四足机器人(quadruped robot，QR)属于足式机器人，相对于履带式和轮式机器人，具有机动性好、环境破坏程度小、主动隔振等优点，应用前景良好。以美国卡耐基梅隆大学的波士顿动力实验室为代表，2005年发布了Big Dog大狗机器人，又先后推出了如Alpha Dog、Little Dog、Cheetah等产品，引起行业内的广泛关注。

根据执行任务的不同，四足机器人在实际运动的过程中会遇到各种各样的运动环境，在诸如山谷、森林等大部分崎岖的地形中运动，常规的运动步态往往很难达到平稳运动的要求。采用类似于趴或者爬行的匍匐姿态行走，一方面可以降低机器人的机身高度从而获得更广阔的运动空间，另一方面又可以使机器人具有较高的运动稳定性，因此，研究四足机器人匍匐行走的运动方式具有重要意义。

本文首先对四足机器人进行运动学建模，设计四足机器人的足端运动轨迹；然后根据仿生学原理及人类经验，分析各条腿的运动规律，完成整个匍匐运动过程的设计；最后通过Adams与MATLAB联合仿真实验证明了所设计的匍匐运动过程具有较好的运动效果。

1 运动学建模及足端轨迹规划 1.1 运动学模型建立

本文的四足机器人简化模型由机身、大腿和小腿等构件组成，构件间由旋转关节连接，连接部分分别为负责横向摆动的臀关节、负责上下抬腿的髋关节以及膝关节。臀关节负责内外摆，实现机身左右摆动；髋关节和膝关节分别负责大腿和小腿的抬起和落下，实现机器人前后运动。

四足机器人的关节连杆结构见图 1。采用内膝肘式设计，以前进方向为基准，将左前腿、左后腿、右前腿以及右后腿分别命名为LF、LH、RF、RH。

四足机器人的坐标系定义情况如图 2所示。以RF为例，定义世界坐标系{W}、机身坐标系{B}以及足端坐标系{E}。同时定义臀关节坐标系{1}、髋关节坐标系{2}、膝关节坐标系{3}，以上3个坐标系坐标原点分别位于3个关节位置。

基于以上坐标系定义，结合四足机器人的关节连杆结构，由D-H参数法^[2]可从足端坐标系沿各关节连杆依次向机身坐标系进行齐次变换，得到足端坐标系到机身坐标系的转换矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{\mathit{\boldsymbol{be}}}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{b1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{12}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{23}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_{3e}} $

式中A_ij为坐标系{I}到坐标系{J}的齐次变换矩阵。

如图 2所示，机身坐标系{B}原点位于机器人质心(忽略4条腿的重量)，坐标系{1}原点位于机器人的臀关节处，该点在机身坐标系中的位置为(a, b, c)，根据连杆间的关系，建立单腿的D-H参数表如表 1所示。

由D-H参数可确定A_ij矩阵，进而可以得出足端坐标系到机身坐标系的转换矩阵T_be：

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{be}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_{23}}}&{{c_{23}}}&0&{{l_3}{s_{23}} + {l_2}{s_2} + a}\\ { - {c_1}{c_{23}}}&{{c_1}{s_{23}}}&{{s_1}}&{ - {l_3}{c_1}{c_{23}} - {l_2}{c_1}{c_2} - {c_1}{l_1} + b}\\ { - {s_1}{c_{23}}}&{{s_1}{s_{23}}}&{{c_1}}&{ - {l_3}{c_1}{c_{23}} - {l_2}{c_1}{c_2} - {s_1}{l_1} + c}\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $

式中：s_i=sinθ_i, c_i=cosθ_i, s_ij=sin(θ_i+θ_j), c_ij=cos(θ_i+θ_j)。

1.2 足端轨迹规划

足端轨迹规划是实现四足机器人稳定运动的关键之一。四足机器人的运动在根本上都是要通过机器人与地面间的交互作用来实现，机器人足端与地面的冲击力对机器人的稳定性有重要的影响^[5]。常用的足端轨迹曲线包括抛物线、心形线、摆线等等。文献[6]中对一种基于复合摆线形式的轨迹规划方法提出改进，设计了一种零冲击足端轨迹的规划方法，并从数学上证明摆动腿在抬腿落地瞬间冲击趋近于0。世界坐标系{W}下的步态规划轨迹定义如式(1)与式(2)，其中式(1)为足端在水平方向上的运动轨迹，式(2)为足端在竖直方向上的运动轨迹。

$ x = S\left[ {\frac{t}{{{T_m}}} - \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sin \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{t}{{{T_m}}}} \right)} \right] $

(1)

$ y = \left\{ \begin{array}{l} 2H\left[ {\frac{t}{{{T_m}}} - \frac{1}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sin \left( {4{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{t}{{{T_m}}}} \right)} \right], 0 \le t < \frac{{{T_m}}}{2}\\ 2H\left[ {1 - \frac{t}{{{T_m}}} + \frac{1}{4}\sin \left( {4{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{t}{{{T_m}}}} \right)} \right], \frac{{{T_m}}}{2} \le t < {\rm{ }}{T_m} \end{array} \right. $

(2)

式中：S为步幅，H为抬腿高度，T_m为摆动相周期。

由于上述轨迹规划具有冲击小、曲线圆滑、落地角度垂直不易打滑等优点，故选取其作为四足机器人匍匐运动的足端轨迹。对上述足端轨迹进行MATLAB仿真，设置S为40 mm，H为50 mm，T_m为0.4 s，则单腿在机身坐标系{B}下的足端轨迹曲线如图 3所示。

2 匍匐运动设计

匍匐运动类似于趴或者爬行，指以接近于以腹贴地的状态前进，据仿生学及日常观察，将整个匍匐运动分解为姿态准备阶段与连续运动阶段。姿态准备阶段即四足机器人由四足直立状态变为向前伏倒状态，其中，向前倒伏是指前腿贴近地面而后腿略微弯曲的状态；连续运动阶段即四足机器人保持向前倒伏姿态，同时四条腿周期性连续向前运动。完整的匍匐运动分解图如图 4，可以看到，姿态准备阶段进一步被分为两个子阶段，而连续运动阶段则由若干个运动周期组成。下面详细介绍各阶段的具体实现细节。

2.1 姿态准备阶段

在姿态准备阶段中，四足机器人需完成从四足直立状态变为向前伏倒状态的姿态转换。进一步细分为2个准备阶段，在准备阶段1内，完成四足直立到内膝肘的姿态变化；在准备阶段2内，完成内膝肘到向前伏倒的姿态变化。

在机身坐标系{B}下，相对于机身坐标系原点，设定LF、LH、RF、RH的足端初始位置分别为(x_LF0, y_LF0, z_LF0)、(x_LH0, y_LH0, z_LH0)、(x_RF0, y_RF0, z_RF0)、(x_RH0, y_RH0, z_RH0)；设定4个水平位置x₀、x₁、x₂、x₃，其中，x_LF0=x_RF0=x₁、x_LH0=x_RH0=x₃且有x₀ < x₁ < 0 < x₂ < x₃；设定4个高度位置y₀、y₁、y₂、y₃，其中，y_LF0=y_LH0=y_RF0=y_RH0=y₀且有y₀ < y₁ < y₂ < y₃ < 0；基于以上设定，在姿态准备阶段中，LF、LH、RF、RH的足端位置有如下变化：

t₀~t₁(准备阶段1):LF、LH、RF、RH足端位置的y轴分量由y₀同时变化到y₁；x、z轴分量不变；

t₁~t₂(准备阶段2):LF、RF足端位置的x轴分量由x₁变化到x₀，y轴分量由y₁变化到y₂；LH、RH足端位置的x轴分量由x₃变化到x₂，y轴分量由h₁变化到h₂；z轴分量不变。

准备阶段1与准备阶段2完成时的模型图如图 5所示。

2.2 连续运动阶段

在连续运动阶段中，四足机器人将以向前伏倒的姿态连续向前运动。连续运动阶段由若干个运动周期T组成，在每一个运动周期内，机器人的四条腿会按照特定的顺序依次摆动，而每条腿的摆动方式则由第1节设计的足端运动轨迹确定。

为实现特定的运动需求设计机器人运动过程中各条腿的迈动顺序称为步态周期规划^[7]。常见的规则步态有三角步态、对角步态、骝蹄步态等。针对匍匐运动，选取稳定性较好的三角步态作为四足机器人的运动步态。

三角步态每条腿的占空比为0.75，先后有四分之一个周期的相位差，整个运动过程中始终保持有3条腿为支撑相。采用LF-RH-RF-LH的腿部运动顺序，步态运动时序图如图 6所示。其中，黑色矩形表示腿部处于支撑相，白色矩形表示腿部处于摆动相。四足机器人在连续运动阶段一个周期内的模型图如图 7所示。

3 仿真实验验证

本文仿真实验采用MATLAB与Adams的联合仿真方式。在Adams中建立四足机器人的三维模型，在MATLAB中进行步态的设计以及数据的解算，通过使用样条函数的形式，建立两者间的数据通信通道。联合仿真过程的示意图如图 8。

仿真实验中，四足机器人机身及其他关节连杆的材料均选择为铝，密度为2.74×10⁶ kg/mm³。为简化模型，机身设计为一长方体，长为300 mm、宽为75 mm、高为20 mm；大小腿均设计为圆柱体，高为120 mm、底面半径为12.5 mm；运动地面设计静摩擦系数为0.3、动摩擦系数为0.5。运动规划方面，采用三角步态，设置步幅为40 mm、抬腿高度为50 mm、运动周期为1.6 s。因Adams中模型建立原因，机身坐标系原点在世界坐标系下的坐标为(1, 395, 10)。

图 9为运动过程中机身质心在世界坐标系X轴方向的位置变化情况；图 10为运动过程中机身质心在世界坐标系Y轴方向的位置变化情况；图 11为运动过程中机身质心在世界坐标系X轴方向的速度变化情况；图 12为运动过程中机身滚转角的变化情况。

由图 10可以看出，匍匐运动状态与初始状态相比，四足机器人的机身高度下降大约125 mm，下降高度约为机身高度的二分之一；由图 11可以看出，机器人沿前进方向的速度可以保持在35 mm/s，速度曲线上毛刺的出现是由于运动过程中腿部的抬高会短暂引起机身质心的后移；由图 12可以看出，机身滚转角变化范围基本保持在-0.04, 0.04rad之间，可以满足四足机器人运动过程中的稳定性要求。

4 结论

本文对四足机器人的匍匐姿态运动方式进行设计，提出了将匍匐运动分解为姿态准备阶段与连续运动阶段的设计思想。在MATLAB与Adams的联合仿真基础上进行仿真实验，证明了所设计的匍匐运动规划满足四足机器人的正常运动，在具有良好的运动稳定性的同时可以有效的降低机身高度。仿真效果显示，所设计的匍匐运动具有一定的实际应用价值。