从18世纪开始，在力学发展史上出现了与牛顿的矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即Lagrange于1755年写出了不朽名著《Mécanique Analytique》(分析力学)，但这部专著在巴黎正式出版则迟至1788年^[1]。这个体系的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。W.R. Hamilton建立了Hamilton原理和正则方程，把分析力学推进一步^[2]。从而在分析动力学中形成了Lagrange体系和Hamilton体系。

如何将经典分析动力学应用于连续介质力学的问题，一直是各国学者关注的研究课题。

我国出版的分析力学专著^[3]，将分析力学从质点刚体力学扩展到连续介质力学、从离散系统扩展到连续系统的问题。Goldstein H的名著(第三版)《Classical Mechanics》仍然作为一个专题研究连续体分析动力学^[4]。我国学者将Lagrange方程应用于机构动力学分析^[5-8]，应用于振动系统^[9]、防护工程^[10]、电器系统和机电系统^[11]等。研究了如何将Lagrange方程应用于非惯性系统^[12-14]，研究了弹性力学的Lagrange形式、弹性介质的Lagrange动力学和精确Cosserat弹性杆动力学的分析力学方法^[15-17]。研究了完整系统三阶Lagrange方程、状态空间Lagrange函数和运动方程^[18-19]。研究了关于Birkhoff方程和Lagrange方程分析力学问题^[20]。

通过多年的研究，积累了不少成功的和失败的经验，在一定的意义上说，Lagrange方程和Hamilton原理都涉及变分学，Lagrange本人又是变分学的奠基人之一，从变分学的基本理论研究做起，或许是一条可行的途径。本文作者提出变分的逆运算变积概念，建立了变积方法，得到钱伟长的亲自推荐^[21]。应用变积方法，与胡海昌一起建立了一般力学三类变量的广义变分原理^[22]。刘高联^[23]肯定了变积方法的首创性。这些研究使得微积分学中的积分、微分和导数在变分学中都有了对应的概念—变积、变分和变导，从而初步地将变分学扩充为变积分学。文献[24-25]的关于分析力学完整的叙述，成为本文研究的重要基础。

人们在研究如何将Lagrange方程应用于连续介质力学的问题时，几乎都是以弹性动力学为例展开的，尚未见哪位学者以流体力学为例展开研究。Lagrange在其不朽名著《Mécanique analytique》中用了较大篇幅研究流体力学，可惜的是，由于当时自然科学发展程度的限制，这位分析力学大师未能给出适用于流体力学的Lagrange方程，以至于使得各国学者继续研究了几百年，力图解决这个理论难题。本文应用变导的概念和运算法则，通过研究Lagrange方程中的求导的性质和Lagrange-Hamilton体系，逐步将Lagrange方程应用于理想流体动力学和不可压缩黏性流体动力学中，并探讨了如何将Lagrange方程应用于可压缩黏性流体动力学的问题。

1 Lagrange方程中的求导的性质

为了说明这个问题，首先明确变导的概念。

设有定积分形式的泛函:

$ V = \int_a^b {F\left( {x,y,y'} \right){\rm{d}}x} $

(1)

其边界条件为

$ {y_{x = a}} = \alpha ,{y_{x = b}} = \beta $

(2)

对式(1)进行变分运算可得

$ \delta V = \int_a^b {\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}\delta y + \frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\delta y'} \right){\rm{d}}x} $

(3)

应用分部积分

$ \int_a^b {\frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\delta y'{\rm{d}}x} = \frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\delta y\left| {_a^b} \right. - \int_a^b {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\frac{{\partial F}}{{\partial y'}}\delta y{\rm{d}}x} $

(4)

将式(4)代入式(3)，考虑到边界条件(2)，整理可得

$ \delta V = \int_a^b {\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial y}} - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\frac{{\partial F}}{{\partial y'}}} \right)\delta y{\rm{d}}x} $

(5)

由于δy任意性，式(5)可以变换为

$ \frac{{\delta V}}{{\delta y}} = \int_a^b {\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial y}} - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\frac{{\partial F}}{{\partial y'}}} \right){\rm{d}}x} $

(6)

在微分学中，函数的微分表示为dy，自变量的微分表示为dx，微商表示为$\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}x}}{\rm{, }}\frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}x}}$又称导数。在变分学中，泛函的变分表示为δV，自变函数的变分表示为δy，变商表示为$\frac{{\delta V}}{{\delta y}}, \frac{{\delta V}}{{\delta y}}$又称变导。

接下来，分析Lagrange方程中的求导的性质。经典分析动力学中的Lagrange方程表示为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}z}}\frac{{\partial T}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}} - \frac{{\partial T}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{q}}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{q}}}} = 0 $

(7)

其中，q=q(t)为广义坐标，一般分析动力学中均把其处理为广义坐标列阵

$ {\left[ {{q_1}\left( t \right),{q_2}\left( t \right), \cdots ,{q_{n - 1}}\left( t \right),{q_n}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}}\;\;\;i = 1,2, \cdots ,n $

(8)

在变分学中，基本上存在三级变量—自变量、可变函数和泛函。简单函数和泛函的区别在于：简单函数是自变量的函数，而泛函是可变函数的函数，独立自主地变化的可变函数称为自变函数。从不独立的可变函数也是自变函数的函数的角度看问题，不独立的可变函数也是泛函，可称其为子泛函。明确了变分学中的三级变量，对区分微积分中的导数和变积分学中的变导很有帮助。对自变量求导为微积分中的导数，而对可变函数的求导则为变积分中的变导。

在Lagrange方程中，有四个求导运算$\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}, \frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\partial U}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}$。一般说来${\boldsymbol{\dot q}}$和q均为可变函数，所以$\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}, \frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\partial U}}{{\partial \boldsymbol{q}}}$均为变积分学中变导；因为时间t为自变量，所以$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}$中的对时间t求导为微积分学中的导数。

严格说来，变导$\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}, \frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\partial U}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}$应当写为$\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}, \frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\partial U}}{{\partial \boldsymbol{q}}}, \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}$。但是，照顾到现在的分析力学学术界的习惯，可以仍然沿用原来的符号。变分符号用δ，而变导符号用$\frac{\partial }{\partial }$。

这里指出，Lagrange本人已经注意到微分符号用“d”而变分符号用“δ”，而且应用了符号“$\frac{\partial }{\partial }$”。所以，对于变导的概念，Lagrange虽未言明，已经隐含在其著作之中了。例如：在文献[1]中，Lagrange方程表示为

$ {\rm{d}}\frac{{\delta T}}{{\delta \dot \xi }} - \frac{{\delta T}}{{\delta \xi }} + \frac{{\delta U}}{{\delta \xi }} = 0 $

(9)

需要说明的是：当时Lagrange将$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial \boldsymbol{\dot q}}}$表示为${\rm{d}}\frac{{\delta T}}{{\delta \dot \xi }}$，即应用微分符号“d”，而没有应用求导符号“$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}$”。

如果将ξ表示为q，将d表示为$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}$，则式(9)表示为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\delta T}}{{\delta \mathit{\boldsymbol{\dot q}}}} - \frac{{\delta T}}{{\delta \mathit{\boldsymbol{q}}}} + \frac{{\delta U}}{{\delta \mathit{\boldsymbol{q}}}} = 0 $

(10)

如果按照现在的习惯，将变导$\frac{\delta }{\delta }$表示为$\frac{\partial }{\partial }$，则式(10)变换为式(7)。

变积分学中的变导和微积分学中的导数的运算法则，有时相同、有时不同，这类问题，在后面研究具体问题时可以明显的表现出来。

2 Lagrange方程应用于理想流体动力学 2.1 一类变量Lagrange方程应用于理想流体动力学

在理想流体动力学中，取流体的位移u^q为广义坐标，则一类变量Lagrange方程表示为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}}} - \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = 0 $

(11)

理想流体动力学的动能可以表示为

$ T = \iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}{\rm{d}}V} $

(12)

理想流体动力学的势能可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U = \iiint\limits_V {\left[ {\left( { - p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {f^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}V - } \right.}} \\ {\left. {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right]{\rm{d}}t} \end{array} $

(13)

其先决条件

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \mathit{\boldsymbol{\bar u}} = 0 $

(14)

推导计算Lagrange方程中的各项

$ \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = 0 $

(15)

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{\partial }{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}}}\iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}{\rm{d}}V} $

(16)

势能的变导项推导较为复杂

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \frac{\partial }{{\partial {u^q}}}\left[ {\iiint\limits_V {\left( { - p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {f^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}V - }} \right.} \\ {\left. {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right]{\rm{d}}t} \end{array} $

(17)

$ \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \iiint\limits_V {\left( { - \frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {f^q}} \right){\rm{d}}V} - \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q}{\rm{d}}S} $

(18)

应用Green定理，并考虑到先决条件(14)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\iiint\limits_V { - \frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V { - p\mathit{\boldsymbol{I}}:\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = } \\ { - \iint\limits_{{S_w} + {S_f}} {p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} + \iiint\limits_V {\nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}}\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = } \\ { - \iint\limits_{{S_f}} {p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} + \iiint\limits_V {\nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}}{\rm{d}}V}} \end{array} $

(19)

将式(19)代入式(18)，则得

$ \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \iiint\limits_V {\left( {\nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {f^q}} \right){\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {\left[ { - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]{\rm{d}}S} $

(20)

将相关各项代入Lagrange方程, 可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}}} - \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = } \\ {\iiint\limits_V {\left( {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\ddot u}}}^q} + \nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {f^q}} \right){\rm{d}}V} + } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {\left( { - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right){\rm{d}}S} = 0} \end{array} $

(21)

脱去积分号，可得理想流体动力学方程

$ \rho {{\mathit{\boldsymbol{\ddot u}}}^q} + \nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} = 0 $

(22)

$ p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{T}}^q} = 0 $

(23)

可见，理想流体动力学方程(22)和(23)与其先决条件(14)一起，构成封闭的微分方程组。

2.2 两类变量Lagrange方程应用于理想流体动力学

在理想流体动力学中，取流体的速度${\boldsymbol{v}^q} = {{\boldsymbol{\dot u}}^q}$，则两类变量Lagrange方程表示为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} - \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = 0 $

(24)

理想流体动力学的动能可以表示为

$ T = \iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} $

(25)

理想流体动力学的势能可以表示为

$ U = \iiint\limits_V {\left[ {\left( { - p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}V - \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right]{\rm{d}}t} $

(26)

其先决条件

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} - \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{{{\rm{d}}t}} = 0 $

(27)

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \mathit{\boldsymbol{\bar u}} = 0 $

(28)

推导计算Lagrange方程中的各项

$ \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = 0 $

(29)

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {v^q}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}}\iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q}{\rm{d}}V} $

(30)

势能的变导项的推导较为复杂，引用2.1节的结果

$ \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \left[ {\iiint\limits_V {\left( {\nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right){\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {\left[ { - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]}} \right.{\rm{d}}S $

(31)

将相关各式代入Lagrange方程, 并考虑到先决条件(28)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} - \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = } \\ {\iiint\limits_V {\left( {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right){\rm{d}}V} - \iint\limits_{{S_f}} {\left[ {p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]{\rm{d}}S} = 0} \end{array} $

(32)

脱去积分号，可得理想流体动力学方程

$ \rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} = 0 $

(33)

$ p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{T}}^q} = 0 $

(34)

可见，理想流体动力学方程(33)和(34)与其先决条件(28)一起构成封闭的微分方程组。

考虑到一类变量的Lagrange方程在流体动力学中应用较少，在以下各节中，不再专门讨论这类问题。

3 Lagrange方程应用于不可压缩黏性流体动力学

由于黏性的存在，使得不可压缩黏性流体动力学成为非保守系统的力学问题。鉴于不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程是不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理的拟驻值条件，本节是由不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理推导出不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程，然后，再由不可压缩黏性流体动力学的Lagrange方程推导出不可压缩黏性流体动力学的控制方程。

不可压缩黏性流体动力学的Hamilton型拟变分原理可以表示为

$ \delta {\mathit{\Pi }_1} + \delta Q = 0 $

(35)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\Pi }_1} = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left\{ {\iiint\limits_V {\left[ {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right):} \right.}} \right.} } \\ {\left. {\left. {\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right]{\rm{d}}V + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right\}{\rm{d}}t} \end{array} $

(36)

$ \delta Q = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\iiint\limits_V {\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}:\delta \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right){\rm{d}}V}} \right]{\rm{d}}t} $

(37)

其先决条件

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} - \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{{{\rm{d}}t}} = 0 $

(38)

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \mathit{\boldsymbol{\bar u}} = 0 $

(39)

式中：ρ是密度，为零阶张量(标量)；v^q为流体速度矢量(一阶张量)；f^q为单位体积流体所受的体积力矢量；μ为黏性系数标量；I为二阶单位张量；p为流体压强，为零阶张量(标量)；n^q为流体边界面单位外法向矢量；T^q为流体所受的面积力矢量；u^q为流体位移；▽为梯度算子(又称Hamilton算子)；V为体积；S_w为固壁边界面；S_f为自由表面。

系统的动能为

$ T = \iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} $

(40)

系统的势能为

$ U = \iiint\limits_V {\left( { - p\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}V} - \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S} $

(41)

将黏性阻力引起的流体剪切应力视为非保守力，表示为τ_N^q=μ(▽v^q+v^q▽)，则系统的拟势能为

$ {U_N} = \iiint\limits_V {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right):\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} $

(42)

非保守系统的余虚功为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta Q = \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\iiint\limits_V {\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}:\delta \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right){\rm{d}}V}} \right]{\rm{d}}t} = } \\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\iiint\limits_V {\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}:\delta {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}{\rm{d}}V}} \right]{\rm{d}}t} } \end{array} $

(43)

经过如上的准备，可以将式(35)变换为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\delta {\mathit{\Pi }_1} + \delta Q = }\\ {\delta \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left( {T - U - {U_N}} \right){\rm{d}}t} + \delta Q = }\\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} - \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \frac{{\partial {U_N}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {u^q}} \right){\rm{d}}t + \delta Q = 0} } \end{array} $

(44)

进行分部积分，考虑到运动学关系，${\boldsymbol{v}^q}-\frac{{{\rm{d}}{\boldsymbol{u}^q}}}{{{\rm{d}}t}} = 0$，可得

$ \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}}^q}{\rm{d}}t} = \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}\left| {_{{t_0}}^{{t_1}}} \right. - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}t} $

(45)

将式(45)代入式(44)，按惯例在时域边界t=t₀和t=t₁处取δu=0，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left( { - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \frac{{\partial {U_N}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}t} + }\\ {\delta Q = 0} \end{array} $

(46)

与τ_N有关的两项为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left( { - \frac{{\partial {U_N}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right){\rm{d}}t} + \delta Q = } \\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} { - \delta {U_N}{\rm{d}}t} + \delta Q = } \\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\iiint\limits_V { - {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}:\delta \nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V{\rm{d}}t}} + \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\iiint\limits_V { - \delta {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V{\rm{d}}t}} + } \\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\iiint\limits_V {\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}:\delta {\tau _N}{\rm{d}}V{\rm{d}}t}} + \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\iiint\limits_V { - {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}:\delta \nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V{\rm{d}}t}} } \end{array} $

(47)

应用Green定理，并考虑到先决条件(39)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\iiint\limits_V { - {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}:\delta \nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = \iint\limits_{{S_f}} { - {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S} + } \\ {\iiint\limits_V {\nabla \cdot {\tau _N} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V}} \end{array} $

(48)

将式(48)代入式(47)，然后代入式(46)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ { - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} + \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}dV} - } \right.} } \\ {\left. {\left. {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} \cdot \delta {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right)} \right]{\rm{d}}t = } \\ {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ { - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} - \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} + \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}dV} - } \right.} } \\ {\left. {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S}} \right] \cdot \delta {u^q}{\rm{d}}t = 0} \end{array} $

(49)

由于δu^q的任意性，故由上式可得不可压缩黏性流体动力学的两类变量的Lagrange方程

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} - \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}{\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} = 0 $

(50)

以下，应用不可压缩黏性流体动力学的两类变量的Lagrange方程来推导不可压缩黏性流体动力学的控制方程。

推导计算Lagrange方程中的各项，如前所述，有关动能的项为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}}\iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q}{\rm{d}}V} $

(51)

有关势能的变导的项为

$ \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \iiint\limits_V {\left( {\nabla \cdot p\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right){\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {\left[ { - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]{\rm{d}}S} $

(52)

与τ_N有关的两项为

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}dV} + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} = } \\ { - \iiint\limits_V {\nabla \cdot \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right){\rm{d}}V} + } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S}} \end{array} $

(53)

将相关各式代入Lagrange方程, 可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\iiint\limits_{{V^q}} {\left\{ {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot \left[ {p\mathit{\boldsymbol{I}} - \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right)} \right] - {f^q}} \right\}{\rm{d}}V} + } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {\left[ { - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]{\rm{d}}S} = 0} \end{array} $

(54)

进一步处理为

$ \rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot \left[ {p\mathit{\boldsymbol{I}} - \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right)} \right] - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} = 0 $

(55)

$ - p\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q} = 0 $

(56)

可见，不可压缩黏性流体动力学方程(55)、(59)和其先决条件(38)、(39)一起构成封闭的微分方程组。

4 关于Lagrange方程应用于可压缩黏性流体动力学的探讨

本节探讨将Lagrange方程应用于可压缩黏性流体动力学的问题。这是研究将Lagrange方程应用于流体动力学的最一般的研究课题，因为物理方面和数学方面的复杂性，本文未能给出全面的、深入的研究，以下给出的仅仅是一个初步的探讨。

两类变量Lagrange方程表示为

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} - \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}{\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} $

(57)

可压缩黏性流体动力学的动能可以表示为

$ T = \iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} $

(58)

可压缩黏性流体动力学的势能可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {U = \iiint\limits_V {\left[ { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{d\rho }}{{dt}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right]{\rm{d}}V} - } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \end{array} $

(59)

可压缩黏性流体动力学的非保守应力为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }}_N^q = \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) $

(60)

其先决条件

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} - \frac{{{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{{{\rm{d}}t}} = 0 $

(61)

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - \mathit{\boldsymbol{\bar u}} = 0 $

(62)

推导计算Lagrange方程中的各项

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}}\iiint\limits_V {\frac{1}{2}\rho {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}{\rm{d}}V} = \iiint\limits_V {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q}{\rm{d}}V} $

(63)

势能的变导项的推导较为复杂

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}\left\{ {\iiint\limits_V {\left[ { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - } \right.}} \right.} \\ {\left. {\left. {{\mathit{\boldsymbol{f}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}} \right]{\rm{d}}V - \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q} \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S}} \right\}{\rm{d}}t} \\ {\frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \iiint\limits_V {\left[ { - \frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right]{\rm{d}}V} - } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{T}}^q}{\rm{d}}S}} \end{array} $

(65)

应用Green定理，并考虑到先决条件(62)，可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\iiint\limits_V { - \frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}:\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = } \\ {\iiint\limits_V { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}:\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}\nabla {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = } \\ { - \iint\limits_{{S_w} + {S_f}} {\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}S} + } \\ {\iiint\limits_V {\nabla \cdot \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}\frac{\partial }{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}}{\mathit{\boldsymbol{u}}^q}{\rm{d}}V} = } \\ { - \iint\limits_{{S_f}} {\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} + } \\ {\iiint\limits_V {\nabla \cdot \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}{\rm{d}}V}} \end{array} $

(66)

将式(66)代入式(65)，则得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} = \iiint\limits_V {\left( {\nabla \cdot \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right){\rm{d}}V} + } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {\left( { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right){\rm{d}}S}} \end{array} $

(67)

与τ_N有关的两项为

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}{\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} = } \\ { - \iiint\limits_V {\nabla \cdot \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right){\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S}} \end{array} $

(68)

将相关各式代入Lagrange方程, 可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{u}}^q}}} - \iiint\limits_V {\nabla \cdot {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N}{\rm{d}}V} + \iint\limits_{{S_f}} {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}_N} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q}{\rm{d}}S} = } \\ {\iiint\limits_V {\left\{ {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot \left[ {\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}}} \right.} \right.}} \\ {\left. {\left. {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right)} \right] - {\mathit{\boldsymbol{f}}^q}} \right\}{\rm{d}}V + } \\ {\iint\limits_{{S_f}} {\left[ { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)I \cdot {n^q} + } \right.}} \\ {\left. {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q}} \right]{\rm{d}}S = 0} \end{array} $

(69)

进一步处理为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}^q} + \nabla \cdot \left[ {\left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} - \mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right)} \right] - } \\ {{\mathit{\boldsymbol{f}}^q} = 0} \\ { - \left( {p + \frac{2}{3}\mu \frac{1}{\rho }\frac{{{\rm{d}}\rho }}{{{\rm{d}}t}}} \right)\mathit{\boldsymbol{I}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} + } \\ {\mu \left( {\nabla {\mathit{\boldsymbol{v}}^q} + {\mathit{\boldsymbol{v}}^q}\nabla } \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}^q} - {\mathit{\boldsymbol{T}}^q} = 0} \end{array} $

(71)

可见，可压缩黏性流体动力学方程(70)、(71)和其先决条件(61)、(62)一起，构成封闭的微分方程组。

5 结论

1) 应用变导运算法则，将Lagrange方程应用于理想流体动力学，得到理想流体动力学控制方程。

2) 应用Lagrange-Hamilton体系，对于非保守系统，Lagrange方程是Hamilton型拟变分原理的拟驻值条件。基于这一理论，借助于不可压缩黏性流体动力学Hamilton型拟变分原理，应用变分方法推导其Lagrange方程，进而应用Lagrange方程推导不可压缩黏性流体动力学的控制方程。

3) 探讨了将Lagrange方程应用于可压缩黏性流体动力学，得到可压缩黏性流体动力学的控制方程。

论文较全面地解决了将Lagrange方程应用于流体动力学的问题。