弹性变形和热变形是齿轮在传动过程中产生振动与噪声的主要原因，齿廓修形是解决该问题的有效方法^[1-2]。目前齿廓修形的方法及加工技术已基本成熟^[3-7]，修形对齿轮传动系统静态和动态特性的影响研究颇多^[8-15]，但其修形仅考虑了轮齿在啮合过程中的弹性变形。孙月海等^[16]对含误差的直齿轮的齿廓修形进行了研究。程愿应等^[17]对直齿轮的弹性变形，热变形及齿廓修形进行了研究。任素波等^[18]对烧结机星轮齿形的热变形进行了研究。陶燕光等^[19]对高速齿轮的热变形修形进行了实验研究。本文综合考虑齿轮啮合过程中轮齿的弹性变形及热变形，分别采用分段修形和连续修形两种不同的修形方式，推导两种方式下的修形量表达式，并对两种方式下修形对齿间载荷分配系数及传动误差进行分析。

1 齿轮热变形分析

轮齿热变形是由齿轮在啮合过程中产生的摩擦热导致的。齿轮的摩擦热量随时间的推移以两种方式存在，一是齿面闪温，二是齿轮的本体温度即稳态温度。齿轮的稳态温度是影响轮齿热变形的主要因素。齿轮基圆内稳态温度分布的计算公式可表示为^[20]

$ t\left( r \right) = {t_n} + \frac{{{t_b} - {t_n}}}{{\ln \frac{{{r_b}}}{{{r_n}}}}}\ln \frac{r}{{{r_n}}} $

(1)

式中：t为基圆内任一点的稳态温度，t_b为基圆稳态温度，t_n为齿轮轴孔稳态温度，r_b为基圆半径，r_n为轴孔半径，r为基圆内任一点的半径。

由式(1)可知，齿轮基圆内的稳态温仅为半径的一元函数，且在齿宽方向上没有变化。因此在不考虑外力和残余应力的情况下，可将齿轮基圆柱内的热变形问题简化为轴对称的平面应力或平面应变问题来求解。当齿宽b与分度圆齿厚s的比值b/s≥5时为平面应变问题，反之为平面应力问题^[20]。

1.1 齿轮热变形的解析法

如图 1所示，在圆柱坐标系下，将轮齿齿廓上任意一点K的热变形量分为径向热变形Δr_k和周向热变形Δs_k两个分量。其中Δs_k是轮齿渐开线上任意一点齿厚热变形量的一半：

$ \Delta {s_k} = \Delta {t_k}\lambda {s_k}/2 $

(2)

式中：Δt_k为啮合点K的温升，即稳态温度t(r_k)与环境温度t₀的差值，s_k为K点的齿厚，λ为齿轮材料的热膨胀系数。

Δr_k可将其进一步分解为基圆热变形量Δr_b和渐开线上K点半径r_k与基圆半径r_b差值的热变形量之和：

$ \Delta {r_k} = \Delta {r_b} + \Delta {t_k}\lambda ({r_k} - {r_b}) $

(3)

齿轮基圆的物理方程：

$ \left[ \begin{array}{l} {\varepsilon _r}\\ {\varepsilon _\theta }\\ {\varepsilon _z} \end{array} \right] = \frac{1}{E}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \mu }&{ - \mu }\\ { - \mu }&1&{ - \mu }\\ { - \mu }&{ - \mu }&1 \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {\sigma _r}\\ {\sigma _\theta }\\ {\sigma _z} \end{array} \right] + \lambda \Delta T $

(4)

式中：E为材料的弹性模量，μ为泊松比，ΔT为基圆内任意点的温升。

对于平面应力问题，σ_z=0，代入式(4)得到平面应力状态下的径向和周向应变:

$ \left[ \begin{array}{l} {\varepsilon _r}\\ {\varepsilon _\theta } \end{array} \right] = \frac{1}{E}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - \mu }\\ { - \mu }&1 \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {\sigma _r}\\ {\sigma _\theta } \end{array} \right] + \lambda \Delta T $

(5)

将几何方程ε_r=∂u/∂r，ε_θ=u/r代入式(5)，求得应力与位移之间的关系：

$ \left[ \begin{array}{l} {\sigma _r}\\ {\sigma _\theta } \end{array} \right] = \frac{E}{{1 - {\mu ^2}}}1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\mu \\ \mu &1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{d}}u/{\rm{d}}r}\\ {u/r} \end{array}} \right] - \left( {1 + \mu } \right)\lambda \Delta T $

(6)

将式(6)代入平衡方程：du/dr+(σ_r-σ_θ)/r=0，得到

$ \frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}u}}{{{\rm{d}}{r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}r}} - \frac{u}{{{r^2}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}r}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}r}}\left( {ru} \right)} \right] = \left( {1 + \mu } \right)\lambda \frac{{{\rm{d}}T}}{{{\rm{d}}r}} $

(7)

对式(7)进行两次积分，得到

$ u = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)\lambda }}{r}\int_{{r_n}}^r {Tr{\rm{d}}r + \frac{{{C_1}}}{2}r + \frac{{{C_2}}}{r}} $

(8)

式中：C₁、C₂为积分待定系数，由边界条件确定。将式(8)代入式(6)得到

$ {\sigma _r} = \frac{{ - E\lambda }}{{{r^2}}}\int_{{r_n}}^r {Tr{\rm{d}}r + \frac{{E{C_1}}}{{2\left( {1 - \mu } \right)}} + \frac{{E{C_2}}}{{\left( {1 + \mu } \right){r^2}}}} $

(9)

齿轮在自由膨胀状态下，σ_r|_r=rn=0，σ_r|_r=rb=0，将以上边界条件代入式(9)，确定积分待定系数C₁、C₂，并将其代入式(8)得到基圆内任一点的径向变形与半径之间的关系：

$ \begin{array}{l} u = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)\lambda }}{r}\int_{{r_{\rm{n}}}}^r {Tr{\rm{d}}r + \frac{{r\lambda \left( {1 - \mu } \right)}}{{(r_b^2 - r_n^2)}}\int_{{r_n}}^{{r_b}} {Tr{\rm{d}}r + } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{\lambda \left( {1 + \mu } \right)r_n^2}}{{r(r_b^2 - r_n^2)}}\int_{{r_n}}^{{r_b}} {Tr{\rm{d}}r} \end{array} $

(10)

将r=r_b代入式(10)得到齿轮基圆的热变形量：

$ \Delta {r_b} = {u_b} = {r_b}\lambda {t_n} + \frac{{\lambda r_b^3({t_b} - {t_n})}}{{r_b^2 - r_n^2}} - \frac{{\lambda {r_b}({t_b} - {t_n})}}{{2(\ln {r_b} - \ln {r_n})}} $

(11)

对于平面应力问题，ε_z=0，σ_z=μ(σ_r+σ_θ)-EλT，同理得到平面应变状态下基圆内任意点的径向热变形及基圆热变形量：

$ \begin{array}{l} u = \frac{{\left( {1 + \mu } \right)\lambda }}{{\left( {1 - \mu } \right)}}\frac{1}{r}\left[ {\int_{{r_n}}^r {Tr{\rm{d}}r + \frac{{\left( {1 - 2\mu } \right){r^2} + r_n^2}}{{r(r_b^2 - r_n^2)}}\int_{{r_n}}^{{r_b}} {Tr{\rm{d}}r} } } \right] - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{2\mu \lambda r}}{{r_b^2 - r_n^2}}\int_{{r_n}}^{{r_b}} {Tr{\rm{d}}r} \end{array} $

(12)

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta {r_b} = {u_b} = {r_b}\lambda {t_n} + \\ \frac{{\lambda \left( {1 + \mu } \right){r_b}[r_b^2\left( {1 - 2\mu } \right) - r_n^2]({t_b} - {t_n})}}{{\left( {1 - \mu } \right){r_n}(r_b^2 - r_n^2)}} \end{array} $

(13)

工作侧齿廓上任意点K热变形后对应的K'点半径rk'为rk'=r_k+Δr_k。rk'与y轴的夹角φk'=φ_k+Δφ_k。其中φ_k和Δφ_k分别表示为

$ {\varphi _k} = \frac{{{s_k}}}{{2R}} - ({\rm{inv}}{\alpha _k} - {\rm{inv}}\alpha ) $

(14)

$ \Delta {\varphi _k} = \frac{{\Delta {s_k}}}{{{r_{k1}}}} $

(15)

式中：φ_k为工作侧渐开线上任意点K的半径与y轴夹角，R为齿轮分度圆半径，α_k为K点压力角，α为分度圆压力角。

在直角坐标系下，K'点热变形沿坐标轴的分量分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _x} = {r_{k'}}\sin {\varphi _{k'}} - {r_k}\sin {\varphi _k}\\ {\Delta _y} = {r_{k'}}\cos {\varphi _{k'}} - {r_k}\cos {\varphi _k} \end{array} \right. $

(16)

K'点啮合线法向的热变形量Δ_Γ为

$ {\Delta _\mathit{\Gamma }} = {\Delta _x}\cos {\omega _k} + {\Delta _y}\sin {\omega _k} $

(17)

式中ω_k为K点的载荷角。

1.2 轮齿热变形的有限元仿真

利用有限元热弹耦合的间接方法，进行单齿自由状态下的热膨胀分析。先利用有限元求解齿轮稳态温度场，再将稳态温度场以载荷形式加载到单齿结构分析的模型中，约束内孔圆柱面的所有自由度以及在圆柱坐标系下两个侧面的轴向和周向(即X、Z方向)，并给定材料的热膨胀系数λ=1.13×10^-5，求解便可得到单齿在自由状态下的热变形。本文研究对象的基本参数如表 1所示，仿真结果如图 2所示(放大50倍效果图)。啮合线法向热变形如图 3所示。

2 热变形对载荷分配系数及传动误差的影响

当传动齿轮的重合度在1~2时，在齿轮啮合的过程中将交替出现单、双齿啮合区。在双齿啮合区将由两对齿轮参与啮合并共同承担齿轮系统传递的载荷。仅考虑齿轮热变形时，其齿轮对间的载荷分配系数及传动误差可表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\zeta _1} = \frac{{{k_1}}}{{{k_1} + {k_2}}}\left( {1 + \frac{{{k_2}({\Delta _{{{\rm{t}}_1}}} - {\Delta _{{{\rm{t}}_{\rm{2}}}}})}}{w}} \right)\\ {\zeta _2} = \frac{{{k_2}}}{{{k_1} + {k_2}}}\left( {1 + \frac{{{k_1}({\Delta _{{{\rm{t}}_2}}} - {\Delta _{{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}})}}{w}} \right) \end{array} \right. $

(18)

$ \begin{array}{l} {\rm{TE}} = \left\{ \begin{array}{l} (w - {k_1}{\Delta _{{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}} - {k_2}{\Delta _{{{\rm{t}}_{\rm{2}}}}})/({k_1} + {k_2})\\ w/{k_1} - {\Delta _{{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}}\\ w/{k_2} - {\Delta _{{{\rm{t}}_2}}} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{{{\rm{t}}_1}}} - {\Delta _{{{\rm{t}}_2}}} \le \min (w/{k_1}, w/{k_2})\\ {\Delta _{{{\rm{t}}_1}}} - {\Delta _{{{\rm{t}}_2}}} > w/{k_1}\\ {\Delta _{{{\rm{t}}_2}}} - {\Delta _{{{\rm{t}}_1}}} > w/{k_2} \end{array} \right. \end{array} $

(19)

式中：ζ₁、ζ₂为啮合齿轮对1、2的载荷分配系数，k₁、k₂为啮合齿轮对1、2的啮合刚度，Δ_t1、Δ_t2为啮合齿轮对1、2的总热变形量，w为齿轮传递的单位线载荷，TE为齿轮的传动误差。

针对本文研究对象，在有足够齿侧间隙的条件下，热变形后系统齿间载荷分配系数及传动误差如图 4所示。由图 4可知，热变形对齿间载荷分配系数的影响很小，在啮入端双齿啮合区载荷分配系数变小，在啮出端双齿啮合区载荷分配系数增大，但总的变化量很小，载荷仍然存在突变。对于齿轮的传动误差，热变形仅改变了传动误差的绝对大小，改变量为啮合齿轮对的热变形之和，但传动误差的波动没有改变。

3 考虑弹性变形的齿廓修形

齿廓修形可以有效消除齿间载荷分配系数的突变和减小传动误差的波动，从而达到减振降噪的目的。本文采用主动轮和从动轮齿顶同时进行修形的方式，修形量沿啮合线的分布如图 5所示，其修形量为

$ {\Delta _e} = {\Delta _{\max }}{\left( {x/L} \right)^{{\beta _c}}} $

(20)

式中：Δ_max为最大修形量，取单双齿交替处B、D点的变形量；x为啮合线上双齿啮合区内任一点K到单齿啮合区的下界点B或上界点D的距离；L为啮合线上双齿啮合区的长度, ；β_c为修形指数，取值1.43。

齿廓修形后传动系统的齿间载荷分配系数及传动误差仍由式(18)、(19)确定。只需将式中的热变形量Δ_t用修形量Δ_e替代，同时规定热变形量取正值，修形量取负值。修形后载荷分配系数及传动误差沿啮合线的分布如图 6所示。

由图 6可知，修形后双齿啮合区的载荷分配系数在区间[0, 1]连续变化，载荷突变消除；绝对误差并未改变，但误差的相对波动大幅减小，在整个啮合过程中绝对误差趋于恒定。

4 考虑热弹耦合变形的齿廓修形 4.1 具有足够齿侧间隙的热修形

齿廓热变形的方向与齿廓修形方向相反，因此热变形后齿廓的实际修形量为Δ=Δ_e-Δ_t，热变形后，齿廓的实际修形曲线如图 7中虚线所示。

在有足够齿侧间隙的条件下，传动系统的载荷分配系数及传动误差如图 8所示。

由图 8可知，在有足够齿侧间隙的情况下，热变形对修形后的载荷分配系数分布影响很小，双齿啮合区分配系数的连续性没有改变，但A、D点稍有后移，即单齿啮合区增大，双齿啮合区减小。对于传动误差，绝对误差减小，但仍趋于恒定，即误差波动没有变化。因此，在有足够齿侧间隙的条件下，热变形对于修形后的传动误差分布是有利的。

4.2 齿侧间隙不足的热修形

在实际工况中，齿侧间隙是有限的，轮齿的热膨胀变形将对传动系统产生不良影响，降低传动精度，产生振动噪声，甚至产生卡齿使传动失效。因此在齿廓修形时必须消除热变形的影响。由图 7可知，热变形后理论修形曲线上移，实际修形量减小，因此要使热变形后的实际修形量达到理论修形量，在修形初期必须增大修形量，同时修形长度应该扩展到单齿啮合区，如图 5中AD或EB段。

4.2.1 分段修形

分段修形是将整个修形区间分为双齿啮合区和单齿啮合区两段，在不同修形区间段采用不同的修形函数。在双齿啮合区采用指数修形函数，同时加上啮合齿轮对在AB段的热变形量。在单齿啮合区段采用线性修形函数，使B点的修形量等于该点的热变形量，D点的修形量为0。主、从动轮修形量沿啮合线的分布分别表示为

$ {\Delta _1} = \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{\max }}{\left( {\frac{{{\mathit{\Gamma }_x} - {\mathit{\Gamma }_D}}}{{{\mathit{\Gamma }_E} - {\mathit{\Gamma }_D}}}} \right)^{{\beta _c}}} + {\Delta _t}\;\;\;\;{\mathit{\Gamma }_x} \in \left[ {E, D} \right]\\ \frac{{{\mathit{\Gamma }_B} - {\mathit{\Gamma }_x}}}{{{\mathit{\Gamma }_B} - {\mathit{\Gamma }_D}}}{\Delta _{tD}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\Gamma }_x} \in \left[ {D, B} \right] \end{array} \right. $

(21)

$ {\Delta _2} = \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{\max }}{\left( {\frac{{{\mathit{\Gamma }_x} - {\mathit{\Gamma }_B}}}{{{\mathit{\Gamma }_A} - {\mathit{\Gamma }_B}}}} \right)^{{\beta _c}}} + {\Delta _t}\;\;\;\;\mathit{\Gamma }x \in \left[ {A, B} \right]\\ \frac{{{\mathit{\Gamma }_D} - {\mathit{\Gamma }_x}}}{{{\mathit{\Gamma }_D} - {\mathit{\Gamma }_B}}}{\Delta _{tB}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathit{\Gamma }_x} \in \left[ {B, D} \right] \end{array} \right. $

(22)

式中：Δ_i为齿廓上任一点的修形量，下标i=1, 2，分别表示主、从动轮，Γ_x为啮合线上任一点的归一化坐标，Γ_A、Γ_B、Γ_D、Γ_E分别为啮合线上对应点的归一化坐标，Δ_t为Γ_x对应点的热变形量，Δ_tB、Δ_tD分别为B、D点的热变形量。

分段修形后，理论修形量及热变形后的实际修形量沿啮合线的分布如图 9所示。

对比图 9中的热变形后的实际修形曲线与图 7中仅考虑弹性变形的修形曲线，两者完全吻合。因此，采用分段修形的方式，齿廓热变形后传动系统的载荷分布系数和传动误差与仅考虑弹性变形时的载荷分配系数和传动误差相同，如图 8所示。

4.2.2 连续修形

分段修形可以很好的达到弹性变形时的修形效果，但分段节点不好识别，且修形曲线在分段节点处不光滑，使得齿轮的实际修形加工过程变得十分复杂。为了改善分段修形的制造工艺性，本文对分段修形曲线进行二次拟合，得到了连续光滑的拟合修形曲线。修形量的通用表达式为

$ \Delta = {a_2}\Delta {'_{\max }}{\left( {\frac{{x'}}{{L'}}} \right)^2} + {a_1}\Delta {'_{\max }}\left( {\frac{{x'}}{{L'}}} \right) $

(23)

式中：Δ'_max为考虑热变形后的最大修形量，取弹性修形的最大修形量Δ_max与A(或E)点的热变形量Δ_tA(或Δ_tE)之和，x'为啮合线上任意一点到D(或B)点的距离，L'为基圆节距，a₁、a₂为拟合待定系数，由分段修形曲线上的数据点采用最小二乘法拟合确定。

针对本文研究对象，采用连续修形函数得到的修形曲线如图 10所示。

图 10中点实线表示的是热变形后的实际修形曲线。在连续修形曲线下，系统的载荷分配系数及传动误差如图 11所示。由图 11可知，采用连续修形曲线得到的载荷分配系数在双齿啮合区的连续性得到保留，载荷不存在突变，修形后单齿啮合区增大，双齿啮合区小，但变化量较小。对于传动误差，单齿啮合区的绝对误差减小，双齿啮合区的误差波动增大；其主要的原因在于：修形后单齿啮合区的实际修形量偏小，使得热变形后单齿啮合区的绝对误差减小，相对波动增加。在双齿啮合区，采用连续修形函数修形后，修形曲线的非线性程度发生了变化，从而导致双齿啮合区的误差波动增大。

从总体上看，采用连续修形方式修形后的系统载荷分配系数及传动误差相对于未修形状态有很大的改善。载荷分配系数的突变消失，误差波动显著减小，同时齿廓修形的工艺性得到保证。

5 结论

1) 将齿轮简化为平面应力或应变模型后，通过推导得到了齿廓热变形的计算公式，表明t_b、t_n、Δt_k及基圆内的温度部分是影响热变形的主要因素。

2) 在齿侧间隙足够时，齿廓热变形可以改变双齿啮合区的齿间载荷分配系数，但改变量较小；同时热变形可以减小系统传动误差的绝对大小，且不改变误差的波动。此时，热变形对于修形后的传动误差分布是有利的。

3) 在齿侧间隙不足时，分段修形可以很好的保持啮合过程载荷分配系数的连续性，消除载荷突变，减小传动误差的波动，使误绝对差趋于恒定，但修形的制造工艺性较差。连续修形后载荷分配系数仍然连续，突变消失，其制造工艺也较好，但单齿啮合区域增大；单齿啮合区绝对误差减小，误差波动较分段修形增大。