在逆向工程和三维数字化测量系统中，配准技术应用起着重要作用^[1-2]。刚性位姿配准问题的本质是绝对定位问题^[3]，一般通过配准算法和统计学规律，计算并最小化刚体变换的错位误差。面向船舶建造质量监测的数字化测量和装焊定位精度评价，具有被测对象结构复杂、体积庞大等特点，将模型表面特征实测数据与工艺数模进行配准定位，分析测量数据与工艺数模型之间的绝对偏差，给出船体分段建造精度评估参数^[4-5]。船体分段组立、合拢在工艺、效率、成本、工装条件等综合要求下，分段各特征断面具有不同的装焊精度等级，只选用高精度区域数据参与配准位姿定位，评价结果不能对模型配准进行完全约束，采用所有实测数据进行配准，低精度区域数据导致配准位姿偏离，得到精度评估结果偏离实际情况。

点云数据的配准位姿定位解算方法研究已经在国内外展开，总体可分为基于几何特征方法和最优配准方法。基于几何特征方法有四元数法^[6]、奇异值分解(SVD)法^[7]等粗定位方法，四元数法和SVD法均为非迭代算法，粗定位评价结果为后续的非线性优化配准提供合理初始位姿。基于最优配准方法最典型的是Besl等^[8]提出的最近点迭代(iterative closest point，ICP)算法，该算法直接对点云数据进行最小二乘配准计算，不需要对数据特征进行假设及分割处理，是应用最广泛的点云数据配准方法，具有均衡误差特性^[9-10]。而针对采用全站仪设备测量船体分段表面特征数据，有密度低、点数少等特点，不能用特定函数拟合曲面，基于曲线曲面的ICP优化算法不适合。从而引入特征点进行配准误差评价，建立非线性配准优化模型实现测量数据与工艺数模的配准位姿定位。

基于位形空间理论的位姿定位解算方法，问题可描述为在组合特征的位形空间上进行配准计算，在位姿定位精度评价与船体分段装焊定位应用中，若按特征面精度要求高低依次定位各特征面，在保证高精度特征定位精度的前提下，提高次精度特征定位精度，保证分段装焊任务的顺利进行。本文在文献[11]的基础上，提出一种考虑主元方向约束的多特征工件依次配准定位解算方法，按安装工序或特征精度高低划分特征面，在约束前一特征面的主元方向下，根据线性代数中的正交基变换理论和分量置零方法，对后续特征面的配准变换参数进行主元约束处理，使其位姿定位在欠约束方向产生运动，直至所划分的特征面均参加位姿定位或主方向都被约束，则配准结束。

1 多特征模型的依次定位方法 1.1 配准约束强度分析

待配准点集数据与工艺数模配准位姿定位就是寻求最优关联矩阵z，设{p_i}_i=1^m为测量数据点集，s_i为p_i在工艺模型数据集X上的对应最近点，即s_i=ζ(p_i, X)，ζ为搜索最近点操作。非线性配准模型可描述为对应点距离和最小：

$ f=\min \sum\limits_{i=1}^{m}\left\|\boldsymbol{s}_{i}-\left(\boldsymbol{R} p_{i}+\boldsymbol{T}\right)\right\|_{2}^{2} $

(1)

式中：

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c{\theta _z}c{\theta _y}}&{c{\theta _z}s{\theta _y}s{\theta _x} - s{\theta _z}c{\theta _x}}&{c{\theta _z}s{\theta _y}c{\theta _x} + s{\theta _z}s{\theta _x}}\\ {{\rm{s}}{\theta _z}{\rm{c}}{\theta _y}}&{{\rm{s}}{\theta _z}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{s}}{\theta _x} + {\rm{c}}{\theta _z}{\rm{c}}{\theta _x}}&{{\rm{s}}{\theta _z}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{c}}{\theta _x} - {\rm{c}}{\theta _z}{\rm{s}}{\theta _x}}\\ { - {\rm{s}}{\theta _y}}&{{\rm{c}}{\theta _y}{\rm{s}}{\theta _x}}&{{\rm{c}}{\theta _y}{\rm{c}}{\theta _x}} \end{array}} \right] $

(2)

$ \mathit{\boldsymbol{t}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{t_x}}&{{t_y}}&{{t_z}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(3)

式中：旋转矩阵R∈{R^3×3RR^T=I, det(R)=+1}；t为平移矩阵，满足t∈R³, R为实数集；c为余弦函数cos；s为正弦函数sin；θ_x、θ_y、θ_z为沿三坐标轴的旋转角度，满足$ - {\rm{ \mathsf{ π} }} < {\theta _x}, {\theta _z} < {\rm{ \mathsf{ π} }}、- {\rm{ \mathsf{ π} }}/2 < {\theta _y} < \pi /2;{t_x}, {t_y}, {t_z} $为沿三坐标轴的平移参数。

关联矩阵z为：

$ \mathit{\boldsymbol{z}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{t_x}}&{{t_y}}&{{t_z}}&{{\theta _x}}&{{\theta _y}}&{{\theta _z}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(4)

通过约束理论分析^[12-13]，矢量z的微扰动d(z)对待配准点p_i的法向矢量$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{n_x}}&{{n_y}}&{{n_z}} \end{array}} \right]$产生扰动误差ε_i：

$ \begin{array}{l} {\varepsilon _i} = {V_i} \cdot \mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}&{{n_y}}&{{n_z}{{\left( {{p_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}] \cdot \mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}})}& = \end{array}} \right.\\ \left[ {{n_x}{n_y}{n_z}{{\left( {{p_i}{\mathit{\boldsymbol{n}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}} \right] \cdot \mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}}) \end{array} $

(5)

式中：ε_i反映变换参数z的配准灵敏度；d(z)表示矢量z在平移和旋转方向上的扰动强度。所有参与配准点扰动总能量E记为扰动误差的平方和。

$ \begin{array}{l} E = \sum {\varepsilon _i^2} = {(\mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}}))^{\rm{T}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^m {\mathit{\boldsymbol{V}}_i^{\rm{T}}} {\mathit{\boldsymbol{V}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}}) = \\ {(\mathit{\boldsymbol{d}}(\mathit{\boldsymbol{z}}))^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} d}}(z) \end{array} $

(6)

式中：Ψ为6×6对称半正定矩阵，表示待配准点p_i的向量分布情况。对Ψ进行特征分解实质是对各配准点向量V_i进行主元素分析，分解得到6个特征值λ_k(k=1, 2, …, 6)及对应的特征向量q_k，且λ₁≥λ₂≥λ₃≥λ₄≥λ₅≥λ₆。由主成分分析^[14]降维原理知，特征向量代表数据空间分布方向，特征值λ₁、λ₂、λ₃和λ₄、λ₅、λ₆分别代表平移方向和旋转方向配准主约束力。特征值λ_k越大，对应特征向量方向上的扰动对扰动总能量E的贡献度越大，该特征向量方向受到的配准约束力就越大；反之，若某一特征值接近或等于0时，对应的特征向量方向上扰动对扰动总能量E的无影响，E值保持不变，说明该方向的配准约束处于欠约束或自由状态。

1.2 主元方向约束的配准变换

基于位形空间理论^[15-16]研究多特征模型的配准位姿定位解算方法，多特征组合可表征为多特征的并，一般模型配准位姿定位都涉及组合特征，在配准过程中限制关联矩阵z某个分量值大小，相当于限制配准在某方向上的运动。如立方体模型需要3个相互垂直平面上的数据实现配准位姿定位，圆柱体需要圆柱面和断面的数据实现配准对称定位，平面需要约束一个平移和2个旋转方向。而对不考虑特征精度差异的组合特征进行一次配准定位，如ICP算法，说明不同精度区域数据对配准结果影响强度相同，模型位姿定位与实际不符。

考虑具有精度差异的多特征模型配准，按照特征面装焊次序依次进行配准，有区别对待存在精度差异的特征面数据，在约束高精度区域数据主元方向，保证高精度区域数据位姿定位结果，次精度区域数据只能在前一特征不变子空间的补空间中进行配准变换。设2个不同精度特征f₁、f₂，f₁为高精度区域称第一特征，f₂为次精度区域称第二特征，在进行配准位姿定位时，按照装焊顺序先f₁后f₂的次序依次配准定位，h₁为第一特征配准定位后的结果位姿，第二特征f₂位姿变换要保持h₁不变，使得f₂配准变换相对于f₁是同一位形，即不影响f₁的定位位姿。

设某特征面配准变换参数为z^j0，对变换后该特征面数据进行约束强度分析，其中大于0的主约束力$ \lambda_{1}^{j 0}, \lambda_{2}^{j 0}, \cdots, \lambda_{r}^{j 0}(r \leqslant 6)$，对应的主元方向$ q_1^{j0}, q_2^{j0}, \cdots , q_r^{j0}$。说明在约束力作用下主元方向$ q_1^{j0}, q_2^{j0}, \cdots , q_r^{j0}$为有约束状态，在$q_{r+1}^{j 0}, q_{r+2}^{j 0}, \cdots, q_{6}^{j 0} $方向为自由状态，后续特征面位姿变换参数z^j1只能在补空间$q_{r + 1}^{j0}, q_{r + 2}^{j0}, \cdots , q_6^{j0} $方向上运动。通过线性代数的基变换理论、分量置0和特征基逆变换实现主元方向约束下的配准变换。

1) 将变换参数z^j1从基本单位矢量e_k(k=1, 2, …, 6)变换到按降序排列的特征值所对应的特征基$q_1^{j0}, q_2^{j0}, \cdots , q_6^{j0} $下，得到z_q^j1；

2) 将z_q^j1的前r个分量置0，得到$\tilde z_q^{j1} $；即$\tilde z_q^{j1} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }} \cdot \mathit{\boldsymbol{z}}_q^{j1} $，其中Λ为主对角矩阵，前r个主对角为0，其余为1；

3) 将$ \tilde z_q^{j1}$逆变换到单位基e_k(k=1, 2, …, 6)下，得到约束下的配准变换${{\tilde z}^{j1}} $，即：

$ {{\tilde z}^{j1}} = {\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}\left( {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}\left( {\mathit{\boldsymbol{Q}}{z^{j1}}} \right)} \right) $

(7)

式中：$\mathit{\boldsymbol{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {q_1^{j0}}&{q_2^{j0}}& \cdots &{q_6^{j0}} \end{array}} \right] $，通过有约束的r个分量置0，限制$ \tilde z_q^{j1}$在$q_1^{j0}, q_2^{j0}, \cdots , q_r^{j0} $方向上的运动。

1.3 依次匹配定位算法

按照模型装焊工艺划分为l个特征面F_j(j=1, 2, …, l)，将F_j按精度高低或工艺要求依次进行主元方向约束的配准位姿定位，在保证前一次特征主方向定位精度前提下，提高后续特征的定位精度，设p_i⁰为原始测量数据。配准步骤如下：

1) 当j=1时，设Λ和Q均为单位矩阵；

2) 将p_i^j－1中F_j区域上数据与对应的工艺数模点应用非线性配准模型得到变换参数z^j，通过主元约束配准变换公式计算$ {{\tilde z}^j}$，并将$ {{\tilde z}^j}$作用到所有待配准点得到新的测量数据p_i^j；

3) 对p_i^j中的$ F_{k(1 \leqslant k \leqslant j, k \in \bf{N})}$特征面上数据进行主元约束强度分析，获得按降序排列的特征值λ₁^j, λ₂^j, …, λ₆^j和对应的特征向量q₁^j, q₂^j, …, q₆^j。若大于0特征值的个数r < 6，将Λ的前r个主对角元素值置0，并更新矩阵Q为q₁^j, q₂^j, …, q₆^j，转4)；若r=6，各方向均处于约束状态，程序结束；

4) 当j=j+1，且j≤l，转2)；当j=j+1，若j>l时，程序结束。

在应用非线性配准模型前，基于粗配准算法实现数据的初始变换，缩小点云数据的旋转平移错位误差，为非线性配准提供合理初值。

2 多特征模型配准试验 2.1 长方体模型配准试验

以边长为1 000 mm×500 mm×500 mm长方体的3个相互垂直特征面为实例进行配准位姿定位，对于有特征精度差异要求的模型进行主元约束位姿定位分析，试验模型如图 1所示。

在3个特征面F₁、F₂、F₃上分别随机选取20个配准点，并为3个特征面的选取点设置扰动误差分别为0~0.5、0~2和0~8 mm范围内的随机值，依据特征面精度高低的配准次序为：F₁>F₂>F₃。本文提及的位姿定位解算方法与ICP算法的比较结果如表 1所示。

根据表 1所示，ICP算法的一次位姿定位结果中，低精度区域F₃加放的扰动误差影响高精度区域F₁、F₂的位姿定位精度，使特征面F₁、F₂配准精度低，偏离实际位姿。采用本文的依次定位解算方法，是牺牲低精度区域F₃位姿定位精度，保证高精度区域F₁、F₂数据的配准精度，在F₁、F₂配准准确度提高的同时，区域F₃和整体数据对应距离和、均方差略有增减，说明应用依次配准算法能充分抑制住低精度区域数据对高精度区域数据定位精度的不利影响，位姿定位结果更符合工程需要。

2.2 船体分段模型配准试验

图 2为某散货船底边舱实体分段，图 3为对应的三维工艺模型，按装焊工艺要求装焊面划分3个精度等级，记F_J(J=1, 2, 3)。采用全站仪对现场分段特征检测，共计51个特征点(F₁面为15个特征点，F₂面为21个特征点，F₃面为15个特征点)。表 2为工艺模型中精度管理点的设计坐标，表 3为作业现场检测得到的精度管理点测量坐标，表 4位粗配准后测量点集坐标，表 5为采用依次定位算法配准后测量数据集坐标，表 6为ICP算法配准后测量点集坐标，表 7和表 8分别为采用依次定位配准和ICP算法配准后的测量点坐标与设计坐标的偏差值，表 9是基于表 2~8进行的对比分析。

表 9比较了2种配准方法的结果，可知应用依次定位配准算法在区域F₁、F₂定位精度提高，F₃中对应点的距离和与均方差稍有增加，但仍具有较好的定位精度。船体分段为大型结构件，试验是基于作业现场实测数据进行位姿定位分析，配准结果为分段的后续修正提供定量参数，配准偏差可通过后续工艺修整，使满足船舶建造精度要求，能有效减少船体分段后续修正工作量。

3 结论

1) 有区别对待低精度区域数据和高精度区域数据对配准位姿定位结果的影响强度。在对同一配准方向均有约束时，只保留影响强度高的配准约束。

2) 将主元约束引入到优化模型中，充分利用高精度特征数据作用，抑制低精度特征数据的不利影响，使船体分段高精度断面有高的配准准确度，低精度断面的配准准确度低，得到与实际建造过程相符合的精度评价。

由于采用全站仪对船舶分段测量获得的数据有限，无法实现大量“点云”的条件，因此，对于船舶分段精度控制，即要考虑断面曲线的相互匹配，又要分析断面匹配后与设计断面口的理论曲线关系，下一步将进行有限数据与线匹配、面匹配、体匹配的拓展研究，保证焊接成型后的曲面光顺和型线要求。