2. 东华理工大学江西省数字国土重点实验室，江西 南昌 330013 ;
3. 安徽大学资源与环境工程学院，安徽 合肥 230601 ;
4. 海军工程大学导航工程系，湖北 武汉 430033
2. Jiangxi Province Key Lab for Digital Land, East China Institute of Technology, Nanchang 330013, China ;
3. School of Resources and Environmental Engineering, Anhui University, Hefei 230601, China ;
4. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China
子午线弧长计算是经典大地测量问题之一[1-12]，围绕这一问题的计算和应用，近年来各国学者提出了许多新的方法和见解[13-16]。过去，人们主要关注子午线弧长与大地纬度的关系，但在测量和地图投影的相关理论中，也常用到归化纬度、地心纬度等辅助纬度，以使问题得到简化，尤其是应用归化纬度。例如，文献[13]曾给出分别基于大地纬度和归化纬度的子午线弧长公式正反解的复变函数表达，并分析指出以归化纬度为自变量的子午线弧长公式更为简洁，且精度更高;文献[14-16]中给出的子午线弧长公式与第二类椭圆积分的关系表明以归化纬度表示的子午线弧长公式表达更为简洁;文献[17-18]分析了多种辅助纬度之间的关系，并指出其实用意义和价值。在高斯投影、UTM投影等正形投影中，应用复变函数和椭圆积分的表达与解算方法，也常引入归化纬度[19-22]，在空间直角坐标与大地坐标的转换中的一些方法中也常使用到归化纬度[19-22]。同时，在贝塞尔大地主题解算方法及近年来提出的许多新的方法中，均以归化纬度作为过渡或直接解算结果[23, 24]。事实上，子午线是特殊的大地线，分析子午线弧长与归化纬度、地心纬度的正反解关系，有助于建立子午线弧长与大地主题解算理论上的联系。
另外，子午线弧长问题的本质是椭圆弧长问题。而在其他学科领域，一般更多关注的是椭圆弧长与其离心角、极角的关系[25, 26] ，即对应于大地测量中的归化纬度和球心纬度。
鉴于此，本文将子午线弧长正、反解公式分别以大地纬度、归化纬度和地心纬度表示，实现3种纬度变量与子午线弧长的直接转换，并给出理论与精度分析，以资参考。
1 子午线弧长正解公式的不同纬度变量表达 1.1 以大地纬度为自变量的子午线弧长公式以大地纬度为自变量的子午线弧长正解公式为
(1)
式中，各系数参考文献[5]。文献[16]通过引入第三扁率n和高斯超几何函数F将其化为
(2)
该公式使子午线弧长公式得到简化，且精度提高显著。式中
(3)
子午线弧长公式以归化纬度u为自变量的公式为
(4)
按文献[16]的思路，先将被积函数按二项式定理展开，再积分，然后引入第三扁率n和高斯超几何函数F，可得
(5)
式(5)的推导过程本文从略。为避免复杂的推导过程，可在数学软件Mathematica中输入如下命令一步实现
(6)
式(6)中各命令功能参见Mathematica手册[27]。
1.3 以地心纬度Φ为自变量的子午线弧长公式为
(7)
按同样思路展开可得
(8)
Helmert于1880年应用拉格朗日反演定理[28, 29]给出子午弧长反解的直接公式，也常称之为三角级数回代方法，本文直接引用如下
(9)
式中，β=S/aF。
2.2 子午线弧长反解归化纬度的直接公式沿用Helmert的思路，同样设β=S/aF，将式(5)改写为β=u－fu，则fu的表达式为
(10)
根据拉格朗日反演定理，有
(11)
用β替换式(10)中的u，根据式(11)可得
(12)
(13)
(14)
依次类推，求至5阶导，并代入式(11)，可得
(15)
此即为由子午线弧长反解归化纬度的直接公式。
2.3 子午线弧长反解地心纬度的直接公式类似的，略去推导过程，可以得到由子午线弧长反解地心纬度的直接公式
(16)
至此，得到了分别基于大地纬度、归化纬度和地心纬度的子午线弧长正解公式，式(2)、式(5)和式(8)，以及由子午线弧长反解各纬度变量的直接公式，式(9)、式(15)和式(16)。3组公式在结构形式上保持较高的一致性，可实现子午线弧长与3种不同纬度相互间直接的转换计算。
3 基于归化纬度的子午线弧长解算与大地主题解算方法的统一性分析上述3种纬度变量的子午线弧长公式的表达中，以大地纬度最为常用，其他两种表达应用较少。但基于归化纬度的子午线弧长理论应用上有许多优点，主要表现在：①形式上更为简洁，本文式(1)、式(4)、式(7)表明以归化纬度的积分表达更为简洁，与第二类椭圆积分的关系也更为明显;②精度更高，文献[13]以复变函数理论解决子午线弧长问题，分析表明，基于大地纬度的子午线弧长计算最弱精度在7.0×10-6 m，而以归化纬度的最弱精度约为5.0×10-7 m，且公式更为简洁，本文在下一节内容中分析本文方法的精度比较。
除以上两方面优势以外，基于归化纬度的子午线弧长与大地主题解算相关方法具有理论上的统一性。
在文献[22-24]中，学者给出了新的大地主题解算方法，用归化纬度表达大地线的微分方程作为解算的基础方程
(17)
式中，C=cos umax=cos uisin Ai，称为大地线常数或克莱罗常数(Clairault’s constant)。
由式(17)可得
(18)
特别的，当大地方位角A=0°时，则C=0，该大地线为子午线，式(18)即化为式(4)。在此种情况下，文献[24]给出按下式以迭代算法计算归化纬度
(19)
式中
(20)
文献[22-24]给出的以上过程表明了归化纬度在大地主题解算中的应用价值，而子午线是大地线的一种特殊形式。本文分析的基于归化纬度的子午线弧长正反解建立了子午线弧长理论与大地主题解算相关方法的联系，表明二者具有理论上的统一性。
4 精度验算分析为比较3组公式的精度，笔者以WGS-84椭球参数为例，在Mathematica 8.0中调用第2类椭圆积分函数得到各公式分别展开至n2、n3、n4项的最大误差，计算结果如表 1所示，正反解误差曲线如图 1所示。
|
| 图 1 基于不同纬度变量的子午线弧长正反解误差曲线 Fig. 1 Error curves of direct and inverse solutions for meridian by using different latitude variables |
| 阶数 | 正解最大误差/m | 反解最大误差/(″) | ||||
| 式(2) | 式(5) | 式(8) | 式(9) | 式(15) | 式(16) | |
| n2 | 3.89×10-2 | 6.28×10-3 | 3.39×10-2 | 2.36×10-3 | 5.70×10-4 | 7.33×10-4 |
| n3 | 4.89×10-5 | 1.81×10-6 | 6.75×10-5 | 5.63×10-6 | 1.06×10-6 | 3.64×10-7 |
| n4 | 8.89×10-8 | 4.12×10-9 | 2.17×10-7 | 1.90×10-8 | 3.22×10-9 | 3.02×10-9 |
验算表明：
(1) 正解方面，展开至n2项以大地纬度为自变量的解算精度略低，地心纬度次之;展开至n3、n4项，基于地心纬度的解算精度略低，大地纬度次之;展开至n2~n4各阶次项均以归化纬度的解算精度最好。
(2) 反解方面，展开至n2项反解归化纬度的精度略高于地心纬度;展开至n3、n4项反解地心纬度的精度略高于归化纬度;展开至n2~n4各阶次项反解大地纬度的精度略低;
(3) 实用上来讲，各正反解公式展开至n4项能够满足大地测量领域的应用精度要求，并可根据需要展开至更高阶以获得更高精度。
(4) 对比3组公式可发现，以归化纬度为变量的正解公式最为简洁。事实上，如前所述，在大地测量领域里的许多方面，归化纬度都有类似的性质，常使复杂的问题得到简化。
5 结 论本文按以大地纬度为自变量的子午线弧长公式思路，推导了以归化纬度、地心纬度解算子午线弧长的展开公式，同时又按拉格朗日反演定理，得到了由子午线弧长反解归化纬度、地心纬度的直接公式，并分析了子午线弧长理论与相关大地主题解算方法的统一性。基于3种不同纬度变量的子午线弧长正反解公式结构、形式上一致，收敛速度也基本相当。该组公式实现了子午线弧长同3种纬度变量的直接正反解，揭示了子午线弧长同3种纬度变量之间的关系。子午线弧长理论与大地主题解算理论的统一性分析表明，归化纬度在大地主题解算方面有其应用价值，而子午线是大地线的一种特殊形式，二者表现为一般与特殊的关系，具有理论上的统一性。
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