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  哈尔滨工程大学学报  2018, Vol. 39 Issue (6): 1093-1097  DOI: 10.11990/jheu.201703008
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引用本文  

刘英伟, 张洋. 基于voronoi图的材料初始组织的生成[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2018, 39(6), 1093-1097. DOI: 10.11990/jheu.201703008.
LIU Yingwei, ZHANG Yang. The generation of the initial materials microstructure based on the voronoi diagram[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2018, 39(6), 1093-1097. DOI: 10.11990/jheu.201703008.

基金项目

中央高校基础科研基金项目((HEUCFJ171005)

通信作者

刘英伟, E-mail:Lywbanner@163.com

作者简介

刘英伟(1970-), 男, 副教授;
张洋(1985-), 男, 讲师, 博士

文章历史

收稿日期:2017-03-04
网络出版日期:2018-03-27
基于voronoi图的材料初始组织的生成
刘英伟, 张洋    
哈尔滨工程大学 材料科学与化学工程学院 金属材料研究所, 黑龙江 哈尔滨 150001
摘要:蒙特卡罗方法模拟材料组织演变时,采用voronoi图方法生成的初始组织,可以克服传统方法生成的初始组织存在的缺陷。本文利用Matlab软件生成非限制性voronoi图,用角度比较法对非限制性voronoi图进行剪裁,生成符合真实情况的限制性voronoi图,最后采用角度比较和顺时针搜索策略将限制性voronoi图中的线段按所属的多边形进行了分组,从而在数据结构层次上生成了初始组织。按上述算法编制程序并进行了计算,结果表明:从统计学角度来看,生成的初始组织和实际组织很接近,这为后续的模拟工作打下了坚实的基础。
关键词蒙特卡罗    组织演变    voronoi图    数据结构    均匀形核    结晶    晶粒统计    正态分布    
The generation of the initial materials microstructure based on the voronoi diagram
LIU Yingwei, ZHANG Yang    
Institute for Metallic Materials, College of Materials Science and Chemical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China
Abstract: When the Monte Carlo method is used to simulate microstructure evolution, defects exist in the initial material microstructure due to traditional methods. Such defects can be overcome by adopting the Voronoi diagram. In this study, a nonrestrictive Voronoi diagram was created by Matlab. The unrestricted Voronoi diagram was cut by angle comparison to generate a restrictive Voronoi diagram conforming to reality. Finally, the strategies of angle comparison and clockwise search were used to group the line segments in the restrictive Voronoi diagram in accordance with the polygons to which the line segments were subordinated. Thus, the initial material microstructure was generated in the tier of data structure. Calculations were carried out by a program prepared based on the abovementioned algorithm. From a statistical perspective, the generated microstructure was very close to the real microstructure, thereby laying a solid foundation for follow-up simulation.
Key words: Monte Carlo    microstructure evolution    voronoi diagram    data structure    homogeneous nucleation    crystallization    grain statistics    normal distribution    

材料的组织演变是一个复杂的热力学过程,通常需经过大量且复杂的实验才能研究透彻。随着计算技术的发展,可以通过计算机模拟这一过程,这将大大缩短研究周期,节约研究费用。蒙特卡罗法就是众多模拟方法的一种[1-2]

采用蒙特卡罗方法模拟组织演变的第一个环节就是生成初始组织。目前,大多数学者[3-11]是(以二维为例)将材料的微观结构离散为二维的网格点,每个网格点(代表实际多晶材料的一个体积单元)被随机赋予一个晶体学取向,取向一致的单元组成一个晶粒。不过这种方法存在缺陷,那就是容易产生微晶(晶粒只包含一个单元),这与实际的材料组织形成过程不符。因为不管是结晶过程还是固态相变过程中,微小晶粒都具有很大的表面能,极不稳定,很容易被大晶粒吞并而无法保存下来。因此,采用这种方法生成的初始组织,与实际情况有所偏差,这势必影响后续的模拟过程。本文则根据材料组织的形成特点,采用voronoi图[12-15]生成初始组织,可以避免上述情况的出现。voronoi图是由俄罗斯数学家Voronoi于1908年提出的,这一模型有着实际的物理意义,voronoi图反映了自然界普遍存在的一种现象,用它代表材料组织有一定的合理性。

据此本文用voronoi方法成初始组织。首先根据一定的算法随机生成一定数目的晶核坐标,然后利用Matlab软件生成非限制voronoi图,并对其进行剪裁,使之与实际情况相符,最后采用一定的算法在数据结构层次真正生成了初始组织。

1 voronoi图的生成 1.1 非限制性voronoi图

Matlab的MPT工具箱中的voronoi(X, Y)函数有生成voronoi图的功能, 其调用格式为

$ \left[ {{\rm{Vertex\_X,Vertex\_Y}}} \right] = {\rm{voronoi}}\left( {X,Y} \right) $ (1)

式中:XY为平面上n个随机点(晶核)的坐标矩阵,可通过一定的随机方法产生;Vertex_X, Vertex_Y是生成的voronoi图中各个边的顶点坐标矩阵。

调用voronoi(X, Y)函数后,会生成图 1所示的voronoi图,不过此图是非限制性voronoi图,图形中有的多边形伸长很远,超过了边界,相当于晶粒过度长大,这是不符合实际情况的,金属结晶时,必须受到器壁的限制,故需要将四边形(容器界限)以外的部分裁剪掉,使非限制性voronoi图变为限制性voronoi图,即图 2

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图 1 非限制性voronoi图 Fig. 1 The unrestricted voronoi diagram
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图 2 voronoi图与边界 Fig. 2 The voronoi diagram and its periphery
1.2 限制性voronoi图

把非限制性voronoi图变为限制性voronoi图,在几何上就是把超出边界的那些线段裁剪掉,通过简单的解析几何方法就能完成。

图 3,假设非限制voronoi图中的某线段oa超出了边界,端点o在界内, 另一端点a在界外,则对其裁剪的算法如下:

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图 3 非限制性voronoi图的剪裁 Fig. 3 The cutting of the unrestricted voronoi diagram

设线段oa的序号为i,端点oa的坐标分别为Vertex_X(1, i), Vertex_Y(1, i)和Vertex_X(2, i),Vertex_Y(2, i)。

在起始点o建立局部坐标系xoy′, 并计算oaox′的夹角θ;然后将o点与边界四个角点klmn连线并分别计算这些连线与ox′的夹角φkφlφmφn(图中只标出了φl)。

最后将θφkφlφmφn相比较,判断线段所在区间,如果φlθφk,,则表明oa与四边形上边界kl相交,可以通过下式求出oa与上边界的交点a′的坐标:

$ {{x'}_a} = {x_o} + \left( {{y_k} - {y_o}} \right){\rm{c}}\tan \theta $ (2)

其中:ykk点纵坐标,且yk=ya;ctan θ=$\frac{{{x_a} - {x_o}}}{{{y_a} - {y_o}}}$; 求出a′的坐标后,保留oa′,去掉aa′,裁剪完毕。

其他线段的处理与此类似,不过需要指出的是,上面的局部坐标系应随所处理线段的不同而不同,比如处理线段cb时,局部坐标系原点应移至c点,并在新的局部坐标系下重新连接klmn点,再计算θφkφlφmφn,求出新的角度后,再按上述方法处理,将bb′裁剪掉。

所有线段都作如此处理,最后就得到了改进后的voronoi图,如图 4。本文所说的所有线段是指一个端点在界内,另一端点在界外的那些线段,而两个端点均位于界内的线段则不需处理。

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图 4 限制性voronoi图 Fig. 4 The restricted voronoi diagram
2 晶粒的生成

voronoi图被直线分割成很多区域,直观上,每个区域似乎代表一个晶粒,但这只是表面现象。程序生成voronoi图时,并没有把属于同一多边形(晶粒)的直线归在一起,因此在数据结构层次上,这些线段之间没有逻辑联系,为此还要做另一项重要工作,就是把每个晶粒(多边形)所包含的晶界(线段)找到,并存储在一起。

为此首先设计了两个数据结构poly和poly_find。poly用于存储某一多边形的所有边线顶点坐标,poly_find用于存储已经搜索到的多边形。

图 5中的多边形①为例,说明具体方法。该多边形包括abdfgh六个顶点和abbddffgghha六条边。下面的工作就是将这些边搜索出来并存储到数据结构poly中。

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图 5 晶粒的生成 Fig. 5 The generation of a crystal grain

1) 首先选择任一条边,(如ab)作为开始,先将这条边的始点a和终点b的坐标添加到poly中:

$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {1,{\rm{count}}} \right) = {x_a} $
$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {2,{\rm{count}}} \right) = {y_a} $
$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {1,{\rm{count}} + {\rm{1}}} \right) = {x_b} $
$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {2,{\rm{count}} + {\rm{2}}} \right) = {y_b} $

其中:count为该多边形第count个顶点,此时count=1。

2) 接下来在b点选择下一条属于多边形①的边。因为从b点有两条出发线段的bdbc,必须选择线段bd而舍弃bc。为了能做到这一点,需在b点建立一个如图 5所示的局部坐标系ybx′,然后计算bdbcbx′轴正方向所成的夹角θdθc(图中未标出,可参考图 3中的θ的定义),然后按顺时针方向进行搜索,也就是说沿着多边形①的边界行走时,多边形始终在行走方向的右侧。

由于θdθc,满足顺时针搜索要求,因此bd被选择,其坐标被存储到poly:

$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {1,{\rm{count}} + {\rm{2}}} \right) = {x_d} $
$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {2,{\rm{count}} + {\rm{2}}} \right) = {y_d} $

如果连接b点的线段不止两条,其处理过程仍一样,仍选择θ最小的那条线段,这就保证了在b点处所选的线段一定属于多边形①。

3) 接下来,把bd边当成ab边,重复上述过程,就会搜索到f点, 将f点信息记录到poly结构中:

$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {1,{\rm{count}} + {\rm{3}}} \right) = {x_f} $
$ {\rm{poly}}.\;{\rm{coor}}\left( {2,{\rm{count}} + {\rm{3}}} \right) = {y_f} $

4) 在上述搜索过程中,每搜索到新的线段,都需要将新线段的终点(如df线段的f点)的坐标与最初起始点的坐标(即xaya)相比较,如果xf=xayf=ya,则说明线段首尾相接,形成闭合多边形,至此搜索结束,否则继续搜索。当搜索到一个完整的多边形后,就可以把poly添加到结构poly_find中:poly_find (n)=poly,n为多边形(晶粒)序号。

再选择其他线段(尚不属于任何多边形的线段),重复1)~4),直到所有的多边形及其所包含的边都找到。

3 计算实例

为了验证上述方法的合理性,利用Matlab开发了软件,并利用该软件生成了初始组织,如图 6所示。在生成初始组织时,首先要确定模拟区域大小和晶核数目,本文中该模拟区域的大小为0.5 mm×0.43 mm,而晶核数目则根据以下方法进行估算。

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图 6 初始组织 Fig. 6 The initial materials microstructure
3.1 晶核数目的估算

本文假定模拟区域是某一结晶完毕的钢铁材料的一个局部。液态钢铁材料结晶时,晶核数目可根据均匀形核理论进行估算:

$ I = {I_0}\exp \left( { - \frac{{16{\rm{ \mathsf{ π} }}{\sigma ^3}}}{{3\Delta G_v^2KT}}} \right) \cdot \exp \left( { - \frac{Q}{{KT}}} \right) $ (3)

式中: I0为形核率系数,1041 m-3·s-1[16]; K为波尔兹曼常数,1.38×10-23 J·K-1; Q为单个原子扩散激活能,J; Gv为液、固单位体积自由能之差,即相变驱动力,J·m-3; σ为表面张力,0.254 J·m-2[16]; T为实际凝固温度,K; ΔT为过冷度,K;

金属铁液、固两相摩尔自由能之差为

$ {G_m} = \frac{{\Delta {H_m}}}{{{T_m}}}\Delta T $ (4)

式中:ΔHm为金属液、固两相摩尔焓变,15.2 kJ·mol-3[16]; Tm为铁熔点,1 809 K[16]; 利用式(4)计算了Gm然后将之换算为单位体积自由能之差GV,换算方法如下:

$ {G_V} = \frac{{{G_m}}}{{{V_m}}} $ (5)

Vm为液态铁的摩尔体积, 可由下式得到:

$ {V_m} = \frac{{{M_{F{\rm{e}}}}}}{{{\rho _L}}} $ (6)

式中:MFe为铁的摩尔质量,0.056 kg·mol-1; ρL为液态铁的密度,取7 138 kg·m-3

另外,式(3)的Q为单个原子的扩散激活能,根据文献[17]可知液态金属铁的摩尔扩散激活能Qm为46 054 J·mol-1, 因此Q=Qm/NN为阿佛伽德罗常数。

根据文献[18]可知,50 t钢锭(体积为5.13 m3),凝固时间约为35 400 s,以此为参考,当液态金属铁凝固过冷度达到50 K时,总体积内形核数目大约为

$ {\rm{core}}\_{\rm{vol}} = I \times 5.13 \times 35400 $ (7)

本文的研究区域大小为0.5 mm× 0.43 mm,可看作体积为0.5 mm×0.43 mm×1 mm的三维区域,因此包含的晶核数目约为

$ {\rm{core}}\_{\rm{zone}} = 0.5 \times 0.43 \times 1 \times {10^{ - 9}}/{\rm{core}}\_{\rm{vol}} \approx 220\left( {个} \right) $

故在过冷度为50 K条件下,模拟区域内的晶核数目约为220个,据此生成的初始组织如图 6

3.2 初始组织可信度评价

文献[19]采用IPP软件对纯铁组织的晶粒个数和尺寸分布进行了统计,如图 7(b)所示,图 8则是本文所生成的初始组织的统计结果。文献[29]中统计的晶粒个数为201个,而本文为220个,比较接近,晶粒所在空间区域比本文略小,因此有一定的可比性。

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图 7 晶粒尺寸 Fig. 7 Grain size
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图 8 晶粒尺寸分布 Fig. 8 The distribution of grain size in this study

对比可见,晶粒尺寸分布都接近正态分布,晶粒的平均尺寸分别为30 μm和50 μm左右,差别不大。这说明用本文提出的算法计算得到的初始组织有一定的可信度,可以用来进行后续的组织演变模拟。

4 结论

1) 采用本文提出的算法所生成的初始组织,避免了传统方法所产生的微晶现象,比较符合实际情况。

2) 从统计学角度将生成的组织与实际晶粒组织进行了对比,结果非常接近,表明此方法具有一定的可信度。

参考文献
[1]
ANDERSON M P, SROLOVITZ D J, GREST G S, et al. Computer simulation of grain growth(Ⅰ)-kinetics[J]. Acta metallurgica, 1984, 32(5): 783-791. DOI:10.1016/0001-6160(84)90151-2 (0)
[2]
RADHAKRISHNAN B, ZACHARIA T. Simulation of curvature-driven grain growth by using a modified Monte Carlo algorithm[J]. Metallurgical and materials transactions A, 1995, 26(1): 167-180. DOI:10.1007/BF02669802 (0)
[3]
MAHIN K W, HANSON K, MORRIS JR W J. Computer simulation of homogeneous nucleation and growth processes[C]//Computer Simulation of Homogeneous Nucleation and Growth Processes. Gaithersburg, MD, USA, 1976: 39-50. https://www.researchgate.net/publication/236365441_Computer_simulation_of_homogeneous_nucleation_and_growth_processes (0)
[4]
张继祥, 关小军, 孙胜. 新改进Monte Carlo法模拟钢板退火过程的晶粒长大[J]. 特殊钢, 2004, 25(1): 21-23.
ZHANG Jixiang, GUAN Xiaojun, SUN Sheng. A new modified Monte Carlo algorithm for simulation of grain growth of steel plate during annealing[J]. Special steel, 2004, 25(1): 21-23. (0)
[5]
莫春立, 李殿中, 钱百年, 等. 铁素体不锈钢焊接热影响区晶粒长大过程模拟[J]. 金属学报, 2001, 37(3): 307-310.
MO Chunli, LI Dianzhong, QIAN Bainian, et al. Simulation of grain growth in welding HAZ of ferrite stainless steel[J]. Acta metallurgica sinica, 2001, 37(3): 307-310. (0)
[6]
窦晓峰, 鹿守理, 赵辉. 钢静态再结晶的蒙特卡洛模拟[J]. 钢铁研究, 1997(5): 18-21, 26.
DOU Xiaofeng, LU Shouli, ZHAO Hui. Monte carol simulation on static recrystallization of steel[J]. Research on iron & steel, 1997(5): 18-21, 26. (0)
[7]
方斌, 黄传真, 崇学文, 等. 用改进的Monte Carlo算法模拟晶粒生长[J]. 材料导报, 2008, 22(5): 126-129.
FANG Bin, HUANG Chuanzhen, CHONG Xuewen, et al. Simulation of grain Growth with improved Monte Carlo algorithm[J]. Materials review, 2008, 22(5): 126-129. (0)
[8]
林清夫. 二相粒子影响静态再结晶过程的数值模拟研究[J]. 材料热处理技术, 2012, 41(14): 86-88.
LIN Qingfu. Numerical simulation on effect of second phase particle on static recrystallization[J]. Material & heat treatment, 2012, 41(14): 86-88. (0)
[9]
HUMPHREYS F J. A Network model for recovery and recrystallisation[J]. Scripta metallurgica et materialia, 1992, 27(11): 1557-1562. DOI:10.1016/0956-716X(92)90144-4 (0)
[10]
DAVIES C H J. The effect of neighbourhood on the kinetics of a cellular automaton recrystallisation model[J]. Scripta metallurgica et materialia, 1995, 33(7): 1139-1143. DOI:10.1016/0956-716X(95)00335-S (0)
[11]
MARX V, GOTTSTEIN G. Simulation of the texture evolution of aluminium alloys during primary static recrystallization using a cellular automaton approach[J]. Materials research society symposium proceedings, 1998: 529. DOI:10.1557/PROC-529-107 (0)
[12]
刘金义, 刘爽. Voronoi图应用综述[J]. 工程图学学报, 2004(2): 125-132.
LIU Jinyi, LIU Shuang. A survey on applications of Voronoi diagrams[J]. Journal of engineering graphics, 2004(2): 125-132. (0)
[13]
刘宇雁, 包喜荣, 李振亮, 等. 采用改进的Monte Carlo方法实现晶粒生长的拓扑变化[J]. 安徽工业大学学报, 2005, 22(4): 319-321, 333.
LIU Yuyan, BAO Xirong, LI Zhenliang, et al. Using improved Monte Carlo method to realizating the topology change of grain growth[J]. Journal of Anhui University of Technology, 2005, 22(4): 319-321, 333. (0)
[14]
钟晓征, 陈伟元, 王豪才, 等. 多晶材料晶粒生长的Monte Carlo计算机模拟方法Ⅰ模拟正常晶粒生长[J]. 功能材料, 1999, 30(3): 232-235.
ZHONG Xiaozheng, CHEN Weiyuan, WANG Haocai, et al. Monte Carlo computer methods for simulating grain growth of polycrystalline material Ⅰ Simulating normal grain growth[J]. Functional materials, 1999, 30(3): 232-235. (0)
[15]
沈满德, 余圣甫, 王宁. 蒙特卡罗法模拟晶粒生长过程中的Voronoi模型[J]. 机械工程材料, 2006, 30(3): 11-13.
SHEN Mande, YU Shengfu, WANG Ning. Voronoi model in Monte Carlo simulation of grain growth[J]. Materials for mechanical engineering, 2006, 30(3): 11-13. (0)
[16]
黄诚, 宋波, 毛红, 等. 铁液洁净度对凝固热力学参数的影响[J]. 钢铁研究学报, 2003, 15(4): 9-11, 17.
HUANG Cheng, SONG Bo, MAO Hong, et al. Dependence of thermodynamic parameters of solidification on liquid iron cleanness[J]. Journal of iron and steel research, 2003, 15(4): 9-11, 17. (0)
[17]
王增辉, 倪明玖. 液态纯铁自扩散系数研究[J]. 工程热物理学报, 2011, 32(8): 1403-1405.
WANG Zenghui, NI Mingjiu. Research on self-diffusion coefficient of liquid pure iron[J]. Journal of engineering thermophysics, 2011, 32(8): 1403-1405. (0)
[18]
赵亚楠, 郭建政, 李绍敏, 等. 大型钢锭凝固模拟计算中空间与时间步长选取[J]. 铸造, 2013, 62(9): 861-864.
ZHAO Yanan, GUO Jianzheng, LI Shaomin, et al. Selection of mesh size and time step in solidification simulation of large ingot[J]. Foundry, 2013, 62(9): 861-864. (0)
[19]
朱家明. 基于图像分析软件的晶粒尺寸分布统计[J]. 压电与声光, 2013, 35(4): 585-587.
ZHU Jiaming. The measurement of grain size distribution through image analysis software[J]. Piezoelectrics & acoustooptics, 2013, 35(4): 585-587. DOI:10.11977/j.issn.1004-2474.2013.04.030 (0)