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  智能系统学报  2018, Vol. 13 Issue (4): 650-655  DOI: 10.11992/tis.201706081
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引用本文  

张倩倩, 马媛媛, 徐久成. 基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4), 650-655. DOI: 10.11992/tis.201706081.
ZHANG Qianqian, MA Yuanyuan, XU Jiucheng. Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficient[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2018, 13(4), 650-655. DOI: 10.11992/tis.201706081.

基金项目

国家自然科学基金项目(61772176,61370169,61402153);河南省科技攻关(重点)项目(182102210362,162102210261);河南师范大学青年科学基金项目(2015QK26);河南省高等学校重点科研项目(18A520031,5201119140059).

通信作者

马媛媛. E-mail:hnxxmyy@sina.com

作者简介

张倩倩,女,1982年生,实验师,主要研究方向为粗糙集、Vague集理论、粒计算;
马媛媛,女,1981年生,讲师,主要研究方向为粒计算、信息隐藏与多媒体安全;
徐久成,男,1963年生,教授,博士,主要研究方向为粗糙集、粒计算、数据挖掘、生物信息

文章历史

收稿日期:2017-06-26
网络出版日期:2018-04-11
基于关联熵系数的粗糙Vague集相似性度量方法
张倩倩1,2,3, 马媛媛1,2,3, 徐久成1,2,3    
1. 河南师范大学 计算机与信息工程学院,河南 新乡 453007;
2. “智慧商务与物联网技术”河南省工程实验室,河南 新乡 453007;
3. 河南省高校计算智能与数据挖掘工程技术研究中心,河南 新乡 453007
摘要:粗糙Vague集是将粗糙集和Vague集理论相互融合以处理不确定性信息的一种理论工具。本文在深入研究Vague集及粗糙模糊集的关联熵、关联熵系数及集合相似性度量方法基础上,将关联熵和关联熵系数的概念引入到粗糙Vague集,并详细讨论了它们的主要性质,同时证明了关联熵系数满足粗糙Vague集相似度的定义,可用于粗糙Vague集的相似性度量。最后通过实例验证了粗糙Vague集的关联熵系数用于度量粗糙Vague集之间相似性程度的有效性,该理论为粗糙Vague集相似性度量提供了一种新方法。
关键词粗糙Vague集    相似性度量    关联熵    关联熵系数    粗糙集    
Measurement method of the similarity of rough vague sets based on relative entropy coefficient
ZHANG Qianqian1,2,3, MA Yuanyuan1,2,3, XU Jiucheng1,2,3    
1. College of Computer and Information Technology, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China;
2. Engineering Lab of Intelligence Business & Internet of Things, Xinxiang 453007, China;
3. Engineering Technology Research Center for Computing Intelligence & Data Mining, Henan Province, Xinxiang 453007, China
Abstract: The rough Vague set is a theoretical tool that combines the theories of rough and Vague sets to deal with uncertain information. In this paper, we introduce the concept of relative entropy and its coefficient to a rough Vague set to investigate a method for measuring relative entropy, its coefficient, and the similarity of Vague and rough fuzzy sets. We also analyzed their main properties. We verified that the coefficient of the relative entropy has similarity with that of rough Vague sets, and that this coefficient can be used to measure the similarity of rough Vague sets. Finally, we conducted a case study to verify the effectiveness of using the relative entropy coefficient of a rough Vague set to determine the degree of similarity between rough Vague sets. This theory provides a new method for measuring the similarity of rough Vague sets.
Key words: rough Vague set    similarity measure    relative entropy    relative entropy coefficient    rough set    

作为一种有效的知识表示和处理工具,粗糙集理论[1]的主要思想是在保持分类能力不变的前提下,通过引入上近似和下近似等概念来刻画知识的不确定性和模糊性。Vague集[2]是在模糊集基础上发展起来的新型理论,与模糊集相比,该理论能同时表达支持和反对的证据,更加符合人类的直觉,在模式识别、人工智能、故障诊断等领域的应用已取得了显著效果[3-4]。Atanassov于1986年提出的直觉模糊集[5]理论同时考虑了对象的隶属度、非隶属度和犹豫度3个方面的信息,其实,Bustince等[6]已经证明,Vague集和直觉模糊集在定义上是等同的,在本质上是一致的。目前,有很多学者对粗糙集理论和Vague集理论[7-13]相互融合问题做了大量研究。我们后面的研究内容,将不对Vague集和直觉模糊集的描述方式作区分,在此统称为Vague集。

在模糊集、Vague集及粗糙Vague集理论研究中,相似性度量都是研究重点,它是模糊聚类、模式识别、近似推理等理论研究的基础[14-16]。权双燕等[17]研究了Vague集的偏熵、关联熵和关联熵系数,将其应用于Vague集相似性度量;魏莱等[18]将关联熵和关联熵系数引入粗糙模糊集,为考虑某种分类知识R下度量模糊集合之间的相似性程度提供了一种新方法。上述方法仅限于模糊集、Vague集和粗糙模糊集的研究范畴,具有一定的局限性。粗糙Vague集模型是粗糙集和Vauge集相互融合的理论方法,适用于处理现实世界中兼具不可分辨性和模糊性概念的问题。Namburu等[19]提出了广义粗糙直觉模糊c均值聚类算法,用于脑磁谐振图像分割;Liu等[20]通过直觉模糊相似性度量定义了冲突距离测量方法,用于解决现实生活中的冲突问题。为了有效度量粗糙Vague集模型的相似性,本文将关联熵、关联熵系数的应用领域进一步推广,为粗糙Vague集相似性度量及模式识别提供一种新的思路和方法。最后给出的实例证明,在知识对象具有不可分辨关系的背景下,对Vague集对象进行聚类分析时,应用粗糙Vague集的关联熵系数进行相似性度量更具合理性。

1 粗糙Vague集理论基础

定义1[2]  设论域 $U = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ 为一个对象空间,元素xi ( $i = 1,{\rm{ }}2, \cdots ,n$ )是所讨论的对象。U上一Vague集A用一个真隶属函数tA和一个假隶属函数fA表示: ${t_A}\left( {{x_i}} \right):U \to \left[ {0,{\rm{ }}1} \right]$ ${f_A}\left( {{x_i}} \right):U \to \left[ {0,{\rm{ }}1} \right]$ 。其中tA(xi)是由支持xi的证据所导出的xi隶属度的下界,fA(xi)则是由反对xi的证据所导出xi的否定隶属度下界,且 ${t_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} + {f_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} \leqslant {\rm{ }}1$ 。元素xi的隶属度被区间[0, 1]的一个子区间[tA(xi), 1–fA(xi)]所界定,称该区间为xiA中的Vague值。

定义2[17]  假定论域 $U = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ 上一Vague集A,我们称

$\begin{array}{c}E\left( A \right) = - \displaystyle\frac{1}{{n\ln 2}} \times \\\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {({t_A}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_A}({x_i})\ln {f_A}({x_i}))} \end{array}$

为Vague集A的熵。

一个Vague集的熵E同时表征了该Vague集的模糊正熵和模糊负熵,在定义2中,按惯例规定0·ln 0=0,ln 0= –∞。在此定义的Vague集 A的熵刻画了论域U中元素xi与Vague集A之间关系的不确定性程度,E越大,我们对xA的关系了解得越少。

定义3[17]  设A, B是论域U中任意两个Vague集,则A关于B的偏熵定义为

${E_B}\left( A \right) = - \sum\limits_{i = 1}^n {({t_B}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_B}({x_i})\ln {f_A}({x_i}))} $

式中B称为基准集。

与Vague集的熵定义类似,偏熵EB(A)也是Vague集A的不确定性程度的一种度量。

定义4[17]  两个Vague集AB之间的关联熵定义为它们的偏熵之和,即

$\begin{array}{c}E\left( {A;B} \right) = {E_B}\left( A \right) + {E_A}\left( B \right) = \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {[{t_B}({x_i})\ln {t_A}({x_i}) + {f_B}({x_i})\ln {f_A}({x_i})} + \\{t_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }}{\rm{ln}}{t_B}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} + {f_A}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }}{\rm{ln}}{f_B}\left( {{x_i}} \right)]\end{array}$

显然E(A; B)关于tA(xi)、tB(xi)和fA(xi)、fB(xi)是对称的,而且是非负的。关于Vague集的关联熵的相关性质证明过程请参考文献[17]。

作为处理不确定信息的两种工具,Vague集理论的出发点在于描述和解决概念内涵的模糊性和人们对概念认识不精确性的问题,粗糙集理论则侧重于知识对象不可分辨性的不确定性问题的研究。当人们所面对的问题兼具这两方面的不确定性时,即概念不但是模糊的,而且是不可分辨的,此时,需要将粗糙集理论和Vague集理论相互融合,研究粗糙Vauge集[7-8]的理论、方法及其不确定性度量,以弥补它们单独在处理实际问题时的不足。

定义5[21]  设 $U = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}\} $ 为一论域,RU上的等价关系,VU上一Vague集, $\forall {x_i} \in U$ ,由RV构成的粗糙Vague集(RV sets)定义如下:

$\begin{array}{c}\underline {\rm{Rt}}\left( V \right) = \inf \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \overline {\rm{Rt}} (V) = \sup \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \underline {\rm{Rf}} \left( V \right) = \sup \{ {f_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \overline {\rm{Rf}} (V) = \inf \{ {t_v}\left( x \right)|x \in {\left[ x \right]_R}\} \end{array}$

式中:[x]R表示包含元素xUR等价类,则上下近似Vague集表示为

$\begin{array}{c}\overline {\rm{RV}} = \left[ {\overline {\rm{Rt}} (V),\;1 - \overline {\rm{Rf}} (V)} \right]\underline {\rm{RV}} = [\underline {\rm{Rt}} \left( V \right), \; 1 - \underline {\rm{Rf}} \left( V \right)],\end{array}$

称序对 $\rm{RV} = (\underline {\rm{RV}} ,\overline {\rm{RV}} )$ 为论域U上的粗糙Vague集。

定义6[21]  设 $\rm{RV} = (\underline {\rm{RV}} ,\overline {\rm{RV}} )$ 是给定论域U上的粗糙Vague集,xU,定义:

1) ${{\rm{RV}}_A} \subseteq {{\rm{RV}}_B} \Leftrightarrow {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) \leqslant {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ , $1 - {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) \leqslant 1 -$ $ {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ ; ${t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right){\rm{ }} \leqslant {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ , $1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right){\rm{ }} \leqslant 1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$

2) ${{\rm{RV}}_C} \!=\! {{\rm{RV}}_A} \cup R{V_B}$ $ \Leftrightarrow \! {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_C}}}\left( x \right) \!=\! \max\{ {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right),{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)\} $ , ${f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_C}}} \!=\! \min\{ {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right),{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)\} $ ; ${t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}\left( x \right) \!=\! \max\{ {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right),{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)\} $ , ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}\left( x \right) = \min \{ {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right),{f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)\} $

3) ${{\rm{RV}}_A} \!\!=\!\! {{\rm{RV}}_B} \! \Leftrightarrow \! {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\!\left( x \right) \!=\! {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\!\left( x \right)$ , $1 \!\!-\!\! {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\!\!\left( x \right) \!=\!\! 1 \!- \!{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\!\left( x \right)$ ; ${t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ , $1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = 1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$

4) ${\left( {{{\rm{RV}}_A}} \right)^c} = ({({{\rm{RV}}_A})^c},{(\overline {{{\rm{RV}}_A}} )^c})$ $ \Leftrightarrow {t_{{{({{\underline {{\rm{RV}}} }_A})}^c}}}\left( x \right) = {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right)$ , ${f_{{{({{\underline {{\rm{RV}}} }_A})}^c}}}\left( x \right) = {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right)$ ; ${t_{{{({{\overline {{\rm{RV}}} }_A})}^c}}}\left( x \right) = {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right)$ , ${f_{{{({{\overline {{\rm{RV}}} }_A})}^c}}}\left( x \right) = {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right)$

2 粗糙Vague集的偏熵

定义7 设S=(U, R)为一近似空间,U为论域,RU上一等价关系,RVA, RVB是其上的两个粗糙Vague集,定义RVA关于RVB的偏熵为

${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) = {E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) \wedge {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A})$

式中:

$\begin{array}{c}{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + } \right.} \\\left. {{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]\end{array}$
$\begin{array}{c}{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A}) = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + } \right.} \\\left. {{f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]\end{array}$

如果将RVB看作一个基准粗糙Vague集,那么RVA关于RVB的偏熵表示了粗糙Vague集RVA的一个不确定性程度,它分别考虑了RVA上近似、RVA下近似的不确定性程度。

下面给出粗糙Vague集RVA关于粗糙Vague集RVB的偏熵具有的性质。

性质1(非负性) 设S=(U, R)为一近似空间,RVA、RVB是其上的两个粗糙Vague集,则有 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) > 0$

证明:由于 $0 \leqslant {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \leqslant 1$ ,则有 $\ln {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) \leqslant 0$ ;又由 $0 \leqslant {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \leqslant 1$ ,有 $\ln {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) \leqslant 0$ ,由定义7有 ${E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) > 0$

同理有 ${E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A}) > 0$ ,故 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) > 0$

性质2 当 ${t_B}\left( {{x_i}} \right){\rm{ }} \leqslant {f_B}\left( {{x_i}} \right)$ 时, ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) \geqslant E({\underline {{\rm{RV}}} _B})n$ $ \ln 2$ ;当 ${t_B}\left( {{x_i}} \right) > {f_B}\left( {{x_i}} \right)$ 时, ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) > E({\overline {{\rm{RV}}} _B})n\ln 2$

证明:由于 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) = {E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) \wedge {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\overline {{\rm{RV}}} _A})$ ,根据凸函数Jenson不等式有,

$\begin{array}{c}{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({\underline {{\rm{RV}}} _A}) - E({\underline {{\rm{RV}}} _B})n\ln 2 = - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln \displaystyle\frac{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}} + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln \frac{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}}} \right]} \geqslant \$8pt] - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \cdot \frac{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}} + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) \cdot \frac{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})}}{{{f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})}}} \right]} = \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left[ {{t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right]} \geqslant \\ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\ln 1} = 0\end{array}$

因此, ${E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\!({\underline {{\rm{RV}}} _A}\!) \!\! \geqslant \!\! E({\underline {{\rm{RV}}} _B}\!)n\ln 2$ , 同理可有 ${E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\!({\overline {{\rm{RV}}}\! _A}\!) \!\! \geqslant $ $ E({\overline {{\rm{RV}}}\! _B})n\ln 2$ ,因此 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) \!\! \geqslant \! \min \{ E({\underline {{\rm{RV}}}\! _B})$ $E({\overline {{\rm{RV}}} _B})\} n\ln 2$ ,当 ${t_B}\left( {{x_i}} \right) \! \leqslant \! {f_B}\left( {{x_i}} \right)$ 时, $E({\overline {{\rm{RV}}} _B}){\rm{ }} \! \geqslant \! E({\underline {{\rm{RV}}} _B})$ , 可证得 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}\!}_A}\!) \! \geqslant \! $ $ E({\underline {{\rm{RV}}} _B})n\ln 2$ ;当 ${t_B}\left( {{x_i}} \right) < {f_B}\left( {{x_i}} \right)$ 时, $E({\overline {{\rm{RV}}} _B}){\rm{ }} < E({\underline {{\rm{RV}}} _B})$ ,因此有 ${E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A}) > E({\overline {{\rm{RV}}} _B})n\ln 2$

性质3 设S=(U, R)为一近似空间,RVA、RVB是其上的两个粗糙Vague集,则有:

1) ${E_{{{\rm{RV}}_A}}}[{({{\rm{RV}}_A})^c}]{\rm{ = }}{E_{{{({{\rm{RV}}_A})}^c}}}({{\rm{RV}}_A})$

2) ${E_{{{({{\rm{RV}}_B})}^c}}}[{({{\rm{RV}}_A})^c}]{\rm{ = }}{E_{{{\rm{RV}}_B}}}({{\rm{RV}}_A})$

3) ${E_{{{\rm{RV}}_A} \cup {{({\rm{RV}})}^c}}}({{\rm{RV}}_A} \cap {({{\rm{RV}}_A})^c}){\rm{ = }}{E_{{{\rm{RV}}_A} \cap {{({\rm{RV}})}^c}}}({{\rm{RV}}_A} \cup {({{\rm{RV}}_A})^c})$

这些性质根据定义很容易证明,在这里不再赘述。

3 粗糙Vague集的关联熵系数及相似性度量方法

定义8 粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵同时考虑到两个粗糙Vague集的上近似与下近似并且定义为它们的偏熵之和,即

$\begin{array}{c}E\left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = E({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \wedge E({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B}){\rm{ = }}\left( {{E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}({{\underline {{\rm{RV}}} }_A}) + {E_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}({{\underline {{\rm{RV}}} }_B})} \right) \wedge \left( {{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({{\overline {{\rm{RV}}} }_A}) + {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({{\overline {{\rm{RV}}} }_B})} \right)\end{array}$

显然,从定义7可以看出,粗糙Vague集的关联熵系数E(RVA; RVB)是对称的,而且是非负的,即有如下性质:

性质4  $E\left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = E\left( {{{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A}} \right) \geqslant 0$

性质5 RVA、RVB是粗糙Vague集,则有 $E({{\rm{RV}}_A} \cup {{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A} \cap {{\rm{RV}}_B}) = E\left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right)$

证明:令 ${{\rm{RV}}_C} = {{\rm{RV}}_A} \cup {{\rm{RV}}_B}$ ${{\rm{RV}}_D} = {{\rm{RV}}_A} \cap {{\rm{RV}}_B}$ ,则 $E({{\rm{RV}}_A} \cup {{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A} \cap {{\rm{RV}}_B}) = E\left( {{{\rm{RV}}_C};{{\rm{RV}}_D}} \right) $ = $ E({\underline {{\rm{RV}}} _C};{\underline {{\rm{RV}}} _D}) \wedge $ $ E({\overline {{\rm{RV}}} _C};{\overline {{\rm{RV}}} _D})$ ,因此,只要证明 $E({\underline {{\rm{RV}}} _C};{\underline {{\rm{RV}}} _D}){\rm{ }} = E({\underline {{\rm{RV}}} _A};$ ${\underline {{\rm{RV}}} _B})$ ; RVB), $E({\overline {{\rm{RV}}} _C};{\overline {{\rm{RV}}} _D}){\rm{ }} = E({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ 即可。

在此,需要分4种情况进行讨论:

1) 记 ${X^{\left( 1 \right)}} = \{ x|x \in U,{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) > {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) > $ $ {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ }

2) 记 ${X^{\left( 2 \right)}} = \{ x|x \in U,{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) > {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) < $ $ {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ }

3) 记 ${X^{\left( 3 \right)}} = \{ x|x \in U,{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) < {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) > $ ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ }

4) 记 ${X^{\left( 4 \right)}} = \{ x|x \in U,{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) < {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ ${f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) < $ $ {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})$ }

则:

$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} E({\overline {{\rm{RV}}} _C};{\overline {{\rm{RV}}} _D}){\rm{ = }}{E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({\overline {{\rm{RV}}} _C}) + {E_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({\overline {{\rm{RV}}} _D}) = \\ - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_C}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_D}}}({x_i})} \right)} = \end{array} \end{array}$
$\begin{array}{l} - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right)} = \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})} \right)} \\ - \sum\limits_{x \in {X^{(1)}}} {\left( {{t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i}) + {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}({x_i})\ln {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}({x_i})} \right)} = E({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B}) \end{array}$

其他3种情况证明类似。

同理可以证明 $E({\underline {{\rm{RV}}} _C};{\underline {{\rm{RV}}} _D}){\rm{ }} = E({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B})$ ,所以有 $E({{\rm{RV}}_A} \cup {{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A} \cap {{\rm{RV}}_B}) = E\left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right)$

定义9 粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数定义为

$\rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = \rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \wedge \rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B})$

式中: $\rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \!=\! \displaystyle\frac{{(E({{\underline {{\rm{RV}}} }_A}) \!+\! E({{\underline {{\rm{RV}}} }_B}))n\ln 2}}{{E({{\underline {{\rm{RV}}} }_A};{{\underline {{\rm{RV}}} }_B})}}$ $\rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A}; $ ${\overline {{\rm{RV}}} _B}) = \displaystyle\frac{{(E({{\overline {{\rm{RV}}} }_A}) + E({{\overline {\underline {{\rm{RV}}} } }_B}))n\ln 2}}{{E({{\overline {{\rm{RV}}} }_A};{{\overline {{\rm{RV}}} }_B})}}$

为了进一步利用关联熵系数来度量粗糙Vague集的相似性,下面我们先给出粗糙Vague集相似度的定义。

定义10 设论域U是一个非空集合,RU上的一个等价关系,ABU上两个Vague集,由RAB构成的粗糙Vague集分别为RVA和RVB,其中 ${{\rm{RV}}_A} = ({\underline {{\rm{RV}}} _A},{\overline {{\rm{RV}}} _A})$ ${{\rm{RV}}_B} = {\rm{ }}({\underline {{\rm{RV}}} _B},{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ ,如果M(RVA, RVB)满足性质:

1) 0 ≤ M(RVA, RVB) ≤ 1;

2) 如果RVA = RVB,则M(RVA, RVB) = 1;

3) M(RVA, RVB) = M(RVB, RVA),

则称M(RVA, RVB)为粗糙Vague集RVA与RVB的相似度。

显然,粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数ρ(RVA; RVB)是对称的,而且是非负的,即粗糙Vague集的关联熵系数具有如下性质:

性质6  $\, \rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = \rho \left( {{{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A}} \right) \geqslant 0$

性质7 RVA, RVB是任意的粗糙Vague集,则有 $0 \leqslant \rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) \leqslant 1$ ;当且仅当RVA=RVB时,ρ(RVA; RVB)=1。

证明 由定义6可知,当RVA=RVB时,有 ${t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = $ $ {t_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ $1 - {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = 1 - {f_{{{\underline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ ;且 ${t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = {t_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ $1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_A}}}\left( x \right) = 1 - {f_{{{\overline {{\rm{RV}}} }_B}}}\left( x \right)$ ,所以根据粗糙Vague集关联熵定义即有ρ(RVA; RVB)=1。

又因为 $\rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}){\rm{ }} \!\! \leqslant \!\! 1$ , $\rho ({\overline {{\rm{RV}}}\! _A};{\overline {{\rm{RV}}}\! _B}) \!\! \leqslant \!\! 1$ , $\rho \left( {{{\rm{RV}}\!_A};{{\rm{RV}}\!_B}} \right) \!\!=$ $ \rho ({\underline {{\rm{RV}}}\! _A};{\underline {{\rm{RV}}}\! _B}\!) \wedge \rho ({\overline {{\rm{RV}}}\! _A};{\overline {{\rm{RV}}}\! _B}\!)$ , 所以0≤ρ(RVA; RVB)≤1。

从性质6和性质7可以看出,粗糙Vague集的关联熵系数ρ(RVA; RVB)满足定义10中粗糙Vague集相似度的定义。

与Fuzzy集、粗糙模糊集的关联熵系数类似,在定义9中粗糙Vague集RVA、RVB的关联熵系数的定义中, $\, \rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ 是对两个粗糙Vague集RVA, RVB上近似相似程度的度量, $\, \rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B})$ 是对两个粗糙Vague集RVA、RVB下近似相似性度量。为了有效度量两个粗糙Vague集间的相似性,关联熵系数ρ(RVA; RVB)同时考虑了上、下近似相似性程度,具有一定的合理性。

性质8  $\, \rho ({{\rm{RV}}_A} \cup {{\rm{RV}}_B};{{\rm{RV}}_A} \cap {{\rm{RV}}_B}) = \rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right)$

证明方法同性质5的证明类似,这里不再赘述。

粗糙Vague集是针对现实世界中所研究对象兼具模糊性和不可分辨性特点的新的理论方法,研究粗糙Vague集的关联熵和关联熵系数可为粗糙Vague集相似性度量提供一种新思路。

4 实例分析与比较

例1 给定一个知识库K = (U, R),其中论域 $U = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_8}\} $ RU上一个不分明关系,U/R = {E1, E2, E3, E4},其中:E1= {x1, x4, x8},E2= {x2, x5, x7},E3= {x3 },E4= {x6 },假定U上两个Vague集分别为:

A={[0.7, 0.8]/x1, [0.8, 0.9]/x2, [0.3, 0.4]/x3, [0.1, 0.2]/x4, [0.5, 0.6]/x5, [0.4, 0.5]/x6, [0.3, 0.5]/x7, [0.5, 0.7]/x8};

B={[0.7, 0.9]/x1, [0.6, 0.7]/x2, [0.5, 0.6]/x3, [0.2, 0.3]/x4, [0.4, 0.6]/x5, [0.3, 0.4]/x6, [0.4, 0.5]/x7, [0.1, 0.2]/x8}。

对于每个对象Vague取值的依据,这里暂不做讨论,有时候是凭借专家经验。由粗糙Vague集的定义可知,论域U上的两个Vague集AB在不分明关系R上的下、上近似Vague集分别为:

$\underline {{\rm{RA}}} $ = {[0.1, 0.2]/g1, [0.3, 0.5]/g2, [0.3, 0.4]/g3, [0.4, 0.5]/g4}

$\overline {{\rm{RA}}} $ = {[0.7, 0.8]/g1, [0.8, 0.9]/g2, [0.3, 0.4]/g3, [0.4, 0.5]/g4}

$\underline {{\rm{RB}}} $ = {[0.1, 0.2]/g1, [0.4, 0.5]/g2, [0.5, 0.6]/g3, [0.3, 0.4]/g4}

$\overline {{\rm{RB}}} $ = {[0.7, 0.9]/g1, [0.6, 0.7]/g2, [0.5, 0.6]/g3, [0.4, 0.5]/g4}

式中:gi分别代表论域U上的对象在等价关系R下的等价类。这样, ${{\rm{RV}}_A} \!=\! ({\underline {{\rm{RV}}} _A},{\overline {{\rm{RV}}} _A})$ ${{\rm{RV}}_B} \!=\! ({\underline {{\rm{RV}}} _B},{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ 分别为等价关系R下的两个粗糙Vague集。

由粗糙Vague集关联熵系数的定义,经计算可得:

$\rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B})$ = 0.95; $\rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B})$ = 0.91

则RVA和RVB的关联熵系数 $\rho \left( {{{\rm{RV}}_A};{{\rm{RV}}_B}} \right) = $ $ \rho ({\underline {{\rm{RV}}} _A};{\underline {{\rm{RV}}} _B}) \wedge \rho ({\overline {{\rm{RV}}} _A};{\overline {{\rm{RV}}} _B}) = 0.91$ ,即在论域U中知识具有不可分辨关系的背景下,两个Vague集AB具有极高的相似度,难以区分。

同样可以计算,若不考虑知识背景R时,Vauge集A和Vague集B的关联熵系数ρ(VA; VB) = 0.84,则在模式识别或者聚类分析应用领域,若研究对象空间的粒度很细,即所研究对象可精确分辨的背景下,Vague集AB相对容易区分。

为了进一步说明问题,下面和文献[22-23]中有关直觉模糊集相似度在模式识别方面的应用来做对比分析。

例2 设有3个已知模式P1P2P3,分别被标注为C1C2C3类。3个模式P1P2P3是定义在论域U ={x1, x2, x3, x4}上的直觉模糊集。在此,我们将此例中的直觉模糊集用Vague集的形式表示,则有:

P1={[0.5, 0.8]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.5, 0.7]/x4};

P2={[0.5, 0.7]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.3, 0.5]/x4};

P3={[0.3, 0.9]/x1, [0.5, 1.0]/x2, [0.3, 0.9]/x3, [0.5, 0.5]/x4};

现有一个定义在U ={x1, x2, x3, x4}上的未知模式:

Q={[0.4, 0.8]/x1, [0.5, 0.8]/x2, [0.4, 0.8]/x3, [0.5, 0.5]/x4}。

为了知道Q被划分到C1C2C3的哪一个类,需要分别计算Q与3个已知模式P1P2P3的相似度。

在例2中,可以认为是最细粒度的粗糙Vague集,即每个对象xi都是可区分的。因此,只需要分别计算QP1P2P3的关联熵系数即可。由定义9计算得知ρ(P1; Q) = 0.96,ρ(P2; Q) = 0.97,ρ(P3; Q)=0.79。

其中,在计算ρ(P3; Q)过程中,由于P3x2上的假隶属度fx=0,因此在计算中使用了一个较小的数,这里用0.01来替换,得出P3Q的关联熵系数为0.79。如果用来替换的数值更小,关联熵系数越小。因此,使用关联熵系数来度量Vague集的相似度时,将Q识别为C2类,得到了和文献[23]一致的结论。此外,QC1类之间的相似度和QC2类之间的相似度差别较小,这就是为什么在文献[23]中,会出现采用某些度量方法将Q识别为C1类,有些度量方法将Q识别为C2类。

可见,文中采用关联熵系数来度量粗糙Vague集相似度的方法,是Vague集相似度度量方法的推广。当Vague集中对象之间完全可区分时,即可用来度量两个Vague集的相似度;当Vague集中对象之间具有不可分辨关系时,即可用关联熵系数来度量粗糙Vague集的相似度,此时,需要同时考虑上近似和下近似的相似程度。

5 结束语

若考虑一定的知识背景,即所研究对象在某种程度上不可分辨时,单纯度量模糊集或者Vague集之间相似性的度量方法具有一定的局限性。有学者通过引入粗糙模糊集的关联熵系数,用于度量粗糙模糊集的相似性程度就比较合理。当实际应用中所面对的研究对象为更符合人类直觉的Vague集时,本文提出了基于关联熵系数的粗糙Vague集模型相似性度量方法,并通过实例验证了方法的有效性,为粗糙Vague集的相似性度量提供一种新思路。在以后的研究中,将进一步讨论粗糙Vague集相似性度量方法在真实数据集上的相关应用,为Vague集聚类分析、模式识别和大数据挖掘提供理论基础。

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