0 引言

滑坡的产生受地形地貌、地层构造、地质水文、降雨、人类活动等多种因素的影响，导致模型预报的结果具有高度的不确定性^[1-2]。单一滑坡预报的模型难以取得理想的预报效果，因而多模型融合预警是当今研究热点。

滑坡位移-时间序列可以直接反映滑坡动态变化过程^[3-4]，利用该序列构建的多种临滑时刻预报模型(如Verhulst反函数模型、福囿模型等^[5-8])可以从不同侧面反映滑坡机理，同时其互相之间又具有互补性。信息融合能综合多源互补信息以提高决策的准确性和可靠性^[9-10]，在滑坡多模型融合方面，采用的方法有：1)利用滑坡实际位移-时间序列与模型预报位移-时间序列形成拟合残差矩阵，通过求取残差矩阵的最优解来确定模型权重，实现多模型融合的预报^[11-12]。但该权重一方面未考虑模型的最终预报误差；另一方面，因滑坡所处环境条件及其内部地质结构等要素各不相同，在不同的预报时间点，模型预报的滑坡位移误差波动较大。由于上述两方面原因，该权重作为模型的可靠性评估不够准确，难以取得理想的融合效果。2)通过已知滑坡预报的结果建立模糊隶属度函数，并对模型进行可靠性评估，再用模糊积分方法实现多模型融合的预报^[13]。该隶属度函数需要滑坡发生时刻作为参照点，当滑坡未发生时，其发生时刻是未知的。因此，该隶属度函数不适用于滑坡预警实践。

针对目前多模型融合预警方法未能充分体现个体模型预报特征、缺乏实用性等问题。本文针对单一模型预报结果可能提前或延迟的情况，结合模糊积分方法处理不确定性决策融合的优势^[14-15]，构建了一种新的无需滑坡发生时刻作为参照点的模糊隶属度函数——预警隶属度函数，并利用模糊积分方法实现多模型滑坡预警。

1 滑坡预报模型与模糊积分融合 1.1 滑坡临滑时刻预报模型

常用的滑坡临滑时刻预报模型有福囿模型、Verhulst函数模型和Verhulst反函数模型，表达式及参数确定方法见表 1。

1.2 基于模糊积分的多滑坡预报模型融合

经典测度需要满足可加性，模糊测度无需严格满足可加性，能较好地对存在测量误差的信息进行度量。模糊积分是建立在模糊测度基础上的不确定性信息求和。

设Y是任意集合，R是Y的子集所构成的Borel域，对于所有的A, B⊂Y，且A∩BØ，Sugeno积分定义模糊测度g_λ满足下面的可加性：

其中：λ为测度参数。

设Y={y₁, y₂, …, y_m}，定义映射g:y_i∈Y→[0, 1]为g_λ的模糊密度，令g_i=g_λ({y_i}), i=1, 2, …, m，那么，当λ≠0时，有限集Y的g_λ测度可由下式计算：

根据边界条件g(Y)=1，λ可由下式计算：

设(Y, R, g)是模糊测度空间，A∈R，f:Y→[0, 1]为R上的可测函数，当0≤f(y₁), f(y₂), …, f(y_m)时，Sugeno积分可由下式计算：

其中g(A_i)由下式递归计算：

模糊积分融合多滑坡预报模型中，Y为滑坡预报模型的集合，g(A_i)为模型可靠性，f(y_i)为模型y_i当次预报隶属于预警论域子集的程度，模糊积分为m个预报模型发生滑坡可能性的和；因此，要实现模糊积分融合多模型预警的关键在于确定模型的可靠性及模型预警隶属度函数。

2 模型可靠性评价及预警隶属度函数构建 2.1 模型可靠性评价

把模型预报滑坡发生时间视为随机变量，以滑坡实际发生时刻为参照点划分时间区间，时段概率为模型预报时刻落入某一时段区间的次数与模型预报总数的比值；时段概率与随机变量的分布函数密切相关，其可作为模型可靠性评价依据，若模型具有实用性，其时段概率应大致呈正态分布(图 1)。

图 1中，0点表示滑坡发生时刻，时段区间[t₁, t₂]越小对模型预报可靠性评价的精度越高，区间大小受样本数量的限制，样本数量充分情况下可用较小的区间，样本数量较少宜用较大区间。对于滑坡预报需要解决滑坡具体发生时刻，而对于滑坡预警只需要解决预警时段内是否发生滑坡。因此，利用时段概率分布进行滑坡预警是可行的。

2.2 预警隶属度函数构建

滑坡预警是评估预警时刻以后一定时间段发生滑坡和不发生滑坡的可能性，由于滑坡是否发生具有高度不确定性，可以把发生滑坡和不发生滑坡作为滑坡预警论域中的2个模糊子集，预警就是求取模型预报结果隶属于2个模糊子集的程度。如某滑坡预报模型最大延迟误差为50 d，假设模型当次预报是延迟的(滑坡发生提前)，其预报滑坡发生时刻为第65天，可以确定从预警时刻起15 d以内，该斜坡发生滑坡的可能性趋近于0。依据上述思路，结合模型预报时段概率，构建模型预报隶属于发生滑坡和不发生滑坡模糊子集的隶属度函数，分别用实线和虚线表示，设模型预报提前和预报延迟的最大误差分别为σ_maxa，σ_maxb，模型预警隶属度函数如图 2所示。

假设模型预报发生滑坡时刻为当前预报时刻后第L天，对于尚未发生的滑坡，滑坡发生时刻是未知的，不能确定模型该次预报时刻是提前还是延后，因此，也无法计算预警时效W天内发生滑坡的可能性。现分情况讨论如下：

1) 若预报提前，预报时间L取负值，在预警时间内发生滑坡的隶属度为：

预报提前不发生滑坡的隶属度为

2) 若预报延后，预报时间L取正值，在预警时间内发生滑坡的隶属度为：

预报延后不发生滑坡的隶属度为

为降低滑坡发生的风险，模型在预警时间内发生滑坡的隶属度u^A(L, W)取预报提前发生滑坡隶属度和延后发生滑坡隶属度二者较大值，不发生滑坡的隶属度u^B(L, W)取二者较小值，那么预警隶属度函数为：

上述隶属度函数表达式中的t₁、t₂和σ_maxa、σ_maxb已通过模型可靠性评价确定，其反映了模型预报特征；因此模型预警隶属度函数只与预警时间W及模型预报时刻L有关，与实际发生滑坡时刻无关，这较好地解决了模型预报是提前还是延迟的问题。

3 验证 3.1 实验数据与预警隶属度函数确定

收集20个已知滑坡位移监测数据，其中的16个用表 1中的滑坡预报模型计算滑坡临滑时刻，模型评价参数见表 2。从表 2可见，受已知样本数量限制，难以取得较高的模型评价精度，因此，隶属度函数的提前和延后最大值均采用3个模型的最大值，即σ_maxb=-45，σ_maxa=61，选用15 d时段精度，即t₁=－15，t₂=15，W=15。用另外的4个已知滑坡(卧龙寺、黄茨、晴隆和新滩滑坡)进行模拟预警验证实验，滑坡基本情况及位移监测数据见表 3。

3.2 多模型融合预警

模拟预警时刻为滑坡发生3 d前、预警15 d内发生滑坡的可能性，多模型融合预警步骤如下:

1) 计算模型预报时刻及其提前或延后预警隶属度。根据表 1中滑坡预报模型，求取滑坡自预报时刻起到发生滑坡的时间L，根据式(7)和式(8)求取u^A(L+W)和u^B(L+W)，根据式(9)和式(10)计算u^A(L－W)和u^B(L－W)，结果见表 4(u^B未列出)。

2) 计算模型预报发生滑坡和不发生滑坡预警的隶属度。根据式(11)和式(12)，求取u^A(L, W)和u^B(L, W)，并对3个预报模型按隶属度值大小排序，分别得到u^A(y_i)和u^B(y_i), 其中y_i表示第i个预报模型。

3) 以模型15 d时段精度(表 2)作为模型模糊密度，根据式(3)求取λ值，得λ=－0.80。

4) 计算模糊测度。按照步骤3)的排序结果，结合表 2中精度，根据式(5)和式(6)计算模糊测度g(A)。

5) 计算模糊积分。按式(4)计算发生滑坡和不发生滑坡的模糊积分，当时，发出滑坡预警，也可以模糊积分发生滑坡和不发生滑坡的可能性设置预警等级。表 5、表 6分别为模型预报发生滑坡和不发生滑坡的预警隶属度及多模型积分结果，其中，不同i值表示不同的模型。

根据表 5和表 6模糊积分计算结果，滑坡发生3 d前模拟预警15 d内是否发生滑坡结果见表 7，1 d前模拟预警结果见表 8。

结合表 7、表 8可知：

1) 若虚警率采用错误预警次数与总预警次数的比值，那么，滑坡发生3 d前模拟预警模糊积分融合方法比单一模型平均虚警率降低16.6%，1 d前模糊积分融合法比单一模型降低25.0%；基于预警隶属度函数的模糊积分综合多模型综合预警能提高预警精度，虚警率降低20.0%左右。

2) 采用的监测数据越接近滑坡发生时刻，越能反映滑坡滑动特征，预警精度越高。

4 结语

1) 利用滑坡预报模型的预报结果，构建了滑坡预警隶属度函数，函数充分反映了滑坡预报模型特征，实现了预报与预警的有机结合，且有效地解决了模型预报是提前还是延迟的问题。

2) 利用模糊积分方法，实现了基于预警隶属度函数多模型综合预警，多模型预警比单一模型预警准确。

3) 需要注意的问题是：基于预警隶属度函数的模糊积分融合多模型滑坡预警方法与单个模型预报精度、监测样本数量、预警时段的长短以及最大最小提前和延迟误差密切相关，方法直接应用于滑坡预警实践还需在滑坡预报模型适应性评价、收集已知滑坡实例等方面进行大量工作。