网络上的演化博弈称为网络演化博弈，能够很好地刻画生物系统、物流系统、社会系统、多智能体系统的演化规律，引起了众多学者的广泛研究，如文献[1-4]就将网络演化博弈与各个系统紧密地联系在了一起。在一个网络演化博弈中，节点和边分别代表玩家和玩家之间的相互关系。在某些特定的策略调整规则下，玩家根据邻居上一时刻的策略和收益，不断更新自己下一时刻的策略。随着时间变化，整个网络演化局势和博弈动态都在不断变化。网络演化博弈理论有助于理解合作的涌现及演化规律，经常被用于研究经济管理方面的问题^[5-6]。

当下经济发展背景下，企业唯有不断创新才能长久生存发展下去。由于创新成本高额，部分企业不愿意改变原有模式，每个企业都想追求自己的收益最大，然而对于政府或者整个社会来说，所有企业全部创新，才是最好的局势。当前已有一些对企业间创新博弈的研究方法，如文献[5-8]，通过构建微分方程组，利用给定的初始条件，得到方程组的解。该解描述了企业的总体构成P(创新比例)随时间的演化趋势，并通过数据仿真方法将博弈动态趋势以图的形态呈现^[9]，然而并不能展示每一次博弈后整个企业网络的博弈动态。

本文通过构建精确的理论框架来分析和控制企业创新网络演化的博弈动态，获得每次博弈后各企业的收益、策略等性质，主要运用了矩阵半张量积这种新的方法。半张量最先由程代展教授提出，成功应用于逻辑网络的分析与控制^[10-13]，包括布尔网络稳定性、可控性、可观测性及最优控制^[14-17]。半张量积在网络演化博弈动态行为及策略最优控制方面的研究也取得了显著成果^[18-20]，并在智能电网、经济破产机制等实际问题中得到了广泛应用^[21-22]。同时，也可用于企业创新方面的研究。

在企业创新网络中，本文将所有企业按规模分为大小两种企业，建立企业创新双层耦合网络。网络中各节点不同时刻采取的策略不同，会影响整个网络的演化趋势。因此可通过政府调控使得整个网络都达到创新的稳定局势，并能永久保持下去。

1 预备知识

本节给出关于半张量积的常用符号、定义和基本性质。

1) ${ {M}_{m \times n}}$ 表示 $m \times n$ 实矩阵的集合。

2) ${{\rm Col}_i}({M})$ 表示矩阵 ${M}$ 的第 $i$ 列， ${\rm Col}({M})$ 表示矩阵 ${M}$ 的列集合。

3) ${\mathcal{D}_k}: = \{ 1,2, \cdots ,k\} $ 。

4) ${\varDelta _n}: = \{ \delta _n^i|i = 1,2, \cdots ,n\} $ , 其中 $\delta _n^i$ 为单位矩阵 ${{I}_n}$ 的第 $i$ 列。

5)矩阵 ${L} = [\delta _n^{{i_1}}\;\delta _n^{{i_2}}\; \cdots \;\delta _n^{{i_t}}]$ 为 $n \times t$ 逻辑矩阵, 简写为 ${L} = {\delta _n}[{i_1}\;{i_2}\; \cdots \;{i_t}]$ , 通常用 ${\mathcal{L}_{n \times t}}$ 表示 $n \times t$ 逻辑矩阵的集合。

6) ${{{V}}_r}({A}) = {[{a_{1,1}}\;{a_{1,2}} \cdots {a_{1,n}}\cdots {a_{m,1}}\;{a_{m,2}} \cdots {a_{m,n}}]^{\rm{T}}}$ 表示矩阵A中行的展开。

定义1^[10] 　设 ${A} \in { {M}_{m \times n}},\;{B} \in { {M}_{p \times q}},\;l = {\rm {lcm}}\{ n,p\} $ 为 $n$ 与 $p$ 的最小公倍数，那么 ${A}$ 与 ${B}$ 的半张量积定义为

${A} \ltimes {B} \buildrel \Delta \over = ({A} \otimes {{I}_{{l/n}}})({B} \otimes {{I}_{{l/p}}})。$

半张量积是普通矩阵乘积的一般化, 因此通常省略半张量符号“ $ \ltimes $ ”。

定义2^[10] 　设 ${A} \in { {M}_{p \times n}},\;{B} \in { {M}_{q \times n}}$ 。它们的Khatri-Rao积, 记 ${A} * {B}$ , 定义为

$\begin{array}{*{20}{c}}{ {A} * {B} = }\\\!{[{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{\rm{1}}}(\! {A} \!) \otimes {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{\rm{1}}}(\! {B} \!)\;{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}(\! {A} \!) \otimes {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}(\! {B} \!)\; \cdots \;{\rm{Co}}{{\rm{l}}_n}(\! {A} \!) \otimes {\rm{Co}}{{\rm{l}}_n}(\! {B}\!)] \in }\\{{{\mathcal M}_{pq \times n}}}\end{array}$

命题1^[11] 　1)设 ${X} \in {{{\bf{R}}}^m}$ 及 ${Y} \in {\mathbb{{\bf{R}}}^n}$ 为两列向量，则 ${{W}_{\left[ {m,n} \right]}}{XY} = {YX},\;\,{{W}_{\left[ {n,m} \right]}}{YX} = {XY}$ ，其中 $mn \times mn$ 维矩阵 ${{W}_{\left[ {m,n} \right]}}$ 被称为换位矩阵, 且 ${{W}_{\left[ {n,n} \right]}}: = {W_{\left[ n \right]}}$ ；

2)设 ${A} \in { {M}_{m \times n}}\;$ , 那么

${{W}_{\left[ {m,n} \right]}}{{{V}}_r}({A}) = {{{V}}_c}({A}),\quad {{W}_{\left[ {n,m} \right]}}{{{V}}_c}({A}) = {{{V}}_r}({A})；$

3)设 ${X} \in {{{\bf{R}}}^t}$ 和 ${A} \in {{{\bf{R}}}^{m \times n}}$ , 则 ${XA} = ({{I}_t} \otimes {A}){X}$ , 这称为伪交换性质。

引理1^[18] 　假设 ${{{x}}_i} \in {{{\varDelta}} _k},\;\,i = 1,2, \cdots ,n$ 和 ${{x}} = \ltimes _{i = 1}^n{{{x}}_i}$ ，则有 ${{{x}}_i} = {\textbf{π}}_i^n{{x}}$ ，其中 ${\textbf{π}}_i^n = {{{l}}_{{k^{i - {{l}}}}}} \otimes {I_k} \otimes {{{l}}_{{k^{n - i}}}},\;\;i = 1,2, \cdots ,n,{{{\varPi}} ^n} =$ $ {[({{{\textbf{π}} _1^n}^{\rm{T}}})\;{({\textbf{π}} _2^n)^{\rm{T}}} \cdots {({\textbf{π}} _n^n)^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}}{\text{。}}$

引理2^[11] 　设 $f:\mathcal{D}_k^n \to {{\bf{R}}}$ 是一伪逻辑函数, 则存在一个唯一的矩阵 ${{M}_f} \in {{{\bf{R}}}^{1 \times {k^n}}}$ , 称为 $f$ 的结构矩阵, 满足

$f({{{x}}_1},\;{{{x}}_2},\; \cdots ,\;{{{x}}_n}) = {{M}_f} \ltimes _{i = 1}^n{{{x}}_i}$

(1)

式中： ${{{x}}_i} \in {{{\varDelta}} _k},\;i = 1,2, \cdots ,n$ ,且 ${{M}_f}$ 列举了 ${{x}} = \ltimes _{i = 1}^n{{{x}}_i} = {{\delta}} _{{k^n}}^1$ 到 ${{x}} = {{\delta}} _{{k^n}}^{{k^n}}$ 过程中 $f({{x}})$ 所有可能的值。引理2显示了怎样将一个逻辑函数表示成它的代数形式。

引理3^[11] 　考虑一个 $k$ 值逻辑动态网络：

${{x}}(t + 1) = {L}{{x}}(t)$

(2)

式中： ${{x}}(t) = \ltimes _{i = 1}^n{{{x}}_i}(t)$ ， ${L} \in {{{\mathcal{L}}}_{{k^n} \times {k^n}}}$ ，则

1) ${{\delta}} _k^i$ 是结构矩阵L的稳定点，当且仅当 ${L}$ 主对角线上的元素 ${\ell _{ii}}$ 等于1。可得到式(2)中均衡点的数量，用 ${N_e}$ 表示，有

${N_e} = {\rm Trace}({L})$

(3)

2)长度为 $s$ 环的数量用 ${C_s}$ 表示

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1} = {N_e}} \\ {{C_s} = \displaystyle\frac{{{\rm Trace}({L^s}) - \displaystyle\sum\limits_{k \in \rho (s)} {k{C_k}} }}{s},\;\;2 \leqslant s \leqslant {k^n}} \end{array}} \right.$

(4)

式中： $\, \rho (s)$ 代表 $s$ 真因子的集合, $s$ 的真因子是正整数 $k < s$ , 满足 $\displaystyle\frac{{\;s\;}}{\;k\;} \in {\mathbb{Z}_ + }$ 。

2 企业创新网络演化博弈

本文主要考虑企业群体之间的创新问题。企业创新成本投入和风险承担是必需的，由于其规模不同，导致资金周转与风险抵御能力的差距巨大，因此将“智猪博弈”作为基本博弈是非常适合的。将参与博弈的企业群体按照规模分为两类：大企业和小企业。将每个企业作为网络中参与博弈的玩家，从而构建企业创新双层耦合网络，上层表示大企业群体，下层表示小企业群体。假设双方创新成本为2，收益均为10。博弈分为4种情况：若大小企业都创新，双方获得创新收益比为7∶3；若仅大企业创新，小企业可剽窃大企业的创新成果，并抢先占领市场，两者创新收益比为6∶4；若仅小企业进行创新，大企业可凭借其规模效应获得更大的利润，两者收益比为9∶1；若大小企业都不创新，双方收益均为零。对应基本净收益矩阵：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x/y}}&{{s_1}}&{{s_2}} \\ {{s_1}}&{(5,\;1)}&{(4,\;4)} \\ {{s_2}}&{(9,\; - 1)}&{(0,\;0)} \end{array}} \right]$

(5)

式中： $x$ 表示大企业群体； $y$ 表示小企业群体； ${s_1}$ 表示创新策略； ${s_2}$ 表示不创新策略。企业拥有独立选择策略的权利，因此可建立博弈模型来分析企业创新网络随时间演化的博弈动态过程。

2.1 企业创新网络博弈模型

对应上述双层网络演化博弈的过程构建模型。

1)企业创新双层耦合网络:上层网络 ${G_1}\! =\! ({V_v},{E_v})$ ，其中 ${V_v} = \{ {v_1},{v_2}, \cdots ,{v_{{n_1}}}\} $ 是大企业玩家集， ${E_v} \subset {V_v} \times {V_v}$ 是大企业内部相互联系的边集。下层网络 ${G_2} = $ $({V_w},{E_w})$ ，其中 ${V_w} = \{ {w_1},{w_2}, \cdots ,{w_{{n_2}}}\} $ 是小企业玩家集， ${E_w} \subset {V_w} \times {V_w}$ 是小企业内部相互联系的边集。 ${E_{vw}} \subset {V_v} \times {V_w}$ 是网络 ${G_1}$ 和 ${G_2}$ 间相互联系的边集。故双层耦合网络由无向图 $G = (V,E)$ 表示，满足 $ V\! =$ $\! {V_v} \cup {V_w}\! =\! \{ {v_1},{v_2}, \cdots ,{v_{{n_1}}},{w_1},{w_2}, \cdots ,{w_{{n_2}}}\} \! =\! \{ {v_1},{v_2}, \cdots ,{v_n}\} $ ， $ n = $ ${n_1} + {n_2}, $ $E = {E_v} \cup {E_w} \cup {E_{vw}}$ 。

2)基本网络博弈：由两个连通玩家(不同层)形成的基本博弈 $\mathcal{G}$ ，且策略集 ${S_1} = {S_2} = $ $ \{ {s_1},{s_2}, \cdots ,{s_k}\} $ ，对应收益双矩阵：

${M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {({c_1},{{\overline {{c_1}}}}\;)}&{({c_1},{{\overline {c_2}}}\;)}& \cdots &{({c_1},{{\overline {c_k}}}\;)} \\ {({c_2},{{\overline {c_1}}}\;)}&{({c_2},{{\overline {c_2}}}\;)}& \cdots &{({c_2},{{\overline {c_k}}}\;)} \\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {({c_k},{{\overline {c_1}}}\;)}&{({c_k},{{\overline {c_2}}}\;)}& \cdots &{({c_k},{{\overline {c_k}}}\;)} \end{array}} \right]$

(6)

令 ${{M}_1}$ 表示 ${M}$ 中每个数组的第一个元素所组成的矩阵， ${{M}_2}$ 表示第二个元素所组成的矩阵。

3)策略更新规则：采用确定性无条件模仿策略更新规则。玩家 $i$ 在 $t + 1$ 时刻的策略模仿它同层邻居 $j \in {\rm {S}}{\mathcal{\rm {N}}_i}$ 在 $t$ 时刻最优收益对应的策略，设

$\begin{gathered} j_v^ * = {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm {S}}{\mathcal{\rm {N}}_i}}}{p_j}(x(t)) \\ j_w^ * = {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm {S}}{\mathcal{\rm {N}}_i}}}{p_j}(y(t)) \\ \end{gathered} $

(7)

则

${x_i}(t + 1) = {x_{j_v^ * }}(t),\;\;{y_i}(t + 1) = {y_{j_w^ * }}(t)。$

(8)

那么整个网络的策略更新表示为

$({x_i}(t + 1),{y_i}(t + 1)) = f(x(t),y(t))$

(9)

式中： ${x_i}(t)$ 和 ${y_i}(t)$ 是 $t$ 时刻玩家 ${v_i}$ 和 ${w_i}$ 的策略， $x(t) = $ $ ({x_1}(t),{x_2}(t), \cdots ,{x_{{n_1}}}(t))$ ， $y(t) = ({y_1}(t),{y_2}(t), \cdots ,{y_{{n_2}}}(t))$ 。

4)策略模仿优先权：若3)内策略更新规则中被模仿的邻居玩家不唯一，令

$\begin{gathered} {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i}}}{p_j}(x(t)) = \{ j_{v1}^ * ,j_{v2}^ * ,\cdots, j_{v{r_1}}^ * \} \\ {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i}}}{p_j}(y(t)) = \{ j_{w1}^ * ,j_{w2}^ * ,\cdots, j_{w{r_2}}^ * \} \\ \end{gathered} $

则优先权如式(10)：

$\left\{\begin{gathered} j_v^ * = \min \{ \left. \lambda \right|\lambda \in {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i}}}{p_j}(x(t))\} \\ j_w^ * = \min \{ \left. \mu \right|\mu \in {\operatorname{argmax} _{j \in {\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i}}}{p_j}(y(t))\} \\ \end{gathered} \right.$

(10)

${\mathcal{N}_i} = \{ \left. {{v_j}} \right|({v_i},{v_j}) \in E\} = {\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i} \cup {\rm{D}}{\mathcal{\rm{N}}_i}$ 表示玩家 $i$ 的所有邻居。 ${\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i} = \{ \left. {{v_j}} \right|({v_i},{v_j}) \in {E_v} \cup {E_w}\} $ 表示与 $i$ 同组的邻居， ${\rm{D}}{\mathcal{\rm{N}}_i} = \{ \left. {{v_j}} \right|({v_i},{v_j}) \in {E_{vw}}\} $ 表示与 $i$ 不同组的邻居。由于大小企业之间存在合作竞争关系，本文考虑博弈发生在不同组邻居 ${\rm{D}}{\mathcal{\rm{N}}_i}$ 中，策略更新发生在同组邻居 ${\rm{S}}{\mathcal{\rm{N}}_i}$ 中。

2.2 博弈动态演化分析

网络博弈随着时刻的变化不断更新策略局势，对应收益函数也发生变化，从而形成动态网络演化博弈。根据网络的拓扑结构，可得到企业创新双层耦合网络的邻接矩阵：

${A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{({{A}_v})}_{{n_1} \times {n_1}}}}&{{{({{A}_{vw}})}_{{n_1} \times {n_2}}}} \\ {{{({{A}_{wv}})}_{{n_2} \times {n_1}}}}&{{{({{A}_w})}_{{n_2} \times {n_2}}}} \end{array}} \right]$

式中： ${{A}_v} = {{A}_v^{\rm{T}}}$ ， ${{A}_w} = {{A}_w^{\rm{T}}}$ ， ${{A}_{wv}} = {{A}_{vw}^{\rm{T}}}$ 。为了研究方便，可将博弈过程进行代数公式化。不妨定义：玩家 $v{}_i$ 在时刻 $t$ 的状态为 ${x_i}(t)(1 < i < {n_1})$ ；玩家 $w{}_i$ 在时刻 $t$ 的状态为 ${y_i}(t)(1 < i < {n_2})$ ；第 $j$ 个策略用s_j表示，且 ${s_j} \sim \delta _k^j$ 。

玩家 ${v_i}(1 < i < {n_1})$ 的收益函数表达式为

$\begin{split}{p_{{v_i}}}(t) = { {V}}_r^{\rm{T}}({{M}_1}){x_i}(t)\sum\limits_{j \in {\rm{D}}{\mathcal{\rm{N}}_i}} {{y_j}} (t) = { {V}}_r^{\rm{T}}({{M}_1}){x_i}(t){\rm{Ro{w}}}_i({A_{vw}})\cdot \\{\Pi ^{{n_2}}} y(t) ={ {V}}_r^{\rm{T}}({{M}_1})({{I}_k} \otimes {\rm{Row}}_i({A_{vw}}){{\text{π}} ^{{n_2}}})\pi _i^{{n_1}}x(t)y(t) : = \quad\\ {{M}_{{v_i}}}x(t)y(t) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\end{split} $

(11)

玩家 ${w_i}(1 < i < {n_2})$ 的收益函数表达式为

$\begin{split}{p_{{w_i}}}(t) = {{V}}_r^{\rm{T}}({{M}_2}^{\rm{T}}){y_i}(t)\sum\limits_{j \in {\rm{D}}{\mathcal{\rm{N}}_i}} {{x_j}} (t) = {{V}}_r^{\rm{T}}({{M}_2}^{\rm{T}}){{W}_{[k,k]}}{\rm{Ro{w}}_i}({A_{wv}}) \cdot \\ {\Pi ^{{n_1}}}x(t)\pi _i^{{n_2}}y(t) = {{V}}_r^{\rm{T}}({{M}_2}^{\rm{T}}){{W}_{[k,k]}}{\rm{Ro{w}}_i}({A_{wv}})\cdot \quad\quad\quad \\ {\Pi ^{{n_1}}}({{I}_{{k^{{n_1}}}}} \otimes \pi _i^{{n_2}})x(t)y(t) := {{M}_{{w_i}}}x(t)y(t)\quad\quad\quad\quad\end{split}$

(12)

式中： $x(t) = \ltimes _{i = 1}^{{n_1}}{x_i}(t)$ ， $y(t) = \ltimes _{i = 1}^{{n_2}}{y_i}(t)$ 。

基于上述双层耦合网络演化博弈过程，考虑网络纯策略纳什均衡(本文策略选择是确定型的，因此在后文中全部简称为纳什均衡)的存在性，本文采用确定型策略更新规则。

定义3^[18] 　对于一个博弈 $\mathcal{G}$ ，一个策略局势 ${x^ * } = (x_1^ * ,x_2^ * , \cdots ,x_n^ * ) \in {S_1} \times {S_2} \times \cdots \times {S_n}$ 是一个纳什均衡，如果满足 ${p_i}(x_i^ * ,x_{ - i}^ * ) \geqslant {p_i}(x{}_i,x_{ - i}^ * )$ 对所有的 $i \in N,\;{x_i} \in {S_i}$ 均成立，其中 $N = \{ 1,2, \cdots ,n\} $ 是玩家集， ${S_i}$ 是第 $i$ 个玩家的策略集，且 $x_{ - i}^ * = (x_1^ * ,x_2^ * , \cdots ,x_{i - 1}^ * ,x_{i + 1}^ * , \cdots ,x_n^ * ){\text{。}}$

命题2^[18] 　对于任给的 $x,y \in {\varDelta _k},x \ne y$ ，必然存在一个整数 $1 \leqslant r \leqslant k - 1$ 满足 $x = {M}_{o,k}^ry$ ，其中 ${{M}_{o,k}} = $ $ {\delta _k}[2\;3\; \cdots \;k\;1]$ 是 $k$ 值逻辑算子 ${\varTheta _k}$ 的结构矩阵，且满足

${\varTheta _k}\left( {\frac{i}{{k - 1}}} \right) = \left\{\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {\displaystyle\frac{{i - 1}}{{k - 1}},\quad i > 0} \\ {1, \quad i = 0} \end{array}} \right.$

引理4^[18] 　对于双层网络演化博弈G =( $ \mathcal{G},$ S₁，S₂)，支付函数满足式(11)、(12)，则 $G$ 存在一个纳什均衡，当且仅当存在一个整数 $1 \! \leqslant \! j \! \leqslant \! {2^n}$ ，满足 ${\rm{Col}}({{M}_p}) \geqslant $ 0，对应 $\{ \left. {\delta _{{2^n}}^j} \right|{\rm{Co{l}}}_j({{M}_p}) \geqslant 0,1 \leqslant j \leqslant {2^n}\} $ 是所有纳什均衡的集合，其中 ${{M}_p} \!\!=\!\! {[{M}_{{v_1}}^{\rm{T}}\;{M}_{{v_2}}^{\rm{T}} \cdots {M}_{{v_{{n_1}}}}^{\rm{T}}{M}_{{w_1}}^{\rm{T}} \cdots {M}_{{w_{{n_2}}}}^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}$ 。

对于 $1 \leqslant r \leqslant k - 1$ ，

${{M}_{{v_{i,}}r}} = {{M}_{{v_i}}}[{I_{{k^{i - 1}}}} \otimes ({{I}_k} - {M}_{o,k}^r)]，$

${M}_{{v_i}}^{\rm{T}} = [{M}_{{v_i},1}^{\rm{T}}\;{M}_{{v_i},2}^{\rm{T}} \cdots {M}_{{v_i},k - 1}^{\rm{T}}]；$

对于 $1 \leqslant \gamma \leqslant k - 1$ ，

${{M}_{{w_{i,}}\gamma }} = {{M}_{{w_i}}}[{{I}_{{k^{{n_1} + i - 1}}}} \otimes ({{I}_k} - {M}_{o,k}^\gamma )]，$

${M}_{{w_i}}^{\rm{T}} = [{M}_{{w_i},1}^{\rm{T}}\;{M}_{{w_i},2}^{\rm{T}} \cdots {M}_{{w_i},k - 1}^{\rm{T}}]$

引理4只考虑了某一时刻该网络博弈的纳什均衡，而无法判断随着演化某些不稳定的局势逐渐演化为稳定的纳什均衡局势。因此，计算整个网络演化的转移矩阵是非常有必要的。

由引理2和支付函数表达式(11)、(12),可得到整个网络演化博弈的转移矩阵，步骤如下：

1)重写式(11)、(12)为

${p_{{v_i}}}({x_i}(t),y(t)) = {M}_{{v_i}}'y(t){x_i}(t)，$

${p_{{w_i}}}(x(t),{y_i}(t)) = {M}_{{w_i}}'y(t){x_i}(t)。$

2)对于任意的策略 $x{\text{、}}y$ ，大企业玩家的最优反应策略为 ${\rm {B}}{{\rm{R}}_{{v_i}}} = {L}_{{v_i}}'y,\;\;1 \leqslant i \leqslant {n_1}$ ，

${l_{j,{v_i}}} = \min \{ \left. l \right|{\rm{Col}}{}_l({\rm{Bl{k}}}_j({M}_{{v_i}}')),\;1 \leqslant l \leqslant k\} ,$

${\rm{Co{l}}}_j({L}_{{v_i}}') = \delta _k^{{l_{j,{v_i}}}}$

小企业玩家的最优反应策略为

${\rm{BR}}_{w_i} = {L}_{{w_i}}'y,\quad 1 \leqslant i \leqslant {n_2}，$

${l_{j,{w_i}}} = \min \{ \left. l \right|{\rm{Col}}{}_l({\rm{Blk}}_j({M}_{{w_i}}')), 1 \leqslant l \leqslant k\} $

${\rm{Co{l}}}_j({L}_{{w_i}}') = \delta _k^{{l_{j,{w_i}}}}$

3)根据优先权式(10)模仿同组邻居收益最大玩家的策略，有如下形式：

${x_i}(t + 1) = {{L}_{{v_i}}}y(t)$

${\overline {{M}}_{{v_i}}} = {{\rm Row}_i}({{A}_v} + {{I}_{{n_1}}}){\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{L}_{{v_1}}'}\;{{L}_{{v_2}}'}& \cdots &{{L}_{{v_{{n_1}}}}'} \end{array}}\!\!\! \right]^{\rm{T}}}$

${\alpha _{s,{v_i}}} = \min \{ \left. \alpha \right|{{\rm Row}_\alpha }{({\overline M_{{v_i}}})_{\alpha s}}\} $ ， ${{\rm Col}_s}({{L}_{{v_i}}}) = \delta _k^{{\alpha _s},{v_i}}$ 。

${y_i}(t + 1) = {{L}_{{w_i}}}x(t)$

${\overline {{M}}_{{w_i}}} = {{\rm Row}_i}({{A}_w} + {{I}_{{n_2}}}){\left[ \!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{L}_{{w_1}}'}\;{{L}_{{w_2}}'}& \cdots &{{L}_{{w_{{n_2}}}}'} \end{array}} \!\!\! \right]^{\rm{T}}}，$

${\beta _{s,{w_i}}} = \min \{ \left. \beta \right|{{\rm Row}_\beta }{({\overline {{M}}_{{w_i}}})_{\beta s}}\} $ ， ${{\rm Col}_s}({{L}_{{w_i}}}) = \delta _k^{{\beta _s},{w_i}}$ 。

于是 $x(t + 1) = {{L}_v}y(t),\;\;y(t + 1) = {{L}_w}x(t)$ ，其中 ${{L}_v}= $ ${{L}_{{v_1}}} * $ $ {{L}_{{v_2}}} * \cdots * {{L}_{{v_{{n_1}}}}},\;\;{{L}_w} = {{L}_{{w_1}}} * {{L}_{{w_2}}} * \cdots * {{L}_{{w_{{n_2}}}}}$ 。

4)将3)中不同层的策略相乘，有

$\begin{aligned} x(t + 1)y(t + 1) = {{L}_v}y(t){{L}_w}x(t) = {{L}_v}({{I}_{{k^{{n_2}}}}} \otimes {{L}_w})y(t)x(t) = \\ {{L}_v}({{I}_{{k^{{n_2}}}}} \otimes {{L}_w}){{W}_{[{k^{{n_1}}},{k^{{n_2}}}]}}x(t)y(t) : = Lx(t)y(t) \quad\quad\quad\end{aligned} $

(13)

式中 ${L} = {{L}_v}({{I}_{{k^{{n_2}}}}} \otimes {{L}_w}){{W}_{[{k^{{n_1}}},{k^{{n_2}}}]}}$ 为双层耦合网络演化的结构矩阵，可由此来分析博弈的演化动态。

通过半张量积方法，由博弈动态方程式(13)可得到博弈结构矩阵 ${L}$ 。分析结构矩阵可得到博弈的稳定点、极限环，因此有定理1。

定理1　 若存在整数 $1 \leqslant j \leqslant {2^n}$ ，同时满足以下两个条件：

1) ${{\rm Col}_j}({{M}_p}) \geqslant 0$ ；

2) $j \in {N_e} = {\rm Trace}({L}),\;{L} = {{L}_v}({{I}_{{k^{{n_2}}}}} \otimes {{L}_w}){{W}_{[{k^{{n_1}}},{k^{{n_2}}}]}};$

则称 $\delta _{{2^n}}^j$ 为全局稳定纳什均衡局势。

证明　根据引理4可知，满足定理1中条件1)的所有 $\delta _{{2^n}}^j$ 都是纳什均衡点，但纳什均衡点不一定唯一，也不一定是稳定点。根据引理3可知，如果 $j$ 满足定理1中条件2)，则 $\delta _{{2^n}}^j$ 对应策略局势为稳定点。因此如果 $j$ 同时满足定理1中条件1)、2),那么结论成立， $\delta _{{2^n}}^j$ 为全局稳定纯策略纳什均衡局势。证毕。

推论1　设 $J$ 为所有满足定理1的 $j\;(1 \leqslant j \leqslant {2^n})$ 的集合，令 $h \in J$ 满足:

$\left\{\begin{aligned}& {{\rm Col}_h}({{M}_{{v_i}}}) \geqslant {{\rm Col}_j}({{M}_{{v_i}}})\;\; \\&{{\rm Col}_h}({{M}_{{w_i}}}) \geqslant {{\rm Col}_j}({{M}_{{w_i}}})\;,\;\;\end{aligned} \right.h,j \in J $

(14)

则 $\delta _{{2^n}}^h$ 称为为全局稳定最优纳什均衡局势。

证明 　由定理1可知，所有 $J$ 中元素对应的 $\delta _{{2^n}}^j$ 都是稳定的纳什均衡点，如果 $h \in J$ 满足式(14)，可知 $\delta _{{2^n}}^h$ 是使各玩家收益总和最大的稳定纳什均衡点，则称为最优稳定纳什均衡点。证毕。

2.3 政府调控下的演化博弈

本部分通过政府调控改变基本博弈矩阵，从而使整个网络的演化达到理想的局势状态，即大小企业全部创新，且为稳定或者最优稳定纳什均衡状态。大小企业选择创新，由于投资成本过高，且收益相对减少，短时不能获取到创新带来的收益，因此政府通过调控诱发企业选择创新策略是非常必要的。控制设计如下。

政府的对企业创新的直接补贴为 $a$ ，对只想搭便车的不创新企业进行惩罚，惩罚力度设为 $b$ ，对应双收益矩阵为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x/y}}&{{s_1}}&{{s_2}} \\ {{s_1}}&{(5 + a,1 + a)}&{(4 + a,4 - b)} \\ {{s_2}}&{(9 - b, - 1 + a)}&{( - b, - b)} \end{array}} \right]$

(15)

上述控制表示政府对企业的补贴与惩罚是同时进行的。设计控制的宗旨是政府对企业创新只起调控作用，尽可能少地进行投资或者获利。因此可假设补贴力度与惩罚力度相同，即 $a = b\;(a > 0,$ $b > 0)$ 。

假设没有 $a = b$ 这一条件，则 $a = 0$ ，表示企业只对不创新企业进行惩罚；若 $b = 0$ ，表示企业只对创新企业进行补贴。

通过仿真寻找恰当的 $a{\text{、}}b$ 值，使得全局稳定点刚好为最优纯策略纳什均衡点，且大小企业全部创新，政府获利与投资之差尽可能小。当然，补贴或者惩罚力度不是盲目的，为了实现大小企业全部创新的目标，补贴力度 $a = {a_1} + {a_2}\;$ ,惩罚力度 $b = {b_1} + {b_2}$ ，需要同时满足方程组式(16)：

$\left\{ \,{\begin{aligned}& {(5 + {a_1}) + (1 + {a_1}) \geqslant (4 + {a_1}) + (4 - {b_1})} \\ & {(5 + {a_2}) + (1 + {a_2}) \geqslant (9 - {b_2}) + ( - 1 + {a_2})} \\ & {{a_1} = {b_1}} \\ & {{a_2} = {b_2}} \end{aligned}} \right.$

(16)

于是，可得 $a = b = 2$ ，即补贴和惩罚力度均为2。

博弈矩阵改变后，重新计算式(13)，可得博弈的转移矩阵L，通过定理1和推论1分析博弈的演化性质。若达不到所有企业全部创新的理想状态，则调整控制力度，直到大小企业玩家全部选择创新策略 ${s_1}$ 。

上述调控借鉴了“智猪博弈”中防止小猪搭便车，促使大猪小猪都行动的思想，即政府通过同时对创新企业进行补贴，对不创新企业进行惩罚，从而干预企业的创新决策，促使大小企业全部创新。

3 举例分析

本节主要通过举例，研究增加政府调控后整个企业创新网络的演化动态。

为了计算简便，以3个大企业和2个小企业组成的企业创新网络为例，分析演化博弈过程。网络拓扑结构图如图1所示，其中第一层为大企业， ${n_1} = \{ 1,2,3\} $ ；第二层为小企业， ${n_2} = \{ 4,5\} $ 。

根据网络拓扑结构图，我们可得到网络的邻接矩阵：

${{A}_v} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}} \right]_{3 \times 3}},\;{{A}_w} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}} \right]_{2 \times 2}},\;{{A}_{vw}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\\1&1\end{array}} \right]_{3 \times 2}}$

情形1　政府不进行干预( $a = b = c = d = 0$ )，企业根据市场调节不断演化。收益矩阵为

${M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{(5,1)}&{(4,4)}\\{(9, - 1)}&{(0,0)}\end{array}} \right],{{M}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\9&0\end{array}} \right],{{M}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\{ - 1}&0\end{array}} \right]$

首先，根据引理4中的计算，有

${{{M}}_p} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\\{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\\{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\\{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\\{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\end{array}} \right.\!\!\!\!\!\!\! {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\\{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\\{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!8\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 8}\\{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\!\!\!\!&\!\!\!\!2\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\!\!\!\!&\!\!\!\!2\\{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 6}\!\!\!\!&\!\!\!\!6\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 4}\!\!\!\!&\!\!\!\!4\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!2\end{array}} \right]_{5 \times 32}}$

此时 ${{\rm Col}_4}({{M}_p}) > 0$ ，可得策略局势 $\delta _{32}^4 = \delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^2\delta _2^2$ 为整个网络博弈的纳什均衡状态。此时5个企业中，大企业全部创新，小企业全部不创新。

其次，由博弈动态方程

$x(t + 1)y(t + 1) = {L}x(t)y(t)$

得到L为

$\begin{aligned} {L} = {\delta _{32}}\left[ \!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4 \end{array}} {\begin{array}{*{20}{c}} 4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4\!&\!4 \!\!\end{array}} \right] \end{aligned}$

由引理3知，博弈的最终状态是稳定点，即策略局势 $\delta _{32}^4 = \delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^2\delta _2^2$ ，没有出现极限环。根据定理1和推论1可知，局势 $\delta _{32}^4$ 为全局最优稳定纯策略纳什均衡点，但只有大企业创新。为了让所有的玩家都实现创新，且达到稳定状态，我们考虑以下情形。

情形2　政府对创新企业补贴为 $a$ ，对不创新企业惩罚为 $b$ 。由式(15)、(16)可得临界值 $a = b = 2$ 。通过MATLAB仿真，当 $a = b = 2$ 时，通过计算 ${{M}_p}$ 可得 $J = \{ 1,5,9,13,17,21,25,29\} $ ， ${L} = $ ${\delta _{32}}\left[ {1\;1\;1\;1 \cdots 1\;1\;1\;1} \right]$ 。由定理1和推论1可知，全局稳定纳什均衡点为 $\delta _{32}^1 = \delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1$ ，即大小企业全部选择创新，且为最优稳定纳什均衡；若 $a = b > 2$ ，不妨设 $a = b = 2.25$ ，通过计算 ${{M}_p}$ 可得 $J = \{ 1\} $ ，且 ${L} = {\delta _{32}}\left[ {1\;1\;1\;1 \cdots 1\;1\;1\;1} \right]$ ，由推论1可得整个网络博弈的全局最优稳定纳什均衡点为 $\delta _{32}^1 = \delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1\delta _2^1$ ，满足控制大小企业全部创新的目标；当 $a = b < 2$ 时，由于政府补贴与惩罚力度不够，整个演化局势依然保持无政府干预状态。

比较上述两种情形可知，政府对企业的调控，有效遏制了小企业“搭便车”的行为，从而促使大小企业实现全部创新。

4 结束语

本文将所有企业按规模分为大小两种企业，建立企业创新双层耦合网络。运用矩阵半张量积方法，以“智猪博弈”为基本博弈, 得到每一时刻各企业的策略，整个网络局势演化随时间改变；根据收益函数得到整个网络的最优稳定纳什均衡点；最后，通过政府调控, 改变博弈的基本矩阵，从而达到最优稳定纳什均衡状态，即所有企业全部创新。