大量工程实践表明^[1]，大部分的混凝土结构裂缝是由于温度、湿度变化或自身因素作用下产生的非荷载应力造成的。对于大体积混凝土，温度变形可能是导致早期开裂的主要原因，而对于中小体积特别是受到内外约束的板式、梁式构件，收缩变形和外部温度变化的综合作用是开裂的主要原因。Bazant等推导出扩散方程的差分格式，同时给出了扩散系数的解析计算方法^[2]，为非线性扩散问题的研究提供了重要思路。Kim等^[3]测定了不同水灰比的密封混凝土试件和单面接触外界的混凝土试件早龄期内部相对湿度，并对相对湿度变化规律进行分析，发现低水灰比混凝土试件的自干燥引起的水分变化较高水灰比更为明显。Zhang等^[4-5]根据Kelvin方程，从混凝土收缩的微观力学机理出发，基于毛细张力推导出湿度应变解析计算方法，建立了自身与干燥收缩一体化计算模型。康明^[6]推导了混凝土配筋构件在端部约束和内部约束作用下的应力计算模型，可以对内外约束情况下得混凝土构件变形进行量化计算。综上，综合考虑温度、湿度及约束等因素影响下混凝土构件的非荷载应力的计算方法及影响因素的研究具有重要的实际意义。

本文首先根据Fick定律和Grank-Nicholson方法推导出二维湿度场计算模型，并利用Matlab编制二维湿度场计算程序。同时参考Zhang等^[4-5]建立的湿度变形模型，结合变形协调条件，建立了构件在端部和内部约束情况下的应力计算方法，对混凝土受约束构件进行了该约束条件下的应力应变的解析计算，并分析不同环境温湿度条件及约束强度对早龄期应力应变的影响，也分析了构件早龄期突遇寒潮等温度骤降情况对应力应变的影响。

1 湿度变形计算 1.1 湿度分布的计算

由Fick第二定律和湿度守恒，可得混凝土试件湿度扩散方程^[7]：

$ \frac{{\partial H}}{{\partial t}} = {\rm{div}}\left[ {D\left( H \right){\rm{grad}}{H_d}} \right] + \frac{{\partial {H_s}}}{{\partial t}} $

(1)

式中：D(H)为水分传输系数，是相对湿度的函数；H为混凝土相对湿度值；H_d为混凝土水分扩散引起的相对湿度下降；H_s为水泥水化作用引起的相对湿度下降。

建立二维湿度场扩散方程^[7]：

$ \frac{{\partial \left( {H - {H_s}} \right)}}{{\partial t}} = D\left( H \right)\left( {\frac{{{\partial ^2}\left( {H - {H_s}} \right)}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\left( {H - {H_s}} \right)}}{{\partial {y^2}}}} \right) $

(2)

采用有限差分法对式(2)进行求解，根据不同位置将分解为三种节点情况：内部节点、封闭边界节点和外表面边界节点，如图 1所示。

对于内部节点，将扩散进行Grank-Nicholson变换得到二阶差分方程的迭代形式：

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - {r_y}H_{i - 1,j}^{k + 1} + \left( {1 + 2{r_y}} \right)H_{i,j}^{k + 1} - {r_y}H_{i + 1,j}^{k + 1} = }\\ {{r_x}H_{i,j - 1}^k + \left( {1 - 2{r_x}} \right)H_{i,j}^k + {r_x}H_{i,j + 1}^k} \end{array} $

(3)

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - {r_x}H_{i,j - 1}^{k + 2} + \left( {1 + 2{r_x}} \right)H_{i,j}^{k + 2} - {r_x}H_{i,j + 1}^{k + 2} = }\\ {{r_y}H_{i - 1,j}^{k + 1} + \left( {1 - 2{r_y}} \right)H_{i,j}^{k + 1} + {r_y}H_{i + 1,j}^{k + 1}} \end{array} $

(4)

式中：${r_x} = D(H)\frac{{\Delta t}}{{{\Delta ^2}x}}, {r_y} = D(H)\frac{{\Delta t}}{{{\Delta ^2}y}}$。

对于为封闭边界节点，建立二阶差分格式：

$ \frac{{H_{i,j}^{k + 1} - H_{i,j}^k}}{t} = \frac{{D\left( H \right)}}{{{y^2}}}\left( {H_{i + 1,j}^k - 2H_{i,j}^k + H_{i - 1,j}^k} \right) $

(5)

因为封闭边界处没有湿度交换，节点k-1为假想外节点，因此，H_{i-1, j}^k=H_{i, j}^k，以x方向为例，将式(5)变为迭代形式：

$ H_{i,j}^{k + 1} = {r_x}\left( {H_{i + 1,j}^k - H_{i,j}^k} \right) + H_{i,j}^k $

(6)

对于表面边界节点分布，建立一阶差分格式：

$ {a_m}\left( {H_{i,j}^t - {H_a}} \right) = \frac{{D\left( H \right)}}{x}\left( {H_{i + 1,j}^t - H_{i,j}^t} \right) $

(7)

式中：H_a为与外部环境相对湿度, a_m为混凝土表面水分扩散系数。

文献[8]给出了可以反映表面节点水分传输系数随水灰比变化的表达式：

$ {a_m} = A\left( {0.253 + 0.06{v_a}} \right)\left( {H - {H_a}} \right) $

(8)

式中：A为经验系数, v_a为混凝土表面风速。

以x方向为例，将式(7)变为迭代形式：

$ H_{i,j}^t = {H_a} + \frac{{D\left( H \right)}}{{{a_m}x}}\left( {H_{i + 1,j}^t - H_{i,j}^t} \right) $

(9)

采用欧洲混凝土规范给出的传输系数D的计算方法：

$ D\left( H \right) = {D_{\max }}\left( {\beta + \frac{{1 - \beta }}{{1 + {{\left( {\frac{{1 - H}}{{1 - {H_c}}}} \right)}^n}}}} \right) $

(10)

式中：D_max为饱和状态下的湿度扩散系数；H_c为湿度下降临界值，取0.80；其他参数取值为β=0.05，n=15。

文献[7]以湿度饱和为临界点，通过对现有模型的修正，建立了混凝土自干燥湿度变化计算模型：

$ {H_s} = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \le {\alpha _c}\\ \left( {1 - {H_{s,u}}} \right){\left( {\frac{{\alpha - {\alpha _c}}}{{{\alpha _u} - {\alpha _c}}}} \right)^\varphi },\;\;\;\;\;\alpha > {\alpha _c} \end{array} \right. $

(11)

式中：α_u为最终水化度，H_{s, u}为最终水化度对应的水化反应引起的相对湿度降低，α_c为湿度饱和期结束时的水化度，φ为1.5~1.8常数。

文献[9]提出了水泥最终水化度模型及水化度与龄期的关系：

$ {\alpha _u} = \frac{{1.031w/c}}{{0.194 + w/c}} $

(12)

$ \alpha = {\alpha _u}\exp \left( { - {{\left( {A/{t_e}} \right)}^B}} \right) $

(13)

式中：w/c为混凝土水灰比；t_e为温度20 ℃时的等效龄期；A和B为经验常数，可由试验确定。

等效龄期由下式确定：

$ {t_e} = \int\limits_0^t {\exp \left( {1/{R_g}\left( {\frac{{{U_{ar}}}}{{293}} - \frac{{{U_{aT}}}}{{273 + T}}} \right)} \right){\rm{d}}t} $

(14)

式中：R_g是理想气体常数，取8.314 J/(mol·K)；T是开尔文温度，即绝对温度；U_ar为参考温度下的反应活化能，U_aT为温度T下的反应活化能。U_a由下式确定：

$ {U_a} = \left( {42830 - 43T} \right)\exp \left( {\left( { - 0.00017T} \right)t} \right) $

(15)

1.2 混凝土湿度应变模型

Zhang等^[4]在文献[10-11]的基础上建立了自身与干燥收缩一体化计算模型，此模型以混凝土内部相对湿度为主要变量计算混凝土早龄期变形：

$ {\varepsilon _{sh}} = \left\{ \begin{array}{l} \eta \left[ {1 - \sqrt[3]{{1 - \left( {{V_{cs}} - {V_0}} \right)}}} \right],H = 100\\ \eta \left[ {1 - \sqrt[3]{{1 - \left( {{V_{cs}} - {V_0}} \right)}}} \right] + \\ \frac{{S\rho RT}}{{3M}}\left( {\frac{1}{{{K_s}}} - \frac{1}{K}} \right)\ln H,H \ge 100 \end{array} \right. $

(16)

式中：η为化学减缩修正系数，取0.045 7；M是水的摩尔质量，取0.018 02 kg/mol；ρ是水的密度，取1.0×10³ kg/m³；K_s是不含孔介质体积弹性模量；$K = \frac{E}{{3(1-2v)}}$是含孔介质体积弹性模量；${V_{cs}} = k(0.2 + 0.7\frac{s}{c})(1-p)\alpha $是化学减缩导致的体积应变^[12]，其中$k = \frac{1}{{1 + 1.4(s/c)}}, p = \frac{{w/c}}{{w/c + {\rho _w}/{\rho _c} + ({\rho _w}/{\rho _c})(s/c)}}$；V₀为初凝时刻化学减缩导致的体积应变；$S = \frac{{p-0.8k(1-p)\alpha }}{{p-k[0.6-0.7(s/c)](1 -p)\alpha }}$是表征混凝土中水泥石饱和程度的常数^[12]。

2 温湿度约束应力计算 2.1 计算模型

由于钢筋和混凝土的热膨胀系数不同，若发生短时间内外部温度的骤降(寒潮等极端天气)，可能会明显的影响混凝土的约束变形，而对于中、小混凝土构件，约束变形在截面方向梯度变化不明显，因此，根据混凝土构件受到内部钢筋和端部约束的特点，可建立如图 2所示计算模型^[7]。

为了简化计算，对于计算模型做如下假设：1)混凝土为各向同性材料；2)两个端部接触面为封闭绝湿面，不发生湿度转移；3)钢筋和混凝土之间无相对滑移；4)将端部约束简化为弹簧系统；5)温度骤降为单日内发生，忽略其对等效龄期和水化度的影响。以升温情况为例，如图 3。

根据位移平衡条件和力学平衡条件，可以建立约束变形协调公式：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - {\varepsilon _R} - {\varepsilon _{sT}}} \right){E_s}{A_s} + }\\ {\left( {{\varepsilon _{sh}} - {\varepsilon _R} - {\varepsilon _{cT}}} \right){E_c}{A_c} - {\varepsilon _R}{E_R}{A_c} = 0} \end{array} $

(17)

整理得

$ {\varepsilon _R} = \frac{{{\varepsilon _{sh}} - {a_c}T + {a_s}T\frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}}}{{\frac{{{E_R}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}} + 1}} $

(18)

则混凝土的应变增量为

$ {\varepsilon _{cE}} = \frac{{{\varepsilon _{sh}}\left( {\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}} \right) - {a_c}T\left( {\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}} \right) + {a_s}T\frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}}}{{\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}} + 1}} $

(19)

由此可以得到混凝土的应力增量：

$ {\sigma _c} = {E_c}\frac{{{\varepsilon _{sh}}\left( {\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}} \right) - {a_c}T\left( {\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}} \right) + {a_s}T\frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}}}}{{\frac{{{E_R}}}{{{E_c}}} + \frac{{{E_s}{A_s}}}{{{E_c}{A_c}}} + 1}} $

(20)

式中：E_R=RE_c/(1-R)为弹簧的约束模量，表示端部约束对构件的约束强度；R为相邻构件的约束度；l_sh为混凝土早龄期自由收缩变形；l_sT为钢筋在温度作用下自由变形l_sT=α_sΔTL；l_cT为混凝土仅在温度作用下的自由变形l_cT=α_cΔTL；l_sE为钢筋在端部约束情况下的变形；l_cE为混凝土在端部约束情况下的变形；l为构件的实际变形；a_c为混凝土线膨胀系数，取1.0×10^-5；a_s为钢筋线膨胀系数，取1.2×10^-5。

本文采用基于水化度理论弹性模量的计算方法^[8]：

$ E\left( \alpha \right) = 1.05{E_{28}}{\left( {\frac{{\alpha - {\alpha _0}}}{{{\alpha _u} - {\alpha _0}}}} \right)^b} $

(21)

式中：E₂₈为28 d弹性模量；α₀为水泥凝结时的水化度；对C80混凝土，b取0.99。

2.2 徐变变形的计算

利用应力松弛系数法，可得t_i到t_i+1时间段内的应力残值：

$ \sigma \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)\left[ {1 - \frac{{\varphi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)}}{{1 + \chi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)\varphi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)}}} \right] $

式中φ(t_i+1, t_i)=0.9t_i^-0.32(t_i+1-t_i)^0.32为此时间段内的徐变系数^[13-15]。

将各时间段的徐变应力进行叠加，可得最终应力：

$ \begin{array}{l} \sigma \left( {{t_{i + 1}}} \right) = \sigma \left( {{t_0}} \right)\left[ {1 - \frac{{\varphi \left( {{t_0}} \right)}}{{1 - \chi \left( {{t_0}} \right)\varphi \left( {{t_0}} \right)}}} \right] + \\ \sum\limits_{i = 1}^n {\sigma \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)\left[ {1 - \frac{{\varphi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)}}{{1 + \chi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)\varphi \left( {{t_{i + 1}},{t_i}} \right)}}} \right]} \end{array} $

(22)

3 模型正确性验证

利用计算模型，对水灰比为0.3，横截面尺寸为100 mm×100 mm，配筋率为4.52%的混凝土受约束构件从浇筑完成到第28 d内部截面的相对湿度、应力和应变进行计算。环境温度为20 ℃，环境湿度为20%，边界约束度为0。利用Matlab程序化语言模拟28 d的湿度分布如图 4所示。以文献[16]对同一条件下构件的混凝土受约束构件应变试验结果对模型计算结果的正确性进行验证，如图 5所示。

由图 5可见，构件中心位置相对湿度在7 d左右开始出现明显下降，下降过程比较平稳，28 d达到47%；混凝土受约束构件的应变从浇筑完成时开始增长，初期增长较快，从7 d左右开始平稳增长，徐变计算对应变的影响较为明显；7 d内的模型应变值偏大，主要因为未考虑混凝土浇筑完成后的沉降变形和塑性变形，而7 d以后模型应变值和试验基本一致，可见，所建立的约束收缩模型与实际情况较为吻合，说明分析模型可靠。

4 环境湿度、温度骤降及约束度的影响分析 4.1 环境湿度对应力应变的影响

将环境湿度分别设置为20%、40%、60%、80%，保持其他条件不变，研究环境湿度对混凝土受约束构件应力应变的影响。由图 6可见，4种环境湿度条件下构件内部的相对湿度随着龄期增加不断下降，其中环境湿度为80%时，构件内部湿度14 d之前为下降，而14 d之后小幅上升；4种环境湿度情况下应变随龄期不断上升，4 d之前上升较快，4 d以后上升平稳，其中环境湿度为80%时，构件应变较另外3种情况明显减小，且在13 d以后基本保持在44×10^-6左右的水平。计算了4种环境湿度下的混凝土应力和相对湿度随龄期的发展，如图 7。可见，在28 d龄期内，随着混凝土内部湿度的减小，混凝土约束构件应力逐渐增大，且环境湿度越大，混凝土约束构件应力越小，假设水灰比为0.30，混凝土的混凝土抗拉强度为2.85 MPa(C60混凝土)，4种环境湿度下的混凝土28 d总应力均未超过2.85 MPa。通过水化反应耗水计算可知，10 d内混凝土内部水化耗水为20.8%，当环境湿度为80%，出现了混凝土湿度与环境湿度相当的情况，由图 7(d)可见，在计算龄期内，若混凝土内部湿度与环境湿度相当，则其内部湿度不再规律性下降，应力基本保持不变。

4.2 单日温度骤降对应力应变的影响

计算了模型在温度为20 ℃、湿度为20%的环境中，28 d内的应变增量随龄期变化规律，如图 8所示。可见，应变在最初的7 d变化较为明显，尤其龄期1 d变化量达到21.9×10^-6，之后变化水平基本不变，为1.0×10^-6左右。将模型的单日骤降温度分别设置为0 ℃、-5 ℃、-10 ℃、-15 ℃，对单日龄期分别施加温度骤降效应，研究寒潮等极端降温天气对混凝土受约束构件28 d总应力应变的影响，结果如图 9所示。可见，单日温度骤降对混凝土受约束构件28 d的应力应变影响明显，随着骤降温度值的增加，28 d应力逐渐增加，分别为2.41、2.50、2.59 MPa。温度骤降发生在4 d内，对28 d应力应变影响较大；发生在4~28 d时，温度骤降对混凝土28 d累计应力应变影响较小，混凝土应力增长较为稳定。

4.3 约束度对应力应变的影响

将约束度分别设置为0、0.2、0.4、0.6、0.8，研究受约束条件对的应力的影响，如图 10所示。可见，端部约束对构件的应力的影响明显，随着约束度的增加，应力逐渐增加。约束度为0、0.2、0.4、0.6、0.8的构件28 d应力分别为2.33、3.26、4.31、5.49、6.84 MPa。由图 11可见，约束度与应力基本呈线性关系，且约束度越大，应力越大。一般采用混凝土实际拉应力与抗拉强度的比值作为开裂风险，当开裂风险达到0.7时认为开裂的可能性已经很大^[17]，计算了5种约束度对应的开裂风险，如图 12所示，可见，随着约束度的增大，开裂风险逐渐增加，达到临界开裂风险的龄期逐渐提前，且5种约束情况在28 d内均有开裂的可能性。

5 结论

1) 建立的约束收缩模型能够较好的模拟构件早龄期湿度及应力应变变化。

2) 约束是构件早期应力变化的主要影响因素，约束度越大，构件轴向应力越大，开裂风险越大；当环境湿度与混凝土内部湿度相当时，其内部湿度不再规律性下降，应力基本保持不变；单日温度骤降对4 d龄期内的混凝土应力应变影响较为明显。