隔震结构通过在结构基础与上部结构间设置隔震层，将结构与基础分隔开，减小地面运动能量向上部结构传递，近年来已在高层建筑及桥梁结构中得到广泛应用^[1-2]。橡胶支座是隔震结构体系中基本隔震构件，罕遇地震下，大高宽比隔震结构边缘处支座受倾覆力矩作用，易发展出拉应力^[3-4]，威胁结构安全。

为此，国内外学者针对支座受拉性能展开大量研究，目前研究工作主要集中在两个方面。一方面，从支座能够承受拉应力极限角度考虑，提出不同水平拉应力限值^[5]，各国规范也对支座拉应力大小做出规定：我国建筑抗震规范^[6]及日本桥梁规范^[7]分别要求，罕遇地震作用下支座拉应力容许值分别为1 MPa及2 MPa；欧洲结构抗震设计规范^[8]规定，地震激励下橡胶支座不允许出现拉应力。另一方面，支座在地震作用下发生剪切变形，拉伸刚度发生退化，严重影响隔震系统及上部结构安全^[9]，因此部分学者提出不同的数学分析模型，推导橡胶支座拉伸刚度计算公式^[10-11]。以上两方面研究对于分析支座受拉特性及保证隔震结构安全具有重要意义。虽然国内外许多学者针对支座拉伸状态开展研究，探讨支座拉伸刚度退化等受力规律，但均是对其中一种或几种截面形状或尺寸支座进行研究，没有系统全面地对比不同形式支座拉伸性能，没有建立完整的分析体系。

因此，本文建立双弹簧拉伸模型与偏拉有效面积理论模型，推导了适用于不同截面尺寸及形状支座拉伸刚度比公式。采用ABAQUS软件建立支座有限元模型，在模型验证基础上，与理论模型结果进行对比，分析不同支座拉伸刚度退化规律，并提出了基于不同截面尺寸及形状的支座归一化拉伸刚度比公式。

1 橡胶隔震支座拉伸理论模型 1.1 双弹簧拉伸模型

橡胶支座在上部结构重力荷载与地震作用下发生剪切与弯曲变形，Koh等^[12]考虑支座在轴力作用下产生的重力二阶效应，将支座简化为仅包含剪切与转动自由度的双弹簧压缩模型，参考双弹簧压缩模型变形模式，建立双弹簧拉伸模型并推导不同截面形状支座竖向刚度退化公式，则拉伸状态下支座变形模型如图 1所示。

模型包含一根长为l的刚性柱、刚度为K_H的剪切弹簧与刚度为K_θ的转动弹簧，刚性柱顶部受到剪力F与轴向拉力P共同作用，柱产生转角θ，剪切弹簧变形为s，柱顶端水平位移为u，弯剪共同作用下竖向位移为v：

$ u = s\cos \theta - l\sin \theta $

(1)

$ v = s\sin \theta - l\left[ {1 - \cos \theta } \right] $

(2)

在小转角θ假定下，式(1)、(2)可转化为

$ u = s - l\theta $

(3)

$ v = s\theta - \frac{{l{\theta ^2}}}{2} $

(4)

同时，考虑模型在轴力及剪力作用下受力平衡，则

$ \left( {{K_\theta } + Pl} \right)\theta - Ps = Fl $

(5)

$ {K_{\rm{H}}}s - P\theta = F $

(6)

式中K_θ=P_El，K_H=GA_s/l，A_s=A_bl/T_r，P_E为欧拉临界荷载，G为橡胶剪切模量，T_r为支座中橡胶层总厚度，A_b为橡胶剪切面积。

由式(5)、(6)联立可求得剪切弹簧变形s及转动弹簧转角θ：

$ \theta = F\frac{{G{A_{\rm{s}}} + P}}{{G{A_{\rm{s}}}\left( {{P_{\rm{E}}} + P} \right) - {P^2}}} $

(7)

$ \frac{s}{l} = F\frac{{{P_{\rm{E}}} + 2P}}{{G{A_{\rm{s}}}\left( {{P_{\rm{E}}} + P} \right) - {P^2}}} $

(8)

将式(7)、(8)代入变形方程式(3)、(4)中，可得竖向位移v:

$ v = \frac{{\left( {G{A_{\rm{s}}} + P} \right)\left( {2{P_{\rm{E}}} + 3P - G{A_{\rm{s}}}} \right)}}{{{{\left( {{P_{\rm{E}}} + P - G{A_{\rm{s}}}} \right)}^2}}}\frac{{{u^2}}}{{2l}} $

(9)

橡胶支座中，欧拉临界力较大，有GA_s≪P_E及P≪P_E^[13]，式(9)可简化为

$ v = \frac{{\left( {G{A_{\rm{s}}} + P} \right)}}{{{P_{\rm{E}}}}}\frac{{{u^2}}}{l} $

(10)

式中:P_E=π²EI_s/l²，I_s=Il/T_r，E=E_c/3，E_c为橡胶压缩模量，代入得橡胶弯剪变形v：

$ v = \frac{{3\left( {G{A_{\rm{b}}}l + P{T_{\rm{r}}}} \right){u^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{E_{\rm{c}}}I}} $

(11)

橡胶支座拉伸变形v_v=PT_r/E_tA_b，E_t为橡胶拉伸模量，拉伸屈服前有E_t=E_c^[14]，则橡胶总体竖向变形v_t为

$ {v_{\rm{t}}} = \frac{{P{T_{\rm{r}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{b}}}}} + \frac{{3\left( {P{T_{\rm{r}}} + G{A_{\rm{b}}}l} \right){u^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{E_{\rm{c}}}I}} $

(12)

在拉力P作用下，支座拉伸刚度K_v=P/v_t，得

$ {K_{\rm{v}}} = \frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{b}}}}}{{{T_{\rm{r}}}}}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{{G{A_{\rm{s}}}}}{P} + 1} \right)\frac{{3{A_{\rm{b}}}{u^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}I}}}} $

(13)

当橡胶支座顶部剪切位移为u，根据式(13)即可求得偏拉作用下拉伸刚度。由于在一般受力工况下，式(13)中GA_s＜P，且橡胶支座中GA_s/P对刚度比影响较小^[15]，因此略去式(13)中极小值分量。且当u=0时，支座初始拉伸刚度K_v0=E_tA_b/T_r，则橡胶支座拉伸刚度比K_v/K_v0为

$ \frac{{{K_{\rm{v}}}}}{{{K_{{\rm{v0}}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{3{A_{\rm{b}}}{u^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}I}}}} $

(14)

分别考虑环形、圆形、方形及矩形截面支座拉伸刚度比随剪切变形u变化情况：

1) 环形支座中，假定外径为R，内径为R₀，且R₀=αR，有A_b=π(1-α²)R²，I=π(1-α⁴)R⁴/4，引入惯性半径R_i，将截面形状参数与尺寸参数同时在式中进行表达，环形截面中，有R_i=$\sqrt {1 + {\alpha ^2}} R/2$，代入式(14)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{\rm{A}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{\rm{A}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{\rm{i}}}}}} \right)}^2}}} $

(15)

2) 圆形支座中，有I=πR⁴/4，A_b=πR²，R_i=R/2，代入式(14)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{\rm{R}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{\rm{R}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{i}}}}} \right)}^2}}} $

(16)

3) 方形支座中，假定截面边长为a，有A_b=a²，I=a⁴/12，R_i=$a/2\;\sqrt 3 $，代入式(14)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{\rm{S}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{\rm{S}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{\rm{i}}}}}} \right)}^2}}} $

(17)

4) 矩形支座中，假定截面长边L向为a，短边S向为b，有I^L=ba³/12，I^S=ab³/12，R_i^L=$a/2\;\sqrt 3 $，R_i^S=$b/2\;\sqrt 3 $考虑支座沿两边长方向剪切，分别代入式(14)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{{\rm{O}}L}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{{\rm{O}}L}}} = \frac{{K_{\rm{v}}^{{\rm{OS}}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{{\rm{OS}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{i}}}}} \right)}^2}}} $

(18)

可知，矩形支座拉伸刚度比值与顶部剪切变形方向无关。

由式(15)~(18)可知，双弹簧拉伸模型中拉伸刚度比只与u/R_i有关，与支座尺寸大小及形状无关，则

$ \frac{{{K_{\rm{v}}}}}{{{K_{{\rm{v0}}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{i}}}}} \right)}^2}}} $

(19)

式(19)即为当叠层橡胶隔震支座剪切变形为u时，归一化拉伸刚度比公式。

1.2 偏拉有效面积模型

参考偏压有效面积模型，橡胶支座的偏拉有效面积偏拉模型可用图 2描述。地震作用下支座发生剪切变形，支座核心区面积减小，核心区外橡胶受钢板约束程度降低，使竖向刚度发生退化。

假定支座偏拉刚度与核心区面积成正比，拉伸刚度比为

$ \frac{{{K_{\rm{v}}}}}{{{K_{{\rm{v0}}}}}} = \frac{{{A_{\rm{e}}}}}{A} $

(20)

式中：A_e为橡胶支座产生水平变形时核心区面积，A为支座橡胶层剪切面积。

分别考虑偏拉有效面积模型中环形、圆形、方形及矩形支座拉伸刚度比随剪切变形u变化情况：

1) 环形及圆形支座中，定义支座底面与核心区圆心半角为φ (如图 2所示)，若不考虑环形截面支座开孔对拉伸刚度削弱作用，有φ=arccos(u/2R)，A_e=R²(2φ-sin(2φ))，A=πR²，R_i=R/2，代入式(20)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{{\rm{A/R}}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{{\rm{A/R}}}}} = \frac{2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\left[ {\arccos \left( {\frac{1}{4}\frac{u}{{{R_i}}}} \right) - \frac{1}{4}\frac{u}{{{R_i}}}\sqrt {1 - \frac{1}{{16}}{{\left( {\frac{u}{{{R_i}}}} \right)}^2}} } \right] $

(21)

2) 方形支座中，有A_e=a(a-u)，A=a²，R_i=$a/2\sqrt 3 $，代入式(20)，则：

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{\rm{S}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{\rm{S}}}} = 1 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\frac{u}{{{R_{i}}}} $

(22)

3) 矩形支座中，考虑支座分别沿两边长方向进行剪切，有A=ab，A_e^L=b(a-u)，A_e^S= a(b-u)，R_i^L=$a/2\;\sqrt 3 $，R_i^S=$b/2\;\sqrt 3 $，分别代入式(20)，则

$ \frac{{K_{\rm{v}}^{{\rm{OL}}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{{\rm{OL}}}}} = \frac{{K_{\rm{v}}^{{\rm{OS}}}}}{{K_{{\rm{v0}}}^{{\rm{OS}}}}} = 1 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\frac{u}{{{R_{i}}}} $

(23)

式(21)~(23)即为偏拉有效面积模型下，各形状橡胶支座拉伸刚度比公式。

由图 3拉伸刚度理论模型对比结果可知，随着剪切变形增加，支座拉伸刚度比逐渐减小，当u/R_i=1.8左右时，拉伸刚度减小为初始刚度一半，退化效应明显；两种模型在剪切位移较小时拉伸刚度比值接近，随着剪切位移增加，模型结果差别增加，当u/R_i=4时，由于偏拉有效面积模型中核心区面积减为0，因此曲线中出现零刚度现象。

2 橡胶隔震支座数值模型 2.1 橡胶支座参数设计及材料模型

为了验证拉伸刚度比理论模型分析结果，根据已有研究及工程实际，采用ABAQUS建立四种不同截面形状支座有限元分析模型，如表 1所示。为便于比较，不同形状支座仅截面尺寸取值不同，橡胶与夹层钢板层厚及层数取值均相同。

支座有限元模型示意如图 4所示。由于支座在变形过程中，钢板主要用于限制橡胶变形，处于弹性阶段，因此模型中夹层钢板及端板选取线弹性本构模型，泊松比取为0.3，弹性模量200 GPa。橡胶材料采用Neo-Hookean超弹性本构模型，应力-应变关系以应变势能U表示：

$ U = {C_{10}}\left( {{{\bar I}_1} - 3} \right) + \frac{1}{{{D_1}}}{\left( {{J^{el}} - 1} \right)^2} $

(24)

式中:C₁₀及D₁为材料常数，分别为C₁₀=G/2及D₁=2/K，K为体积模量，I₁为第一应变不变量，J^el为弹性体积比。

2.2 边界条件及加载方式

为方便施加边界条件及荷载，在端板上下表面中心建立耦合点，并耦合其表面所有自由度，模型荷载与边界条件均在耦合点施加。根据支座实际边界约束情况，固结下耦合点，并约束上耦合点x向平动及转动自由度。

模型水平加载采用位移控制，竖向加载采用荷载控制：首先在顶面耦合点施加y向水平剪切位移，模拟地震作用下隔震层水平变形；然后施加竖向拉伸荷载，模拟强震作用下支座产生的拉伸作用，研究剪切变形下支座拉伸刚度。

模型加载制度如图 5所示，水平向采用正弦波，轴向采用三角波加载，加载频率取为0.01 Hz。

我国抗震规范^[6]规定，隔震支座水平位移限值需满足：u_max≤0.55D及u_max≤3T_r，对于圆形及环形支座，D为直径，方形及矩形支座中，D为剪切方向边长。同时，规范^[6]规定，支座在罕遇地震作用下，拉应力需满足：p_max≤1 MPa。因此，采用如表 2所示的加载过程，考察支座在上述工程规范位移限值内拉伸刚度退化情况。为充分与理论模型结果进行对比，矩形支座分别考虑沿长边与短边剪切两种工况。

2.3 网格划分及有限元模型验证

有限元模型中，钢板材料采用8节点非协调实体单元(C3D8I)进行模拟，避免剪切自锁；橡胶材料采用ABAQUS中用以描述不可压缩材料的杂交单元(C3D8H)模拟，压力场及位移场通过独立积分获得，避免体积自锁。

由于橡胶层及钢板在平面内尺寸远大于厚度方向尺寸，采用正八面体网格虽有较高精度，但严重影响计算效率，因此模型在平面内采用较粗网格，厚度方向进行细分。同时为保证圆形与环形支座单元在平面内长宽比近似为1，避免单元畸变影响计算精度，引入连续单元长度比b，环形与圆形截面径向分别根据式(25)~(26)进行网格划分。

通过分析可得，环形与圆形支座有限元模型中，圆周划分40份、半径划分10份，方形与矩形支座中，边长各划分20份、橡胶厚度方向均划分4份时，可使计算结果误差小于2%。后续分析将采用以上网格划分。

$ {b_{\rm{A}}} = \sqrt[{{N_{\rm{r}}} - 1}]{{\frac{D}{{{D_0}}}}} $

(25)

$ {b_{\rm{R}}} = \sqrt[{{N_{\rm{r}}} - 1}]{{\frac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{2}}} $

(26)

式中N_r为径向网格单元数。

采用文献[16]中拉伸工况和剪切工况试验与有限元计算结果进行对比，验证数值模型的准确性，试验与试件基本情况见文献[16]，结果对比如图 6所示。可得有限元模型拉伸及剪切刚度误差在5%以内，本文建立的有限元模型能够有效模拟支座实际受力情况。

3 橡胶隔震支座拉伸性能分析 3.1 拉伸刚度有限元计算结果

对表 1中各支座进行拉伸刚度有限元分析，边界条件见2.2节，提取模型上耦合点反力与位移。图 7为支座A₁剪切变形u=0.55D(83.6 mm)、竖向拉力为1 MPa时Von Mises应力云图，可以看出支座变形主要发生在橡胶层，由于橡胶材料近似不可压缩，因此单元出现明显的挤入现象。支座同时受剪拉作用时，钢板应力较小，始终处于弹性状态。

A₁支座在不同水平变形下竖向压力-位移曲线如图 8所示，随着剪切变形增加，达到相同拉力时竖向变形明显增加，支座拉伸刚度退化显著。表 3为各支座在不同剪切变形下拉伸刚度，可以看出，各支座拉伸刚度随剪切变形增加均逐渐退化，当剪切变形到达规范位移限值(u=0.55D)时^[6]，支座拉伸刚度退化52%左右。

3.2 支座拉伸刚度比对比分析

由表 3计算各支座剪切变形下拉伸刚度比，得到结果对比如图 9所示。从图 9中能够看出，当第一形状系数与支座外径分别相同时，四种截面形状橡胶支座拉伸刚度比相近，当u/R_i相同时，环形支座刚度退化最小，方形支座刚度退化最多，但各形状支座结果相差均小于0.04。因此可得，当u/R_i相同时，拉伸刚度比与u/R_i比值有关，与截面形状无关。

从图 10及表 3中能够看出，对于同种形状支座，当截面尺寸增加时，虽然各剪切位移下拉伸刚度显著增加，但刚度比几乎保持不变，截面外径增加25%左右时，拉伸刚度值约增加1倍，刚度比减小值均在5%以内。由此可知，当支座剪切变形u/R_i相同时，拉伸刚度比与u/R_i比值有关，与截面尺寸大小无关。

3.3 理论模型与数值计算结果对比

由以上分析可以得到，橡胶支座拉伸刚度比与截面尺寸大小、形状无关，仅与u/R_i有关，与双弹簧拉伸理论模型所得分析结论吻合。

图 11为理论模型与有限元计算结果对比，可以看出，数值计算结果均大于理论模型分析值，理论模型能够较好的反映出支座拉伸刚度比变化趋势，双弹簧拉伸模型结果与数值计算结果吻合度较好，当u/R_i＜1.5时，偏拉有效面积模型误差较大。

为进一步模拟拉伸刚度比随u/R_i增加而降低的特性，选取与数值分析结果较接近的双弹簧拉伸模型表达结果式(19)，对数值计算结果进行拟合，拟合曲线与公式分别如图 11与式(27)所示。

$ \frac{{{K_{\rm{v}}}}}{{{K_{{\rm{v0}}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{2.51}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}}}{{\left( {\frac{u}{{{R_{i}}}}} \right)}^2}}} $

(27)

可以看出，拟合结果与刚度比数值计算结果最大误差为0.04，与理论模型结果相比，吻合程度显著提高。

3.4 试验验证

为验证拟合结果能够准确的模拟支座拉伸刚度退化现象，采用文献[17]中试验进行验证，试验过程与支座参数详见文献[17]。试验中首先对支座施加不同水平的剪切变形，然后保持剪切变形不变对支座竖向拉伸，取3%拉伸应变作为该剪切变形下拉伸刚度。

拟合曲线式(27)与试验对比如图 12所示。随着剪切变形增加，支座拉伸刚度比减小，模拟结果与试验结果吻合良好，能够较为准确地预测剪切变形作用下支座拉伸刚度逐步退化特征。

4 结论

1) 双弹簧拉伸理论模型及数值计算结果显示，橡胶支座拉伸刚度比仅与u/R_i有关，与截面尺寸大小与形状无关。

2) 根据理论推导及数值分析结果，当支座剪切变形达到规范限值(u=0.55D)时，拉伸刚度退化52%左右，规范应补充剪切条件下拉伸刚度退化说明。

3) 支座在规范限值拉伸剪切状态下，钢板应力水平较小，始终处于弹性状态，后续分析可不考虑此状态下钢板材料应力安全问题。

4) 双弹簧拉伸模型与偏拉有效面积理论模型拉伸刚度退化结果偏于保守，本文所提出的支座拉伸刚度比公式，与数值计算结果吻合较好，与计算值相比最大误差为8.0%(0.04)。