季冻区沥青混凝土路面长期处在冻融环境中，随着材料内部损伤的不断积累，沥青面层出现掉粒、松散等现象并最终导致沥青剥落、道路坑槽等病害的发生。在国内外路面工程实例中，掺加玄武岩纤维是解决冻融问题的有效技术手段之一，玄武岩纤维可以改善沥青混合料的路用性能，提高水稳性能和耐久性能^[1-3]。但以往试验多以单次冻融试验后的冻融劈裂比作为抗冻性评价指标，无法反映冻融循环过程中损伤演化的具体规律。为了分析玄武岩纤维沥青混合料在寒区全寿命内的工作情况，依据不同冻融循环次数下的混合料路用性能数据，进行冻融过程中的损伤演化规律研究就显得尤为重要。

对冻融循环中的损伤过程研究，可以从宏观角度进行混合料的性能试验来分析衰减规律^[4-9]，也可以通过细观甚至微观角度来对损伤扩展的规律进行研究^[10-13]。通过寿命可靠度理论可以将宏观试验和结构内部微元体的损伤发展分析相结合，从而建立冻融损伤演化模型。这种损伤演化研究方法^[14-15]是由水泥混凝土领域逐步引入到沥青混凝土中，其本质上是一种针对损伤演化过程分析的普适模型，将其应用于玄武岩纤维沥青混合料的冻融损伤演化分析中，是合理可行的。

本文采用Weibull统计模型描述沥青混合料内部点的失效概率与时间的函数关系，设计相应算法，将宏观性能和微元点损伤联系到一起，通过沥青混合料损伤演化模型的3个参数(形状因子α、尺度因子λ和梯度因子ν)来描述掺加玄武岩纤维前后沥青混合料内部各点的失效特性、内部点的抗冻融循环能力以及不同位置间的区别，探究冻融过程中试件内部损伤的演化规律，从而分析玄武岩纤维对沥青混合料抗冻融性能的改善情况，并提出了玄武岩纤维沥青混合料的冻融损伤残余寿命预估方法。

1 冻融损伤模型 1.1 玄武岩沥青混合料三维损伤演化模型假设

由基于可靠度理论和损伤统计理论的普适模型可知^[16-17]，若玄武岩纤维混合料能够满足模型的4种基本假定，则其可符合此损伤演化规律。为了分析实际工程中的损伤演化情况，可采用一个六面均遭受等损伤梯度G的立方体模型来描述沥青混合料受冻融循环的影响，模型假设如下。

假设1  玄武岩纤维沥青混合料可视为连续的均匀体。玄武岩纤维长度相对试件而言较小，且在拌合过程中纤维均匀且无序地分散到试件各方向和位置中。集料、胶浆与空隙尺寸也满足较小且无序分布的要求，故宏观上可将混合料试件视为各组成部分性能的统计平均量。

假设2  玄武岩纤维沥青混合料各边界所处的冻融环境条件相同，冻融带来的等损伤梯度G从各面向内部发展，因此试件内部到边界最短距离相同的微元点均满足同一种损伤演化规律。六面遭受冻融等损伤梯度G如图 1所示。

假设3  玄武岩纤维沥青混合料的内部点受到的冻融损伤与循环次数之间的关系服从Weibull分布。沥青混合料冻融破坏是由于内部损伤随冻融循环逐步积累所导致的，混合料内部各元件失效概率随之增大，与时间呈正相关。因此可认为玄武岩纤维沥青混合料冻融损伤随循环次数逐步积累这一特征符合Weibull分布：

$ F\left( t \right) = 1 - \exp \left[ { - {{\left( {\lambda t} \right)}^\alpha }} \right] $

(1)

式中t为时间(冻融循环次数)。

假设4  沥青混合料内部各点受到同种损伤条件的影响，失效曲线形状一致，形状因子α相同。

1.2 模型推导

在混合料内部任一坐标(x, y, z)处取微元体，设此微元体的内部点元件在t时刻发生破坏的概率密度函数为f(x, y, z; t)，记t时刻该微元体发生破坏的区域数量为V(x, y, z; t)，此随机变量满足空间Poisson分布要求，t时刻，各点元件发生破坏的概率P为：

$ P = f\left( {x, y, z, t} \right){\rm{d}}\zeta {\rm{d}}\eta {\rm{d}}\sigma $

(2)

V(x, y, z; t)满足Poisson分布，由Poisson分布的期望性质可得到V(x, y, z; t)的数学期望为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( V \right) = nP = {\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z{\rm{d}}{\zeta ^{ - 1}}{\rm{d}}{\eta ^{ - 1}}{\rm{d}}{\sigma ^{ - 1}} \cdot }\\ {f\left( {x, y, z;t} \right){\rm{d}}\zeta {\rm{d}}\eta {\rm{d}}\sigma = f\left( {x, y, z;t} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z} \end{array} $

(3)

式中n为空间区域中样本点个数。

整个区域受损体积为：

$ V = \iint\limits_{{V_0}} {E\left( V \right)} $

(4)

定义损伤度D为：

$ D = V{\left( {{V_0}} \right)^{ - 1}} $

(5)

式中：V为受损单元体积；V₀为原单元体积。

由式(3)~(5)，并结合式(1)可知：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {D = V_0^{ - 1}\iint\limits_{{V_0}} {f\left( {x, y, z;t} \right){\text{d}}x{\text{d}}y{\text{d}}z} = } \\ {V_0^{ - 1}\iint\limits_{{V_0}} {\alpha {{\left( {\lambda t} \right)}^{\alpha - 1}}{\text{exp}}\left[ { - {{\left( {\lambda t} \right)}^\alpha }} \right]{\text{d}}x{\text{d}}y{\text{d}}z}} \end{array} $

(6)

由文献[14]可知，式中的尺度因子λ综合体现了混合料内部的点对于冻融循环条件的抵抗能力，其大小由内外因素条件共同决定，且与材料抗力负相关。为了评价玄武岩纤维沥青混合料对沥青混合料在冻融循环不利条件下的抵抗能力的改善情况，引入增强因子k来表征玄武岩纤维对沥青混合料性能的抵抗力的改善情况。定义增强因子k为：

$ k = {\lambda _a}/{\lambda _b} $

(7)

式中：λ_a为玄武岩沥青混合料损伤演化模型的尺度因子；λ_b为普通沥青混合料的尺度因子。

当k>1时，说明掺加玄武岩纤维后沥青混合料对不利条件的抵抗能力下降，那么掺加玄武岩纤维对此性能是不利的；k < 1时，则抵抗能力增加，k越小抗性越强，玄武岩纤维的改善效果越明显。若k=1，说明玄武岩纤维的加入不会影响抵抗能力。

1.3 损伤演化数值算法

为准确计算式(6)，可对计算区域进行空间离散化，将各边均分成N份，N为偶数。由假设2可知，离模型边缘最短距离相等的第i层单元数为：

$ {N_i} = 6{N^2} - 24iN + 24{i^2} - 12N + 24i + 8 $

(8)

式中：i=0, 1, …, (N/2-1)。

设第i层单元t时刻发生破坏的分布函数为F_i(t)，Poisson分布在模型样本点数目较少时，可转化为Bernoulli分布。因此第i层单元中有N_i个单元发生破坏，在t时刻这一事件φ_i的数学期望为：

$ E\left( {{\varphi _i}} \right) = {N_i}{F_i}\left( t \right) $

(9)

由假设3可得：

$ {F_i}\left( t \right) = 1 - \exp \left[ { - {{\left( {{\lambda _i}t} \right)}^\alpha }} \right] $

(10)

若采用线性公式模拟λ_i，且网格划分的足够细，忽略微单元尺寸的影响，则可得：

$ {\lambda _i} = {\lambda _0} - 2iv/\left( {N - 2} \right) $

(11)

式中：λ₀为均匀尺度因子；v为梯度因子。当i=0时，最外层λ_i=λ₀；当i=N/2-1时，最里层λ_i=λ₀-v。

为了评价玄武岩纤维对冻融循环性能的改善，增强因子k应以同一层单元的抵抗性能作为评价标准，按式(7)计算k时，λ_a、λ_b可采用两种沥青混合料最外层的均匀尺度因子λ₀进行代入。

故t时刻单元破坏这一事件ω的数学期望为：

$ E\left( \omega \right) = \sum\limits_{i = 0}^{N/2 - 1} {E\left( {{\varphi _i}} \right)} = \sum\limits_{i = 0}^{N/2 - 1} {{N_i}{F_i}\left( t \right)} $

(12)

由式(12)可得区域损伤度期望值为：

$ \begin{array}{l} E\left( D \right) = E\left( \omega \right)/{V_0} = {N^{ - 3}}\sum\limits_{i = 0}^{N/2 - 1} {\left( {6{N^2} - 24iN + } \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {24i + 8} \right) \times \left\{ {1 - \exp \left[ { - {{\left( {{\lambda _0}t - \frac{{ivt}}{{N/2 - 1}}} \right)}^\alpha }} \right]} \right\} \end{array} $

(13)

由宏观唯象损伤力学中的等应变假设可知，第n次冻融循环后试件的损伤度的计算公式为：

$ {D_n} = \left( {{E_0} - {E_n}} \right)/{E_0} $

(14)

式中：D_n为第n次冻融循环后的损失度；E₀、E_n分别为冻融前和第n次循环后的力学性能指标。

2 冻融循环宏观试验 2.1 试验材料

本文试验采用盘锦AH-90#基质沥青，按照《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTGE20-2011)进行了沥青基本指标的测试，试验结果见表 1。本文试验所用集料为安山岩，矿粉为石灰岩粉，各粒径集料的表观相对密度见表 2。

本文所用纤维由吉林通鑫玄武岩纤维有限公司提供，直径13 μm。纤维最佳长度及掺量由文献[8]确定，长度为6 mm，掺量为0.4% ^[12]。

对粗集料按逐档筛分，按AC-13中值级配进行配合比设计，按照马歇尔设计方法确定最佳油石比，普通沥青混合料及玄武岩纤维沥青混合料的最佳沥青用量分别为5.1%和5.4%。

2.2 冻融循环实验方法

对玄武岩纤维沥青混合料和AC-13普通沥青混合料同时进行冻融循环试验，采用马歇尔击实法成型试件，圆柱体试件尺寸高(63.5±1.3) mm，直径(101.6±0.2) mm。试验前真空饱水15 min，常压浸泡30 min，冻融循环过程为-18 ℃空气中冰冻16 h，最后在60 ℃水中溶解8 h。每3次循环测定其宏观性能，此外还测试了第1次冻融后的性能结果。

文献[6]表明冻融循环对沥青混合料的粘结力影响较大，而粘结力强弱直接表现为沥青路面抗拉强度大小，反映了沥青路面抗开裂能力，从而影响沥青路面的使用寿命。间接拉伸劲度模量和劈裂抗拉强度都是常用的衡量沥青混合料抗开裂能力的指标，因此，本文测试了25 ℃劈裂强度和10 ℃间接拉伸劲度模量，其中劲度模量依据规范DD213(BSI，1993)，采用cooper NU-14试验机进行。

2.3 宏观试验结果分析

为说明玄武岩纤维对沥青混合料性能的影响，对2种混合料冻融循环后的试件进行对比。玄武岩纤维沥青混合料的劈裂及劲度模量的变化如图 2、3所示，掺加玄武岩纤维后，劈裂强度和劲度模量均有所提高，在0~18次循环时均符合此规律。

随着冻融循环次数增加，两种沥青混合料的性能均呈降低趋势。冻融循环初期，劈裂强度与劲度模量迅速减小。冻融循环次数增加至9次后，力学性能降低趋势减缓。产生这种现象的原因可能是：冻融循环初期，在冻涨作用下，试件空隙率增加，出现松散、掉粒等现象，水分逐渐侵入内部空隙与沥青膜中，力学性能显著降低。而随着冻融循环的继续进行，混合料内部会形成一定的连通空隙，冻结过程中的空隙压力可通过此通道得以释放，因此损伤的扩展速度有所降低。

对比掺加玄武岩纤维前后的沥青混合料的力学性能可知，掺加纤维后，劈裂强度与劲度模量均有提高。冻融循环前，玄武岩纤维沥青混合料的劈裂强度比普通沥青混合料提高了21%，18次冻融循环后仍高出45%；对于劲度模量而言，冻融前和18次冻融后则分别为39%和53%。这可能是由于玄武岩纤维不吸水，且与沥青表面亲和性好，限制了冻涨过程中因温度应力造成的收缩开裂。

3 损伤演化模型建立及寿命预估 3.1 损伤演化模型建立

由冻融循环宏观试验可以得到各冻融次数下的力学性能E_n，将其代入式(14)可计算得到各组损伤度D_n，将各冻融次数t和损伤度D代入式(13)中进行非线性拟合，即可求得损伤演化模型的3个参数α、ν、λ₀，确定损伤演化模型。式(13)中，网格划分个数N会影响参数计算的结果，N值越大，拟合精度越高，参数越准确，但N值过大会导致迭代次数过多，严重影响计算效率，因此首先需要确定一个能满足精度要求的合适的N值。

本文采用Matlab程序由式(13)计算损伤方程，采用“Levenberg-Marquardt算法+通用全局最优法”对参数进行非线性拟和，对不同网格个数N下的模型系数进行试算，若模型系数稳定，网格个数N可以满足模型要求。以0~12次玄武岩纤维沥青混合料和普通沥青混合料的劈裂损伤度数据进行拟合，得到各参数随网格个数的变化如图 4~6所示。模型相关系数之平方(R²)均大于0.98，可信度高。

对于参数的稳定性判断，文献[14]中以相邻网格个数下的计算参数变化率在5%以内作为稳定性判断依据，但对于本文而言，此参数稳定性判断方法并不完全适用。由上图 4~6中可以看出，形状因子α与尺度因子λ₀数值一直较为稳定，变化率小于1%。而梯度因子ν则一直处于波动状态，其参数变化率大于5%，但此结果不代表此参数稳定性不足，需结合梯度因子ν的实际意义进行分析。由式(11)可知，ν反映了内外层抵抗因子的差异性，最里层λ_i=λ₀-v。由前32次的计算结果分析可知，参数ν的绝对值较小，小于1×10^-7。这充分说明混合料冻融劈裂模型的内部的尺度因子基本一致，也即劈裂强度的抵抗较为均匀，损伤均匀地发生在模型内部，可断定其基本稳定。此梯度因子ν的计算结果与文献[16]中常温劈裂强度的梯度因子计算结果可以相互验证。因此，本文对拟合过程中梯度因子趋于0时情况下的拟合稳定性判断方法做出了补充，以参数ν绝对值小于10^-7来作为稳定性判断依据。对劲度模量进行试算后，梯度因子ν也趋于0。因此，当网格划分数N=32时，拟合得到的3个参数均趋于稳定，能够满足精度要求。故取N=32，以0~12次冻融循环的损伤度建立损伤演化模型，以15、18次试验结果来检验预测模型的准确性。

3.2 模型计算结果及讨论

取N=32，先对前12次冻融循环的试验数据进行拟合，计算模型参数。将各冻融实测数据与拟合值进行对比，验证损伤演化模型的准确性。混合料损伤演化模型参数α、λ₀、ν的拟合结果如表 3所示。

由表 3可以看出，玄武岩纤维沥青混合料冻融损伤演化模型拟合精度较高，相关系数大于0.98。3个模型参数三者的规律性显著，并且3个因子随混合料掺纤维与否以及性能指标的不同表现出一定的差异，因此该模型可以较好地分析玄武岩纤维沥青混合料的内部劣化规律。

形状因子α可体现沥青混合料内部各点的失效特性。对比同一种混合料的劈裂强度和劲度模量α，其参数相差很小，普通沥青混合料均值为0.771，而玄武岩纤维沥青混合料为0.626；对比不同混合料同一性能指标的α可以发现，掺入玄武岩纤维后，α略有增加，但依然较为接近，与文献[16]中不同性能的α比较，本文α的差异性整体较小，在0.59~0.84变动，这说明掺加玄武岩纤维后，试件受到不利因素未发生变化，沥青混合料内部各点的失效曲线形状大致相同，可认为α基本不变。

尺度因子λ₀体现了沥青混合料内部点对冻融循环的抵抗能力，由混合料的空隙率、集配、外加剂等因素条件共同决定。λ大小与抵抗能力负相关，其值越大则抵抗冻融损伤能力越弱。对比表 3的数据可知，同一种混合料的不同性能λ₀具有一定差异，劈裂强度指标的λ₀为0.047~0.055，而劲度模量为0.035~0.037，故混合料劈裂强度指标对冻融的抵抗性能要低于劲度模量的抵抗性能。λ₀反映了力学性能指标对于冻融损伤的敏感性，因此劈裂强度指标较劲度模量指标更适合用来评价抗冻融性能。玄武岩纤维沥青混合料与普通沥青混合料相比，同一性能λ₀均较小，这表明玄武岩纤维沥青混合料的抵抗损伤能力越强，即掺加纤维后，混合料劈裂强度和劲度模量对冻融损伤的抵抗能力有所提高。

对比纤维增强因子k可知，劈裂强度的增强因子k₂小于劲度模量的增强因子k₁，且均小于1，在冻融循环的不利条件下，玄武岩纤维对沥青混合料的抗冻性能中的劈裂强度指标的改善作用高于对劲度模量的改善作用。

梯度因子ν体现了沥青混合料在冻融循环中内部各部位之间损伤发展的差异，其绝对值越大则差异性越大，各点损伤同步性越慢。若ν值为正，说明沥青混合料性能衰减从表层开始向里层传播；若ν值为负则反向传播。对于这两种指标而言，掺加纤维前后，ν绝对值均小于10^-7，绝对值接近于0，可认为玄武岩纤维沥青混合料受到均匀损伤，材料内部损伤发展基本一致。文献[16]中的普通沥青混合料劈裂强度和劲度模量对应的ν绝对值较小，不同性能指标对应的ν值具有其自身的意义。本文对玄武岩纤维沥青混合料及普通沥青混合料的劈裂强度、劲度模量ν的计算结果与其相一致，可以很好地说明在劈裂强度和劲度模量性能指标下，混合料冻融损伤内外差异性较小，玄武岩纤维沥青混合料内部受到均匀的冻融损伤。

玄武岩纤维沥青混合料及普通沥青混合料的劈裂强度与劲度模量的损伤演化规律如图 7所示。其中各点为混合料宏观性能损伤度的实测值，线条为拟合值。将12、15、18次损伤度的实测结果与拟合值对比，计算相对误差如图 8所示。由图 7、8可得，前12次拟合时，误差较小；15次预测结果与实测结果接近，18次预测结果略高于实测结果，但相对误差均小于12%，可认为此模型较为有效，可以反映沥青混合料冻融损伤的演化规律。

3.3 冻融损伤残余寿命预估方法

在冻融损伤演化模型中，由劲度模量和劈裂强度的ν趋于0，玄武岩纤维沥青混合料内部受到均匀的冻融损伤，式(14)可以退化成为Weibull分布

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( D \right) = {N^{ - 3}}\sum\limits_{i = 0}^{N/2 - 1} {\left( {6{N^2} - 24iN + 24i + 8} \right)} \times }\\ {\left\{ {1 - \exp \left[ { - {{\left( {{\lambda _0}t} \right)}^\alpha }} \right]} \right\} = 1 - \exp \left[ { - {{\left( {{\lambda _0}t} \right)}^\alpha }} \right]} \end{array} $

(15)

结合假设4，对于室内室外试验具有同样的失效机理，α应当一致，即室内试验α可代替室外试验α，λ₀为沥青混合料对不利条件的抵抗能力，受室内外试验影响显著需要通过室外试验重新测定:

$ {\lambda _0} = {\left[ { - \ln \left( {1 - D} \right)} \right]^{1/\alpha }}/t $

(16)

因此，只需要测定一定年限t后对应的损伤度，即可对劲度模量、劈裂强度的全过程损伤劣化过程进行曲线模拟，从而估算出其使用寿命，计算混合料的残余寿命。将式(16)求得的尺度因子代入式(15)中，即可得到全寿命过程中的劲度模量、劈裂强度的损伤度在实际服役冻融环境中的演化规律。

水泥混凝土规范中，以60%相对动弹性模量作为冻融循环试验中快冻法结束的条件^[19]，鉴于此，且考虑到劈裂强度较劲度模量更为敏感，可将劈裂强度损伤度达40%对应的实际冻融时间作为抗冻融寿命。由式(16)可知，混合料残余寿命为:

$ T = \left\{ {{{\left[ {\frac{{\ln 0.6}}{{\ln \left( {1 - D} \right)}}} \right]}^{1/\alpha }} - 1} \right\} \times t $

(17)

式中:t为室外试验的测定时间；D为测得的损伤度；对于玄武岩纤维沥青混合料α取0.704。在实际工程中，可由式(17)对其抗冻融残余寿命进行预估。

4 结论

1) 试验结果表明纤维和普通沥青混合料的劈裂强度、劲度模量均随冻融次数的增加而减小。但掺加玄武岩纤维后，沥青混合料的劈裂强度和劲度模量得到显著提高，在冻融循环前后这两种性能均普遍高于普通沥青混合料。这表明掺加纤维改善了混合料的低温抗裂性能和抗冻融性能。

2) 建立了适用于冻融条件下玄武岩纤维沥青混合料的损伤演化模型，模型稳定性较好。提出采用增强因子k来评价掺加玄武岩纤维对沥青混合料抗冻融性能的增强效果。混合料劈裂强度和劲度模量的梯度因子ν绝对值较小，在这两种性能指标下，玄武岩纤维沥青混合料内部不同位置的损伤发展基本一致，混合料内部受到均匀的冻融损伤。

提出了冻融条件下玄武岩沥青混合料的寿命预测方法，但本文以劈裂强度的损伤度达到40%为指标，建立模型时采用的试件为标准件，可能会导致预测的寿命与实际存在一定的差异。如何针对此问题改善预测模型也是今后的研究方向。