在自然海洋中，波浪经常呈现为波群形式传播^[1]，由于非线性作用，极大波常伴随波群发生，而这些波正是引起海洋上重大事故的主要原因^[2-6]。由于测量海洋数据困难，所需经济成本巨大，大波难以捕捉。而采用实验测量可通过控制不同的初始条件，多次重复实验，捕捉极端波浪和破碎，对其演化进行研究分析是了解大波形成机制的有效途径之一。

Rapp等^[7]通过对等幅值谱深水聚焦波群的特征参数演化分析指出，随着幅值增加，非线性作用增强; 在局部波陡小于0.4时已有破碎发生，说明非线性作用使波峰和动能产生了明显增长。采用与Rapp等^[7]类似的聚焦方法，Baldock等^[8]实验分析结果与Rapp等^[7]一致，显示波-波非线性相互作用随着波幅值增加而增大，随着频宽增加而减小。Ma等^[9]实验分析结果指出随着波聚焦，谱宽增加，在破碎区域谱宽依然缓慢增加，经过破碎区域后，开始缓慢下降。与Ma等^[9]不同的是，Tian等^[10]指出谱宽最大值发生在破碎即将发生处，破碎后迅速下降; 同时指出在非破碎波群聚焦点上下游，谱宽是对称的。Shemer等^[11]的分析结果与Tian等^[10]结果相反，显示谱宽在聚焦点上下游并不对称，指出当局部谱宽达到最大时，畸形波发生概率最大。张怡辉等^[12]通过对深水聚焦波分析指出，在相同破碎强度情况下，中心频率和频宽对波浪特征参数在破碎前后的变化率影响不大。Chiang等^[13]对波列的几何特征分析结果指出采用局部最大波峰得到的局部波陡更接近Stokes波极限波陡。与Chiang等^[13]结果不同，Ma等^[14]通过对有限水深波群特征参数演化分析表明，对于初始幅值较大和波浪个数较多的波群，最大局部波陡远超出Stokes波极限波陡。

为了测量波群传播过程中能量变化情况，Rapp等^[7]给出采用群速度与能量密度进行能量传输估计方法。对于该方法，Drazen等^[15]和Tian等^[16]采用谱加权群速度估计能量损耗，并指出该速度比中心频率群速度要更接近包络最大值速度。梁书秀等^[17]给出未破碎、崩破以及卷破情况下谱加权群速的沿程演化，通过在聚焦区上下游该速度保持相对稳定指出用该速度来表征聚焦波特性是合理的。

对于极端波浪，尽管已有大量研究，然而对于波浪的非线性非稳定变化，目前依然是一个难点，仍需要进一步研究。本文旨在通过物理实验对高斯型波群特征参数进行分析，进一步揭示极端波浪演化过程中非线性特性。

1 实验设置及参数定义 1.1 实验设计 1.1.1 实验水槽

本实验在大连理工大学海岸与近海工程国家重点实验室的大波流水槽进行。水槽长65 m，宽2 m，高1.8 m，实验水深1 m。水槽剖面布置如图 1。水槽一端为液压驱动式活塞型造波板，另一端采用消浪网作为吸波装置。在以往试验中，1 Hz波的反射系数约为5 %，所以可认为反射对本实验影响较小，在此实验中忽略不计。该实验中，将造波板的平均位置定义为零点x=0, 波传播方向C如图 1所示。

为保证波域二维性，将一个水泥墙从x=4.9 m处开始安置在水槽中，水槽划分宽为0.8 m和1.2 m的2个部分，选用0.8 m狭窄部分作为实验水域。在实验中，沿水槽共安置了34个浪高仪用来测量不同位置处波面情况。在x < 12.9 m，浪高仪间距为2 m; 在x>12.9 m，浪高仪间距为1 m。每个浪高仪的绝对精度阶为±1 mm，在使用前均进行了稳固性检查及校准。选取x=4.9 m处浪高仪数据用以校准波群初始参数。实验中，波浪破碎范围通过肉眼观测得到，每个波况均进行3次实验，从观察波面开始出现泡沫位置处记录为破碎开始，在泡沫不再出现位置处记录为破碎截止，两者之间作为破碎区域，在该区域内发生破碎次数也通过观察进行计数。

1.1.2 实验波况

该实验中，采样频率为50 Hz，采样时间间隔为0.02 s，采样点数为8 192(为避免反射影响，分析仅截取包含整个波群在内的4 096个点)，具体波况如表 1。其中，ε₀=k₀A₀为起始波陡，A₀为x=4.9 m处测量幅值，k₀为初始波数，由波峰与其前端相邻波谷极值对应的时间差2倍作为周期，根据深水色散关系而得; Δf为频宽，由最大幅值一半所截幅值谱而得; 破碎情况在备注中标示。采用高斯波群波面公式^[18]为:

$ \zeta = a\exp \left( { - {{\left( {t{f_0}/N} \right)}^2}} \right)\cos \left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0}t} \right) $

(1)

式中:a是波幅值; N是波群宽度参数，控制波群包络的宽窄，但并不直接代表谱宽，对谱宽的影响为N值越大，谱宽越小; f₀=1 Hz是初始载波频率。

2 实验结果及演化分析 2.1 波面和波陡

波面尺寸标注如图 2所示，给出3种波陡定义如下:

$ {\varepsilon _1} = {k_1}\frac{{{H_1}}}{2} $

(2)

$ \varepsilon _2^\prime = {k_2}{H_2} $

(3)

$ {\gamma _1} = {k_1}{\eta _{\rm{m}}} $

(4)

式中:H₁=η_m-η_f; H₂=((η_m-η_f) + (η_m-η_r))/2;k₁和k₂分别由T₁=2 (t_m-t_f)和T₂=t_r-t_f通过深水色散关系得到; η_m、η_f和η_r分别为局部最大波峰值、紧邻波峰前后端波谷极值，波谷极值一般为负值; 三者所对应的时间点分别为t_m、t_f和t_r; C代表波群传播方向。

由于非线性影响，波面在传播过程中从初始对称波形逐渐演化成不对称，波峰、波高和波陡是直接衡量波浪特征的参数。图 3中给出3个参数在未破碎情况下的变化，其中波峰与波高均采用首测点处值进行无量纲化，分别表示为η_Nmax和H_N。结果显示G₁和G₁₃波峰与波高变化趋势几乎相同，说明当小波陡时，波面比较对称; 随着波陡增加，波面开始呈现出明显不对称演化，尤其是在演化初期(G₄中前20 m左右)。G₁实验结果显示，在弱非线性情况下，波演化主要取决于色散作用，走在前面的低频长波逐渐把走在后面的高频短波甩在后面，从而使得波群变长(通过实验采集波面可观察); 为满足能量守恒，所以幅值逐渐变小，波峰和波高持续下降。而由于在非线性和色散性共同作用下，G₄和G₁₃幅值几乎没有变化。根据图 3中ε_max演化可知，在波群未发生破碎情况下，3种波陡变化差别较小，只在波陡较大的G₄波况中，随着局部波陡逐渐增加，稍有明显变化。

而破碎波群结果明显不同，图 4为波况G₁₁和G₁₂幅值、波高与波陡演化情况。由图 4可见，波峰比波高变化更强烈，尤其在破碎区域。对于G₁₁，波峰可达到初始值1.8倍左右，波高也可达到初始值1.5倍左右。同样，针对G₁₂，波峰可达到初始值1.5倍以上，波高可达到初始值1.2倍左右。说明波浪在破碎发生时非常不对称，并且波峰起主要作用。根据图 4中波陡变化显示，局部波峰定义波陡γ₁在未发生破碎处大于Stokes极限波陡，过高估计了波陡。然而Chiang等^[13]通过对长距离实验分析中指出该波陡较合理。

产生不同结论的原因可能如下:1)波群形式不同; Chiang等^[13]给定三波系统(1个载波+2个边带)波列，而本实验给定的是初始波群包络宽度(而不是波个数)的单独波群。2)波周期选取不同; Chiang等^[13]采用上跨过零点法确定波周期，而本文采用的是波峰及其之前波谷的时间差的2倍作为周期。

波陡ε′₂同时考虑了波峰前后2个波谷因素在内，在整个破碎区域，该值都小于Stokes极限波陡，说明ε′₂可能低估了波群局部最大波陡。针对ε₁，在破碎区域，该值刚好大于Stokes波极限波陡，并且没有像γ₁那样出现幅度过大的值，说明选用ε₁分析本文实验波群更加合适。

2.2 谱宽变化

随着波传播，无因次化特征谱宽ν(简称谱宽)也有很大变化。根据Longuet-Higgins^[19]谱宽定义:

$ \nu = {\left( {{m_0}{m_2}/m_1^2 - 1} \right)^{1/2}} $

(5)

式中:m为谱矩，谱的r阶矩定义为:

$ {m_r} = \int_0^\infty {{\omega ^r}} S(\omega ){\rm{d}}\omega $

(6)

式中S(ω)为幅值谱。式(6)中频率积分范围为0.5 f₀~1.5 f₀，f₀是初始载波频率。本文中，所有波况均为窄带波群，采用该频率范围可包含所有自由波能量。分析谱宽ν之前，均采用初始位置处谱宽值ν₀进行参数化，即ν_N=ν/ν₀。非破碎波群谱宽演化如图 5所示，当初始波群宽度N较小时，谱宽显示微弱减小趋势(G₅); 随着波陡增加，谱宽变化幅度明显增加(从G₅、G₆到G₇或者从G₁₃到G₁₄)，可见波陡对谱宽演化具有重要影响。小波陡情况下，随着N增加，谱宽小幅度增加(G₅，G₁₃); 然而随着波陡增加，谱宽随着N增加而迅速增大(G₆，G₁₄)。

可见，在小波陡情况下，增加波群宽度引起的非线性变化表现为谱宽缓慢增加，但是当波陡增大后，增加波群宽度会使谱宽出现急剧增长。

破碎波群谱宽演化如图 6所示，灰色部分为破碎域。由图可见，谱宽从开始迅速增长到破碎域内缓慢增长，并在破碎域下游开始减小，与Ma等^[9]实验结果相同。但与Tian等^[10]结果不同，Tian等^[10]指出谱宽在即将破碎之前达到最大值并且在破碎下游出现较大程度下降。在本实验以及Ma等^[9]分析中均显示谱宽最大值出现在破碎带内或者下游，原因可能与破碎类型相关。在本文与Ma等^[9]实验中，破碎均为崩破，能耗较小，非线性作用不会因为破碎而迅速减小，所以在破碎区域谱宽缓慢增长，在破碎下游缓慢减小。而在Tian等^[10]实验中破碎为卷破，能耗较大，从而破碎后谱宽出现大幅度减小。

2.3 群速度变化

本文采用主频所确定的三阶群速度C_gc与Drazen等^[15]所确定的谱加权群速度C_gs来分析波群传播特性。三阶主频群速度定义为:

$ {C_{{\rm{gc}}}} = \frac{C}{2}\left( {1 + \frac{{2kh}}{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} (2kh)}}} \right) $

(7)

$ C = {c^{(1)}}\left[ {1 + {k^2}{A^2}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{6{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^2}(kh) + 9}}{{16{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^4}(kh)}} + \frac{1}{{8{{{\mathop{\rm ch}\nolimits} }^2}(kh)}}} \right)} \right] $

(8)

式中:C为三阶Stokes波的波速; c⁽¹⁾为一阶波速; k为对应主频的波数; h为实验水深。谱加权群速度定义如下:

$ {C_{{\rm{gs}}}} = \frac{{\sum {{C_{{\rm{g}}\mathit{n}}}} a_n^2}}{{\sum {a_n^2} }} $

(9)

式中:a_n为第n个波成份的幅值; C_gn为每一个傅里叶成份群速度，本文计算到三阶。

分析结果显示，在弱非线性情况下，C_gs与C_gc几乎相同，都与波包络最大值速度比较接近。然而随着波陡增加，非线性增强，2种群速度与波包络最大值速度出现明显偏差。图 7为波陡较大非破碎波群(G₄)群速度情况，为了使波面在图中清晰显示，图中均为8倍波面升高η(t)，细点线表示采用Hilbert变换所得波群包络A(t)，实点表示波包络最大值A_max。由图可知，4种群速度非常接近，都与包络最大值速度有少量偏差，但主频群速度效果更好。

随着非线性增加，波群发生破碎，群速度呈现不同变化。图 8为G₁₆群速度情况，结果显示C_gs和C_gc都严重偏离波包络最大值速度，同时主频群速度偏移量较少。比较3种幅值η_max、H₁/2和H₂/2定义的主频群速度C_gc1、C_gc2和C_gc3，根据图 8可知，C_gc1更接近包络最大值速度，即更适合来表示深水高斯型孤立波群最大群速度。

本文结果与Drazen等^[15]和Tian等^[16]不同，文献^[15-16]研究结果均指出谱加权群速度要比中心群速度更接近波包络的最大值速度。分析原因如下: 1)输入谱不同，Drazen等^[15]和Tian等^[16]均采用等波陡谱，主要能量集中在传播速度快的低频部分，利用中心频率群速度会低估这部分能量传输量，即低估了实际群速度。采用C_gs可以同时考虑所有成份波传播速度和能量，体现谱中成份波综合特性。本文为高斯型谱，主频与中心频率差别一般较小，选择能量最大的成份，即主频计算群速度，能合理反应波群能量传输，结果更加趋近于实际群速度。2)C_gn计算方法不同，Drazen等^[15]采用一阶群速度。Tian等^[16]从能量流传输方面分别计算一阶和三阶群速度。本文从传统运动学方面计算C_gn，与Tian等^[16]方法在表达式上略有不同，具体可参考Tian等^[16]附录。3)频带宽度不同，在Drazen等^[9]研究中，频宽远大于本实验频宽范围，因为在C_gs计算中涉及到波浪个数，所以频宽对群速度结果有直接影响。4)波陡大小，在Tian等^[16]示例中，波陡较大(采用相同定义波陡计算后比较)，因为计算C_gs时涉及到a_n²，所以波陡值也可能是产生结果差异的原因。

3 结论

1) 在波群演化过程中，随着非线性增强，波面逐渐不对称，主要体现在波峰快速增大。

2) 通过谱宽演化分析得出，波陡比波群宽度对谱宽变化影响更强，随着波陡增加，谱宽可增至初始值2.5倍左右; 同时，在崩破情况下，谱宽最大值发生位置在破碎之后。

3) 群速度对波群最大值速度的近似程度与波群结构相关。针对能量集中在谱两端、频带较宽、初始波陡较大的波群等，建议采用谱加权群速度; 针对高斯谱型、频宽较小、能量集中在中心频带的波群等，建议采用主频群速度。在弱非线性情况下，2种群速度差别较小; 随着非线性增强，三阶非线性主频群速度更接近包络最大值速度。

关于群速度对波群包络最大值速度近似程度与波群结构的相关性，尤其是以上提到4个可能因素，需要进一步验证，也是下一步要开展的研究内容。