2018, Vol. 13
2. “智慧商务与物联网技术”河南省工程实验室，河南 新乡 453007;
3. 河南省高校计算智能与数据挖掘工程技术研究中心，河南 新乡 453007
2. Engineering Lab of Intelligence Business & Internet of Things, Xinxiang 453007, China;
3. Engineering Technology Research Center for Computing Intelligence & Data Mining, Henan Province, Xinxiang 453007, China
作为一种有效的知识表示和处理工具，粗糙集理论[1]的主要思想是在保持分类能力不变的前提下，通过引入上近似和下近似等概念来刻画知识的不确定性和模糊性。Vague集[2]是在模糊集基础上发展起来的新型理论，与模糊集相比，该理论能同时表达支持和反对的证据，更加符合人类的直觉，在模式识别、人工智能、故障诊断等领域的应用已取得了显著效果[3-4]。Atanassov于1986年提出的直觉模糊集[5]理论同时考虑了对象的隶属度、非隶属度和犹豫度3个方面的信息，其实，Bustince等[6]已经证明，Vague集和直觉模糊集在定义上是等同的，在本质上是一致的。目前，有很多学者对粗糙集理论和Vague集理论[7-13]相互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内容，将不对Vague集和直觉模糊集的描述方式作区分，在此统称为Vague集。
在模糊集、Vague集及粗糙Vague集理论研究中，相似性度量都是研究重点，它是模糊聚类、模式识别、近似推理等理论研究的基础[14-16]。权双燕等[17]研究了Vague集的偏熵、关联熵和关联熵系数，将其应用于Vague集相似性度量；魏莱等[18]将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集，为考虑某种分类知识R下度量模糊集合之间的相似性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊集、Vague集和粗糙模糊集的研究范畴，具有一定的局限性。粗糙Vague集模型是粗糙集和Vauge集相互融合的理论方法，适用于处理现实世界中兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu等[19]提出了广义粗糙直觉模糊c均值聚类算法，用于脑磁谐振图像分割；Liu等[20]通过直觉模糊相似性度量定义了冲突距离测量方法，用于解决现实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙Vague集模型的相似性，本文将关联熵、关联熵系数的应用领域进一步推广，为粗糙Vague集相似性度量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给出的实例证明，在知识对象具有不可分辨关系的背景下，对Vague集对象进行聚类分析时，应用粗糙Vague集的关联熵系数进行相似性度量更具合理性。
1 粗糙Vague集理论基础定义1[2] 设论域
定义2[17] 假定论域
| $\begin{array}{c}E\left( A \right) = - \displaystyle\frac{1}{{n\ln 2}} \times \\\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {({t_A}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_A}({x_i})\ln {f_A}({x_i}))} \end{array}$ |
为Vague集A的熵。
一个Vague集的熵E同时表征了该Vague集的模糊正熵和模糊负熵，在定义2中，按惯例规定0·ln 0=0，ln 0= –∞。在此定义的Vague集 A的熵刻画了论域U中元素xi与Vague集A之间关系的不确定性程度，E越大，我们对x与A的关系了解得越少。
定义3[17] 设A, B是论域U中任意两个Vague集，则A关于B的偏熵定义为
| ${E_B}\left( A \right) = - \sum\limits_{i = 1}^n {({t_B}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_B}({x_i})\ln {f_A}({x_i}))} $ |
式中B称为基准集。
与Vague集的熵定义类似，偏熵EB(A)也是Vague集A的不确定性程度的一种度量。
定义4[17] 两个Vague集A与B之间的关联熵定义为它们的偏熵之和，即
| $\begin{array}{c}E\left( {A;B} \right) = {E_B}\left( A \right) + {E_A}\left( B \right) = \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {[{t_B}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_B}({x_i})\ln {f_A}({x_i})} + \\{t_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }}{\rm{ln}}{t_B}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} + {f_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }}{\rm{ln}}{f_B}\left( {{x_i}} \right)]\end{array}$ |
显然E(A; B)关于tA(xi)、tB(xi)和fA(xi)、fB(xi)是对称的，而且是非负的。关于Vague集的关联熵的相关性质证明过程请参考文献[17]。
作为处理不确定信息的两种工具，Vague集理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性和人们对概念认识不精确性的问题，粗糙集理论则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确定性时，即概念不但是模糊的，而且是不可分辨的，此时，需要将粗糙集理论和Vague集理论相互融合，研究粗糙Vauge集[7-8]的理论、方法及其不确定性度量，以弥补它们单独在处理实际问题时的不足。
定义5[21] 设
| $\begin{array}{c}\underline {\rm{Rt}}\left( V \right) = \inf \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \overline {\rm{Rt}} (V) = \sup \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \underline {\rm{Rf}} \left( V \right) = \sup \{ {f_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \overline {\rm{Rf}} (V) = \inf \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \end{array}$ |
式中：[x]R表示包含元素x∈U的R等价类，则上下近似Vague集表示为
| $\begin{array}{c}\overline {\rm{RV}} = \left[ {\overline {\rm{Rt}} (V),\;1 - \overline {\rm{Rf}} (V)} \right]\underline {\rm{RV}} = [\underline {\rm{Rt}} \left( V \right), \; 1 - \underline {\rm{Rf}} \left( V \right)],\end{array}$ |
称序对
定义6[21] 设
1)
2)
3)
4)
定义7 设S=(U, R)为一近似空间，U为论域，R为U上一等价关系，RVA, RVB是其上的两个粗糙Vague集，定义RVA关于RVB的偏熵为
| ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) = {E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) \wedge {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A})$ |
式中：
| $\begin{array}{c}{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + } \right.} \\\left. {{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]\end{array}$ |
| $\begin{array}{c}{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A}) = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + } \right.} \\\left. {{f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]\end{array}$ |
如果将RVB看作一个基准粗糙Vague集，那么RVA关于RVB的偏熵表示了粗糙Vague集RVA的一个不确定性程度，它分别考虑了RVA上近似、RVA下近似的不确定性程度。
下面给出粗糙Vague集RVA关于粗糙Vague集RVB的偏熵具有的性质。
性质1(非负性) 设S=(U, R)为一近似空间，RVA、RVB是其上的两个粗糙Vague集，则有
证明：由于
同理有
性质2 当
证明：由于
| $\begin{array}{c}{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) - E({\underline {{\rm{RV}}} _B})n\ln 2 = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln \displaystyle\frac{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}} + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln \frac{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}}} \right]} \geqslant \$8pt] - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \cdot \frac{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}} + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \cdot \frac{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}}} \right]} = \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]} \geqslant \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln 1} = 0\end{array}$ |
因此,
性质3 设S=(U, R)为一近似空间，RVA、RVB是其上的两个粗糙Vague集，则有：
1)
2)
3)
这些性质根据定义很容易证明，在这里不再赘述。
3 粗糙Vague集的关联熵系数及相似性度量方法定义8 粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵同时考虑到两个粗糙Vague集的上近似与下近似并且定义为它们的偏熵之和，即
| $\begin{array}{c}E\left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = E({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \wedge E({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B}){\rm{ = }}\left( {{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({{\underline {{\rm{RV}}} }_A}) + {E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({{\underline {{\rm{RV}}} }_B})} \right) \wedge \left( {{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({{\overline {{\rm{RV}}} }_A}) + {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({{\overline {{\rm{RV}}} }_B})} \right)\end{array}$ |
显然，从定义7可以看出，粗糙Vague集的关联熵系数E(RVA; RVB)是对称的，而且是非负的，即有如下性质：
性质4
性质5 RVA、RVB是粗糙Vague集，则有
证明：令
在此，需要分4种情况进行讨论：
1) 记
2) 记
3) 记
4) 记
则：
| $\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} E({\overline {{\rm{RV}}} _C};{\overline {{\rm{RV}}} _D}){\rm{ = }}{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({\overline {{\rm{RV}}} _C}) + {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({\overline {{\rm{RV}}} _D}) = \\ - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})} \right)} = \end{array} \end{array}$ |
| $\begin{array}{l} - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right)} = \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})} \right)} = E({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B}) \end{array}$ |
其他3种情况证明类似。
同理可以证明
定义9 粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数定义为
| $\rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = \rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \wedge \rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ |
式中：
为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙Vague集的相似性，下面我们先给出粗糙Vague集相似度的定义。
定义10 设论域U是一个非空集合，R是U上的一个等价关系，A、B是U上两个Vague集，由R和A、B构成的粗糙Vague集分别为RVA和RVB，其中
1) 0 ≤ M(RVA, RVB) ≤ 1；
2) 如果RVA = RVB，则M(RVA, RVB) = 1；
3) M(RVA, RVB) = M(RVB, RVA)，
则称M(RVA, RVB)为粗糙Vague集RVA与RVB的相似度。
显然，粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数ρ(RVA; RVB)是对称的，而且是非负的，即粗糙Vague集的关联熵系数具有如下性质：
性质6
性质7 RVA, RVB是任意的粗糙Vague集，则有
证明 由定义6可知，当RVA=RVB时，有
又因为
从性质6和性质7可以看出，粗糙Vague集的关联熵系数ρ(RVA; RVB)满足定义10中粗糙Vague集相似度的定义。
与Fuzzy集、粗糙模糊集的关联熵系数类似，在定义9中粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数的定义中，
性质8
证明方法同性质5的证明类似，这里不再赘述。
粗糙Vague集是针对现实世界中所研究对象兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法，研究粗糙Vague集的关联熵和关联熵系数可为粗糙Vague集相似性度量提供一种新思路。
4 实例分析与比较例1 给定一个知识库K = (U, R)，其中论域
A={[0.7, 0.8]/x1, [0.8, 0.9]/x2, [0.3, 0.4]/x3, [0.1, 0.2]/x4, [0.5, 0.6]/x5, [0.4, 0.5]/x6, [0.3, 0.5]/x7, [0.5, 0.7]/x8}；
B={[0.7, 0.9]/x1, [0.6, 0.7]/x2, [0.5, 0.6]/x3, [0.2, 0.3]/x4, [0.4, 0.6]/x5, [0.3, 0.4]/x6, [0.4, 0.5]/x7, [0.1, 0.2]/x8}。
对于每个对象Vague取值的依据，这里暂不做讨论，有时候是凭借专家经验。由粗糙Vague集的定义可知，论域U上的两个Vague集A、B在不分明关系R上的下、上近似Vague集分别为：
式中：gi分别代表论域U上的对象在等价关系R下的等价类。这样，
由粗糙Vague集关联熵系数的定义，经计算可得：
则RVA和RVB的关联熵系数
同样可以计算，若不考虑知识背景R时，Vauge集A和Vague集B的关联熵系数ρ(VA; VB) = 0.84，则在模式识别或者聚类分析应用领域，若研究对象空间的粒度很细，即所研究对象可精确分辨的背景下，Vague集A和B相对容易区分。
为了进一步说明问题，下面和文献[22-23]中有关直觉模糊集相似度在模式识别方面的应用来做对比分析。
例2 设有3个已知模式P1、P2与P3，分别被标注为C1、C2与C3类。3个模式P1、P2与P3是定义在论域U ={x1, x2, x3, x4}上的直觉模糊集。在此，我们将此例中的直觉模糊集用Vague集的形式表示，则有：
P1={[0.5, 0.8]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.5, 0.7]/x4};
P2={[0.5, 0.7]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.3, 0.5]/x4};
P3={[0.3, 0.9]/x1, [0.5, 1.0]/x2, [0.3, 0.9]/x3, [0.5, 0.5]/x4};
现有一个定义在U ={x1, x2, x3, x4}上的未知模式：
Q={[0.4, 0.8]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.5, 0.5]/x4}。
为了知道Q被划分到C1、C2与C3的哪一个类，需要分别计算Q与3个已知模式P1、P2与P3的相似度。
在例2中，可以认为是最细粒度的粗糙Vague集，即每个对象xi都是可区分的。因此，只需要分别计算Q与P1、P2、P3的关联熵系数即可。由定义9计算得知ρ(P1; Q) = 0.96，ρ(P2; Q) = 0.97，ρ(P3; Q)=0.79。
其中，在计算ρ(P3; Q)过程中，由于P3在x2上的假隶属度fx=0，因此在计算中使用了一个较小的数，这里用0.01来替换，得出P3与Q的关联熵系数为0.79。如果用来替换的数值更小，关联熵系数越小。因此，使用关联熵系数来度量Vague集的相似度时，将Q识别为C2类，得到了和文献[23]一致的结论。此外，Q与C1类之间的相似度和Q与C2类之间的相似度差别较小，这就是为什么在文献[23]中，会出现采用某些度量方法将Q识别为C1类，有些度量方法将Q识别为C2类。
可见，文中采用关联熵系数来度量粗糙Vague集相似度的方法，是Vague集相似度度量方法的推广。当Vague集中对象之间完全可区分时，即可用来度量两个Vague集的相似度；当Vague集中对象之间具有不可分辨关系时，即可用关联熵系数来度量粗糙Vague集的相似度，此时，需要同时考虑上近似和下近似的相似程度。
5 结束语若考虑一定的知识背景，即所研究对象在某种程度上不可分辨时，单纯度量模糊集或者Vague集之间相似性的度量方法具有一定的局限性。有学者通过引入粗糙模糊集的关联熵系数，用于度量粗糙模糊集的相似性程度就比较合理。当实际应用中所面对的研究对象为更符合人类直觉的Vague集时，本文提出了基于关联熵系数的粗糙Vague集模型相似性度量方法，并通过实例验证了方法的有效性，为粗糙Vague集的相似性度量提供一种新思路。在以后的研究中，将进一步讨论粗糙Vague集相似性度量方法在真实数据集上的相关应用，为Vague集聚类分析、模式识别和大数据挖掘提供理论基础。
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