面齿轮传动是一种新型的齿轮传动形式。因其具有转矩分流、承载能力强、重合度大等优点，早在20世纪50年代，国外学者Emilio和Sarri.O.E等就针对正交面齿轮齿根根切问题开展了研究。Litvin等^[1]分析了面齿轮的啮合原理、接触齿面的接触轨迹及面齿轮的齿面方程。Litvin还将面齿轮传动应用于Apache直升机的动力分扭传输系统中^[2]。Michele等^[3]在考虑面齿轮啮合传动两轴线相交或交错的不同形式下，给出了面齿轮齿间载荷分配方法。Barone等^[4]基于ANSYS对面齿轮三齿模型进行了加载分析，给出了轮齿的接触应力、弯曲应力及其他性能参数，并研究了含有安装误差模型和小轮修形后的加载分析。朱如鹏等^[5-9]对面齿轮传动开展了大量研究，主要包括：面齿轮的几何设计、面齿轮加工基本原理及仿真分析等。方宗德等^[10-12]研究了斜齿面齿轮的齿顶变尖、根切以及面齿轮副拓扑修形设计及啮合性能等问题。目前国内外对于正交面齿轮齿根过渡曲面的理论研究成果较少，齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度影响的研究未见报道。

本文依据面齿轮加工啮合原理和插齿理论齿廓包络面方程，建立正交面齿轮理论齿廓，导出齿根过渡曲面方程，并分别给出齿顶尖角插齿刀和齿顶圆角插齿刀范成加工所切制面齿轮的齿根过渡曲面。文中还以内切抛物线理论为基础，给出了正交面齿轮轮齿的最大弯曲应力位置。最后利用ANSYS有限元软件研究了齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度的影响并验证理论分析的正确性。

1 正交面齿轮几何模型 1.1 加工坐标系与刀具齿面方程的建立

正交面齿轮传动是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的齿轮传动。正交面齿轮齿面的插齿加工是基于插齿刀与被加工面齿轮的范成运动而切制的，其加工啮合原理如图 1所示^[5]。根据面齿轮的包络原理，现利用四个标架对正交面齿轮的啮合传动进行分析，S_S0(O_S0X_S0Y_S0Z_S0)和S₂₀(O₂₀X₂₀Y₂₀Z₂₀)是两个定标架；S_S(O_SX_SY_SZ_S)是与刀具S固联的动标架，随刀具旋转；S₂(O₂X₂Y₂Z₂)是与正交面齿轮2固联的动标架，随面齿轮2旋转。Z_S0和Z_S是刀具旋转轴，Z₂₀和Z₂是面齿轮旋转轴，其交点为O。Z_S0(Z_S)与Z₂₀(Z₂)夹角γ=90°，如图 2所示。

根据图 2，由标架S_S到标架S₂的坐标变换矩阵可表示为

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;{M_{2, S}} = {M_{2, 20}}{M_{20, S0}}{M_{S0, S}} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\varphi _2}\cos {\varphi _s}}&{ - \sin {\varphi _2}\cos {\varphi _2}}&{ - \sin {\varphi _2}}&0\\ { - \cos {\varphi _s}\sin {\varphi _2}}&{\sin {\varphi _s}\sin {\varphi _2}}&{ - \cos {\varphi _2}}&0\\ {\sin {\varphi _s}}&{\cos {\varphi _s}}&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] \end{array} $

(1)

式中：φ_s为刀具S的转角，φ₂为面齿轮2的转角。

建立插齿刀轮齿齿面各个参数之间的关系，如图 3所示^[5]。在与刀具S固联的动标架S_S(O_SX_SY_SZ_S)下，刀具齿面方程为

$ \begin{array}{l} \;\;\;{\mathit{\boldsymbol{r}}_s}({u_{s, }}{\theta _s}) = {[{x_s}\;\;{y_s}\;\;{z_s}\;\;t]^{\rm{T}}} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { \pm {r_{bs}}[\sin ({\theta _{s0}} + {\theta _s}) - {\theta _s}\cos ({\theta _{s0}} + {\theta _s})]}\\ { - {r_{bs}}[\cos ({\theta _{s0}} + {\theta _s}) + {\theta _s}\sin ({\theta _{s0}} + {\theta _s})]}\\ {{u_s}}\\ 1 \end{array}} \right] \end{array} $

(2)

式中：θ_S0=π/(2N_s)-invα_S，r_bs为刀具基圆半径，θ_s为齿向角，θ_s0为齿槽角，u_s为刀具Z方向变量，N_s为刀具齿数，α_s为刀具压力角，invα_s为渐开线函数。式(2)中“±”号分别与渐开线γ-γ与β-β相对应。

刀具齿面幺法矢n_s为

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_s} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_{sx}}}\\ {{n_{sy}}}\\ {{n_{sz}}} \end{array}} \right] = \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_s}/\partial {\theta _s} \times \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_s}/\partial {u_s}}}{{\left| {\partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_s}/\partial {\theta _s} \times \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_s}/\partial {u_s}} \right|}} =\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { \mp \cos ({\theta _{s0}} + {\theta _s})}\\ { - \sin ({\theta _{s0}} + {\theta _s})}\\ 0 \end{array}} \right] $

(3)

1.2 正交面齿轮齿面方程的建立

设刀具齿面上的任意一点N(x_s, y_s, z_s)，其径矢r_s为

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_s} = {[{x_s}\;\;{y_s}\;\;{z_s}]^{\rm{T}}} = {x_s}{\mathit{\boldsymbol{i}}_s} + {y_s}{\mathit{\boldsymbol{j}}_s} + {z_s}{\mathit{\boldsymbol{k}}_s} $

(4)

式中i_s、j_s、k_s为标架S_s中三个方向幺矢。则N点在两齿面的相对速度矢v^{(S, 2)}为

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^{(S, 2)}} = \left[ \begin{array}{l} {v_x}^{(S, 2)}\\ {v_y}^{(S, 2)}\\ {v_z}^{(S, 2)} \end{array} \right] = {\omega _s}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {y_s} - {z_s}{q_{2s}}\cos {\varphi _s}}\\ {{x_s} + {z_s}{q_{2s}}\sin {\varphi _s}}\\ {{q_{2s}}({x_s}\cos {\varphi _s} - {y_s}\sin {\varphi _s})} \end{array}} \right] $

(5)

式中：ω_s为刀具S角速度，q_{2 s}为正交面齿轮齿数与刀具齿数比。

由齿面啮合原理知

$ {\mathit{\boldsymbol{n}}_s}\cdot{\mathit{\boldsymbol{v}}^{(S, 2)}} = 0 $

(6)

将式(2)、(3)、(5)代入式(6)，可得出正交面齿轮啮合方程

$ f({\theta _s}, {\varphi _s}, {u_s}) = {r_{bs}} - {u_s}{q_{2s}}\cos {\varphi _\theta } = 0 $

(7)

式中φ_θ=φ_s±(θ_s0+θ_s)。

联立式(1)、(7)得到正交面齿轮齿面方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{x}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{r}}_{bs}}\left[ {\cos {\varphi _2}\left( {(\sin {\varphi _\theta } \mp {\theta _s}\cos {\varphi _\theta }) - \frac{{\sin {\varphi _2}}}{{{q_{2s}}\cos {\varphi _\theta }}}} \right)} \right]\\ {y_2} = - {\mathit{\boldsymbol{r}}_{bs}}\left[ {\sin {\varphi _2}\left( {(\sin {\varphi _\theta } \mp {\theta _s}\cos {\varphi _\theta }) + \frac{{\cos {\varphi _2}}}{{{q_{2s}}\cos {\varphi _\theta }}}} \right)} \right]\\ {z_2} = - {r_{bs}}(\cos {\varphi _\theta } \pm {\theta _s}\sin {\varphi _\theta }) \end{array} \right. $

(8)

式中φ₂=q_{2 s}φ_s。

1.3 正交面齿轮齿根过渡曲面及其齿廓的生成

带有齿顶尖角和带有齿顶圆角的插齿刀的结构示意图分别如图 4 (a)、(b)所示。

在图 4 (b)中，构建坐标系S₀和S_os。r_a0是插齿刀齿顶圆半径，r₀是刀具分度圆半径，r_bo是刀具基圆半径。插齿刀齿顶圆角的曲率中心为O_c，圆弧和渐开线相切于点A，A点的向径为r_A，圆角的半径为r_c，A点处渐开线压力角为α_A。

由包络原理得正交面齿轮过渡曲面$ \sum\limits_{2\;t} $方程:

$ \left\{ \begin{array}{l} {r_{2t}}({\varphi _s}, {\gamma _A}, {u_s}) = [{M_{2t, t}}]{r_t}({\gamma _A}, {u_s})\\ \;\;\;\;\;\;\;\;f({u_s}, {\varphi _s}, {\gamma _A}) = 0 \end{array} \right. $

(9)

式中：f(u_s，θ_s，γ_A)=n_t·v^{(t, 2 t)}为啮合方程，n_t(γ_A, u_s)为圆角曲面法矢M_{2 t, t}为标架S_t到S_{2 t}的坐标变换矩阵。

则可得出由带有齿顶圆角插齿刀所切制的正交面齿轮的过渡曲面方程

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_{2t}} = {r_c}\cos {\varphi _2}\left( {\cos B - \cos A} \right) + {r_A}\cos {\varphi _2}\sin C - \\ \;\;\; - \frac{{{r_A}\sin {\varphi _2}\cos ({\alpha _A} + {\gamma _A}) - {r_A}\sin {\varphi _2}\cos {\alpha _A}}}{{{q_{2s}}\left( {\cos A - \cos B} \right)}}\\ {Y_{2t}} = {r_c}\sin {\varphi _2}\left( {\cos B - \cos A} \right) - {r_A}\sin {\varphi _2}\sin C - \\ \;\;\;\;\frac{{{r_A}\cos {\varphi _2}\cos ({\alpha _A} + {\gamma _A}) - {r_A}\cos {\varphi _2}\cos {\alpha _A}}}{{{q_{2s}}\left( {\cos A - \cos B} \right)}}\\ {Z_{2t}} = {r_c}\sin A - {r_c}\sin B - {r_A}\cos C \end{array} \right. $

(10)

式中：A=α_A-φ-ψ-τ-φ_s，B=α_A+γ_A-φ-ψ-τ-φ_s，C=φ+ψ+τ+φ_s。

在刀具设计手册中，对于模数2≤m≤8的插齿刀，其齿顶圆角为0.15≤r_c≤0.4mm^[13]，本文取r_c=0.3 mm。根据上述正交面齿轮齿面数学模型，基于Matlab软件得到两种插齿刀切制的面齿轮理论齿廓，如图 5所示。其主要参数见表 1。

将两种不同齿面结构插齿刀切制的正交面齿轮理论齿廓进行对比，如图 6所示。可以看出，齿顶圆角插齿刀所切制正交面齿轮的齿根过渡曲面要比齿顶尖角插齿刀切制的齿根过渡曲面要平坦，即两者的曲率是不同的。采用带齿顶圆角的插齿刀加工得到的面齿轮过渡曲面的曲率较大。

以上正交面齿轮齿面方程通过数值计算得到齿面离散数据点，在Pro/E软件中通过边界混合即可构建两种正交面齿轮齿廓及三维实体模型，如图 7所示。

2 正交面齿轮弯曲强度分析 2.1 正交面齿轮危险截面的计算

正交面齿轮的轮齿边界齿廓线是不一样的，因此面齿轮轮齿与一般可作为悬臂梁分析的齿轮轮齿不同，现分析其轮齿齿面上的危险点位置。首先确定与齿长方向垂直且经过齿面受载位置的截面。如图 8所示，集中载荷在面齿轮的齿顶线上，其中γ为法向力F_n和x轴之间夹角，且F_n相切于圆柱齿轮基圆。

经推导计算，正交面齿轮承受的最大弯曲应力位于轮齿齿面上端，而不是像多数其他类型齿轮位于齿根过渡曲面附近。其分析截面齿廓曲线方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} C = - {r_{bs}}\left[ {\sin {\varphi _2}(\sin {\varphi _\theta } \mp {\theta _s}\cos {\varphi _\theta }) + \frac{{\cos {\varphi _2}}}{{{q_{2s}}\cos {\varphi _\theta }}}} \right]\\ x = {r_{bs}}\left[ {\cos {\varphi _2}(\sin {\varphi _\theta } \mp {\theta _s}\cos {\varphi _\theta }) - \frac{{\sin {\varphi _2}}}{{{q_{2s}}\cos {\varphi _\theta }}}} \right]\\ y = {r_{bs}}(\cos {\varphi _\theta } \pm {\theta _s}\sin {\varphi _\theta }) - {r_{bs}} - \frac{d}{2}\tan \gamma \end{array} \right. $

(11)

式中：C为常数，其值与正交面齿轮齿顶受载位置有关；d为面齿轮轮齿各分析截面的齿顶长度。

由于式(11)较繁，不易直接通过其求解出正交面齿轮弯曲危险截面。可采用前文正交面齿轮齿面数据点形成的方法，通过正交面齿轮传动的啮合方程来解出φ_s和θ_s之间的关系。根据正交面齿轮的啮合条件可以求解出θ_s的取值范围，在这个范围中取i个离散值，于此同时，根据φ_s和θ_s之间的关系，可以得到对应φ_s的i个离散值。将这些值对应地代入式(11)，可以求得相应面齿轮齿廓上的i个点的坐标(x, y)。通过曲线拟合将这些离散坐标点拟合成有一定精度的函数y=f(x)。

根据上述方法，本文利用Matlab软件编制了正交面齿轮齿面最大弯曲应力点的程序。其中重要的参数为：模数m=5 mm，齿数N₂=40。结果如表 2所示。

将表 2中数据导入Matlab软件可得到正交面齿轮齿面承受最大弯曲应力位置图，如图 9所示。可以看出正交面齿轮承受的最大弯曲应力位置在沿齿高方向齿面的上半部分。

2.2 正交面齿轮有限元分析模型

对本文给定参数所建立的两种不同正交面齿轮的三维实体模型，基于ANSYS软件对其模型进行有限元仿真分析，计算其相应工况下的弯曲应力及应力分布状态。综合考量计算精度和计算效率，确定采用正交面齿轮的三齿模型进行有限元分析，网格模型的单元类型采用八节点六面体单元并通过结构化分网技术对其进行网格划分。划分节点数为131 881个，单元数为29 799个。

边界条件为在正交面齿轮三齿模型的底面施加固定约束，以限制其全部自由度；同时为了减小仿真所采用三齿模型对正交面齿轮弯曲强度的影响，本文对其两个周向截面施加对称约束。考虑到正交面齿轮在传动的过程中其齿面上的受载位置是不断变化的，为确定轮齿的危险截面，需分析其最不利的受力状况，即啮合点达到正交面齿轮轮齿的齿顶处时，现对三齿正交面齿轮齿顶处施加集中载荷。载荷的加载位置分别为x/b=0、1/4、1/2、3/4、1处，其中b为正交面齿轮轮齿宽度，为载荷施加位置到面齿轮内径的距离。根据实际工况，面齿轮齿顶集中载荷设置为1 000 N，载荷的加载方向与正交面齿轮相啮合圆柱齿轮的基圆相切，并通过正交面齿轮齿面方程参数θ_s、θ_s0和φ予以确定。

对所建立的有限元分析模型进行求解，即可得出两种不同插齿刀所切制正交面齿轮轮齿的弯曲应力及应力分布。采用两种插齿刀切制的正交面齿轮轮齿弯曲应力分别对比如图 10、图 11所示。

图 10和图 11给出了两种正交面齿轮在给定的边界条件以及载荷作用下轮齿的弯曲应力分布状态，从图中可以看出，在正交面齿轮传动的过程中，对于最不利的受载状况，其载荷施加位置分别为x/b=0、1/4、1/2、3/4、1处时，正交面齿轮所承受的最大弯曲应力位置始终处于沿齿高方向齿面的上半部分，且在面齿轮轮齿的高度方向上其弯曲应力值由齿顶向齿根逐渐减小，当载荷作用点沿齿长方向向轮齿的两端移动时，最大弯曲应力位置会同时随着加载位置向轮齿的两端移动并沿齿高方向向齿顶移动。由此可见，正交面齿轮齿面承受最大弯曲应力位置的有限元分析结果与上文理论分析结果是一致的。为定量比较齿根过渡曲面对正交面齿轮弯曲强度的影响大小，现将两种正交面齿轮的有限元仿真分析结果数据导入Matlab软件，拟合得到其弯曲应力变化曲线，如图 12所示。从图中可以看出，带有齿顶圆角插齿刀所切制的正交面齿轮的最大弯曲应力小于齿顶尖角插齿刀切制的正交面齿轮。进一步说明了齿顶圆角插齿刀切制的齿根过渡曲面对正交面齿轮的抗弯强度有一定程度的提高。

3 结论

1) 根据面齿轮的加工啮合原理和插齿理论齿廓包络面方程，研究了正交面齿轮齿根过渡曲面的理论推导过程，并利用Matlab软件和Pro/E软件建立了正交面齿轮的工作齿面和齿根过渡曲面，准确给出了面齿轮的三维实体模型。进而比较了两种插齿刀切制的正交面齿轮齿根过渡曲面的结构，从结构分析了带有齿顶圆角的插齿刀所切制的正交面齿轮的过渡曲面是光滑连续的，不易产生应力集中现象，理论上使得其承载能力得到加强。

2) 利用内切抛物线法从理论的角度分析了正交面齿轮轮齿的最大弯曲应力位置，正交面齿轮轮齿在受到作用于齿顶的集中载荷时，其最大弯曲应力位置在沿齿高方向的齿面的上半部分。

3) 基于ANSYS软件验证了理论推导的正确性。通过有限元分析结果可以得出采用齿顶圆角插齿刀切制的正交面齿轮的最大弯曲应力小于采用齿顶尖角插齿刀所切制的面齿轮，即齿顶圆角插齿刀切制的齿根过渡曲面提高了正交面齿轮的弯曲强度。