随着蓝水海军战略的推进，水面无人艇(unmanned surface vehicle，USV)以其高机动性、智能化和无人化的特点，成为未来海上远距离作战的重要装备。当USV上搭载多种传感器和作战模块后，可执行警戒、侦察、监视、跟踪、探雷、灭雷和通信中继等任务。目前服役和在研的USV在基本实现了路径巡航^[1-2]、避碰避障^[3-5]等初级自主行为后，开始逐步向高级自主行为发展。美国海军已率先在USV高级自主行为研究领域取得重大突破—“蜂群战术”，它们以集群协同作战模式，一旦侦察到“可疑船只”，便自主对其进行包围和拦截。本文以“蜂群战术”为背景，假设我方USV被敌方侦察到后，在机动性不逊于敌方的情况下，提出了一种抗追捕-逃跑策略来动态规划我方USV的逃跑路径，对提高其自主性、智能性和对抗性具有重要意义。

国内外相关专家对追逃问题进行了深入研究，并在机器人^[6-9]、无人机对抗^[10-11]和导弹拦截^[12-13]等领域取得了很多研究成果。针对追逃问题有两种主流解决思路，即分层分解法和状态降维法。前者将问题视为多个并行层面的单追捕-逃跑问题，其核心在于如何加强追捕者之间的协作^[14]，如哈密顿-雅克比(Hamilton-Jacobi)方程法^{[13, 15]}；后者是将连续状态离散化，其核心在于如何保证在离散过程中不降低实际模型的求解精度，如栅格法^[8]、时间间隔法^[9]、Voronoi图法^[11]，其中Voronoi图法的求解速度最快，但此类方法往往假设追逃双方具有相同的运动速度，且均能实现瞬时转身。

目前，专门针对USV追逃问题的研究尚处于起步阶段，可以借鉴其他领域追逃问题已取得的研究成果，如文献[7]以追捕机器人的视角，通过基于模糊逻辑规则的分层控制系统，以提高其相互协作追捕的能力；文献[9]研究了无障碍物环境下高速运动机器人的追逃问题，利用构建阿波罗尼奥斯圆的方法，分别提出了相对应的追捕和逃跑策略；文献[15]采用微分对策构建动态方程，并使用解耦的多追捕机器人控制策略来规避次优解，获得最优追捕和逃跑方案；文献[16]研究了无人巡逻队在线路径规划问题，提出了基于随机树快速搜索(RRT)的边界巡逻算法，使其可以同时捕获2~3个入侵者。上述这些方法都给USV的抗追捕-逃跑策略的研究带来了启发，但在具体功能实现过程中还需要联系USV的实际情况。如USV在进行逃跑路径规划的过程中，除了必须要考虑航行海区中障碍物的影响外，还需要考虑USV自身操纵约束对航向、航速控制系统的影响，这使得抗追捕-逃跑策略的研究问题变得异常复杂。

本文将从追逃问题中逃跑者的视角，讨论我方USV在受到“蜂群战术”攻击时，如何动态决策逃跑路径以摆脱敌方USVs的追捕。拟利用阿波罗尼奥斯圆的性质和其自身操纵约束建立相关模型，并以此为依据求解出USV在被追捕时的最优逃跑路径。

1 USV抗追捕-逃跑问题 1.1 USV抗追捕-逃跑问题的数学描述

假设在某有界二维连续环境Ω中(含有障碍物)，N艘敌方USVs欲追捕我方USV，其动态方程可表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_P} = {v_P}\cos {\psi _P}\\ {{\dot y}_P} = {v_P}\sin {\psi _P}\\ {{\dot \psi }_P} = {v_P}/{R_P} \end{array} \right., \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_E} = {v_E}\cos {\psi _E}\\ {{\dot y}_E} = {v_E}\sin {\psi _E}\\ {{\dot \psi }_E} = {v_E}/{R_E} \end{array} \right. $

(1)

式中：P={P₁, P₂, …, P_N}表示敌方USVs；E表示我方USV；(x_P, y_P)、(x_E, y_E)分别表示敌我双方在环境Ω中的位置；ψ_P和ψ_E表示航向角；R_P和R_E分别表示最小转弯半径；v_P、v_E分别表示航速，且满足v_P∈[0, V_P]、v_E∈[0, V_E]，V_P、V_E分别表示它们的最大速度，其比值λ为

$ \lambda = {V_P}/{V_E} $

(2)

为了增强问题的可研究性，敌我双方各占优势，如敌方USVs的数量多，相应地我方USV的最大航行速度比敌方USVs快。又由文献[17]可知，当λ < sin(π/N)时追捕者很难追到逃跑者，此时讨论抗追捕-逃跑问题无实际意义。为此，本文主要研究当敌方USVs和我方USV最大速度比λ∈[sin(π/N), 1)时，我方USV抗追捕-逃跑动态路径规划问题。

多艘敌方USVs对我方USV进行追捕，则判定我方USV被敌方USVs捕获的条件为

$ d(P({x_P}, {y_P}), E({x_E}, {y_E})) \le \varepsilon $

(3)

式中：d(·, ·)表示希尔伯特空间的2-范数，ε为敌方USVs捕获半径。若在指定时间内式(3)不成立，或者我方USV提前到达二维连续环境Ω的边界，则判定抗追捕-逃跑成功。

1.2 USV动态逃跑路径规划的系统概述

在USV抗追捕-逃跑问题中，其动态路径规划的系统框架如图 1所示。先根据艇载设备(惯导、GPS和声呐等)结合电子海图系统建立环境模型，主要用于获取航行海区的障碍物信息；接着通过路径自主规划算法^[5]计算出航向和航速，由回转罗盘和计程仪测得当前实际的航向和航速；最后用计算值和测量值的差值调整操舵仪和调速器，使我方USV按既定的航向和航速航行。

当我方USV的航海雷达发现敌方USVs时，其雷达探测到敌艇的数量、距离、航向和速度分别为{N, D_P, ψ_P, V_P}。将雷达探测的结果输入到抗追捕-逃跑对策中，并按策略指导路径自主规划算法重新计算航向和航速，使其摆脱敌方USVs的跟踪和追捕。

在抗追捕-逃跑动态路径规划中，主要需要考虑USV的位置、航行方向和速度。因此，可以将航行海区的环境模型简化为二维平面模型，并利用连续环境模型代替离散的棋盘栅格模型。与棋盘栅格模型不同，本文先参考电子海图将该航行海区分为障碍物和可航行海区，其中障碍物包括岛屿、礁石、暗礁、浅滩等可能阻碍航行的区域。采用状态降维法建模对冗余的障碍物轮廓信息进行简化处理，即将该区域中的障碍物抽象成平面多边形。这种模型能较好地反应实际情况，得到的算法更易于工程实现。

1.3 敌方USVs的威胁建模 1.3.1 阿波罗尼奥斯圆

先考虑我方USV与单个敌方USV对弈时的情况，且不考虑它们的体量大小，直接将其等效成质点，P(x_p, y_p)与E(x_e, y_e)分别表示它们在平面坐标系中的位置坐标。T(x, y)为该平面内的任意点，满足：

$ PT/{V_P} = ET/{V_E} $

(4)

式中：T点的轨迹就形成阿波罗尼奥斯圆(Apollonius circle)，如图 2所示。圆上的任意点可以理解为：当敌我双方都采取最大速度航行时，它们能同时到达该点。

由平面几何的相关知识可得该阿波罗尼奥斯圆的圆心为$O\left( {\frac{{{x_P} - {\lambda ^2}{x_E}}}{{1 - {\lambda ^2}}}, \frac{{{y_P} - {\lambda ^2}{y_E}}}{{1 - {\lambda ^2}}}} \right) $，半径为

$ r = \sqrt {\lambda {{({x_P} - {x_E})}^2} + {{({y_P} - {y_E})}^2}} /(1 - {\lambda ^2}) $

(5)

由式(5)可知，r和λ正相关，即敌方USV比我方USV的速度慢得越多，则阿波罗尼奥斯圆的半径就越小，我方USV逃跑成功的几率就越大。根据阿波罗尼奥斯圆的特点，敌方USV能成功追捕到我方USV必须发生在圆的边界上或者圆的内部。因此，将该区域定义为敌方USV的理论威胁区域，而且我方USV在逃跑路径规划过程中应尽量绕开该威胁区域。考虑绕开时的临界情况(见图 2)，过点E作阿波罗尼奥斯圆的切线交于点T，由于阿波罗尼奥斯圆的圆心O、敌方USV的位置点P和我方USV的位置点E三者在一条直线上，则存在：

$ \sin \alpha = OT/OE = \left( {OE \times \lambda } \right)/OE = \lambda $

(6)

式(6)说明，α与敌我双方USVs的位置无关，它只与两者的最大速度比λ相关。

1.3.2 USV的回转特性

由于USV本身具有一定的体量大小，无法实现瞬时原点转向。尤其当USV的被捕获半径ε和回转半径r_t在一个数量级时，USV的回转性能对捕获结果有重要影响。例如当USV左转舵时，其重心的运动轨迹如图 3所示，其中USV的艇身长度为l、宽度为d，一般有l>d。

由于USV属于一般小型船舶，本文取回转半径r_t=3l/2。从图 3中可以看出转弯的弧度越大，其航行轨迹越长且耗时越多。因此，在“蜂群战术”背景下，必须考虑其回转性能对抗追捕-逃跑策略的影响。

1.3.3 敌方USVs的威胁模型

理论上，无论敌方USVs采取何种追捕策略，只要我方USV不进入敌方USVs的阿波罗尼奥斯圆内，就一定不会被捕获。但实际上，受到捕获半径和回转性能的影响，两者之间还需要留有一定的安全裕量，才能保证我方USV的安全。

假设某时刻敌方USV与我方USV的位置和航行方向如图 4所示，若要保证我方USV不被捕获，则它们之间的距离至少要大于捕获半径ε，而且还要预留出足够的回转安全距离2r_t。基于此，定义两者之间的安全裕量为

$ {L_{{\rm{safe}}}} = \varepsilon + 2{r_t} $

(7)

我方USV在抗追捕-逃跑的过程中，除了要尽量避开阿波罗尼奥斯圆定义的威胁区域外，还需要考虑安全裕量。因此，本文对阿波罗尼奥斯圆区域进行“膨胀”处理，具体过程如图 5所示。

图 5中敌方USV威胁区域和阿波罗尼奥斯圆的圆心重合，半径由r变为r′ (r′=r+L_safe)。在后续逃跑路径规划过程中，敌方USVs的威胁区域为“膨胀”后的阿波罗尼奥斯圆区域。

2 抗追捕-逃跑策略

在敌方USVs的数量多但航行速度略慢的前提条件下，我方USV能否逃跑成功尚待研究。同时，在抗追捕-逃跑策略研究过程中，应考虑与USV密切相关的约束条件，如障碍物、捕获半径、回转特性和航行海区边界等，这些约束条件与被包围状态确定和抗追捕-逃跑对策的执行息息相关。

2.1 被包围状态分析

通过计算阿波罗尼奥斯圆和安全裕量，可以得到单个敌方USV的威胁区域，而在“蜂群战术”背景下，多艘敌方USVs的追捕威胁范围将会“叠加”。根据我方USV的位置和敌方USVs的威胁区域，可以确定被包围状态集S={S₁, S₂, S₃, S₄}：①未包围状态S₁，此时我方USV在由敌方USVs构成包围圈的外部；②半包围状态S₂，此时我方USV虽然在包围圈内部，但相邻的两艘USVs威胁区域之间有明显缺口；③临界包围状态S₃，此时我方USV在敌方USVs包围圈内部，但存在至少两个相邻敌方USVs威胁区域相切，且该切点不属于任何其他敌方USVs的威胁区域；④全包围状态S₄，此时我方USV在敌方USVs包围圈内部，且相邻敌方USVs威胁区域全部相交。以N=4为例，上述四种状态的具体情况分别如图 6所示。

2.2 抗追捕-逃跑对策分析

无论敌方USVs采取何种追捕策略，我方USV会根据处于被包围的状态做出相应的响应，即抗追捕-逃跑对策集可以表示为S→A，其中A={A₁, A₂, A₃, A₄}，具体分析如下：

策略A₁：在未包围状态S₁下，向远离敌方USVs构成的包围圈方向逃跑。

由于我方USV不在敌方USVs包围圈内部，故只要向远离包围圈的方向逃跑，凭借自身速度优势，很容易逃脱敌方USVs的追捕，证明过程略。

策略A₂：在半包围状态S₂下，向相邻的两艘USVs威胁区域之间的缺口方向逃跑。

证明：如图 7所示，在∠AEB的方向存在缺口，则我方USV朝着∠AEB的方向逃跑，设C为我方USV航行方向上的任意点，$\overrightarrow {PC} $为追捕方向，D为其威胁区域边界上的一点，则有$\overrightarrow {PD'} /\overrightarrow {ED} = \lambda $。设P₁经过时间t到达D′，则V_P1t=$ \overrightarrow {PD'} $, ${V_E}t = \overrightarrow {ED} $。

若敌方USVs和我方USV分别用时间t_P1和t_E到达点C′和C，则有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{t_E} = \overrightarrow {EC} /{V_E} < \left( {\overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DC} } \right)/{V_E} = }\\ {\overrightarrow {ED} /{V_E} + \overrightarrow {DC} /{V_E} = t + \overrightarrow {DC} /{V_E} = }\\ {\overrightarrow {{P_1}D' } /{V_{{P_1}}} + \overrightarrow {DC} /{V_E} = }\\ {(\overrightarrow {{P_1}D} + \overrightarrow {DD' } )/{V_{{P_1}}} + \overrightarrow {DC} /{V_E} < }\\ {(\overrightarrow {{P_1}D} + \overrightarrow {DD' } )/{V_{{P_1}}} + \overrightarrow {DC} /{V_{{P_1}}} = }\\ {(\overrightarrow {{P_1}D} + \overrightarrow {DD' } + \overrightarrow {DC} )/{V_{{P_1}}}} \end{array} $

(8)

$ \because \overrightarrow{DD' }=\overrightarrow{CC' }={{L}_{\text{safe}}} $

(9)

$ \begin{align} &\therefore \ \ \ {{t}_{E}}<(\overrightarrow{{{P}_{1}}D}+\overrightarrow{CC' }+\overrightarrow{DC})/{{V}_{{{P}_{1}}}}= \\ &(\overrightarrow{{{P}_{1}}D}+\overrightarrow{DC' })/{{V}_{{{P}_{1}}}}=\overrightarrow{{{P}_{1}}C' }/{{V}_{{{P}_{1}}}}={{t}_{{{P}_{1}}}} \\ \end{align} $

(10)

上述推导过程说明当E到达点C时，P₁无法到达点C′，即两者之间的距离大于L_safe。故P₁无法追上E，同理可证其他USVs亦无法追上，故我方USV可以朝着缺口的方向逃脱。

策略A₃：在临界包围状态S₃下，向相邻两艘USVs威胁区域的切点方向逃跑。

证明：如图 8所示，在临界包围状态下，相邻两艘P₂和P₃的威胁区域相切于点T。假设在时刻t，P₂到达离切点T最近的点P′₂，根据阿波罗尼奥斯圆的性质，E亦可到达点P′₂，此时有

$ {t_P} = \overrightarrow {{P_2}P{' _2}} /{V_P} = \overrightarrow {EP{' _2}} /{V_E} $

(11)

若我方USV朝着切点T的方向运动，到达点T的时间为

$ {t_E} = \overrightarrow {ET} /{V_E} $

(12)

又由于ΔEP′₂T为直角三角形，则存在$\overrightarrow {EP{' _2}} > \overrightarrow {ET} $，则有

$ {t_E} < \overrightarrow {EP{' _2}} /{V_E} = {t_P} $

(13)

式(13)说明当我方USV到达点T时，P₂还未到达点P₂′，而当P₂到达点P₂′时，我方USV已到达T′，且存在：

$ \overrightarrow {T' P{' _2}} > {L_{{\rm{safe}}}} $

(14)

上述推导过程说明此时我方USV已安全逃脱。同理，P₃亦无法追上我方USV，故我方USV可以朝着切点方向逃脱。

策略A₄：在全包围状态S₄下，向最远的相邻USVs威胁区域的交点方向逃跑。

在全包围状态下，我方USV不一定能逃脱敌方USVs的追捕。本文选择向最远的相邻USVs的威胁区域的交点方向逃跑，一方面可以最大限度的拖延被捕获时间；另一方面，若敌方USVs没有采用最优追捕方法^[17]时，我方USV很可能由全包围状态变成临界包围状态，此时再执行策略A₃即可逃脱，证明过程略。

2.3 算法流程

根据上文建立的系统模型和抗追捕-逃跑策略，确定我方USV的逃跑路径规划算法流程如下：

1) 确定航行海区的环境模型，利用电子海图系统的数据对该区域进行障碍物建模。初始化我方USV和N艘敌方USVs的位置、航速和航向。

2) 通过式(3)判断此时刻我方USV是否被捕获，若被捕获则我方USV抗追捕-逃跑失败，算法结束；否则，转入步骤3)。

3) 根据当前时刻USV的位置E计算出敌方USVs的威胁区域，确定我方USV被追捕的状态S(t)∈S，执行对应的抗追捕-逃跑策略A(t)∈A，规划出下一时刻我方USV的航行方向ψ_E(t)，并转步骤4)。

4) 按式(1)计算出我方USV以当前速度v_E(t)和方向ψ_E(t)航行Δt(时间间隔)到达的位置${\hat E} $，判断从E到$ {\hat E}$是否经过障碍物，若否，则按当前规划策略航行后，转步骤5)；若是，则采用可视图法寻找最近的障碍物顶点，并朝该顶点方向航行后，再转步骤5)。

5) 判断我方USV是否到达航行海区的边界，若是，则转步骤6)；若否，则转至步骤3)。

6) 我方USV抗追捕-逃跑成功，动态逃跑路径规划结束。

3 仿真实现及结果分析

本实验在如图 9所示的环境模型下，其中黑色多边形代表抽象后的障碍物，仿真时间间隔为Δt=1 s。假设有5艘敌方USVs对我方USV进行追捕，敌我双方能实时感知到对方的位置、航向和航速，敌方USVs捕获半径为ε=20 m，且双方的体量大小均为l=6 m, d=2.5 m，则它们的转弯半径均为r_t=9 m，保障我方USV不被捕获的安全裕量为L_safe=38 m。敌我双方USVs的初始仿真参数如表 1所示。

从仿真开始到我方USV最终逃离敌方无人包围的过程如图 9所示，图 9(a)表示初始时刻，双方USVs均在初始位置，我方USV处于被敌方USVs完全包围状态S₄，根据策略A₄应向威胁区域的“最远交点”方向逃跑。执行策略A₄航行28个时间间隔后，我方USV仍处于被全包围状态如图 9(b)所示，但此时“最远交点”的位置发生变化，则根据策略A₄实时调整我方USV的运动方向。在执行该策略114 s后如图 9(c)所示，敌方USVs的包围圈出现可逃生“缺口”，则按策略A₂我方USV该缺口方向逃跑。若敌方USVs继续采用最优策略追捕115 s后，如图 9(d)所示我方USV与敌方USVP₅之间的距离达到最近，此时P₅E=43 m，仍大于安全裕量L_safe。接下来，执行策略A₁朝着远离敌方USVs包围圈的方向航行即可。如图 9(e)所示，我方USV朝着边界方向航行120 s后成功脱险。

为了验证本文策略的有效性，进行了20×100组随机试验, 如表 2所示。在试验过程中，随机生成敌我双方USVs的初始位置和航行方向，并依次模拟敌方USVs的数量N为3、4、5、6、7、9、11、13时，在追逃速度比λ∈[sin(π/N), 1)的情况下，敌方USVs采用最优追捕方法，我方USV采用本文策略能够逃跑成功的概率。

表 2显示在追逃速度比λ不变的情况下，随着敌方USVs的数量增多，我方USV的逃跑成功率整体上呈下降趋势。同时，若敌方USVs的数量一定，我方USV的逃跑成功率随着追逃速度比λ的增大而减小。

4 结论

1) 利用阿波罗尼奥斯圆和安全裕量的敌方USVs威胁区域建模方法，提高了抗追捕-逃跑问题模型的准确性。

2) 采用状态降维法对冗余的障碍物轮廓信息进行简化处理，以减少动态路径规划的计算量。

3) 引入被包围状态集及其对应的抗追捕-逃跑策略集，以两者之间的映射关系为依据动态调整逃跑方向，并通过仿真验证了本文提出的策略有助于我方USV突破敌方USVs的包围。

为了进一步提高USV的自主性能，更好的适应未来作战环境，对于多艘USVs协同自主控制是后续研究的重点。