近二三十年,随着工业技术的发展迭代,得益于计算机、传感器、机器人等技术的发展,多智能体系统(multi-agent system,MAS)也越来越常见。不止控制领域,众多领域开始对其进行了研究[1-5]。多智能体系统实质上是多个个体组成的一个集合,这些个体每个都具有一定的接受与处理信息并且执行相应命令的能力。与传统的单个个体为一个系统相比,多智能体系统具有非常显著的优势,并且相关技术已经在智能交通系统[5]、机器人编队[6-7]、人造卫星簇姿态控制[8]等实际工程应用中得到应用。
本文研究的是一般线性多智能体的能控性。在20世纪60年代,卡尔曼(R.E. Kalman)等首次提出能控性的概念[9-10]。Tanner在2004年最早提出了多智能体的能控性[11],是指通过对多智能体内部的某个或者是某几个领导者(leader)智能体施加外部控制输入,系统内部各智能体之间通过相互合作和自组织,使得跟随者(follower)智能体由任意给定的初始状态到达期望的最终状态[12]。智能体能控性的研究得到了国内外学者的广泛关注[13-17],并且近些年时效网络能控性问题[18]、目标能控性问题[19]、事件触发能控性问题[20]等取得了很大进展。在现实生活中,具有多智能体系统性质的系统处处可见,并且有非常有意思的现象。比如一个蚁群中如果有某只或者某几只蚂蚁找到食物,便会通过自身释放的化学物质引导大量蚁群聚集[21];社会的舆论焦点往往是通过少数几个人开始引爆;以及每个人的人际关系圈会随着其中的某个人或者是某几个人的行为而出现变化。所以,研究多智能体系统的能控性在研究自然现象、社会学现象,以及为发展新技术提供了重要的思想方法。
目前对多智能体系统能控性的研究大多都从网络拓扑方面入手,借助图论及代数工具进行研究[21-27],如文献[28]讨论了路图和环图的能控性问题,文献[11]考察了完全图的能控性,文献[14,29]研究了无向树图的可控性。但是多智能体系统具有“个体动态+通信拓扑”的特点[30],所以两者都对系统整体可控性有很大影响。文献[26]研究了扩散耦合多智能体系统的可控性的充要条件,网络拓扑结构与个体动态同时可控时整个系统便是可控的。文献[30]提出文献[26]结论的不足之处,说明此方面的结论并不完美,不能精确地描述网络拓扑结构与个体动态的可控性对系统整体可控性的影响,这是本文着力要解决的问题之一。
本文将研究一般线性多智能体系统的可控性与网络拓扑结构和个体动态可控性的关系,得到了相对完整的结论。另外,从特征值的角度出发,找到了系统矩阵中重复特征值数量与系统不可控之间的关系,并进一步整理了系统矩阵不含重复特征值的条件,给出了一类根据系统矩阵中重复特征值的重数判定系统不可控的判定条件。
1 预备知识本节将定义本文中要用的数学符号与图论中基本概念。
${a_{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ }}{w_{ij}}},&{(j,i) \in E(G)} \\ 0,&{{\text{其他}}} \end{array}} \right.$ |
式中:wij表示边的权重,即点j对点i的影响程度。本文权重皆取
${l_{ij}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\displaystyle\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^n {{a_{ij}}} },&{i = j} \\ { - {a_{ij}}},&{i \ne j} \end{array}} \right.$ |
由以上定义可知,在无向图中,矩阵L(G)的对角线元素是相应行其余元素和的相反数,即L(G)的每行元素之和为零,并且是实对称矩阵,即L(G)是可对角化的。
文中判别可控性主要用到如下引理。
引理1 秩判据[31],对于线性定常连续系统
${\rm rank}({{C}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B}}&{{{AB}}}& \cdots &{{{{A}}^{n - 1}}} \end{array}{{B}}} \right] = n$ |
系统是完全可控的。
PBH判据[11],对于系统
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{B}}^{\rm{T}}}{{v}} = 0} \\ {{{Av}} = {\textit{λ}} {{v}}} \end{array}} \right.$ |
该系统是可控的。
在本文中,没有特殊说明的情况下,讨论的均是无向非加权固定拓扑下的系统。
2 一般性模型的建立考虑一个由n个完全相同的智能体构成的智能体系统,用集合
${{{\dot x}}_i} = {{A}}{{{x}}_i} + {{B}}{{{u}}_i}$ | (1) |
对于每一个领导者
${{{\dot x}}_i} = {{A}}{{{x}}_i} + {{B}}{{{u}}_i} + {{C}}{{{z}}_l}$ | (2) |
式中:
${{{u}}_i} = - {{{K}}_1}{{{x}}_i} + \sum\limits_{{v_j} \in {N_{(i)}}} {{a_{ij}}} {{{K}}_2}({{{x}}_j} - {{{x}}_i})$ | (3) |
式中:
${{\dot x}} = [{{{I}}_n} \otimes ({{A}} - {{B}}{{{K}}_1}) - {{L}} \otimes {{B}}{{{K}}_2}]{{x}} + ({{M}} \otimes {{C}}){{z}}$ | (4) |
${{{M}}_{il}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\rm{if\; }}i = l} \\ 0&{\text{其他}} \end{array}} \right.$ |
式(4)可以简化为
$\dot {{x}} = {\overset{\smile} {{L}}} {{x}} + {\overset{\smile} {{M}}} {{z}}$ | (5) |
文献[23]中所讨论的模型可以视为模型(4)(式(4))中K1为零矩阵的一种特殊情况。在第3节我们将讨论在模型(4)下一般线性多智能体系统的可控性问题。
3 主要结论一般线性多智能体系统的可控性,根据系统的结构特点,可以细化成两个方面。一个是该系统的拓扑结构的可控性,另一个是系统中智能体个体动态的可控性。本节将研究这两个层面的可控性与多智能体系统整体可控性的关系。以下用矩阵对
定理1 在一般线性多智能体系统(5)中,如果该系统整体可控即
证明 这里只证明
假设
$\begin{split} {\rm{ }}{({{x}} \otimes {{y}})^{\rm{T}}}& \;{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over L} }} ={({{x}} \otimes {{y}})^{\rm{T}}}({{{I}}_n} \otimes ({{A}} - {{B}}{{{K}}_1} - {{L}} \otimes {{B}}{{{K}}_2})) = \\ & \quad {({{x}} \otimes {{y}})^{\rm{T}}} \otimes ({{{I}}_n} \otimes ({{A}} - {{B}}{{{K}}_1})) - \\ & \qquad {({{x}} \otimes {{y}})^{\rm{T}}} \otimes ({{L}} \otimes {{B}}{{{K}}_2}) = \\ & \;{{{x}}^{\rm{T}}} \otimes {{{y}}^{\rm{T}}}({{A}} - {{B}}{{{K}}_1}) - {{{x}}^{\rm{T}}}{{L}} \otimes {{{y}}^{\rm{T}}}{{B}}{{{K}}_2} = \\ & \quad {{{x}}^{\rm{T}}} \otimes ({{{y}}^{\rm{T}}}({{A}} - {{B}}{{{K}}_1} - {\textit{λ}} {{B}}{{{K}}_2}) = \\ & \qquad {{{x}}^{\rm{T}}} \otimes ({{{y}}^{\rm{T}}}{\rm{\theta }}) = {({{x}} \otimes {{y}})^{\rm{T}}}{\rm{\theta }} \end{split}$ |
即
我们得到了模型(5)下的多智能体系统能控的必要性条件。通常来说,我们更希望能得到充要条件,并且通过充分条件来推断该系统是否可控。接下来讨论一般线性多智能体系统可控的充分条件。
定理2 在一般线性多智能体系统(5)中,如果网络拓扑结构可控即
证明 假设
$\begin{split} {{\tilde L}} = ({{{U}}^{\rm{T}}} \otimes {{{I}}_p})& {\overset{\smile} {{L}}}({{U}} \otimes {{{I}}_p}) = {\rm blockding}({{A}} - {{B}}{{{K}}_1} - {\lambda _s}{{B}}{{{K}}_2}) \\ & {{\tilde M}} = ({{{U}}^{\rm{T}}} \otimes {{{I}}_p}){\overset{\smile} {{M}}} = {{{U}}^T}{{M}} \otimes {{C}} \end{split} $ |
定理2可以极大地减少判断系统可控性计算的复杂程度,用计算维数较低的
1) 智能体状态矩阵
2) 内部耦合矩阵
3) 智能体状态矩阵
以下给出一个实例,说明系统矩阵中存在重复特征值对定理2充分性的影响以及原因。
例1
$ \begin{aligned} & {{A}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5}&1\\ 1&{0.5} \end{array}}\!\!\! \right],{{{K}}_1} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{1.5}\\ {1.5}&2 \end{array}}\!\!\! \right],{{C}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{1}}\\ {\rm{0}} \end{array}}\!\!\! \right]\\ {{B}} = {{{I}}_2},&{{{K}}_2} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {1.5}&{0.5}\\ {0.5}&{1.5} \end{array}}\!\!\! \right],{{L}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}&0\\ { - 1}&2&{ - 1}\\ 0&{ - 1}&1 \end{array}}\!\!\! \right], {{M}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}}\!\!\! \right] \end{aligned}$ |
以上为模型(5)中各矩阵参数,此时该系统拓扑结构矩阵对
以下对这种状况进行进一步说明。在本例中3个矩阵块的特征值为−1、−2、−2、−4、−4、−8。以特征值−2为例,其特征向量分别为
以上仅仅讨论的是单领导者情况下,当取多领导者时,矩阵块若出现重复特征值,系统不一定不可控。
例2 取与上例相同的矩阵参数,取1、3节点为领导者,则有
${{M}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ |
此时系统拓扑结构与个体状态均能控,并且该系统矩阵
图1表示在该例系统参数下实现3个智能体由任意初始位置组成三角形,表示该系统可控。
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受到文献[15]的启发,事实上,当遇到系统矩阵含有重复特征值的情况时,根据系统矩阵特征值的重数也能判断一类多智能体系统整体不可控。
定理 3 对于多智能系统(5),当
1)
2)
证明 以下对定理中包含的情况一一证明。
1)取单领导者,且外部输入控制信号只影响领导者的一种状态。对于一个具有n个个体的多智能体系统,用
${{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over M} }} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {0 \cdots 1 \cdots 0}_s}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{(n - 1)s}} \end{array}]$ |
令
${{{u}}_j} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace { * \cdots \mathop 0\limits_i \cdots * }_s}&{\underbrace { * \cdots * }_{(n - 1)s}} \end{array}]$ |
此时
2)
① 取单领导者系统,外部输入控制信号影响领导者的多种状态。即外部输入控制矩阵有m个元素为1
${{C}} = [\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {1 \cdots 1}_m}&{0 \cdots 0} \end{array}}_s]$ |
那么
${\overset{\smile} {{M}}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {1 \cdots 1}_m}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{s - m}}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{(n - 1)s}} \end{array}]$ |
令
${{u}}_{\rm need}^{\rm{T}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {0 \cdots 0}_m}&{\underbrace { * \cdots * }_{ns - m}} \end{array}]$ |
根据PBH判据,
② 多领导者系统。对于具有l个领导者的多智能体系统,假设前l个智能体为领导者,分别标注为
${{M}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {{{{e}}_1}}&{{{e}}_2}& \cdots &{{{{e}}_l}} \end{array}]$ |
其中
$\begin{array}{l} {{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over M} }} = [\begin{array}{*{20}{c}} {{{{m}}_1}}&{{{{m}}_2}}& \cdots &{{{{m}}_l}} \end{array}]\\ {{m}}_{\rm{1}}^{\rm{T}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {1 \cdots 1}_m}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{s - m}}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{(n - 1)s}} \end{array}]\\ {{m}}_2^{\rm{T}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {0 \cdots 0}_s}&{\underbrace {1 \cdots 1}_m}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{s - m}}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{(n - 2)s}} \end{array}]\\ \vdots \\ {{m}}_l^{\rm{T}} = [\begin{array}{*{20}{c}} {\underbrace {0 \cdots 0}_{(n - 1)s}}&{\underbrace {1 \cdots 1}_m}&{\underbrace {0 \cdots 0}_{s - m}} \end{array}] \end{array}$ |
假设
以下给出两个实例,验证定理3中2种情况。
例3
$\begin{gathered} {{A}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{r}} 1&2&0 \\ { - 1}&1&2 \\ 0&3&1 \end{array}} \!\!\!\right],{{{K}}_1} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{r}} { - 1}&3&0 \\ 1&{ - 2}&3 \\ 0&4&{ - 1} \end{array}} \!\!\!\right],{{C}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}}\!\!\! \right],{{B}} = {{{I}}_3} \\ {{{K}}_2} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{r}} { - 2}&1&0 \\ 1&{ - 3}&1 \\ 0&1&{ - 2} \end{array}} \right],{{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} 1&{ - 1}&0 \\ { - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&1 \end{array}} \!\!\!\right],{{M}} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}}\!\!\! \right] \\ \end{gathered} $ |
取矩阵参数如上,对应于情况2) 中②的,
例4 取矩阵参数与例3相同,取1、3节点为领导者,对应于情况2) 中②的 ,
${{M}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ |
值得注意的是,例4中的系统矩阵
本文构建了一个用于描述一般线性多智能体系统的模型(4),并且包含了现有模型。并且从系统拓扑结构和个体状态层面对系统整体可控性进行了研究,得到了系统整体可控的必要条件和一类充分性条件。构建了一类系统矩阵不含有重复特征值的系统并且可以利用以上充分条件判断该系统是否可控。关于系统矩阵中出现重复特征值的情况,借助具体的例子,探讨了系统矩阵中重复特征值在不同情况下对系统整体可控性的影响,并用简单的代数知识与例子对其进行了解释。最后,提出一种根据系统矩阵特征值重数个数判断系统是否整体可控的方法。本文对于一般线性多智能体可控性以及系统矩阵重复特征值对系统可控性影响的研究结果,为以后研究更加复杂的多智能体系统可控性提供了一种方法和基础。
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