UUV深水作业下潜机动需要较长时间，但由于自身所携带的能源有限，使其作业时间严重压缩。为了实现UUV能源的补充、数据的上传、新任务的下载必须就要对UUV进行回收，快速安全回收一直是研究的热点。在水下回收方面，一种对线控位的回收方法被应用于欠驱动UUV的回收中^[1]。对于常规的UUV，其推进装置主要为尾推，执行机构为水平舵、垂直舵，在运动过程中在侧面方向和垂直方向一般没有足够的控制力，需要通过舵和推力间接控制，因此UUV空间的运动具有欠驱动性。贾鹤鸣等^[2]将自适应方法与反步法相结合，设计一种自适应反步法来对航行器的三维轨迹进行跟踪控制，并取得良好效果；徐健等^[3-4]将滑模控制方法与反步法相结合，设计反步滑模控制器来对UUV的三维轨迹进行跟踪控制，并进行了相关仿真，证明了所设计控制器的有效性；朱齐丹等^[5]将反步法与神经网络相结合，并应用到船舶的航迹跟踪控制上，证明了算法的有效性；程相勤^[6]将滑模理论应用到UUV的空间路径跟踪上，进行了相关仿真验证，取得较好的效果；贾鹤鸣等将神经网络反步法^[7]和滤波反步法^[8]分别应用到移动机器人和水下航行器的空间三维路径跟踪上，验证了算法的有效性，取得较好的进展；周佳加等^[9-10]将神经网络控制应用到了UUV的航速和跟踪控制上，通过仿真验证了算法的有效性；针对回收过程中的规划控制和路径跟踪问题，文献[11-12]进行了相关研究，并取得一定的进展；严浙平等^[13-14]采用滑模控制方法对UUV地形跟踪控制进行研究，实现了UUV地形跟踪，证明了算法的有效性。在UUV的自主回收过程中，跟踪控制作为重要的一环，是不可或缺的，是值得深入研究。

1 控制理论与UUV模型 1.1 反步法与神经网络

反步法是将整个非线性系统进行分解，每一个子系统都是不超过系统最高阶数的系统，然后针对每个子系统分别设计Lyapunov控制函数和中间虚拟控制量，使得每个子系统都是镇定的，一直“后退”到整个非线性系统，最终通过设计的控制律保证整个系统的稳定性。

神经网络与传统的控制策略相比具有对任意函数的学习能力，因而与传统自适应控制相比可以避免需要大量的精确复杂数学分析。对于高维非线性控制问题，多层的神经网络的隐含层采用激活函数，具有非线性的映射能力，可以逼近任意非线性函数，因此神经网络广泛应用在不确定模型的控制问题上。

RBF神经网络有3层^[15-16]：输入层、隐含层、输出层。隐含层的神经元激活函数由径向基函数构成。隐含层由节点组成，节点中包含一个中心向量，和输入向量具有相同的维数，其欧式距离为‖x(t)-c_j(t)‖，隐含层的输出为非线性激活函数：

$ {h_j}\left( t \right) = \exp \left( {\frac{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) - {\mathit{\boldsymbol{c}}_j}\left( t \right)} \right\|}^2}}}{{2b_j^2}}} \right),j = 1,2, \cdots ,m $

(1)

式中：b_j＞0，表示高斯基函数的宽度，m是隐含层的节点数量。

网络的输出由加权函数实现：

$ {y_i}\left( t \right) = \sum\limits_{j = 1}^m {{w_{ji}}{h_j}\left( t \right)} ,\;i = 1,2, \cdots ,n $

(2)

式中：w_j是输出层的权值，n是输出节点个数，y是神经网络输出。

1.2 UUV模型

本研究所针对的白鲨UUV外形是左右对称、上下对称，并且欠驱动UUV的重心和浮心在同一垂线上，运动过程中横倾角及角速度一般很小，工程中可以忽略。根据UUV的欠驱动特性建立五自由度含扰动项的动力学模型和运动学模型^[17-18]。

UUV运动学模型

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = \cos \psi \cos \theta u - \sin \psi v + \sin \theta \cos \psi w\\ \dot y = \sin \theta \cos \psi u + \cos \psi v + \sin \theta \sin \psi w\\ \dot z = - \sin \theta u + \cos \theta w\\ \dot \theta = q\\ \dot \psi = r/\cos \theta \end{array} \right. $

(3)

UUV动力学模型

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot u = \frac{{{a_1}}}{{{m_{11}}}}vr - \frac{{{a_2}}}{{{m_{11}}}}vq - \frac{{{a_3}}}{{{m_{11}}}}u - \frac{{{a_4}}}{{{m_{11}}}}{r^2} - \frac{{{\tau _{d1}}}}{{{m_{11}}}} + \frac{{{\tau _u}}}{{{m_{11}}}}\\ \dot v = \frac{{{b_1}}}{{{m_{22}}}}ur - \frac{{{b_2}}}{{{m_{22}}}}v - \frac{{{b_3}}}{{{m_{22}}}}\dot r + \frac{{{\tau _{d2}}}}{{{m_{22}}}}\\ \dot w = \frac{{{c_1}}}{{{m_{33}}}}uq - \frac{{{c_2}}}{{{m_{33}}}}w - \frac{{{c_3}}}{{{m_{33}}}}\dot q + \frac{{{c_4}}}{{{m_{33}}}}pr + \frac{{{\tau _{d3}}}}{{{m_{33}}}}\\ \dot q = \frac{{{d_1}}}{{{m_{55}}}}uv - \frac{{{d_2}}}{{{m_{55}}}}q - \frac{{{d_3}}}{{{m_{55}}}}\sin \theta - \frac{{{d_4}}}{{{m_{55}}}}\dot w + \frac{{{\tau _{d4}}}}{{{m_{55}}}} + \frac{{{\tau _q}}}{{{m_{55}}}}\\ \dot r = \frac{{{e_1}}}{{{m_{66}}}}nv - \frac{{{e_2}}}{{{m_{66}}}}r - \frac{{{e_3}}}{{{m_{66}}}}\dot v - \frac{{{e_4}}}{{{m_{66}}}}pq + \frac{{{\tau _{d5}}}}{{{m_{66}}}} + \frac{{{\tau _r}}}{{{m_{66}}}} \end{array} \right. $

(4)

式中：τ_u、τ_q、τ_r为控制量，τ_d1、τ_d2、τ_d3、τ_d4、τ_d5为扰动量，$ {m_{11}} = m-{X_{\dot u}} $，$ {m_{22}} = m-{Y_{\dot u}}, {m_{33}} = m-{Z_{\dot w}}$，$ {m_{55}} = {I_y}-{M_{\dot q}}，{m_{66}} = {I_z} - {N_{\dot r}} $，a₁=(m+X_vr)，a₂=(m-X_wq)，a₃=(X_u+X_u‖u‖|u|)，a₄=X_rr，b₁=(m-Y_ur)，b₂=(Y_v+Y_v|v||v|)，$ {b_3} = {Y_{\dot r}} $，c₁=(m+Z_uq)，c₂=(Z_w+Z_w|w||w|)，${c_3} = {Q_{\dot q}} $，c₄=Y_pr，d₁=M_uv，d₂=(M_q+Mq|q||q|)，$ {d_3} = \rho g\nabla \overline {G{M_L}} $，$ {d_4} = {M_{\dot w}} $，e₁=N_nw，e₂=(N_r+N_r|r||r|)，$ {e_3} = {N_{\dot v}}, {e_4} = {M_{\dot q}} $，ρ为流体密度，∇为UUV排水体积，g为重力加速度，m为UUV的质量。

其中UUV的水动力系数相关说明在文献[18]中有详细论述，此处不再说明。

为了简化UUV的运动学方程和动力学方程，方便控制器的设计来定义如下：$ {v_t} = \sqrt {\dot v_d^2 + \dot y_d^2} $为二维期望合速度；$ {v_p} = \sqrt {{{\dot x}_d^2} + {{\dot y}_d^2} + {{\dot z}_d^2}} $为三维期望合速度；$ {\psi _d} = \arctan ({{\dot y}_d}/{{\dot x}_d}) $为期望的航向角；$ {\theta _d} =-\arctan ({{\dot z}_d}/{\mathit{\boldsymbol{v}}_t}) $为期望的纵倾角；定义位置和姿态误差变量为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_e} = u - {v_p}\cos {\theta _d}\cos \theta \cos {\psi _e} - \\ \;\;\;\;\;\;{v_p}\sin {\theta _d}\sin \theta + r{y_e} - q{z_e}\\ {{\dot y}_e} = v + {v_p}\cos {\theta _d}\sin \theta \cos {\psi _e} - \\ \;\;\;\;\;\;r{x_e} - r{z_e}\tan \theta \\ {{\dot z}_e} = w - {v_p}\cos {\theta _d}\sin \theta \cos {\psi _e} + \\ {v_p}\sin {\theta _d}\cos \theta + q{x_e} + r{y_e}\tan \theta \end{array} \right. $

(5)

实际中总有∀t≥0, |θ(t)|＜π/2，且期望轨迹变量u_d、r_d、q_d、$ {{\dot u}_d} $、$ {{\dot r}_d} $、$ {{\dot q}_d} $是有界的。

2 轨迹跟踪器的设计 2.1 控制器设计

对于欠驱动UUV模型进行轨迹跟踪可以采用反步法进行设计，首先构造李雅普诺夫函数为

$ \left\{ \begin{array}{l} {V_1} = \left( {x_e^2 + y_e^2 + z_e^2} \right)/2\\ {{\dot V}_1} = {x_e}{{\dot x}_e} + {y_e}{{\dot y}_e} + {z_e}{{\dot z}_e} \end{array} \right. $

(6)

把$ {{\dot x}_e}, {{\dot y}_e}, {{\dot z}_e} $代入式子整理得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_1} = {x_e}\left( {u - {v_p}\cos {\theta _d}\cos \theta \cos {\psi _e}} \right) - }\\ {{x_e}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_p}\sin {\theta _d}\sin \theta + r{y_e} - q{z_e}} \right) + }\\ {{y_e}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_p}\cos {\theta _d}\sin \theta \cos {\psi _e} + \mathit{\boldsymbol{v}} - r{x_e} - r{z_e}\tan \theta } \right) + }\\ {{z_e}\left( {w - {v_p}\cos {\theta _d}\sin \theta cos{\psi _e}} \right) + }\\ {{z_e}\left( {{v_p}\sin {\theta _d}\cos \theta + q{x_e} + r{y_e}\tan \theta } \right)} \end{array} $

定义虚拟控制量为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = {v_p}\cos {\theta _d}\sin {\psi _e}\\ {\alpha _2} = {v_p}\sin {\theta _e} = {v_p}\left( {\cos {\theta _d}\sin \theta - \sin {\theta _d}\cos \theta } \right) \end{array} \right. $

(7)

将ψ_e和θ_e进行替换，从而可以避免初始状态约束引起的奇异值问题。

为了使目标达到$ {{\dot V}_1} < 0 $，把u、α₁、α₂作为虚拟控制量，令$ e = \sqrt {1 + x_{_e}^{^2} + y_{_e}^{^2} + z_{_e}^{^2}} $, 则期望值选取为

$ \left\{ \begin{array}{l} {u_d} = {v_p}\cos {\theta _d}\cos \theta \cos {\psi _e} + {v_p}\sin {\theta _d}\sin \theta - {k_1}{x_e}/e\\ {\alpha _{1d}} = - v - {k_2}{y_e}/e\\ {\alpha _{2d}} = w - {v_p}\cos {\theta _e}\sin \theta \left( {\cos {\psi _e} - 1} \right) + {k_3}{z_e}/e \end{array} \right. $

式中：k₁、k₂、k₃均为正常数，u_d、α_1d、α_2d是虚拟控制量，但实际不可控，因此定义误差变量及误差导数为

$ {u_e} = u - {u_d};{\alpha _{1e}} = {\alpha _1} - {\alpha _{1d}}; $

$ {\alpha _{2e}} = {\alpha _2} - {\alpha _{2d}};{{\dot u}_e} = \left( {{F_1} + {\tau _u}} \right)/{m_{11}} $

$ \begin{array}{l} {{\dot \alpha }_{1e}} = {{\dot v}_t}\sin {\psi _e} + {v_t}\cos {\psi _e}\left( {r/\cos \theta - {{\mathit{\dot \Psi }}_D}} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{F_3}/{m_{33}} + {Q_1} \end{array} $

$ {{\dot \alpha }_{2e}} = {{\dot v}_p}\sin {\theta _e} + {v_p}\cos {\theta _e}\left( {q - {{\dot \theta }_d}} \right) - {F_4}/{m_{33}} + {Q_2} $

(8)

其中

$ {F_q} = {\alpha _1}vr - {\alpha _2}wq - {\alpha _3}u - {\alpha _4}{r^2} + {\tau _{d1}} - {m_{11}}{u_d} $

$ {F_3} = - {b_1}ur - {b_2}v - {b_3}\dot r + {\tau _{d2}} + {{\dot r}_d} $

$ {F_4} = {c_1}uq - {c_2}w - {c_3}\dot q + {c_4}pr + {\tau _{d3}} $

$ {Q_1} = {k_2}\left( {{{\dot y}_e}e - {y_e}\left( {{x_e}{{\dot x}_e} + {y_e}{{\dot y}_e} + {z_e}{{\dot z}_e}} \right)/e} \right)/{e^2} $

$ {Q_2} = {v_t}\sin \theta \left( {\cos {\varphi _c} - 1} \right) - {k_3}{z_e}/e $

结合前面的式子，可得到

$ \dot V = - \left( {{k_1}x_e^2 + {k_2}y_e^2} \right)/e + {x_e}{u_e} + {y_e}{\alpha _{1e}} - {z_e}{\alpha _{2e}} $

(9)

定义$ M = ({k_1}x_{_e}^{^2} + {k_2}y_{_e}^{^2} + {k_3}z_{_e}^{^2})/e $，则有$ \dot V =-M + {x_e}{u_e} + {y_e}{\alpha _{1e}}-{z_e}{\alpha _{2e}}, M > 0 $。

接下来对欠驱动UUV轨迹跟踪RBF神经网络控制系统进行设计，如图 1所示，运用RBF神经网络对含有未知扰动的力进行逼近估计，同时结合反步法进行控制器的设计以及控制器稳定性的分析。神经网络逼近未知函数为

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{F}} = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}h + \varepsilon \\ \mathit{\boldsymbol{\hat F = }}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}h\\ h = g\left( {{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{c}}_{ij}}} \right\|}^2}/b_j^2} \right)\\ g\left( x \right) = {{\rm{e}}^{ - x}} \end{array} \right. $

(10)

控制器控制律推导步骤如图 2所示。控制器及自适应控制律为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\tau _u} = - {c_1}{u_e} - {x_e} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_1}{h_1},{\tau _r} = - {c_3}{r_e} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_3}{h_3}\\ {\tau _q} = - {c_5}{q_e} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_5}{h_5},{{\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}}}_1} = {\mathit{\Gamma }_1}\left( {{h_1}{u_e} - {l_1}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_1}} \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}}}_2} = {\mathit{\Gamma }_2}\left( {{h_2}{a_{1e}} - {l_2}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_2}} \right),{{\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}}}_3} = {\mathit{\Gamma }_3}\left( {{h_3}{r_e} - {l_3}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_3}} \right)\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}}}_4} = {\mathit{\Gamma }_4}\left( {{h_4}{a_{2e}} - {l_4}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_4}} \right),{{\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W}}}}_5} = {\mathit{\Gamma }_5}\left( {{h_5}{q_e} - {l_5}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_5}} \right) \end{array} \right. $

(11)

2.2 稳定性分析

欠驱动UUV的运动学模型和动力学模型满足假设条件1、2、3，会存在控制器和自适应率(11)保证欠驱动UUV跟踪误差系统半全局一致有界，也就是说对任意的压缩集Ω₀，其中$ \left( {\eta \left( 0 \right), V\left( 0 \right), \hat F\left( 0 \right)} \right) \in {{\mathit{\Omega}} _0} $，轨迹跟踪误差$ [{\eta _e}({\rm{t}}), {V_e}(t), \hat F\left( t \right)] $收敛到零值附近的一个压缩有界集。

假设1  对于时变外界扰动τ_d(i)(i=1, 2, 3, 4, 5)，存在一个常数τ_d∈R⁺, ∀＞τ₀，满足‖τ_d(i)(t)‖≤τ_d。

假设2  对于给定的任意光滑的函数h(Z)，都会存在一个理想的权值函数W对其进行逼近，使得有误差量|ε|≤ε^*, ε^*为小量。

假设3  欠驱动UUV的时变速度V(t)有界，即存在一个正常数V_M=sup‖V(t)‖，满足V_M＜+∞。

对式子(11)中的调整项$ {l_{1\;}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\hat W}} $有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l_1}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_1} = {l_1}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_1^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{W}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right) \le }\\ {{l_1}\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right\| \cdot \left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_1}} \right\| - {l_1}\left\| {\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_1^2} \right\| \le }\\ {\frac{1}{2}{l_1}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right\|}^2} - \frac{1}{2}{l_1}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right\|}^2}} \end{array} $

(12)

从而有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l_1}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_1^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_1} + {l_2}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_2^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_2} + {l_3}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_3} + {l_4}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_4^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_4} + }\\ {{l_5}\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}_5^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}_5} \le \left( {\frac{1}{2}{l_1}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_1}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_2}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_2}} \right\|}^2} + } \right.}\\ {\left. {\frac{1}{2}{l_3}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_3}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_4}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_4}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_5}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_5}} \right\|}^2}} \right) - }\\ {\frac{1}{2}\left( {{l_1}\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right\| + \frac{1}{2}{l_2}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_2}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_3}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_3}} \right\|}^2} + } \right.}\\ {\left. {\frac{1}{2}{l_4}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_4}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_5}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_5}} \right\|}^2}} \right)} \end{array} $

(13)

所以对式(11)可以推导出：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_6} \le - \left( {{k_1}x_e^2 + {k_2}y_e^2 + {k_3}z_e^2} \right)/e - {c_{10}}u_e^2 - {c_{20}}a_{1e}^2 - }\\ {{c_{30}}r_e^2 - {c_{40}}a_{2e}^2 - {c_{50}}q_e^2 + \frac{{\varepsilon _1^{ * 2}}}{{4{c_{11}}}} + \frac{{\varepsilon _2^{ * 2}}}{{4{c_{21}}}} + \frac{{\varepsilon _3^{ * 2}}}{{4{c_{31}}}} + \frac{{\varepsilon _4^{ * 2}}}{{4{c_{41}}}} + }\\ {\frac{{\varepsilon _5^{ * 2}}}{{4{c_{51}}}} + \left( {\frac{1}{2}{l_1}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_1}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_2}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_2}} \right\|}^2} + } \right.}\\ {\left. {\frac{1}{2}{l_3}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_3}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_4}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_4}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_5}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_5}} \right\|}^2}} \right) - }\\ {\frac{1}{2}\left( {{l_1}\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_1}} \right\|^2 + \frac{1}{2}{l_2}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_2}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_3}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_3}} \right\|}^2} + } \right.}\\ {\left. {\frac{1}{2}{l_4}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_4}} \right\|}^2} + \frac{1}{2}{l_5}{{\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}_5}} \right\|}^2}} \right)} \end{array} $

(14)

选取c_k0使得c_k0≥γ/2, (k=1, 2, 3, 4, 5)且γ＞0；同时选取l_k和Γ_k使得l_k≥γλ_max{Γ_k^-1}，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\lambda = \min \left\{ {{k_1}/e,{k_2}/e,{k_3}/e,{c_{10}},{c_{20}},{c_{30}},{c_{40}},{c_{50}},} \right.}\\ {\left. {{m_{11}}/2,{m_{22}}/2,{m_{33}}/2,{m_{55}}/2,{m_{66}}/2} \right\}} \end{array} $

(15)

则式(15)化为如下形式

$ {{\dot V}_6} \le - \lambda {V_6} + \delta ,且\;\delta = \sum\limits_{k = 1}^5 {\frac{{{l_k}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{W}}_k}} \right\|}^2}}}{2}} + \sum\limits_{k = 1}^5 {\frac{{\varepsilon _k^{ * 2}}}{{4{c_{k1}}}}} $

(16)

因此闭环跟踪误差渐进收敛到零值附近的一个压缩有界集，最终系统误差半全局一致有界，系统是稳定收敛。

3 UUV轨迹跟踪控制仿真

为了验证UUV轨迹跟踪控制效果进行轨迹跟踪控制仿真，设置系统总的仿真时间为800 s，控制周期为1 s，RBF神经网络的学习周期为0.5 s分别有海流干扰和无海流干扰情况分别仿真，以三维螺旋曲线为目标轨迹进行跟踪，轨迹方程为

$ x = 150\sin \left( {0.01t} \right),y = 150\cos \left( {0.01t} \right),z = 0.3t $

设z轴向下为正，期望轨迹的起点为(0，150，0), UUV的运动起点为(30，-10，20)，给其扰动量(可视为稳定扰动)分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {0 < {T_1} \le 500} \right) \sim \left( {700 < {T_3} \le 800} \right)\\ f = \sin \left( {0.01t} \right) + 1.5\cos \left( {0.01t + {\rm{ \mathsf{ π} }}/4} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;0.5\sin \left( {0.01t + {\rm{ \mathsf{ π} }}/6} \right)\\ {\tau _{d1}} = {\tau _{d2}} = {\tau _{d3}} = 2f\\ {\tau _{d5}} = {\tau _{d6}} = 5f \end{array} \right. $

(17)

在500~700 s扰动量变化为式(18)来模拟乱流，在700~800 s扰动又恢复为稳定扰动。

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {500 < {T_2} \le 700} \right)\\ f = \sin \left( {0.01t} \right) + 1.5\cos \left( {0.01t + p/4} \right) + \\ \;\;\;\;\;\;\;0.5\sin \left( {0.01t + p/6} \right)\\ {\tau _{d1}} = 20f;{\tau _{d2}} = 40f;{\tau _{d3}} = 30f;\\ {\tau _{d5}} = 17f;{\tau _{d6}} = 17f; \end{array} \right. $

(18)

神经网络中$ \mathit{\boldsymbol{\hat W}}_1^{\rm{T}}{h_1} $包含150个神经元，即l₁=150，中心向量c_i(i=1, 2, …, l₁)均匀分布在[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]，宽度b₁=4；同理，$ \mathit{\boldsymbol{\hat W}}_2^{\rm{T}}{h_2} $包含100个神经元，l₂=100中心向量c_i(i=1, 2, …, l₁)均匀分布在[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]，选取宽度b₂=4；$ \mathit{\boldsymbol{\hat W}}_3^{\rm{T}}{h_3}$包含175个神经元，l₃=175中心向量c_i(i=1, 2, …, l₁)均匀分布在[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]，宽度b₃=3；神经网络$ \mathit{\boldsymbol{\hat W}}_4^{\rm{T}}{h_4} $包含150个神经元，l₄=150，均匀分布在[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]，宽度b₄=3；神经网络$ \mathit{\boldsymbol{\hat W}}_5^{\rm{T}}{h_5} $包含125个神经元l₅=125均匀分布在[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10]×[-10, 10], 宽度。参数选取为

$ {k_1} = 2.5;{k_2} = 1;{k_3} = 1;{c_1} = 0.8, $

$ {c_2} = 1.5;{c_3} = 1;{c_4} = 8, $

$ {c_5} = 4H5;{l_1} = 20;{l_2} = 12, $

$ {l_3} = 20;{l_4} = 15;{l_5} = 120, $

船体运动仿真参数为

$ m = 3400\;{\rm{kg}};{I_z} = {I_y} = 7359.7, $

$ {X_u} = - 137;{X_u} = 21.125;{X_{\left. u \right|\left. u \right|}} = 120.4, $

$ {X_{rr}} = 2740;{X_{vr}} = 1373.25;{X_{wq}} = 1991.3, $

$ {Y_{\dot v}} = - 346.5;{Y_v} = - 248.6;{Y_{\left. v \right|\left. v \right|}} = - 929.5, $

$ {Y_r} = 521.78;{Y_{\left. {rr} \right|}} = 9639.4;{Y_{ur}} = 3803.55, $

$ {Z_{\dot v}} = - 3468.5;{Z_{\dot q}} = - 5517.2;{Z_{qq}} = - 253.5, $

$ {Z_{uq}} = - 3762.4;{Z_{\left. w \right|\left. w \right|}} = - 4436.25;{Z_w} = - 248.6, $

$ {Z_q} = - 521.78;{N_{\dot r}} = - 5517.2;{N_{\dot v}} = - 1338, $

$ {N_r} = - 3456.7;{N_{uv}} = - 4943.25;{N_{\left. v \right|\left. v \right|}} = 3432.8, $

$ {N_{\left. r \right|\left. r \right|}} = - 696.2;{{M'}_{\dot q}} = - 5517.2;{{M'}_q} = - 789, $

$ {M_{\dot w}} = - 1338.8;{M_{uw}} = - 823.88, $

$ {M_{\left. w \right|\left. w \right|}} = - 1573;{M_{\left. q \right|\left. q \right|}} = - 6967 $

在无海流扰动情况下进行仿真，跟踪效果如图 3和图 4，从中可以看出存在稳定扰动的情况下，跟踪轨迹在160 s左右跟踪上了期望轨迹，并且抖动范围很小，能很好的跟踪上目标曲线。

从图 3可以看出当扰动突然增加后，跟踪轨迹总体仍是稳定的。原设计500~700 s是扰动突然增加时间段，由扰动突然增加而引起的轨迹抖动到560 s左右开始出现，持续了30 s跟踪系统逐渐趋于稳定。从图 4中可以看出500~700 s扰动突然增加时间段对UUV的运动姿态ψ、θ影响还是挺大的，但整体的误差$ e = \sqrt {1 + x_{_e}^{^2} + y_{_e}^{^2} + z_{_e}^{^2}} $还是趋于1的，即误差$ x_{_e}^{^2} + y_{_e}^{^2} + z_{_e}^{^2} \approx 0 $，从而说明系统依然是稳定的。

从图 4可以看出状态误差和位置误差都在零值附近，图 5在500~700 s线速度控制出现了漂移，图 6在500~700 s控制力矩τ_q、τ_u出现了很大的抖动，说明力矩在这个时间段内产生作用。此外，对目标运动轨迹可以精准的跟踪，同时轨迹波动很小，说明反步法与神经网络结合起来对UUV的轨迹跟踪能够很好的控制。运用RBF神经网络来对扰动量进行估计，尤其当遇到突变的扰动量时也能很好的估计，从而快速响应控制力矩达到系统稳定的目的，从而减小不确定外力对系统总体运动的影响。

4 结论

1) 通过结合反步法和自适应RBF神经网络方法设计了虚拟速度控制器，并运用李雅普诺夫稳定理论证明了该控制系统误差最终一致有界。

2) 对流体中不存在海流和存在海流的情况分别进行仿真，从两个仿真结果看出反步法结合RBF神经网络控制方法在系统参数不精确和存在时变扰动情况下对UUV三维轨迹跟踪是有效的，能够实现三维轨迹较精确跟踪控制，达到了预期的目的。

3) 仿真存在一定的局限性，条件过于理想；并且由于硬件条件以及算法复杂程度的限制，尚未进行实物试验，仅进行了仿真。

希望在本次研究的基础上进行更深入的总结，并进行适当地简化，为以后进行实际UUV试验打下基础。