﻿ 因素空间的结构与对偶回旋定理
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 智能系统学报  2018, Vol. 13 Issue (4): 656-664  DOI: 10.11992/tis.201706057 0

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BAO Yanke, WANG Peizhuang, GUO Sicong. Structure of factor space and the dual convolution theorem[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2018, 13(4): 656-664. DOI: 10.11992/tis.201706057.

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Structure of factor space and the dual convolution theorem
BAO Yanke, WANG Peizhuang, GUO Sicong
Institute of Intelligent Engineering and Mathematics, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China
Abstract: Based on two expressions consistency and the reverse-change relation of conceptual connotation and extension, as well as the dialectical unity of summary and parsing in the concept formation process, in this paper, we present a detailed discussion of the mathematical structure of factor space. We systematically identify the basic concepts and core propositions of factor space, as constructed by the principle of cognitive ontology, and provide a new ideological framework for both the theoretical and technological research of knowledge discovery based on factor space. We propose novel concepts related to the staggered automorphism transform and the convolution lattice, prove the dual entanglement theorem of factor space, and introduce a geometrical representation of the mathematical structure of factor space as a Mobius strip, thereby establishing a new mathematical model for illustrating the dynamics mechanism of the formation of human thinking and conceptualization.
Key words: factor space    structure    staggered automorphism transform    convolution lattice    dual convolution theorem

FS理论的早期成果可见汪培庄文集[2]。1994年汪培庄、李洪兴合著[3]《知识表示的数学理论》一书系统地论述了FS理论在知识获取、知识表示、知识管理和知识利用方面的数学思想与原理。《模糊计算系统与模糊计算机》[4]及其相关的工程实践标志着FS理论与智能工程设计理念的完美结合，其中给出的概念内涵和外延相互转换的可操作方法，实现了决策树算法和粗糙集算法没有实现的“双向转换的目的”。其后，李洪兴[5]关于《因素空间理论与知识表示的数学框架》长达5年的系列讨论，不仅推进了FS理论的发展，也奠定了FS理论在知识发现与智能工程领域广泛应用的基础。袁学海[6-8]从范畴论的角度对FS的结构问题进行了深入讨论；在FS理论的应用方面，刘增良[9-13]在因素神经网络技术，军事信息战与网络战领域的研究成绩斐然。此外，基于FS理论的专家系统[14-15]、多传感器决策融合[16]、控制仿真[17-19]、模式识别[20-21]、安全科学[22-24]等应用领域的研究，体现了FS作为智能科学的数学空间理论的价值和发展前景。

FS理论生根于数学，反映认识论特点，是KDD和概念格生成的一种自然有效的数学方法。然而，早期奠基性工作建立在模糊数学的基础上，融合了随机数学和抽象代数的思想、方法和语言；FS理论的高起点在保证数学严谨性的同时，也为其普及推广树立了一道屏障。FS的经典定义可见文献[3]，此后的理论与应用研究基本上遵循了这一定义的思想和描述。近年来，随着FS领域应用和教学的深入，出现了对FS定义的领域适应性描述和扩展[32-33]。2013年汪培庄在讨论FS在数据科学中的应用问题时，对FS的定义进行了修正[26]

1 预备知识

1.1 认知本体论原理

1) 一个因素总是特定论域上的因素，离开论域谈论因素是没有意义的。更进一步，一个因素总是特定论域上特定问题的因素，离开问题无从讨论因素的认知功能。论域、因素和由因素形成的关于问题的认知结果构成一个特定的思维空间。

2) 概念的分化与同化动态平衡。在概念形成过程中，思维在解析与概括的交替运用中发展。解析强化内涵知识，促进概念分化；概括丰富外延认知，促进概念同化。在这个过程中，内涵与外延存在反变关系，即内涵扩张必然减小外延，反之内涵缩减将导致外延扩张。一个概念的形成，是一定认知阶段上分化与同化的暂时平衡。

3) 概念的内涵与外延对合，即内涵与外延所描述的事项一致。在概念形成过程中，解析与概括之间的差异是思维的技术性差异，不同技术产生的信息在思维运动中以概念的内涵与外延对合为目标纠缠运动，辩证统一。

1.2 基本概念

1) 论域是一个关于问题的本体论研究对象的非空可列集合，记为 $U$ 。因素是定义在论域 $U$ 上的一个满映射，记为

 $f:U \to {I_f}$

①零因素，记为 $o$ ，其相空间 ${I_o} = \{ {\rm{NoN}}\}$ 非空，相态NoN用来描述所研究问题的“原始概念”或“根节点”，在论域 $U$ 上关于NoN的讨论都是下位学习。

②全因素，记为 $e$ ，其相空间 ${I_e}$ 同论域 $U$ 对等，即 ${I_e}$ $U$ 之间存在一一映射，表示因素e能够“完全个体化”认知论域中的任何一个对象。

2) 从某一个因素 $f$ 的相空间 ${I_f}$ 到论域 $U$ 的幂集 $\mathcal{F}$ (U)上的映射 ${\mathop f \limits^ \leftharpoonup}$ 称为因素 $f$ 的回溯，满足

 $\forall x \in {I_f},{\mathop f \limits^ \leftharpoonup}(x) = {[x]_f} \in \mathcal{F}(U)$

$\forall x \in {I_f},f({\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x)) = x$

$\forall {[x]_f} \subseteq U,{\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (f({[x]_f})) = {[x]_f}$

$\forall x,y \in {I_f},x \ne y,{\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x) \cap {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (y) = \text{Ø}$

3) 两个因素 $f$ $g$ 认知等效称为相等，定义为

 $f = g \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}{{I_f} \risingdotseq {I_g}{\text{(集合对等)}}}\\{{\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (f(u)) = {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (g(u)),\forall u \in U}\end{array}} \right.$

4) 因素在 $U$ 上的认知能力约简为描述概念分化的解析力和描述概念同化的概括力，并以解析力主导因素的序关系，定义

 $g \leqslant f \Leftrightarrow \forall x \in {I_f},\exists y \in {I_g},{\text{使}}{\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x) \subseteq {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y)$

5) 因素 $f$ $g$ 的析运算是因素之间交互效应的描述与分析工具，记为 $f \wedge g$ ，主要服务于概念分化。析因素 $f \wedge g$ 是由 $f$ $g$ 构造出的有更强解析力的新因素，定义为

 $\overleftarrow {f \wedge g} (x,y) = {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x) \cap {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y),\forall (x,y) \in {I_f} \times {I_g}$

6) 因素 $f$ $g$ 的合运算是思维过程中的信息汇总与认知概括工具，记为 $f \vee g$ ，主要服务于概念同化。合因素 $f \vee g$ 可以理解为比因素 $f$ $g$ 有更强概括力的新因素，定义为

 $\overleftarrow {f \wedge g} (x,y) = {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x) \cup {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y),\forall (x,y) \in {I_f} \times {I_g}$

7) 因素 $f$ 的补因素以及 $f$ $g$ 的差运算是思维过程中的信息分离工具。补因素实现视角的转换，记为 $f'$ ，定义为

 $g = f' \Leftrightarrow \forall x \in {I_f},\exists y \in {I_g},{\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y) = U - {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x)$

 $f - g \Leftrightarrow f \wedge g'$
1.3 基本命题

1.4 因素空间

 ${I_1} \times {I_2} \times \cdots \times {I_N}$

 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \mathop V\nolimits_{j = 1}^N {f_j} = o {\text{且}} \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \mathop \Lambda \nolimits_{j = 1}^N {f_j} = e$

${f_j} \in {\rm{BF}}$ ，则称BF为论域 $U$ 上的一个完备因素族，记为 ${\rm{CFF}}$

$({\rm{CFF}}, \vee , \wedge , ' )$ 为完备因素空间，简称因素空间，仍记为FS。

$(U,{\rm{CFF}})$ 是一个完备信息系统，记为CIS。

1) $X = o$ 表示对 $X$ 的观测缺失。

2) $X = e$ 表示对 $X$ 的观测不能发现随机性 波动(取常数值)。

3) $X \vee Y$ 表示对 $(X,Y)$ 的联合概率分布 $F(x,y)$ 的观测。

4) $X \wedge Y$ 表示 $(X,Y)$ 对条件分布乘积 ${F_{X|Y}}(x|y) \cdot$ ${F_{Y|X}}(y|x)$ 的观测。

5) $\bar X$ 表示对 $1 - {F_X}(x)$ 的观测。

 ${\rm{FS}} = {\rm{CF}}{{\rm{S}}_1} \times {\rm{CF}}{{\rm{S}}_2} \times \cdots \times {\rm{CF}}{{\rm{S}}_N}$

 $(U,{\rm{BF}}) = (U,{\rm{B}}{{\rm{F}}_1} \times {\rm{B}}{{\rm{F}}_2} \times \cdots \times {\rm{B}}{{\rm{F}}_N})$

CFS的概念有助于FS分析方法与技术体系的建构，有助于理解因素空间同概率空间、希尔伯特空间和张量空间的关系。

2 因素空间的结构 2.1 交错自同构变换与回旋格

$L$ 上存在变换 $\tau$ ，满足条件：

1) $\forall x \in L,x \ne 0,1,\tau (x) = x$

2) $\forall x,y \in L$ $\tau (x \vee y) = x \wedge y$ $\tau (x \wedge y) = x \vee y$

3) $\tau (0) = 1,\tau (1) = 0$

 ${\{ {x_j}\} ^{(1)}} = L,{\{ \wedge {x_j}\} ^{(k)}} = \{ \wedge _{s = 1}^k{x_{{j_s}}}\} ,{\{ \vee {x_j}\} ^{(k)}} = \{ \vee _{s = 1}^k{x_{{j_s}}}\}$

 $0 \leqslant \cdots \leqslant {\{ \wedge {x_j}\} ^{(k)}} \leqslant \cdots \leqslant {\{ {x_j}\} ^{(1)}} \leqslant \cdots \leqslant {\{ \vee {x_j}\} ^{(k)}} \leqslant \cdots \leqslant 1 \cdots$ (1)

 $1 \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq {\{ \vee {x_j}\} ^{(k)}} \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq {\{ {x_j}\} ^{(1)}} \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq {\{ \wedge {x_j}\} ^{(k)}} \preccurlyeq \cdots \preccurlyeq 0 \cdots$ (2)

 $(L, \leqslant ,\tau ) = (L, \preccurlyeq )$

2.2 对偶回旋定理

1) 将因素大小的定义

 $f \leqslant g \Leftrightarrow {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y) \subseteq {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x)$

 $g \preccurlyeq f \Leftrightarrow {\mathop g \limits^ \leftharpoonup} (y) \subseteq {\mathop f \limits^ \leftharpoonup} (x)$

2) 将顺序公理

 $o \leqslant f \leqslant e$

 $e \preccurlyeq f \preccurlyeq o$

3) 代数运算 $\vee , \wedge$ 的定义不变

1) FS的回旋性反映概念内涵与外延的对合性。在论域上，最小元 $o$ 形成完全概括性认知，最大元 $e$ 形成彻底的个性化认知。因此，在对论域形成的终极认知即“论域中的每一个对象都是不同的个体，同时所有对象又是一个整体”的意义上，因素 $o$ $e$ 是等效的。在解析过程中，零因素 $o$ 是析运算的单位元，也是合运算的零元。反过来，在概括过程中，全因素 $e$ 是析运算的零元，也是合运算的单位元。当终极认知形成之时，必有 $o = e$

2) FS的回旋性反映概念内涵与外延的反变关系。这种反变关系在实际的认知过程中，往往表现为概念的分化与同化的纠缠，对于理解一个事物而言，究竟是概念分化多一些好，还是同化多一些好？概念的分化与同化的纠缠，反映概念形成过程中因素的解析力和概括力交互作用的过程。从论域为一个整体的角度，解析导致“论域划分”，破坏整体性；从论域中对象的个体性出发，概括是在论域划分的基础上重构整体性。同理，从“属性限定”揭示一类事物共同特征的角度讲是概括；而从概念的结构、即“属性限定”为概念分化技术的角度讲是解析。在认知过程中，概括与解析各具所长，往往交互作用，殊途同归。由因素认知一个概念不外乎借助因素的解析力和概括力，辨识概念的内涵(属性限定)，界定概念的外延(论域划分)，并使两种过程形成同一认知。

3 结论与展望

1) 进一步构建FS理论“四位一体”的思想框架。在本文的讨论中，一个中心思想就是“人工智能是人类认知模式的数学重构”，在这个过程中，关于人工智能的数学思想、原理与算法必须同人的认知模式高度契合，理论研究的思想框架必须同人类问题解决过程中的思维场高度契合，并同机器实现的技术特征高度契合。这一思想暗涵于本文之中，可以想象在以 $U,{\rm{FS}},{\rm{BF}},$ $\mathcal{F}$ (U)为顶点的四面体中，底面 $\Delta ({\rm{FS}},{\rm{BF}},$ $\mathcal{F}$ (U))表示因素分析理论，侧面 $\Delta (U,{\rm{BF}},$ $\mathcal{F}$ (U))表示商空间理论，侧面 $\Delta (U,{\rm{FS}},$ $\mathcal{F}$ (U))表示张量分析理论，侧面 $\Delta (U,{\rm{FS}},{\rm{BF}})$ 表示数据分析理论，每个棱表示两个顶点之间的双向信息通道。这个四面体构成完整的FS理论的思想框架。

2) 发展基于FS对偶回旋定理的因素分析技术体系。本文发现的FS对偶回旋定理，明确了因素空间中信息的运动过程存在麦比乌斯环特征。佩捷、王兰新在《从麦比乌斯到陈省身——麦比乌斯变换与麦比乌斯带》一书中，较为系统地介绍了在代数几何、拓扑学的研究中发现的麦比乌斯带有趣的性质。麦比乌斯带的存在源自实数域R的乘法群R*的不连通性，这一性质更深刻的等价描述如下[37]

$n$ 维向量丛集 $GL(n,{\bf{R}}) \subset GL(n + 1,{\bf{R}})$ ，记 $G{L_\infty } =$ ${ \cup _n}GL(n,{\bf{R}})$ 。设A是希尔伯特空间H中的斜伴随算子，即在通常的范数 $\left\| {{A}} \right\| = {\sup _{|x| = 1}}\left| {{{Ax}}} \right|$ 下，交错内积

 $\left\langle {{Ax}},{{y}} \right\rangle = - \left\langle {{x}},{{Ay}} \right\rangle ,\forall {{x}},{{y}} \in H$

3) 发展基于麦乌比斯环0的数据分析方法与算法。因素 $o$ $e$ 是FS认知能力的两个极点，是不动点。若用一个有一定带宽的信息通道来描述FS和对偶回旋定理所揭示的认知过程，非常有趣的是，这一信息通道恰为一个麦乌比斯环0。记FS中任意一个状态点(n维向量)为 $\varphi$ ，则 $\varphi$ 的能量态可以借助量子计算理论的量子比特叠加态

 $|\varphi > = \alpha \cdot |o > + \beta \cdot |e >$

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