﻿ 无限元法在重力坝地震响应中的应用
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 应用科技  2017, Vol. 44 Issue (4): 34-39  DOI: 10.11991/yykj.201606022 0

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ZHU Wen, HUA Jianling. Application of infinite element method in seismic response of gravity dam[J]. Applied Science and Technology, 2017, 44(4), 34-39. DOI: 10.11991/yykj.201606022.

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Application of infinite element method in seismic response of gravity dam
ZHU Wen, HUA Jianling
College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China
Abstract: ABAQUS was used to analyze a numerical example with exact solution by the finite element method and the finite element-infinite element coupling method. It verified the correctness and accuracy of simulating semi-infinite domain of infinite element. The response of gravity dam under seismic loads was studied using finite element and infinite element coupling method. The results found that the structural responses under seismic loads have postponed. The dynamic stress of dam has obviously increased compared with the static state. The peak displacement and the peak acceleration of dam has increased with the increase of earthquake intensity. The increase proportion is roughly the same with the seismic intensity. The closer the seismic wave frequency and the natural frequency of structural vibration, the greater the structural response.
Key words: boundary conditions    infinite element method    accuracy verification    coupling    gravity dam    semi-infinite domain    seismic response    dynamic analysis

1 无限元法

1.1 无限元边界理论

1973年，R.Ungless最早提出无限元的概念[5]，后经过Bettess、Beer、Zienkiewicz等人的改进和发展。20世纪80年代，张楚汉[6-7]、葛修润[8]等对无限元的研究使其应用范围更为广泛。90年代及以后，燕柳斌等[9]利用无限元方法模拟半空间弹性地基和重力坝地基；向前、孙萍[10-11]采用有限元-无限远耦合方法，研究了波在无限远介质中的能量弥散现象，在研究过程中采用有限元-无限元耦合方法，模拟拱坝的无限域地基，从而反映出波在无限域中逐渐消散的现象。

ABAQUS里面提供的无限元单元实质上为有限元的一部分，与边界元、半解析法相比，无限元无需涉及解析解表达式。概括起来无限元具有如下特点：从局部坐标系中的有限域映射到整体坐标系中的无限域，实现计算区域半无限大的特点；在静、动力分析时它不仅可以实现远场位移为零的效果，而且在动力分析时还可以吸收外行反射到边界的反射波，很好地模拟了半无限域地基的辐射阻尼效应，实现了结构地基的相互作用[3-4]；网格数量少，计算效率高，结果精确。

1.2 二维单向无限元坐标变换和位移函数

 图 1 二维单向映射

 $\begin{array}{l} x = {N_1}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{x_1} + {M_2}\left[ \xi \right]{x_2}} \right] + \\ \quad {N_3}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{x_3} + {M_2}\left[ \xi \right]{x_4}} \right] + \\ \quad \;{N_5}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{x_5} + {M_2}\left[ \xi \right]{x_6}} \right]\\ y = {N_1}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{y_1} + {M_2}\left[ \xi \right]{y_2}} \right] + \\ \quad {N_3}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{y_3} + {M_2}\left[ \xi \right]{y_4}} \right] + \\ \quad \;{N_5}\left[ \eta \right]\left[ {{M_1}\left[ \xi \right]{y_5} + {M_2}\left[ \xi \right]{y_6}} \right] \end{array}$

 $\begin{array}{l} u = {N_1}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{u_1} + {N_2}\left[ \xi \right]{u_2}} \right] + \\ \quad {N_3}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{u_3} + {N_2}\left[ \xi \right]{u_4}} \right] + \\ \quad \;{N_5}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{u_5} + {N_2}\left[ \xi \right]{u_6}} \right]\\ v = {N_1}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{v_1} + {N_2}\left[ \xi \right]{v_2}} \right] + \\ \quad {N_3}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{v_3} + {N_2}\left[ \xi \right]{v_4}} \right] + \\ \quad \;{N_5}\left[ \eta \right]\left[ {{N_1}\left[ \xi \right]{v_5} + {N_2}\left[ \xi \right]{v_6}} \right] \end{array}$

2 无限元边界精度验证

 $\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T\left( t \right) = t,0 ＜ t \le 1}\\ {T\left( t \right) = 2 - t,1 ＜ t \le 3}\\ {T\left( t \right) = t - 4,3 ＜ t \le 4}\\ {T\left( t \right) = 0,t > 4} \end{array}} \right.\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {S\left( x \right) = 1, - 1 \le x \le 1}\\ {S\left( x \right) = 0,其他} \end{array}} \right. \end{array}$

 图 2 无限元边界条件的计算结果
 图 3 刚性边界条件的计算结果

3 重力坝地震响应分析 3.1 计算参数

3.2 模型概况

 图 4 重力坝模型

 图 5 EI-Centro时程加速度曲线
3.3 动力分析结果及讨论 3.3.1 静应力及最大动应力分布对比分析

 图 6 水平静应力分布
 图 7 最大水平动应力分布

3.3.2 地震强度对重力坝地震响应的影响

 图 8 不同地震强度下沿坝高的峰值加速度曲线
 图 9 不同地震强度下沿坝高的峰值水平位移曲线

 图 10 地震波峰值为0.2g时大坝顶部加速度时程曲线
 图 11 地震波峰值为0.2g时大坝顶部水平位移时程曲线
3.3.3 不同地震波对重力坝地震响应的影响

 图 12 Taft波
 图 13 Northridge波

1) 不同地震波对重力坝水平加速度的影响。对比不同地震波作用下的重力坝地震峰值水平加速度响应，由图 14可以看出，加速度幅值沿坝高均逐渐增大，但并不是线性增大，最大值分别为-2.36、1.51、1.86 m/s2，均大于输入的地震波加速度峰值，EI-Centro波引起的响应幅值最大。地震波频谱特性对加速度沿坝高的增大速率和加速度方向有影响，在EI-Centro波作用下加速度沿坝高的增大效果最为显著，在EI-Centro波作用下最大峰值加速度方向指向大坝上游，其余地震波作用下最大峰值加速度方向指向大坝下游。

 图 14 沿坝高峰值水平加速度曲线

2) 不同地震波对重力坝水平位移的影响。图 15为峰值水平位移沿坝高的分布曲线，对比分析可以得出以下结论：由于重力坝整体刚度大，在不同地震波作用下，重力坝沿高度峰值水平位移均差值不大，最大差值仅为0.51 cm，顶部位移最大，分别为7.38、7.45、5.29 cm，重力坝在Taft地震波作用时，最大峰值水平位移幅值最大，说明Taft地震波的频率与结构的自振频率最接近。

 图 15 沿坝高峰值水平位移曲线
4 结论

1) 经过研究发现，重力坝的动应力较静力状态有了显著增大，坝踵、坝址附近容易出现压应力集中现象，在大坝的抗震设计中应特别注意此处是否满足材料强度的要求。

2) 结构峰值水平加速度和峰值水平位移随着地震强度、幅值的增大呈非线性增大，大坝顶端为响应最大处。

3) 峰值出现的时间较地震加速度峰值到达时间有所延后，体现了结构动力响应的滞后性。

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