最佳干扰是指在给定接收机的接收方式下, 以最小功率使接收机达到最大失真程度的干扰被称之为最佳干扰, 其中最佳干扰信号采用的调制方式称为最佳干扰样式。显然, 相对于传统干扰, 最佳干扰能够有效的提高干扰效能, 是实现精确、高效干扰的基础。目前的干扰(诸如单/多音干扰、扫频干扰、噪声调幅干扰、噪声调频干扰、窄带干扰等)大多是功率压制型的干扰, 不能满足以最小功率获得最大干扰效能(即高效电子战)的需求, 所以干扰方式必须由传统功率压制型干扰向认知精确干扰过渡。由于现有的通信侦察技术具有较强的侦察非合作信号通信体制(如调制方式、载频、码元速率等)的能力, 故基于侦察所得参数而引导的以最佳干扰及灵巧干扰为基础的认知精确干扰具有极高的实用价值。本文讨论的是认知精确干扰中的基于模式匹配的最佳干扰。

目前针对M-QAM的最佳干扰研究中, 文献[1]分析了QAM信号在AWGN信道下的准确误码率, 且包含矩形星座。已有的关于存在干扰时接收机误码率的研究仅集中在讨论简单的单音干扰、窄带干扰、同样式同参数干扰上^[2-4], 少有讨论在同参数、不同调制样式下通信信号的误码率。诸多文献通常认为与通信信号采用相同调制方式、相同参数的干扰是通信信号的最佳干扰样式^[5-8]。但上述结论缺乏准确的数学分析, 若要准确解决该问题, 首先应讨论在干扰下某调制信号在接收时的误码率。其次, 应讨论如何针对某调制方式得到其最佳干扰样式。

本文以16-QAM为例, 首先推导了在二维调制干扰下M-QAM的误码率通式, 基于凸优化^[9-11]的方法分析了16-QAM的最佳干扰样式。

1 干扰条件下M-QAM的误码率通式

为研究16-QAM的最佳干扰, 首先应从干扰存在条件下某调制信号的误码率入手, 才能分析针对某调制信号的最佳干扰样式。

1.1 存在干扰条件下M-QAM的通信系统模型

假设通信信号的等效低通表达式为

$ s\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\sqrt {{P_{\rm{s}}}} {s_k}g\left( {t - kT} \right)} $

(1)

式中:P_s为通信信号的平均功率; s_k代表已调符号; g(t)代表信源选择的波形; T是码元宽度。

干扰信号的等效低通表达式为

$ j\left( t \right) = \sum\limits_{l = - \infty }^\infty {\sqrt {{P_j}} {j_l}g\left( {t - lT} \right)} $

(2)

式中:P_j为干扰信号的平均功率; j_l代表干扰信号的已调符号, 并服从f_J(j)分布; g(t)代表信源选择的波形; T是码元宽度。

在AWGN信道下, 当干扰信号与通信信号完全同步且接收机采用正交相干接收时, 接收机的输入端可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{r_m} = r\left( {t = mT} \right) = \left( {\sqrt {{P_{\rm{s}}}} {s_m} + \sqrt {{P_{\rm{j}}}} {j_m}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}{\omega _0}t} \right) + {n_m}}\\ {m = 1, 2, 3, \cdots } \end{array} $

(3)

式中:r_m是接收到的信号, n_m是零均值高斯白噪声, 通信已调符号s_m、干扰已调符号j_m和噪声n_m之间相互独立。由于M-QAM信号可拆分成同相和正交两维的形式, 即r_m=[Re(r_m), I_m(r_m)]^T, 其中Re(r_m)表示接收信号的实部, I_m(r_m)表示接收信号的虚部。对s_m和j_m可用相同的方法定义, 故上式可重写为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\bar r}}}_m} = \mathit{\boldsymbol{\bar r}}\left( {t = mT} \right) = }\\ {\left( {\sqrt {{P_{\rm{s}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar s}}}_m} + \sqrt {{P_{\rm{j}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar j}}}_m}} \right)\exp \left( {{\rm{i}}{\omega _0}t} \right) + {{\mathit{\boldsymbol{\bar n}}}_m}} \end{array} $

(4)

若通信信号接收机为正交接收接收机, 那么当接收矢量γ分别映射在两个正交基上, 如图 1所示, 接收矢量r_m在同相基上的映射为通信信号和干扰在该基上映射和, 即r_i=s_i+j_i, 在正交基上的映射为r_q=s_q+j_q。其中s_i和s_q分别表示通信信号的同相和正交分量, j_i和j_q分别表示干扰信号的同相和正交分量。

图 1中D为判决区域。由于接收机无法意识到干扰的存在, 依然采用原判决方式进行判决, 当接收矢量γ在同相维的映射值r_i落入判决区域D时, 则判决其为s_i, 否则判决为其他值。显然, 图 1中的信号由于受到干扰出现了误判。图 2中给出了这种正交接收机的示意图。

1.2 在二维调制干扰下M-QAM的误码率分析

M-QAM信号可以认为是两路正交$\sqrt M - {\rm{PAM}}$信号的合成^[12]。在M-PAM调制中, 任意两点的最小欧氏距离d_min定义为

$ {d_{\min }} = \sqrt {\frac{{12{\rm{lb}}M}}{{{M^2} - 1}}{E_{\rm{b}}}} $

(5)

其星座点位于$\left\{ { \pm \frac{1}{2}{d_{{\rm{min}}}}, \pm \frac{3}{2}{d_{{\rm{min}}}}, \ldots , \pm \frac{{M - 1}}{2}{d_{{\rm{min}}}}} \right\}$, 其中M表示在某维上映射值的个数, E_b表示每比特能量。M-PAM星座图中有两种类型的点:M-2个内点和2个外点。如果一个内点被发送, 当判决量大于d_min/2时就会发生检测错误。外点的错误概率是内点错误概率的一半, 这是由于噪声仅在一个方向引起错误。将内点和外点的错误概率分别记为P_ei和P_eo。当不存在干扰且信号通过AWGN信道时, 判决量是均值为0, 方差为N₀的高斯随机变量, 则:

$ {P_{{\rm{eo}}}} = \frac{1}{2}{P_{{\rm{ei}}}} = \frac{1}{2}{\rm{erfc}}\left( {\frac{{{d_{\min }}}}{{2\sqrt {{N_0}} }}} \right) $

(6)

式中N₀表示噪声的功率密度。

故M-QAM在无干扰时的误码率P_{e_awgn}可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\rm{e\_awgn}}}} = \frac{1}{M}\left[{\left( {M-2} \right){P_{{\rm{ei}}}} + 2{P_{{\rm{eo}}}}} \right] = }\\ {\left( {1 - \frac{1}{M}} \right){\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2} - 1}} \cdot \frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}} } \right)} \end{array} $

(7)

当存在干扰信号时, 假设干扰方已知通信方的全部通信体制(如码元间隔, 载频等), 以同相维度为例, 接收信号在判决模块处的输入x(t)为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right) = 2\int_0^T {\bar r\left( t \right)\cos \left( {{\omega _0}t} \right){\rm{d}}t} = }\\ {\underbrace {2\int_0^T {\sqrt {{P_{\rm{s}}}} {{\bar s}_m}\hat g\left( t \right){{\cos }^2}\left( {{\omega _0}t} \right){\rm{d}}t} }_{S\left( t \right)} + }\\ {\underbrace {2\int_0^T {\sqrt {{P_{\rm{j}}}} {{\bar j}_m}\hat g\left( t \right){{\cos }^2}\left( {{\omega _0}t} \right){\rm{d}}t} }_{J\left( t \right)} + \underbrace {2\int_0^T {{{\bar n}_m}\cos \left( {{\omega _0}t} \right){\rm{d}}t} }_{N\left( t \right)}} \end{array} $

(8)

式中$\mathit{\hat g}\left( t \right)$表示接收信号经匹配滤波器后的输出, 且$\mathit{\hat g}\left( t \right)$=g(t)*g(t)。为了方便计算, 本文中通信信号与干扰信号均采用矩形波。由于在一个码元内噪声的积分量N(t)~N(0, N₀)^[13]。故判决量是均值为J(t), 方差为N₀的高斯随机变量。判决量的概率密度函数为

$ f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{ \mathit{ π} }}{N_0}} }}\exp \left( { - \frac{{{{\left( {x - J\left( t \right)} \right)}^2}}}{{2{N_0}}}} \right) $

(9)

当信源以等概率发送“0”和“1”时, 系统某一维的误码率P_{e_jam}可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\rm{e\_jam}}}} = \frac{1}{4}\left[{{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}} + \frac{{J\left( t \right)}}{{\sqrt {2{N_0}} }}} \right) + } \right.}\\ {\left. {{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}}-\frac{{J\left( t \right)}}{{\sqrt {2{N_0}} }}} \right)} \right]} \end{array} $

(10)

上式中若令E_j/N₀表示干扰能量与噪声的功率密度的比值, 且由于所分析的干扰信号均可进行二维表示, 故令jam_n=Re(j_m)或Ιm(j_m), 其中Re(j_m)表示干扰信号的实部, Ιm(j_m)表示干扰信号的虚部。式(10)可重写为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\rm{e\_jam}}}} = \frac{1}{4}\left[{{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}} + \sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{N_0}}}} {\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}} \right) + } \right.}\\ {\left. {{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}}-\sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{N_0}}}} {\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}} \right)} \right]} \end{array} $

(11)

鉴于干扰信号j_m在任意一维上的映射值不唯一(如16-QAM信号在正交和同相维度上均有四个映射值), 为了不失一般性, 上式应表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\rm{e\_jam}}}} = \frac{1}{l}\sum\limits_{n = 1}^l {\left\{ {\frac{1}{4}\left[{{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}} + \sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{N_0}}}} {\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}} \right) + } \right.} \right.} }\\ {\left. {\left. {{\rm{erfc}}\left( {\sqrt {\frac{{3{\rm{lb}}M}}{{{M^2}-1}}} \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{N_0}}}}-\sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{N_0}}}} {\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}} \right)} \right]} \right\}} \end{array} $

(12)

其中, l表示jam_n在某一维度上映射值的数量, 即n=1, 2, 3…l。由于两个正交载波之间没有串音或干扰, 故含干扰时M-QAM信号的总误码率P_{e_whole}可表示为

$ {P_{{\rm{e\_total}}}} = 1 - {\left( {1 - {P_{{\rm{e\_jam}}}}} \right)^2} $

(13)

2 相差及时延对误码率通式的影响

上节讨论了理想情况下, M-QAM的误码率。而实际情况中, 干扰信号往往与通信信号存在相位差及时延等。为满足现实需求, 并且完善数学模型, 本节推导了在存在相位差或时延时M-QAM的误码率通式。

2.1 相差对M-QAM在干扰下的误码率的影响

假设干扰信号与通信信号存在随机相位偏移φ, 含干扰信号在接收机的输入端可以表示为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar r}}}_m} = \left( {\sqrt {{P_{\rm{s}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar s}}}_m} + \sqrt {{P_{\rm{j}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar j}}}_m}\exp \left( {{\rm{i}}\phi } \right)} \right)\exp \left( {{\rm{i}}{\omega _0}t} \right) + {{\mathit{\boldsymbol{\bar n}}}_m} $

(14)

式中m=1, 2, 3…, 随机相位偏移φ服从在0~2π上的均匀分布。

则每一维的误码率可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_{{\rm{e\_phase\_i}}}} = {P_{{\rm{e\_phase\_q}}}} = \frac{1}{{{l_M}}}\sum\limits_{m = 1}^{{l_M}} {\frac{1}{4}{\rm{erfc}}} \left[{\alpha \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{n_0}}}} + } \right.}\\ {\left. {\sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{n_0}}}} \left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{{\bar j}_m}} \right)\cos \phi + {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{{\bar j}_m}} \right)\sin \phi } \right)} \right]} \end{array} $

(15)

式中l_M是映射点的总数, $\alpha = \sqrt {\frac{{3\;{\rm{lb}}M}}{{{M^2} - 1}}} $。

存在相位差时的总误码率可表示为

$ {P_{{\rm{e\_phase}}}} = 1 - \left( {1 - {P_{{\rm{e\_phase\_i}}}}} \right)\left( {1 - {P_{{\rm{e\_phase\_q}}}}} \right) $

(16)

2.2 时延差对M-QAM在干扰下的误码率的影响

尽管干扰机已知通信方的调制方式、码元间隔、载频等参数, 但由于信道及干扰机存在处理时间等原因, 干扰机基本无法做到使干扰信号与通信信号同时到达接收机。

但站在干扰方的角度, 干扰机不必(也几乎不能)做到使干扰信号几乎与通信信号同时到达接收机, 因为本文所分析的接收机是在每个码元上进行判决的, 故只需分析干扰信号当前码元与通信信号码元叠加后的判决结果, 而不必分析干扰信号未到达之前的情况。如图 3所示。图 3中, T_d是码元宽度, 一个码元内干扰信号与通信信号存在时延τ。那么在接收存在干扰的通信信号时, 接收机的输入端可以表示为

$ {{\bar r}_m} = \sqrt {{P_{\rm{s}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar s}}}_m}\exp \left( {{\rm{i}}{\omega _0}t} \right) + \sqrt {{P_{\rm{j}}}} {{\mathit{\boldsymbol{\bar j}}}_m}\exp \left[{{\rm{i}}{\omega _0}\left( {t-\tau } \right)} \right] + {{\mathit{\boldsymbol{\bar n}}}_m} $

(17)

其中m=1, 2, 3…, 随机时延τ在0~T上的均匀分布。

则同相维的误码率P_{e_time_i}可以表示成:

$ {P_{{\rm{e\_time\_i}}}} = \frac{1}{{{l_M}}}\sum\limits_{m = 1}^{{l_M}} {\frac{1}{4} \cdot {\rm{erfc}}\left( {\alpha \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{n_0}}}} + {\beta _{\rm{i}}}\sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{n_0}}}} } \right)} $

(18)

式中β_i=Re(j_m)cos(ω₀τ)-Im(j_m)sin(ω₀τ)。

正交维的误码率P_{e_time_q}可以表示成:

$ {P_{{\rm{e\_time\_q}}}} = \frac{1}{{{l_M}}}\sum\limits_{m = 1}^{{l_M}} {\frac{1}{4} \cdot {\rm{erfc}}\left[{\alpha \sqrt {\frac{{{E_{\rm{b}}}}}{{{n_0}}}} + {\beta _{\rm{q}}}\sqrt {\frac{{{E_{\rm{j}}}}}{{{n_0}}}} } \right]} $

(19)

式中β_q=Re(j_m)cos(ω₀τ)+Im(j_m)sin(ω₀τ)。

存在时延差时的总误码率可表示成:

$ {P_{{\rm{e\_time}}}} = 1 - \left( {1 - {P_{{\rm{e\_time\_i}}}}} \right)\left( {1 - {P_{{\rm{e\_time\_q}}}}} \right) $

(20)

3 基于凸分析的最佳干扰样式分析

本文以16-QAM为例, 为达到准确分析16-QAM的最佳干扰样式的目的, 从16-QAM在存在二维调制干扰情况下的误码率入手, 采用凸分析的方法得到了16-QAM的最佳干扰样式。

为了方便表示, 可以认为式(12)是关于SNR, JNR, jam_n的函数, 即表示成P_e(jam_n, SNR, JNR), 显然:

$ {P_{\rm{e}}}\left( {{\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}, {\rm{SNR, JNR}}} \right) = {P_{\rm{e}}}\left( { - {\rm{ja}}{{\rm{m}}_n}, {\rm{SNR, JNR}}} \right) $

(21)

故系统误码率与jam_n的极性无关。通常情况下, 为了最大化干扰信号的熵, 发送值a=|jam_n|意味着以等概率发送jam_n=a和jam_n=-a。

上文中讨论了M-QAM在存在二维调制干扰时的误码率。作为干扰方, 干扰机尝试发送某种调制信号来使上述误码率取得最大值。故分析干扰机发送何种干扰能使接收机达到最大误码率的问题就转变成了在给定SNR和JNR的条件下误码率的最优化问题, 故该问题可表述为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{{f_{\rm{J}}}} \int_a {{p_{\rm{e}}}\left( {a,{\rm{SNR}},{\rm{JNR}}} \right){f_{\rm{J}}}\left( a \right){\rm{d}}a} \equiv }\\ {\mathop {\max }\limits_{{f_{\rm{J}}}} {\rm{E}}\left( {{P_{\rm{e}}}\left( {a,{\rm{SNR}},{\rm{JNR}}} \right)} \right)} \end{array} $

(22)

为了准确计算出上式的值, 在此须先确定f_J(a)应如何表示。

3.1 干扰信号的概率密度分布

定义集合U, W为

$ U = \left\{ {\left( {{u_1}, {u_2}} \right):{u_1} = {P_{\rm{e}}}\left( {a, {\rm{SNR, JNR}}} \right), {u_2} = {a^2}} \right\} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {W = \left\{ {\left( {{w_1}, {w_2}} \right):{w_1} = {{\rm{E}}_{{f_{\rm{J}}}}}\left( {{P_{\rm{e}}}\left( {a, {\rm{SNR, JNR}}} \right)} \right), } \right.}\\ {\left. {{w_2} = {{\rm{E}}_{{f_{\rm{J}}}}}\left( {{a^2}} \right)} \right\}} \end{array} $

首先假设集合U的凸包为V=conv U, 若想证明V=W, 需证:

1) V⊆W

因为V是U的凸包, 故V应是U中所有凸组合组成的集合, V中的任一元素υ均可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\upsilon }} = \sum\limits_{i = 1}^l {{\lambda _i}\left( {{P_{\rm{e}}}\left( {a, {\rm{SNR, JNR}}} \right), {a^2}} \right)} $

(23)

其中$\sum\limits_{i = 1}^l {{\lambda _i}} = 1$, 且λ_i≥0, ∀i。

又因为在集合W中, 当${f_{\rm{J}}}\left( a \right) = \sum\limits_{i = 1}^l {{\lambda _i}} \delta (x - {x_i})$时, V是W中的一个元素, 故V⊆W。

2) W⊆V

文献[14]中证明了在集合Ω中的任意随机变量θ的期望E(θ)的集合是Ω的凸包。故W是U的一个凸包, 又因为V是U的凸包, 故W⊆V。

因为V⊆W, 且W⊆V, 所以W=V。

根据Caratheodory定理:设M是Rⁿ中的一个非空集, 那么M的凸包中的点可以表示成M中至多n+1个点的凸组合, 故f_J(a)可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_{\rm{J}}}\left( a \right) = \lambda \delta \left( {a - {a_1}} \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\delta \left( {a - {a_2}} \right), }\\ {\lambda \in \left( {0, 1} \right)} \end{array} $

(24)

其中λa₁²+(1-λ)a₂²≤1且λ和1-λ分别表示发送a₁和a₂的概率。

至此, 使接收机接收性能达到最差的最优化问题转变成了寻找λ, a₁, a₂使P_e(a, SNR, JNR)的期望取得最大值的数学问题。

3.2 16QAM的最佳干扰样式

不难看出P_e(a, SNR, JNR)是一个非递减函数(物理意义上干扰越强, 误码率越大), 故在边界处, 即E(a²)=0.5(只考虑信号的一维)时取得最大值。

现定义四个随机变量:

$ {x_1} = \alpha \sqrt {{\rm{SNR}}} + {a_1}\sqrt {{\rm{JNR}}}, {x_2} = \alpha \sqrt {{\rm{SNR}}} - {a_1}\sqrt {{\rm{JNR}}} $

$ {y_1} = \alpha \sqrt {{\rm{SNR}}} + {a_2}\sqrt {{\rm{JNR}}}, {y_2} = \alpha \sqrt {{\rm{SNR}}} - {a_2}\sqrt {{\rm{JNR}}} $

当M=16时, α= $\sqrt {0.8} $ , 故式(12)可以写为

$ \begin{array}{l} {P_{\rm{e}}} = \frac{k}{l}\sum\limits_{n = 1}^l {\left\{ {\lambda \left[{{\rm{erfc}}\left( {{x_1}} \right) + {\rm{erfc}}\left( {{x_2}} \right)} \right] + } \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\left. {\left( {1 - \lambda } \right)\left[{{\rm{erfc}}\left( {{y_1}} \right) + {\rm{erfc}}\left( {{y_2}} \right)} \right]} \right\} \end{array} $

(25)

当取到边界值时, 即λa₁²+(1-λ)a₂²=0.5, 此时可将a₂表示为a₁的函数。将式(24)对a₁求导可得:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {P_{\rm{e}}}}}{{\partial {a_1}}} = \frac{k}{l}\sum\limits_{n = 1}^l {\left\{ { - \frac{{2\lambda }}{{\sqrt {\rm{ \mathit{ π} }} }}\sqrt {{\rm{JNR}}} \left[{{{\rm{e}}^{-x_1^2}}-{{\rm{e}}^{-x_2^2}}} \right] + } \right.} }\\ {\left. {\frac{{2\lambda }}{{\sqrt {\rm{ \mathit{ π} }} }}\sqrt {{\rm{JNR}}} \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\left[{{{\rm{e}}^{-y_1^2}}-{{\rm{e}}^{-y_2^2}}} \right]} \right\}} \end{array} $

(26)

对a₁求二次偏导可得:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}{P_{\rm{e}}}}}{{\partial {a_1}^2}} = \frac{k}{l}\sum\limits_{n = 1}^l {\left\{ {\frac{{4\lambda }}{{\sqrt {\rm{ \mathit{ π} }} }}{\rm{JNR}}\left[{{x_1}{{\rm{e}}^{-x_1^2}} + {x_2}{{\rm{e}}^{-x_2^2}}} \right] + } \right.} }\\ {\frac{{2\lambda }}{{\sqrt {\rm{ \mathit{ π} }} }}\sqrt {{\rm{JNR}}} \cdot \frac{1}{{{a_2}}}\left[{{{\rm{e}}^{-y_1^2}}-{{\rm{e}}^{-y_2^2}}} \right] - }\\ {\left. {\frac{{4{\lambda ^2}}}{{\left( {1 - \lambda } \right)\sqrt {\rm{ \mathit{ π} }} }}{\rm{JNR}} \cdot \frac{{{a_1}^2}}{{{a_2}^2}}\left[{{y_1}{{\rm{e}}^{-y_1^2}} + {y_2}{{\rm{e}}^{-y_2^2}}} \right]} \right\}} \end{array} $

(27)

令∂P_e(λ, a₁, a₂, SNR, JNR)/∂a₁=0, 可得到解为a₁=0或${a_1} = 1/\sqrt 2 $, 显然a₁=0是无意义的解, 故${a_1} = 1/\sqrt 2 $。将式(25)的解代入式(26)中, 若JSR>-d_min²/2, ∂²P_e(λ, a₁, a₂, SNR, JNR)/∂a₁² < 0。由于其一阶导数为0, 二阶导数小于0, 故P_e(λ, a₁, a₂, SNR, JNR)在${a_1} = 1/\sqrt 2 $处取得极大值。

通常, 干扰方为了最大化干扰信号的熵, 将以等概率发送二进制数据。故此时最佳干扰调制方式的参数为λ=0.5, a₁=a₂= $1/\sqrt 2 $, 即此时信号的调制方式为QPSK。

当干扰与通信信号存在相位差和时延差时, 不影响上述分析结果, 其最佳干扰样式依然是QPSK。

4 仿真分析

仿真实验首先验证了16QAM在BPSK、QPSK及16QAM干扰下的理论和实际误码率。其次, 验证了当存在相位差和时延差的情况下, 16QAM被QPSK干扰时的实际误码率和理论修正误码率的一致性。最后, 仿真验证了QPSK是16QAM的最佳干扰样式。仿真试验中采用的信号及干扰载频均为2×10⁶ Hz, 窄带干扰的带宽约占频谱的10%, 噪声调频干扰的调频因子为0.8。

1) 实验1:无相位、时延差时的误码率公式仿真

图 4中分别给出了16QAM在3种干扰下的理论和实际误码率曲线, 其中信号与干扰单位比特能量比E_b/E_j=10 dB, 信噪比范围为0~10 dB。在3种调制方式干扰下, 理论和实际曲线重合证明了上述公式的正确性。

2) 实验2:存在相位、时延差时误码率公式仿真。

图 5中分别给出了16QAM在QPSK干扰下, 通信信号与干扰信号存在相位差时的理论和实际误码率曲线, 其中相位差分别为0、π/8、π/4, 信号与干扰单位比特能量比E_b/E_j=10 dB, 信噪比范围为0~10 dB。

从图 5中可以看出, 在该干信比下, 相移对误码率影响较小。同样, 上述理论曲线与实际仿真曲线重合, 证明了所推导的误码率公式的正确性。

图 6中分别给出了16QAM在QPSK干扰下, 通信信号与干扰信号存在时延差时理论和实际误码率曲线, 其中时延差分别为0、0.3*T_d、0.8*T_d, 信号与干扰单位比特能量比E_b/E_j=10 dB, 信噪比范围为0~10 dB。从图 6中可以明显发现, 时延对误码率的影响并不大。

3) 实验3:五种干扰下16-QAM系统的性能比较

图 7为16QAM在16QAM、QPSK、噪声调频干扰、单音干扰、窄带干扰下的误码率曲线, 其中单音干扰与通信信号的载频已对准、窄带干扰为以通信信号的载频为中心, 约占信源频谱的10%。信噪比为10 dB, 干信比范围为-10~10 dB。

图 7中噪声调频干扰、单音干扰、窄带干扰对16QAM的干扰效能远差于16QAM和QPSK干扰, 而在JSR≈-3 dB时, 16QAM信号在QPSK干扰下的误码率已大于16QAM干扰, 符合上述理论推导。实际上, 一般干扰的发射功率应大于被干扰信号, 故虽然在较低干信比情况下16QAM的干扰效果优于QPSK干扰, 但在实际情况下干信比一般超过-3 dB, 故QPSK可以称之为16QAM的最佳干扰样式。

4 结论

本文通过数学推导得出了M-QAM信号在干扰下的误码率通式。分析了相位差和时延差对误码率通式的影响, 并得到了修正公式。依据误码率通式, 以16-QAM为例, 采用凸分析的方法给出了干扰信号的概率密度分布, 并通过数学推导得出了16QAM的最佳干扰不是同样式、同参数的干扰(即16QAM), 当干信比大于-3 dB时, 16QAM的最佳干扰样式为QPSK。