征了地物或现象的时空状态与组合存在方式的含义；语用地图信息表征了具有特定含义的时空状态和存在方式对地图用户的价值和效用。香农本人已经隐含地表明其探讨的信息熵仅仅是在语法层次^[17]，因此以Sukhov提出的符号信息熵为代表的地图信息度量亦在语法地图信息的范畴。进而，需要探讨这种统计信息熵是否能够有效度量语法地图信息。

图 4和图 5表达了这种统计信息熵对二维地图信息表达的不足。在图 4(a)中，每幅地图有4个相同的符号，根据式(6)得出符号出现的频率为1，将这一频率代入式(1)得到统计信息熵为0，即没有信息量，这种有地图符号而没有信息的现象对地图学界来说很难想象。在图 4(b)中，每幅地图有两类共4个符号，根据式(6)得出符号出现的频率为1/2，将这一频率代入式(1)得到统计信息熵为，即信息量与符号的类别和空间分布无关，这种现象对地图学界来说也是不合理的。图 5是个更实际的例子，左图和右图有着相同类别的符号，每类符号的个数也相等，但符号的分布却差异很大，但可以发现它们的统计信息量完全相同，即H=1.5。由于统计信息熵无法有效表达地图的空间信息量，狭义地图信息论的发展受到严重的制约，未能形成一种强有力的理论来引发地图学革命。

2 地图信息论：从狭义到广义

伴随着地图信息论研究的深入，国内外学者逐渐认识到狭义地图信息论度量地图信息量的不足，并逐渐从地图信息的来源与特点出发对地图信息进行度量^[18]。

2.1 地图空间信息量的定义：广义地图信息论的开启

文献[18]对地图信息进行深入的剖析，认为除了统计信息外，地图信息更重要的应包括：

(1) 几何信息，包括了地图要素的位置、数量、大小与形状等信息。

(2) 空间关系信息，包括了地图要素拓扑、方向、距离及分布等信息。

(3) 专题信息，包括了地图要素的类型、重要程度等信息。

他们借助V(Voronoi)图，将离散的地图要素有机地关联起来(图 6)，“运用了Voronoi图对地图要素占用区域划分的思想，克服了经典信息论对地图仅进行简单统计学度量的局限性，使得几何信息这一地图的重要特性有了明确的数学度量方法”^[19]。他们“针对地图要素提出了通过建立Voronoi图来量测地图的几何信息量、专题信息量和拓扑信息量的方法,使得地图学中的信息量量测有了新的方法”^[20]。

2.1.1 地图几何信息量(metric information)

设一幅地图上有N个符号，每个地图符号的V图所占面积与整个地图区域面积的比率为

式中，S为整个地图区域面积；S_i表示第i个地图符号的V图所占的面积。P_i可以看作为第i个地图符号占有空间的势力范围。将这个比例值代入信息熵公式(1)中计算地图的几何信息量。整幅地图信息熵H(M)的完整数学表达式为

图 5中两幅地图的几何信息熵分别为4.29和5.13(图 6)，即右图的信息熵高于左图。当两幅包含不同符号数量地图的几何信息量时，进一步给出了地图几何信息量的标准化形式

式中，H_max(M)表示当所有地图符号的V图面积均相同时取得的最大熵，H_max(M)=log₂N。

2.1.2 地图专题信息量(thematic information)

设第i个地图符号有N_i一阶邻近符号(图 7(a))，这些邻近符号具有M_i种专题类型，其中第j种专题类型的符号个数为N_i，则第i个邻居符号包含第j种专题属性类型的频率定义为

图 7(b)是对这些数学符号的解释。将式(10)代入信息熵公式中可获得每个符号的专题信息量，累加后可计算整幅地图的专题信息量。整幅地图信息熵的完整数学表达式为

2.1.3 地图拓扑信息量(topological information)

每个地图符号V图的一阶邻居数目的平均值用来表征拓扑关系的信息量。

文献[18]给出的地图信息量分类体系与计算指标将信息论与地图信息有机融合，将单纯的统计信息量拓展为真正意义上的地图信息量，其满足了地图信息度量的两个核心原则：①地图符号的空间分布不同，地图空间信息量就不同；②有地图符号就有空间信息量。

学者们发现这种基于的V图空间信息度量一方面反映了地图实体对空间占有的势力划分，另一方面也体现出地物之间的邻接关系,而这两方面正是语法层次地图信息量的主要体现^[20-21]。亦有文献[18]认为“基于Voronoi图的几何度量方法是现有的对地图信息的最佳量测,其将地图学的具体问题与信息论基本原理结合的方法是符合地图信息度量具体实践的”^[22]。

2.2 对文献[18]地图空间信息度量扩展的种种尝试

对文献[18]的地图空间信息度量，有些学者认为仅考虑V图的面积比不够，应该将面积比或其他度量指标分类(分段)，再算每类(段)的频率^[7]。然而，这种做法不但忽略了类别区别(因为不同类别的符号也会可能有相同的V图面积)，也忽略了符号空间位置区别(每个符号与其他都有位置区别)，计算的结果既不是统计信息熵，也不能满足“有地图符号就有空间信息”的基本原则。

也有些学者认为，当符号的空间分布趋近均匀时，文献[18]的地图几何信息量最大，这跟香农的“概率小、信息量大”相反^[23]。事实上，“概率小信息量大”是指单个事件，而香农的总信息熵就是在概率相同时出现最大值，因为均匀分布意味着大离散度，就产生大信息熵。

对文献[18]的地图空间信息度量，国内外许多学者作了种种扩展的尝试，这里进行简单回顾。

2.2.1 基于加权V图量测多级地图要素几何信息量

有学者认为V图具有势力范围属性特性，这与地理信息的空间范围性表现出很好的一致性，地物空间范围性不仅反映了地理事物所处的位置、尺寸，更重要的是它间接反映了地理事物之间的关系，因此基于V图来量算地图几何信息量从方法论角度基本解决了地图几何信息的度量问题^[19]。但是，文献[18]的度量没有引入级别的概念，即没有考虑地物要素的多级别性，因此需要对不同级别地物加以权重来计算的V图

式中，R_i是第i级别符号的几何度量。

图 8表示从等权的V图(左图)到加权后V图的变化。他们的结论是：考虑不同类别的固有特征,具有地理学上的有用性。这一扩展很有意义，但可能需要弄清楚是在哪个层次上的扩展，即“不同类别的固有特征”可能与语义有关，而“地理学上的有用性”可能与语用有关。

2.2.2 基于符号大小及符号V图面积差异的几何信息量

一些学者试图对几何信息量度量进行修正，如几何信息量与符号大小关联^[24](式13)、与V图的面积差异关联^[25](式14)。几何信息量与符号大小关联计算的方法如式(13)所示

式中，S为总符号面积；S_i表示第i个地图符号的面积。这样就可以发现，当两幅地图同样两个符号(如房子和三角点)，当三角点符号变小时，地图的信息熵变小，但信息量跟符号的空间分布(特别是邻接关系)无关。

用V图的面积差异来定义地图空间信息的公式如式(14)所示

式中，S_i为第i个符号的V图面积；S_av为符号的V图的平均面积；S_max为最大的V图的面积。可以发现，这样的定义会出现奇怪现象，即“有符号没信息”及“两符号的V图面积很不一样而信息量却一样”。图 10表达了这种情况。左图中，S_i=S_av=S_max，因此信息量为0。右图中，S_av=1/2，S_max=2/3，S₁=1/3，S₂=2/3，所以两个符号的信息量是一样的，尽管一个的V图面积是另一个的2倍。这类研究实际上是从方差的角度对于地形图信息进行了度量，由于方差与信息量存在正相关的关系，因此可以在一定程度上反映地形图的统计分布信息，但是将方差替代信息计算中的概率缺乏严密的理论依据，而且不满足地图信息度量的基本原则(有符号但无信息)。

2.2.3 基于邻近像素灰度值差的信息度量

有学者认为，地图符号的信息跟符号的吸引力(attractiveness)有关，并提出了一种基于像素邻近灰度值之差的信息度量方法，即信息量是所考虑的像素(P)与周边像素灰度值差的总和^[26]

式中，C_p是所考虑的像素的灰度值；C_i是第i个邻近像素的灰度值；m是邻近像素的个数，在一个3×3的窗口时为8(图 11(a))；k_i为一个常数。一幅影像的信息量为所像素的信息的总和，如果地图是彩色的，则将色彩分解成RGB分别计算。

这一扩展很有意义，但好像已经超越了地图空间信息，因为地图图形表达以地图要素为基本单元。在他们的处理中，一个地图要素由有限个像元表达，这好像已经是地图的图像信息量，而不是地图的图形的信息量。例如图 11(b)的3个厕所符号具有相同的地图图形信息，而具有非常不同的地图图像信息。

2.3 广义地图信息论的发展现状

广义地图信息论既具有信息论的坚实基础理论，又体现了地图信息度量的独特性，国内外学者在该框架下对地图解译、地图综合、地图设计等方面开展了大量的研究工作，真正促进了地图信息度量理论向实践的快速发展。下面将对国内外学者在广义地图信息度量框架下开展的研究工作进行回顾和总结。

2.3.1 基于广义地图信息的地图解译

近年来，广义地图信息论已经在地图可读性度量方面被广泛应用，地图可读性关系到地图使用者能否有效地获得地图上提供的信息，在移动终端与互联网在线地图广泛应用的今天，对地图可读性的度量尤为重要。文献[27-29]在地图几何信息量基础上，又细分了符号数量与符号本身的大小与形态信息，采用人工判读结果对地图信息度量结果进行评价，结果发现在测试数据上(比例尺为1∶1万、1∶5万的地形图)符号的数量与几何信息量最能表征地图的可读性，而符号本身的复杂性(如大小与形态等)对地图可读性的影响不明显^[27-29]。

文献[30]计算1∶5万与1∶25万不同地貌的高线地图的几何与拓扑信息量，认为地图信息量计算结果与人的观察结果是吻合的。文献[31]采用广义地图信息度量方法对我国西部1∶5万测图工程的地形图产品的质量进行评价，认为地图信息度量方法是我国现有产品规范的有力补充。

2.3.2 基于广义地图信息的地图综合

地图综合是多比例尺地图生产与跨比例尺地图更新的关键技术，地图综合中地图信息量随比例尺(或尺度)的变化规律(图 12)是评价综合质量与地图服务质量的基础问题。

文献[32]对不同比例尺下的地图信息变化作了系统试验，发现跟比例尺的平方根比与相应的几何信息比很一致。

文献[20]认为几何信息量基于V图的计算方法一方面反映了地图实体对空间的划分，另一方面亦体现出了地物间的邻接关系，是语法层次地图信息量的主要体现，采用几何信息量指导点群的自动综合，与手工综合结果极为接近。

文献[33]对几何信息量进行了进一步扩展，研究了目标层次上地图信息的传递规律^[7]，并借助地图几何信息度量方法对现有的线要素化简算法进行评价，认为地图信息量指标优于当前综合算法评价指标。

文献[21]采用基于V图的几何信息量计算方法以制图综合中移位和合并两种典型操作为例，研究了面目标尺度变换中的信息量衰减规律，可为综合算法评价提供客观依据。

2.3.3 基于广义地图信息的地图设计

广义地图信息量度量亦被推广应用于地图设计，如地图注记配置、地图色彩数目确定。文献[34]引入几何信息量用于面状要素的注记配置，从地图信息的角度阐明地图注记配置的本质是降维，配置优化的目标是最大限度保持原有的几何信息量。为此，他们创建了基于熵线的注记配置(图 13)，这一方法不仅使得注记配置的效果得到了改进,更是注记配置思维由关注具体图形到关注一般本质的一种提升。

文献[14]从地图信息量负载的角度研究地图色彩数目的确定问题(图 14表示了色彩数目与地图有益信息的关系)，从理论上证明了经验性的色彩数目确定原则(不超过7~8种)。

2.3.4 其他广义地图信息的定义

广义地图信息度量亦延伸到影像的信息度量，各种影像(如遥感影像)加符号后成为一种特殊的地图-影像地图。引入广义地图信息论对遥感影像的信息量进行度量亦受到了国内外学者的关注，对遥感影像进行度量一方面可以对遥感影像的质量进行评价，另一方面也可以对影像处理方法的性能进行衡量^[35-36]。现有的遥感影像信息度量方法实际上与文献[18]提出的广义地图信息理论有着共通之处，例如采用一阶邻近像元灰度差异^[25]或相关性^[37]度量影像信息实际上与地图专题信息量的计算方法极为相似：一阶邻近像元实际上等同于一阶Voronio邻近，而像元灰度差亦与地图符号的类别差类似。然而，对遥感影像每个像元的信息量进行度量时，依然采用的是灰度值出现的概率进行计算^[38]，实际上这种信息量仅是统计信息量：与像元的空间分布无关，且仅存在一个灰度值时，有像元但无信息量。

3 广义地图信息论研究的未来方向

地图信息度量经过近半个世纪的发展，已经从狭义地图信息论发展为广义地图信息论，而且广义地图信息论在现代地图学乃至遥感领域均取得了实质性的应用成果。广义地图信息论的研究方兴未艾，本文认为未来广义地图信息论的发展在于扩展与整合。

3.1 广义地图信息论的3大扩展方向

本文认为未来广义地图信息论会从3大方向扩展(图 15)：①由语法地图信息向语义和语用；②由客观概率向主观、逻辑概率；③由空间到时空。

3.1.1 由语法地图信息向语义和语用地图信息延伸

从语言层次上来看，目前广义地图信息论主要度量的是语法层次上的地图信息，但是语法地图信息度量是语用和语义地图信息度量的重要基础^[14]。近年来，已经有学者尝试将广义地图信息论拓展到语义层次上，例如，采用加权V图拓展的几何信息量计算^[19]；考虑水平和垂直方向变化对数字高程模型的几何信息量进行度量^[39]。如何从人类认知的角度将语法地图信息度量推广到语义和语用地图信息度量将是未来发展的重要方向，甚至可能需要对信息论的基础理论进行修正。

3.1.2 由客观概率向主观、逻辑概率的转变

从概率种类来看，当前在广义地图信息论框架下表征地图符号不确定性的依然是客观概率，即根据事件发展的客观性统计出来的概率。客观概率只能用于完全可重复事件，对于很多现实事件并不适用。地图服务人类认知的特点，决定了地图信息度量中符号概率必须融入人的主观性，即主观概率。更深层次上，可能需要对命题或预言被不同的人判定为真的概率(即逻辑概率)进行考虑。在概率计算中纳入人的认知约束也可能是将语法信息向语义和语用信息延伸的一种途径，一些统计学理论(如贝叶斯理论)或许可以提供理论方法支撑。

3.1.3 由空间信息到时空信息的发展

当前广义地图信息论考虑的时空专题已经从狭义地图信息论的统计信息扩展到几何、专题、拓扑等方面。进一步，伴随着大数据时代的到来，传统地图已经向可视化解析(visual analytics)迈进，表现为语义关系一致的四维时空位置信息的集合，其特点包括：高动态、个性化、高精度、精细化、真三维、同移动互联网及物联网紧密结合^[40-41]。可视化解析中包含的多维时空动态信息，时间和空间信息的交互作用、传递及耦合对广义地图信息论提出了新的挑战。

3.2 图形与图像统一的信息论

影像是现实世界的写照，是比较具体的表达，而地图是符号化、抽象化的表达。介于两者之间是影像地图，一种在正射影像上加地图符号的新型地图。影像地图已经得到广泛的应用。图 16为谷歌地图提供的影像地图截屏。要研究影像地图的信息量以及影像到地图的信息传输理论，必须研究图形与图像统一的信息度量，或者建立二者的转换关系。

影像的信息度量本质上与地图信息度量存在共通性，当前影像信息度量实际上还多是对统计信息的度量，而对影像反映的空间信息本质属性顾及不足。借鉴广义地图信息论中几何信息量和专题信息量的度量策略发展影像的空间信息度量模型将是未来图形与图像统一信息论研究的重要方向。

4 总结与展望

本文对近半个世纪以来，信息论在地图学领域的发展进行了回顾，将地图信息度量区分为两个发展阶段：狭义地图信息论与广义地图信息论。进而，对这两个发展阶段的研究成果、特点进行了系统的归纳与评述。本世纪初提出广义地图信息度量理论后，地图信息度量对现代地图学发展产生了重要的推动作用，在地图质量/可读性评价、地图综合、地图设计等诸多领域产生了新的变革，并取得了一系列标志性的应用成果。

本文同时对广义地图信息论的发展现状进行了定位，在此基础上从语言层次、概率种类与时空专题3个方面对广义地图信息论的发展方向进行了展望，同时亦对影像与地图信息论的统一问题进行了初步的探讨。通过对地图信息度量领域的发展进行梳理，希望能够起到抛砖引玉的作用，促进广义地图信息论的新发展。