断裂韧性表征材料阻止裂纹扩展的能力，是度量材料的韧性好坏的一个定量指标，材料的断裂韧性不仅与材料本身属性相关，同样取决于研究对象的加载方式或约束水平等其他因素。目前对于材料断裂韧性的测试方法，主要以单参数方法为主，以参考温度作为唯一的衡量标准。然而单参数方法基本都是以标准试件作为试验对象，在固定尺寸的试件上进行的试验。但在日常生产生活中，我们所用到的物品、结构的尺寸，往往与试验试件的尺寸差距较大，这就需要更为准确的、能描述不同尺寸试件断裂韧性的新方法。

为了使断裂韧性的应用更加广泛，研究人员开始尝试用双参数方法来描述材料的断裂韧性，该方法产生的主要原因是裂纹尖端存在着强烈的约束效应，即在无限接近裂纹尖端的位置，应力场为无穷大。这样的情况就使得传统的单参数法无法表现裂纹尖端位置的应力分布情况。

J-A₂方法用J积分描述载荷水平，A₂作为约束参数，是由裂纹端弹塑性场的渐近展开式发展而来的描述裂纹端约束的一种较精确的双参数方法。王钟羡^[1]对单边缺口紧凑拉伸试件和带轴向表面裂纹管道进行了有限元分析。用J-A₂方法量化了裂纹尖端区域的约束情况，结果表明管道裂纹尖端的约束水平要小于CT试件的约束水平。王忠羡等^[2]对不同载荷水平下浅裂纹和标准裂纹试样进行弹塑性数值分析，用J-A₂双参数方法对裂纹端约束效应进行了计算，证明了J-A₂是与裂纹体构形和载荷形式相关的主要约束参数。颜福裕^[3]用J-A₂方法计算了含裂纹的反应堆压力容器的约束水平。根据实验及数值模拟结果，预测了含半椭圆表面裂纹的反应堆压力容器的断裂韧性。Lam等^[4]利用 J-A₂方法分析A533B反应堆压力容器钢在辐射下的韧性裂纹扩展，Kim等^[5]采用 J-A₂方法研究加载速率对脆性材料动态断裂起始韧度的影响。

本文通过对不同裂纹长度的三点弯曲试样进行弹塑性数值分析，计算了裂纹尖端的J积分值，采用J-A₂方法计算裂纹端的约束参数，验证了J-A₂方法转化断裂韧性的可行性，为后续通过在实验室中模拟结构的约束，预测实际结构断裂行为的研究提供了参考。

1 基本理论 1.1 经验公式法

J-A₂方法是由南卡罗莱纳大学的教授Yang和Chao等^[6-8]于1993年和1994年发展起来的。Yang^[9-10]等建立了裂纹尖端场的数学模型，由数学模型高阶项的解析解较为准确地表示出了裂纹尖端的应力场。在后续的研究中Chao等^[11]只保留数学模型高阶项解的前3项，提出了裂纹尖端 J-A₂法的高阶三项解来表示裂纹尖端的属性，目前该方法已被广泛应用于不同荷载下裂纹尖端约束的描述。

对裂纹尖端数学模型渐近解分析后，根据J-A₂理论在极坐标下的应力场公式可表示为^[12]

$ \begin{split} \frac{{{\delta _{ij}}}}{{{\delta _0}}} =& {A_1}\left[ {{{\left( {\frac{r}{L}} \right)}^{{S_1}}}\tilde \delta _{ij}^{\left( 1 \right)}\left( {\theta ,\;n} \right) + {A_2}{{\left( {\frac{r}{L}} \right)}^{{S_2}}}\tilde \delta _{ij}^{\left( 2 \right)}\left( {\theta ,\;n} \right) +} \right.\\ &\left. { A_2^2{{\left( {\frac{r}{L}} \right)}^{{S_3}}}\tilde \delta _{ij}^{\left( 3 \right)}\left( {\theta ,\;n} \right)} \right] \end{split} $

(1)

$ \begin{split} \frac{\tilde {\varepsilon }_{ij}}{{\alpha \varepsilon }_{0}}=& {A}_{1}^{n}\left[{{\left(\frac{r}{L}\right)}^{{nS}_{1}}\tilde {\varepsilon }_{ij}^{\left(1\right)}\left(\theta , n\right)+{A}_{2}{\left(\frac{r}{L}\right)}^{\left(n-1\right){S}_{1}+{S}_{2}}\tilde {\varepsilon }_{ij}^{\left(2\right)}\left(\theta , n\right)+} \right.\\ &\left. {{A}_{2}^{2}{\left(\frac{r}{L}\right)}^{{{\left(n-1\right)S}_{1}+S}_{2}}\tilde {\varepsilon }_{ij}^{\left(k\right)}\left(\theta , n\right)}\right] \end{split} $

(2)

$ \begin{split} \frac{{u}_{i}}{{\alpha \varepsilon }_{0}L}=&{A}_{1}^{n}\left[{{\left(\frac{r}{L}\right)}^{{nS}_{1}+1}\tilde {u}_{i}^{\left(1\right)}\left(\theta , n\right)+{A}_{2}{\left(\frac{r}{L}\right)}^{\left(n-1\right){S}_{1+}{S}_{2}+1}\tilde {u}_{i}^{\left(2\right)}\left(\theta , n\right)+} \right.\\ &\left. {{A}_{2}^{2}{\left(\frac{r}{L}\right)}^{{{\left(n-1\right)S}_{1}+S}_{2}+1}\tilde {u}_{i}^{\left(k\right)}\left(\theta , n\right)}\right] \\[-15pt] \end{split} $

(3)

式中： $ \tilde {\delta }_{ij}^{\left(k\right)}\left(\theta ,n\right) $ 、 $ \tilde {\varepsilon }_{ij}^{\left(k\right)}\left(\theta ,n\right) $ 、 $ \tilde {u}_{i}^{\left(k\right)}\left(\theta ,n\right) $ 为应力角分布函数； $ n $ 为材料硬化指数； $ {S}_{k} $ 为应力幂函数；L为特征长度参数，一般取值为裂纹长度。

参数A₁及S₁表达式如式(4)和式(5):

$ {A}_{1}={\left(\frac{J}{\alpha {\varepsilon }_{0}{\sigma }_{0}{I}_{n}L}\right)}^{-{S}_{1}} $

(4)

$ {S}_{1}=-\frac{1}{n+1} $

(5)

应力角函数及应力幂函数为硬化指数的函数，与其他约束参量无关，方程式中各项参数均可通过查阅相关文献得到，应力角函数和幂函数只与材料的硬化指数相关，是硬化指数对应的相关函数，与受到的外部荷载及材料的其他任意性能无关。然而约束参数A₂则与材料的基本性能和外部荷载水平有着直接的关系，可由不同方法总结计算得到。

双参数J和A₂的设定，使得其对应的3项解中含有两个及以上的高阶解，便使得在远离裂纹尖端的位置，该公式也能够同样适用，以J积分作为荷载水平的度量，以A₂作为裂纹尖端约束水平的衡量标准，在这样的前提下，对于任一含裂纹试件，该方法都可作为裂纹尖端应力应变的衡量指标^[13]。

裂纹尖端场的解为相应的J积分，且该结果只包含唯一的参量J积分，从而可以认定该区域为J积分控制的有效区域，相应的区域被称为J积分控制区域。由于双参数的方程解中具有2个及以上的高阶项，在距离裂纹相对较远的区域内，该结果依然有效，该区域距离J积分的控制区域相对较远，而在大部分塑性材料中，往往在断裂发生之时，裂纹尖端的塑性形变会非常之大，而这样的变形通常会超出J积分直接控制的区域，由而J、A₂双参数控制的区域则能包络裂纹尖端更大的范围，该区域被称为J-A₂控制区域，如图1所示，两种不同的控制方法，可覆盖裂纹周围的全部区域^[14]。

1.2 断裂韧性转化方法

目前国内外基于经验公式法及主曲线法测定的断裂韧性，所得结果相对来说过于保守。目前世界上比较先进的方法是采用微观解离过程中力学分析的方法对断裂韧性转化方法进行研究，然而这种方法目前依旧停留在理论阶段。本次研究采用J-A₂法对考虑约束效应下的断裂韧性进行转换，即已知两个试件的约束参数和其中一个构件的断裂韧性推测另一构件的断裂韧性的方法^[15]。

对于在同样环境下，具有不同约束条件的两个试验试件，由裂纹尖端的应力公式进行分析计算，可得到式(6)和式(7):

$ {\delta }_{f}={{\delta }_{0}A}_{1}\left[{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{1}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(1\right)}\left(0\right)+{A}_{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{2}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(2\right)}\left(0\right)+{A}_{2}^{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{3}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(3\right)}\left(0\right)\right] $

(6)

$ {\delta }_{f}={\delta }_{0}^{*}{A}_{1}^{*}\left[{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{1}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(1\right)}\left(0\right)+{A}_{2}^{*}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{2}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(2\right)}\left(0\right)+{{A}_{2}^{*}}^{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{3}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(3\right)}\left(0\right)\right] $

(7)

式中 $ {A}_{2} $ 、 $ {A}_{2}^{*} $ 为两个不同试件的约束参数。

对于在相同试验环境中的试件由式(6)及式(7)可得到：

$ {J}_{C}^{*}={\left(\frac{{\lambda }^{*}}{\lambda }\right)}^{\frac{1}{{S}_{1}}}{J}_{C} $

(8)

式中：

$ \lambda ={\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{1}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(1\right)}\left(0\right)+{A}_{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{2}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(2\right)}\left(0\right)+{A}_{2}^{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{3}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(3\right)}\left(0\right) $

$ {\lambda }^{*}={\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{1}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(1\right)}\left(0\right)+{A}_{2}^{*}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{2}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(2\right)}\left(0\right)+{{A}_{2}^{*}}^{2}{\left(\frac{{r}_{c}}{L}\right)}^{{S}_{3}}\tilde {\delta }_{ij}^{\left(3\right)}\left(0\right) $

由式(8)可知，当2个试件在不同约束条件的情况下，可通过转化公式进行J积分的转化，当试件尺寸相同时，可对相应约束参数进行转化。

J积分是材料的一个临界属性常数，当材料的起裂判定值超过J积分当量时，材料裂纹便开始进行扩展。A₂则是一个与试件实验过程中的荷载、性能常数及试验试件尺寸相关的一个性能参量，主要用于表示试件之间的不同。A₂值相对较大的构件，表示其处于相对复杂的约束中。J-A₂法在大范围屈服和小范围屈服的条件下均适用，相较于单参数法能够更为准确地表征裂纹尖端附近的应力场和应变场。

2 数值模拟分析 2.1 建立模型

本次研究选取三点弯曲试件进行模拟分析，通过设置不同的初始裂纹长度分别计算J积分，对计算所得J积分进行转化，进而实现断裂韧性之间的转化。

建立三点弯曲试件进行模拟，试件总长度L为200 mm，试件高度W为40 mm，试件厚度B为20 mm，支撑轴跨距160 mm，首先设置机械缺口宽度为2.5 mm，采用V型缺口设计，3种模拟试件缺口高度分别设置为16、22和26 mm。将疲劳裂纹简化为一条直线，长度为2 mm，裂纹整体长度a分别为18、24和28 mm，a/w数值分别为0.45、0.6和0.7，满足规范要求。3处支撑轴直径为20 mm，在模拟过程中，支撑构件不发生变形。具体模型如图2所示。

试件材料采用Q345B钢材，根据材料拉伸试验的结果，材料屈服强度数值设定为372.6 MPa，弹性模量设定为206 GPa，泊松比设定为0.3，材料应变硬化指数设定为0.4，切向摩擦系数取0.2。网格采用四面体网格尺寸为主，网格划分后三点弯曲单元个数约为11920个。模型的网格划分如图3所示。

采用动力隐式分析，将最大增量步数设置为10000，初始增量步大小为设定为0.01 s，最小增量步为1e-005 s。场输出请求输出Mises等效应力、等效塑性应变及其他各类力学参量，在历程输出设置中选择裂纹尖端的J积分随裂纹变化的曲线。在载荷模块中设置对试样所施加的载荷和对有限元模型施加的边界条件，载荷类型为应力波载荷。对于三点弯曲试件，在边界条件中固定支撑试件的两个支撑构件，使之在模拟过程中不发生移动。

2.2 计算结果

对3种不同裂纹情况下的试件进行加载，可以得到加载过程中的应力云图，如图4所示。

由试件内力云图可以看到，试件在不同初始裂纹的分析过程中，裂纹尖端均出现应力集中现象，且随着裂纹深度的不断加大，裂纹尖端的应力逐渐减小。通过模拟得到材料荷载−位移曲线如图5所示。

由三点弯曲试件的荷载位移−曲线能够看到，在加载的初始阶段，曲线趋于线性上升，荷载为位移的正比例函数，而在继续加载的过程中，曲线斜率逐渐趋于平缓，此时位移量开始快速变大，裂纹进行扩展，直至最大值时材料失稳破坏。

2.3 断裂韧性转换 2.3.1 J积分计算

J积分作为表征裂纹尖端应变集中特性的平均参量具有守恒性，在进行J积分求解时可选择距离裂纹尖端较远的回路位置。应用ABAQUS数值模拟软件，在不同位置设定积分点，通过数据导出不同情况J积分的数值。分别选取沿裂纹扩展方向J积分的最大值，结果如图6所示。

由图6数据可以发现，裂纹位置的J积分最大值的参量随着裂纹长度的增大而减小，J积分的数值越小，与其相对应的断裂韧性值就越低，而相应的约束效应就更加严重，在裂纹发生扩展时所吸收的能量就越小，抵抗裂纹继续开裂的能力就越弱。

2.3.2 约束参数A₂的计算

对于约束参数A₂的计算，将各类参数整理代入式(6)和式(7)得到对应的方程组，通过整理方程得到无量纲参数A₂的数值。整理得到相应参数如表1所示。

将表中数值及前文所求J积分数值进行整理，代入式(6)及式(7)中得到相关方程组，求得相应数值如表2所示。

从表中数据能够看出，裂纹相对较短的试件，约束参数A₂的值更小，说明其具有的约束效应更小，抵抗变形的能力更强，裂纹继续进行扩展需要的能量更多，断裂韧性的数值更大。

2.3.3 J积分的转化

不同试件由于裂纹性质的不同存在着不同的约束参数，同一材质及尺寸的试件在不同约束下的J积分数值可进行相互转化，已知某一试件的J积分及约束参数和另一试件的约束参数的条件下，可利用式(9)得到另一试件的J积分值，将18 mm裂纹长度试件的J积分及A₂和24 mm裂纹长度试件的A₂值代入，得到24 mm裂纹转化J积分值。三点弯曲试件的J积分转化值及误差如表3所示。

分析表中数据可知，利用双参数法对J积分的转换，得到的数值与计算值误差并不大，均在8%之内。

3 结论

本研究主要通过三点弯曲试验的数值模拟，计算了含有不同长度裂纹的三点弯曲试件裂纹尖端J积分数值，同时研究了基于J-A₂方法断裂韧性转化的可行性，主要结论如下：

1)基于ABAQUS有限元模拟得到了含裂纹三点弯曲试件的J积分数值，利用J-A₂法分别计算了不同初始裂纹条件下三点弯曲试件约束参数A₂的值，结果显示随着裂纹长度的加深，A₂值逐渐增加，试件所处约束水平越高。

2)进行同类试件不同初始裂纹下J积分的转化，转化值与计算值误差不大，不超过8%，说明J-A₂方法可对临界J积分值进行转换，验证了该方法的可行性和准确性。