近年来，欠驱动水面船(以下简称欠驱动船或USV)区域保持控制一直是备受关注的研究热点和难点问题。区域保持需要对船舶的输出位置进行严格约束，保证船舶始终在规定的作业区域内运动。目前具备定点定位或区域保持功能的船舶基本上是全驱动动力定位船或大型海洋工作平台。此类船舶可以通过锚泊定位或者动力定位系统实现定点定位或区域保持控制^[1-2]。然而，目前海上航行的大多数船舶的独立控制输入量少于自由度数量(横向缺少推进器)，属于带有加速度约束的二阶非完整系统，即具有欠驱动特性^[3-4]。由于其欠驱动特性，船舶无法提供横向推力，无法对其进行定点定位控制；并且多数欠驱动船结构简单体型小也无法采用锚泊定位或动力定位系统实现区域保持控制^[5-6]。目前对欠驱动船区域保持控制的研究也是寥寥无几，鲜有相关参考文献。因此，对于欠驱动船区域保持控制的研究非常具有挑战性和实际意义。

一方面，通过已有文献拟考虑将欠驱动船区域保持问题转化为输出状态变量约束系统的控制问题^[7]。当欠驱动船执行区域边界具有严格限制的相关任务时(如区域内待命、水文勘测、敌情侦查等)^[8]，为确保欠驱动船低速区域保持的高性能和安全性，通常对系统的输出状态变量做出严格限制。此外，小型欠驱动船在实际海洋环境中进行航行与作业时，易受风浪流等外界环境干扰影响。因此，不依赖精确数学模型和对外界环境干扰具有良好鲁棒性的滑模控制技术受到广泛研究和应用^[9-10]。

另一方面，为了解决输出状态变量约束问题，研究人员提出了许多方法，如模型预测控制^[11]、定值调节器^[12]等。但是上述控制方法本质上均是基于数值计算的，会加剧计算过程，容易引起计算量过大。为了避免上述问题，一种基于障碍李雅普诺夫函数(Barrier Lyapunov function, BLF)的方法被提出并用于处理输出约束问题。它的基本思想是当自变量的值趋近于规定区域边界时，BLF的值将趋近于无穷大，因此通过BLF的有界性，可以达到限制输出的目的。该方法最早被应用于解决具有布鲁诺夫斯基形式(Brunovsky)系统^[13]的输出约束问题。经过发展，文献[14-15]针对多状态约束下全驱动水面船的轨迹跟踪问题，采用对称障碍李雅普诺夫函数设计轨迹跟踪控制器解决输出约束问题，有效保证系统受约束的输出变量不超出约束边界。文献[16]对一类输出约束的严格反馈单输入单输出系统，分别基于BLF和ABLF(非对称障碍李雅普诺夫函数)提出了2种鲁棒自适应控制方案。但是上述方法均应用于全驱动系统并未考虑欠驱动系统的情况。

综合上述讨论，本文的主要贡献在于首先控制器设计不依赖精确数学模型，考虑时变外界环境干扰；然后，在运动学回路中设计期望速度并将其视为虚拟输入，在动力学回路中利用鲁棒滑模方法实现对参考速度的跟踪控制；最后将区域边界限制转换为输出位置状态约束解决了欠驱动船的区域保持问题。

1 问题描述及建模 1.1 预备知识

定义1^[16]  对于D是包含原点的开域，障碍李雅普诺夫函数V(x)是定义在D上的关于系统ẋ=f(t, x)的标量函数，满足光滑正定；在D中的每一点有连续的一阶偏导数；当x趋近D的边界时，V(x)→∞；当x(0)∈D时，有V(x)≤b, ∀t≥0，其中b>0。

引理1^[16]  对任意常数k_b>0，假设S₁:={s₁∈R:|s₁| < k_b}⊂R，N:=R^l×S₁⊂R^l+1是开集。对于系统ẋ=f(t, x)，其中x:=[ω s₁]^T∈N是系统的状态，函数f:=R₊×N→R^l+1关于变量t分段连续且在R₊×N, S₁满足Lipschitz条件。假设存在函数U:=R^l→R₊和V₁:=S₁→R₊，在各自区域内是连续可导且正定，那么s₁→-k_b或s₁→k_b时，有V₁(s₁)→∞，γ₁(‖ω‖)≤U(ω)≤γ₂(‖ω‖)，其中γ₁和γ₂是κ_∞函数。假设V(x):=V₁(s₁)+U(ω)，s₁(0)∈s₁∈(-k_b, k_b)，如果满足不等式：

$ \dot V = (\partial V/\partial x)f \le 0 $

成立，那么有如下结论成立：对∀t∈[0, ∞)，s₁(t)仍在集合s₁∈(-k_b, k_b)中。

1.2 欠驱动水面船模型

考虑外界环境干扰下USV水平面运动学和动力学模型为^[17](忽略横摇、纵摇和垂荡)：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot x = u{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - v{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }\\ {\dot y = u{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi + v{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }\\ {\dot \psi = r} \end{array}} \right. $

(1)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dot u = (1/{m_u})[{m_v}vr - {d_u}u + {\tau _u} + {\tau _{wu}}(t)]}\\ {\dot v = (1/{m_v})[ - {m_u}ur - {d_v}v + {\tau _{wv}}(t)]}\\ {\dot r = (1/{m_r})[({m_u} - {m_v})uv - {d_r}r + {\tau _r} + {\tau _{wr}}(t)]} \end{array}} \right. $

(2)

式中：x、y、ψ表示北东坐标系下USV位置坐标和艏向角；u、v、r表示船体坐标系下纵向、横向速度和艏向回转速度；m_i, d_i, i=u, v, r表示欠驱动船系统包括附加质量在内的惯性参数和水动力阻尼系数，为已知项；τ_u和τ_r表示纵向推力和转艏力矩，由于没有横向控制输入，因此所研究的为欠驱动船区域保持的控制问题。τ_wi表示由风浪流等引起的外界环境干扰力和力矩。

在接下来的控制器设计中，定义区域保持误差变量为d_e=$\sqrt{x_{e}^{2}+y_{e}^{2}}$，则USV区域保持的控制目标为：针对USV数学模型(1)和(2)，结合对称障碍李雅普诺夫函数设计鲁棒滑模控制律τ_u、τ_r，使USV在满足d_e < k_d(k_d>0)的情况下跟踪期望航迹，即始终保持USV的运动轨迹在规定区域内，不超出规定区域边界。控制原理图如图 1所示, 并给出如下假设。

假设1  外界环境干扰有界，满足|τ_wi|≤τ_wimax < ∞，0 < τ_wimax < ∞是未知常数。

假设2  欠驱动船重心位于坐标原点，USV左右对称，且非对角元素相对于对角元素为小量可忽略。

假设3  存在最小航速u_min和最大航速u_max，使得期望纵向速度满足α_u∈[u_min, u_max], u_max>u_min>0。

假设4  期望航迹光滑有界Ω_d:[0, ∞]→R²，且对时间的导数均有界。

假设5  所有状态都是可测量的，并可供反馈。

2 控制器设计和稳定分析 2.1 基于对称障碍李雅普诺夫函数的鲁棒滑模控制器设计

首先定义欠驱动船的位置和速度跟踪误差变量x_e、y_e、u_e、v_e，两边求导并代入式(1)和(2)可得：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_e} = \dot x - {{\dot x}_d} = u{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - v{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - {{\dot x}_d}\\ {{\dot y}_e} = \dot y - {{\dot y}_d} = u{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi + v{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - {{\dot y}_d}\\ {{\dot u}_e} = \dot u - {{\dot \alpha }_u} = (1/{m_u})[{m_v}vr - {d_u}u + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\tau _u} + {\tau _{wu}}(t)] - {{\dot \alpha }_u}\\ {{\dot v}_e} = \dot v - {{\dot \alpha }_v} = (1/{m_v})[ - {m_u}ur - {d_v}v + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\tau _{wv}}(t)] - {{\dot \alpha }_v} \end{array} \right. $

(3)

为避免如注1所示虚拟控制律的设计缺陷，同时实现位置跟踪误差收敛，根据文献[9]设计期望纵向和横向速度即虚拟控制律如下，

$ \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _u}}\\ {{\alpha _v}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\psi }&{{\rm{sin}}\psi }\\ { - {\rm{sin}}\psi }&{{\rm{cos}}\psi } \end{array}} \right] \cdot \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_d} + {h_1}{\rm{tanh}}( - {k_1}{x_e}/{h_1})}\\ {{{\dot y}_d} + {h_2}{\rm{tanh}}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array}} \right] \end{array} $

(4)

式中：x_d、y_d和α_u、α_v分别表示期望位置和期望速度，k₁, k₂>0和h₁, h₂>0表示待设计参数，h₁、h₂根据欠驱动船最大速度的物理限制选取，而k₁、k₂可以影响欠驱动船的收敛速度。

同理可知，

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_e}}\\ {{v_e}} \end{array}} \right] = \mathit{\boldsymbol{J}}(\psi )\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_e} - {h_1}{\rm{tanh}}( - {k_1}{x_e}/{h_1})}\\ {{{\dot y}_e} - {h_2}{\rm{tanh}}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array}} \right] $

(5)

式中：$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi\end{array}\right]$，J矩阵非奇异且|J|=1。这意味着当u_e, v_e趋近于零，ẋ_e-h₁tanh(-k₁x_e/h₁)和ẏ_e-h₂tanh(-k₂y_e/h₂)也均趋近于零，由此可知，

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_e} = {h_1}{\rm{tanh}}( - {k_1}{x_e}/{h_1})}\\ {{{\dot y}_e} = {h_2}{\rm{tanh}}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array} $

(6)

接下来证明x_e、y_e的收敛性，选取如下李雅普诺夫函数V₁为：

$ {V_1} = \frac{1}{2}x_e^2 + \frac{1}{2}y_e^2 $

(7)

将V₁对时间求导并代入式(6)可得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_1} = {x_e}{{\dot x}_e} + {y_e}{{\dot y}_e} = - {h_1}{x_e}{\rm{tanh}}({k_1}{x_e}/{h_1}) - }\\ {{h_2}{y_e}{\rm{tanh}}({k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array} $

(8)

已知k₁, k₂>0和h₁, h₂>0，显然对∀(x_e, y_e)≠(0, 0)，满足$\dot{V}_{1} < 0$。所以当欠驱动船的纵向和横向速度跟踪上式(4)中期望速度时，可以得到欠驱动船位置跟踪误差x_e、y_e也渐近收敛于任意小零值邻域。

然后，为使欠驱动船跟踪期望速度α_u和α_v，设计非线性滑模面：

$ {{L_1} = {u_e} + {\xi _1}\int_0^t {{u_e}} (\tau ){\rm{d}}\tau + {\xi _2}} $

(9)

$ {{L_2} = {{\dot v}_e} + {\xi _3}\int_0^t {{v_e}} (\tau ){\rm{d}}\tau + {\xi _4}{v_e}} $

(10)

式中：待设计参数ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄>0。对滑模面求导，并将式(2)和(5)代入得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot L}_1} = (1/{m_u})[{m_v}vr - {d_u}u + {\tau _u} + {\tau _{wu}}(t)] - }\\ {{{\dot \alpha }_u} + {\xi _1}{u_e}} \end{array} $

(11)

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot L}_2} = {{\ddot v}_e} + {\xi _3}{v_e} + {\xi _4}{{\dot v}_e} = }\\ {(1/{m_v})[ - {m_u}(\dot ur + u\dot r) - {d_v}\dot v + {{\dot \tau }_{wv}}(t)] - } \end{array}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\ddot \alpha }_v} + {\xi _3}{v_e} + {\xi _4}{{\dot v}_e} = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1/{m_v}) \cdot \\ \left[ { - {m_u}(\dot ur + (u/{m_r})(({m_u} - {m_v})uv - {d_r}r + } \right.\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\tau _r} + {\tau _{wr}}(t))) - {d_v}\dot v + {{\dot \tau }_{wv}}(t)] - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\ddot \alpha }_v} + {\xi _3}{v_e} + {\xi _4}{{\dot v}_e} \end{array} $

(12)

分别令$\dot{L}$₁=0和$\dot{L}$₂=0，并且保证区域保持误差满足d_e < k_d，可得欠驱动船纵向推力和转艏力矩的等效控制律τ_u1和τ_r1。

为了满足可达性保证系统能在有限时间内抵达滑模面，需进一步设计切换控制律τ_u2和τ_r2使滑模面具有：

$ {{{\dot L}_1} = - {C_1} {\rm{sign}} ({L_1})} $

(13)

$ {{{\dot L}_2} = - {C_2} {\rm{sign}} ({L_2})} $

(14)

式中C₁, C₂>0表示待设计控制参数。

最后，为了便于分析，本文假设作业区域是以O(0, 0)为圆心，R为半径的圆形区域，而期望航迹半径为r_a且r_a < R。则区域保持任务即可描述为始终保持欠驱动船的运动轨迹在圆内，不超出规定区域边界。

考虑外界环境干扰和位置状态变量约束条件，采用对称障碍李雅普诺夫函数设计如下纵向推力和转艏力矩，有：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\tau _{u1}} = - {m_v}vr + {d_u}u - {\tau _{wu}}(t) + {m_u}{{\dot \alpha }_u} - }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {m_u}{\xi _1}{u_e} - ({m_u}/{L_1})\frac{{{x_e}{{\dot x}_e} + {y_e}{{\dot y}_e}}}{{k_d^2 - d_e^2}}} \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{r1}} = \frac{{{m_r}}}{{u{m_u}}}( - {d_v}\dot v + {{\dot \tau }_{wv}}(t)) + \frac{{{m_v}{m_r}}}{{u{m_u}}}(\chi - {\alpha _u}\dot r - }\\ {{\xi _3}{v_e} - {\xi _4}{{\dot v}_e}) + ({m_v} - {m_u})uv + {d_r}r - {\tau _{wr}}(t) - \frac{{{m_r}}}{u}\dot ur} \end{array} $

(16)

选取切换控制律τ_u2和τ_r2：

$ {{\tau _{u2}} = - {m_u}{C_1} {\rm{sign}} ({L_1})} $

(17)

$ {{\tau _{r2}} = \frac{{{m_v}{m_r}}}{{u{m_u}}}{C_2} {\rm{sign}} ({L_2})} $

(18)

可得：

$ {{\tau _u} = {\tau _{u1}} + {\tau _{u2}}} $

(19)

$ {{\tau _r} = {\tau _{r1}} + {\tau _{r2}}} $

(20)

中间变量形式为：

$ \begin{gathered} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \chi = - {{\dddot x}_d}{\text{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi + {{\dddot y}_d}{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - {{\ddot x}_d}r{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - \hfill \\ {{\ddot y}_d}r{\text{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - {{\dot \alpha }_u}r + {\gamma _1}r{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi + {\gamma _2}r{\text{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi + \hfill \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\dot \gamma }_1}{\text{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi - {{\dot \gamma }_2}{\text{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi \hfill \\ \end{gathered} $

$ {{\gamma _1} = {k_1}{{\dot x}_e} {\rm{sech}}{ ^2}( - {k_1}{x_e}/{h_1})} $

$ {{\gamma _2} = {k_2}{{\dot y}_e} {\rm{sech}}{ ^2}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} $

注1  虚拟控制律选用式(4)，而不选取：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\alpha _u}}\\ {{\alpha _v}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }\\ { - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_d} - k{x_e}}\\ {{{\dot y}_d} - k{y_e}} \end{array}} \right] $

是考虑当|x_e|和|y_e|较大时，会导致虚拟控制律超出欠驱动船所能达到的最大速度，从而无法确保设计的控制输入τ_u与τ_r使得USV的纵向和横向速度跟踪期望速度α_u和α_v。

注2  由于L₁≠0，所以当k_d=d_e时，控制律τ_u(t)将产生奇异值，而区域保持控制器设计过程需满足d_e < k_d；当u=0时，控制律τ_r(t)将产生奇异值，而在假设3条件中纵向速度不会为零；综上所提区域保持控制器不会出现奇异值情况。

2.2 稳定性分析

定理1  针对区域保持滑模控制律(19)和(20)作用下的USV水平面运动闭环系统(1)(2)和跟踪误差(3)，通过选取合适的参数k₁、k₂、h₁、h₂、ξ₁、ξ₂、ξ₃、ξ₄，所提控制律不仅能使位置误差x_e、y_e和速度跟踪误差u_e、v_e渐近收敛于任意小零值邻域内，且能保证USV回转速度r的有界性，并且当区域保持误差初始值满足d_e(0)=$\sqrt{x_{e}^{2}(0)+y_{e}^{2}(0)} < k_{d}$条件时，对∀t>0，满足|d_e(t)| < k_d。最终，确保USV闭环系统是半全局渐近稳定的。

证明  首先，在式(3)和式(6)下对式(4)求一阶和二阶导数，为：

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \alpha }_u}}\\ {{{\dot \alpha }_v}} \end{array}} \right] = r\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }\\ { - {\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{ - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi } \end{array}} \right] \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_d} + {h_1}{\rm{tanh}}( - {k_1}{x_e}/{h_1})}\\ {{{\dot y}_d} + {h_2}{\rm{tanh}}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array}} \right] + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{{\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }\\ { - {\rm{sin}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi }&{{\rm{cos}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi } \end{array}} \right] \cdot \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\ddot x}_d} - {k_1}{{\dot x}_e} {\rm{sech}}{ ^2}( - {k_1}{x_e}/{h_1})}\\ {{{\ddot y}_d} - {k_2}{{\dot y}_e} {\rm{sech}}{ ^2}( - {k_2}{y_e}/{h_2})} \end{array}} \right] \end{array} $

(21)

$ {{\ddot \alpha }_v} = \chi - {\alpha _u}\dot r $

(22)

式中χ为控制律(19)和(20)的中间变量。

然后，为了使约束变量d_e始终保持在约束区域内，选取带有障碍李雅普诺夫函数的Lyapunov函数V₂：

$ {V_2} = \frac{1}{2}L_1^2 + \frac{1}{2}L_2^2 + \frac{1}{2}{\rm{ln}}\frac{{k_d^2}}{{k_d^2 - d_e^2}} $

(23)

将V₂两边求导，并代入式(11)和(12)可得，

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_2} = {L_1}{{\dot L}_1} + {L_2}{{\dot L}_2} + \frac{{{d_e}{{\dot d}_e}}}{{k_d^2 - d_e^2}} = }\\ {{L_1}\left[ {\frac{1}{{{m_u}}}({m_v}vr - {d_u}u + {\tau _u} + {\tau _{wu}}(t)) - {{\dot \alpha }_u} + {\xi _1}{u_e}} \right] + } \end{array}\\ {L_2}\left\{ {\frac{1}{{{m_v}}}\left[ { - {m_u}(\dot ur + \frac{u}{{{m_r}}}(({m_u} - {m_v})uv - {d_r}r + {\tau _r} + } \right.} \right.\\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\tau _{ur}}(t)) - {d_v}\dot v + {{\dot \tau }_{wv}}(t)] - {{\ddot \alpha }_v} + {\xi _3}{v_e} + {\xi _4}{{\dot v}_e}} \right\} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{x_e}{{\dot x}_e} + {y_e}{{\dot y}_e}}}{{k_d^2 - d_e^2}} \end{array} $

(24)

由式(24)且根据引理1可知，当误差信号d_e的初始值满足|d_e(0)| < k_d，则对∀t>0有|d_e(t)| < k_d恒成立。

代入式(19)和(20)可得，

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot V}_2} = - {C_1}{L_1} {\rm{sign}} ({L_1}) - {C_2}{L_2} {\rm{sign}} ({L_2}) = }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} - {C_1}|{L_1}| - {C_2}|{L_2}|} \end{array} $

(25)

根据C₁, C₂>0，所以对∀(L₁, L₂)≠(0, 0)，$\dot{V}_{2} < 0$恒成立，据李雅普诺夫稳定性理论V₂渐近收敛于任意小零值邻域内。式(9)和(10)所示滑模面也均渐近趋近于零，并且在滑模面上即$\dot{L}_{1}=\dot{L}_{2}=0$时，如下等式成立：

$ {{\dot u}_e} = - {\xi _1}{u_e} $

(26)

$ {{\ddot v}_e} = - {\xi _3}{v_e} - {\xi _4}{{\dot v}_e} $

(27)

由于参数ξ₁, ξ₃, ξ₄>0和式(21)、(22)，所以动态特性(26)和(27)保证了速度误差u_e和v_e能够渐近收敛于零值邻域。因此根据式(4)和(6)x_e, y_e也渐近收敛于零值邻域内。

最后，证明艏向回转速度r的有界性，选取李雅普诺夫函数V₃为：

$ {V_3} = \frac{1}{2}{m_r}{r^2} $

(28)

将V₃两边求导并代入式(2)有：

$ {\dot V_3} = {m_r}r\dot r = r[({m_u} - {m_v})uv + {\tau _r} + {\tau _{wr}}(t) - {d_r}r] $

(29)

若满足如下条件，则$\dot{V}_{3} < 0$成立：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {r > 0,{d_r}r > ({m_u} - {m_v})uv + {\tau _r} + {\tau _{ur}}(t)}\\ {r < 0,{d_r}r < ({m_u} - {m_v})uv + {\tau _r} + {\tau _{wr}}(t)} \end{array} $

(30)

已知d_r>0，式(30)可重写为：

$ |{d_r}r| > \left| {({m_u} - {m_v})uv + {\tau _r} + {\tau _{wr}}(t)} \right| $

(31)

当满足条件(31)时，$\dot{V}_{3} < 0$，V₃是递减函数，即|r|也是递减函数，又因为u、v、τ_r和τ_wr(t)是有界的，所以r也是有界的。

综上，根据稳定性分析可知欠驱动船的位置误差x_e, y_e是有界的渐近收敛于零值邻域内，纵向和横向速度分别渐近收敛于期望纵向和横向速度，同时艏向回转速度r有界。此外，当区域保持误差初始值满足d_e(0) < k_d条件时，对∀t>0，有|d_e(t)| < k_d恒成立，USV区域保持闭环系统是半全局渐近稳定的。综上定理1得证。

3 仿真实验

采用文献[18]中CyberShipⅡ数学模型(1:70)进行仿真研究，针对风浪流外界环境干扰下欠驱动船区域保持控制问题，结合对称障碍Lyapunov函数将区域保持问题转换为位置状态变量约束问题，并利用鲁棒滑模控制器进行数值仿真，分别在有无外界环境干扰情况下进行对比仿真，验证所提USV区域保持控制器的有效性和鲁棒性。为了不失一般性，对比仿真中的区域保持控制器均设置相同的控制参数。

其中CyberShipⅡ模型参数如下，船长1.255 m，质量23.8 kg，其他参数为，${X_{\dot u}}$=-2.00，${Y_{\dot v}}$=-10.00，${N_{\dot r}}$=-1.00，I_z=1.76，d_u=0.722 53，d_v=0.889 65，d_r=1.900，m_u=m-${X_{\dot u}}$=25.800，m_v=m-${Y_{\dot v}}$=33.80，m_r=I_z-${N_{\dot r}}$=2.76。设定欠驱动船区域保持的范围在北东坐标下以O(0, 0)点为圆心，以R=8 m为半径的圆。期望航迹设定为以O(0, 0)点为圆心，以r_a=5 m的恒速圆，跟踪误差满足$d_{e}=\sqrt{x_{e}^{2}+y_{e}^{2}} < R-r_{a}$。跟踪误差边界值表达为k_d=R-r_a=3 m，期望航迹的表达式为：x_d=5sin(t/10), y_d=5cos(t/10)。USV初始状态为：[x(0)  y(0)  ψ(0)  u(0)  v(0)  r(0)]^Τ=[0  4  0  0.1  0  0]^Τ。控制器参数设计为：k₁=0.05，h₁=3，k₂=0.06，h₂=3.5，ξ₁=0.5，ξ₂=0.1，ξ₃=1，ξ₄=1.5，C₁=1.5，C₂=2。为减弱高频抖振现象，仿真中采用双曲正切函数tanh(·)代替符号函数sign(·)。在纵荡、横荡和艏摇上的外界环境干扰力和力矩为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\tau _{wu}} = 0.05 \times [1 + 0.03{\rm{cos}}(0.3t) + 0.05{\rm{sin}}(0.5t) + }\\ {0.01{\rm{sin}}(0.1t)]{\tau _{wv}} = 0.5 \times [1 + 0.03{\rm{cos}}(0.3t) + }\\ {0.05{\rm{sin}}(0.5t) + 0.01{\rm{sin}}(0.1t)]{\tau _{wr}} = 5 \times [1 + }\\ {0.03{\rm{cos}}(0.3t) + 0.05{\rm{sin}}(0.5t) + 0.01{\rm{sin}}(0.1t)]} \end{array} $

仿真结果如图 2~6所示。

从图 2欠驱动船区域保持位置变化曲线可以看出，根据位置状态约束条件选取对称障碍李雅普诺夫函数设计的滑模控制律，当欠驱动船初始位置在约束区域内时，不论在有无外界环境干扰下USV位置状态始终满足约束条件，即欠驱动船始终在规定区域内运动，不会超出约束边界，可以得出所设计控制器是有效的同时也证明了所提控制器对外界环境干扰具有一定的鲁棒性。由图 3欠驱动船区域保持位置误差约束曲线显示位置误差是有界收敛的，并且在区域保持允许的误差范围内。从图 4欠驱动水面船区域保持的速度误差变化曲线可以看出，相比较于无外界环境干扰的情况，存在外界环境干扰时速度误差波动较大，但2种情况下速度误差均可较快的收敛于零。

通过图 5的艏向回转速度变化曲线可以明显看出，相比于无外界环境干扰情况，为适应外界环境干扰艏向回转速度变化较大。而对比图 6的欠驱动船区域保持控制输入变化曲线可知，存在外界环境干扰时欠驱动船提供的纵向推力和转艏力矩相比于无干扰下也有一定的波动，以抵抗风浪流干扰。

4 结论

1) 本文将风浪流外界环境干扰下欠驱动水面船的区域保持控制问题转换为位置状态变量约束问题，提出了一种基于对称障碍李雅普诺夫函数的鲁棒滑模控制方法，实现位置状态变量约束控制保证欠驱动船不超出约束边界。

2) 所提方法通过反步法将区域保持控制器分解为运动学和动力学回路，在运动学回路中设计期望速度并将其视为虚拟控制输入，在动力学回路中利用滑模方法实现对参考速度的跟踪控制。

3) 此外，由于区域保持控制对USV在区域内的运动方式和收敛速度不作要求，因此在本文基础上考虑事件触发思想达到减少控制器计算量和执行机构损耗将是后续研究的重点。