1938年，Anderson提出了比面积原理，认为叶轮和蜗壳共同决定离心泵的最高效率点^[1-3], 随后Worster^[4]从理论上证明了比面积原理的科学性。近二十年来，诸多学者针对比面积原理在流体机械中的应用进行了深入的研究^[5-6]，魏清顺等^[7]研究了面积比，发现当离心泵获得较高的扬程时叶轮和蜗壳的面积比应小于1；杨军虎等^[8]根据比面积原理，建立了低比转速离心泵加大流量设计法及蜗壳第八断面计算方法；赵宇等^[9]提出了一种基于代理模型的优化设计方法，并应用于串列泵的优化设计，探讨了泵关键设计参数对串列泵性能的影响；江伟等^[10]基于叶片载荷分布规律，对比了离心泵叶轮水力性能和气蚀性能的影响，研究结果为离心泵叶轮三元反问题设计提供一定的理论依据。

目前，基于比面积原理，研究离心泵叶轮和蜗壳之间的参数匹配关系已趋于成熟，而针对离心泵叶轮和径向导叶之间参数匹配规律的研究极少。传统的径向导叶设计法先确定导叶进口宽度b₃，由b₃根据经验公式得到导叶进口安放角α₃，最后由α₃按经验公式得到导叶叶片数Z_D^[11-14]。这种方法受限于统计数据和经验，没有考虑泵叶轮和径向导叶的协同关系，且导叶几何参数取值的自由度大，难以保证导叶的性能。因此，本文利用比面积原理，对核主泵叶轮和径向导叶参数匹配关系进行探讨，对两者进行协同设计和参数优化，改善动静叶间的匹配关系，从而提高泵的效率和水力稳定性^[15-16]。

1 研究对象与模型建立 1.1 额定参数

本文以一台核主泵模型为研究对象，核主泵过流部件包括叶轮、径向导叶和环形蜗壳。表 1为泵的额定参数，表 2为叶轮和导叶主要几何参数。

1.2 比面积的定义及控制因素

文献[14]将离心泵蜗壳的喉部面积和叶轮出口面积之比，定义为无量纲参数比面积。为了建立叶轮与径向导叶几何参数的协同关系，引入比面积的概念，并定义为导叶叶片进口有效面积和叶轮叶片出口有效过流面积之比，即比面积定义为

$ \xi = \frac{{{F_{D1}}}}{{{F_I}}} $

(1)

式中：F_D1为导叶叶片进口有效过流面积，m²；F_I为叶轮叶片出口有效过流面积，m²。

$ \left\{ \begin{array}{l} {F_{{\rm{D1}}}} = {\rm{ \mathsf{ π} }}{D_3}{b_3}{\psi _3}\sin {\alpha _3}\\ {F_I} = {\rm{ \mathsf{ π} }}{D_2}{b_2}{\psi _2}\sin {\beta _2} \end{array} \right. $

(2)

$ \left\{ \begin{array}{l} {\psi _3} = 1 - \frac{{{\delta _3}{Z_D}}}{{{D_3}{\rm{ \mathsf{ π} }}\sin {\alpha _3}}}\\ {\psi _2} = 1 - \frac{{{Z_I}{\delta _2}}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{D_2}}}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\cos {\beta _2}}}{{\sin {\lambda _2}}}} \right)}^2}} \end{array} \right. $

(3)

式中：ψ₃为导叶进口排挤系数；ψ₂为叶轮出口排挤系数；δ₃为导叶叶片进口厚度，δ₃取值为0.003 m；δ₂为叶轮叶片出口厚度，δ₂取值为0.005 m；其中λ₂=90°为叶轮出口轴面截线与流线夹角。上述涉及的几何参数在叶轮和导叶结构图的定义如图 1所示。

研究表明，当叶轮扬程大于35 m，叶轮效率大于94%时，泵的水力性能可以满足设计要求。因此，本文旨在获得优秀叶轮水力模型的基础上，开展ξ对泵水力性能和内部流动特性影响的机理研究, 且ψ₂=0.956，F_I=0.016 76 m²，联立式(1)~(3)得到

$ \xi = 59.6659{b_3}\left( {{\rm{ \mathsf{ π} }}{D_3}\sin {\alpha _3} - {Z_{\rm{D}}}{\delta _3}} \right) $

(4)

式(4)表明，影响ξ的几何参数分别为：D₃、b₃、Z_D、δ₃和α₃。上述参数中，可根据D₂确定D₃。首先，为了考虑几何参数对ξ的影响，优先在S₁和S₂两类相对流面上选择参数，即叶片型线对内流影响显著的S₁流面和轴面流道对内流影响显著的S₂流面。其次，由于α₃受到b₃和Z_D的约束，可通过控制α₃、b₃和Z_D的匹配关系改变F_D，因此S₂流面选择b₃，S₁流面选择α₃和Z_D。

2 数值计算方法 2.1 三维模型建立

采用三维CAD软件及其分段建模方法，对核主泵过流部件各水体进行三维建模，将泵计算域分为进口段、叶轮、径向导叶、环形蜗壳及出口段。为保证数值模拟结果的准确性，使流动得到充分发展，对叶轮进口段和蜗壳出口段进行了适当延伸处理, 计算域分解图如图 2所示。

2.2 数值计算方法

核主泵内部为三维不可压黏性湍流流场，建立相对坐标系的雷诺时均N-S方程，基于RNG κ-ε湍流模型和SIMPLEC算法，采用二阶迎风格式离散基本方程组, 并进行迭代求解, 代数方程迭代计算采取亚松弛，设定收敛精度为10^-4。设吸入端为velocity inlet condition，进口参考压强设为17.5 MPa；排出端设置为outflow。固壁面为无滑移壁面，近壁面按标准壁面函数法处理，叶轮与吸入端及导叶间交互面采用多重参考系。雷诺时均N-S方程可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{\bar u}_j}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} = \rho {F_i} - \frac{{\partial \bar p}}{{\partial {x_i}}} + \mu \frac{{{\partial ^2}{{\bar u}_i}}}{{\partial x_j^2}} - \rho \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {\overline {{{u'}_i}{{u'}_j}} } \right) - }\\ {\rho \overline {{{u'}_i}{{u'}_j}} = {\mu _t}\left( {\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {{\bar u}_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) - \frac{2}{3}\left( {\rho k + {\mu _t}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_i}}}} \right){\delta _{ij}}} \end{array} $

(6)

式中：ρ为流体密度；$ -\rho \overline {{{u'}_i}{{u'}_j}} $为平均雷诺应力；μ_t为湍流粘性系数，是湍动能κ和湍流耗散率系数ε的函数；δ_ij为克罗内克尔数。

采用RNG κ-ε模型使雷诺平均方程封闭，其形式为

$ \rho \frac{{{\rm{d}}k}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\alpha _k}{\mu _{eff}}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right) + 2{\mu _t}{{\mathit{\boldsymbol{\bar S}}}_{ij}}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} - \rho \varepsilon $

(7)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\rho \frac{{{\rm{d}}\varepsilon }}{{{\rm{d}}t}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{\alpha _\varepsilon }{\mu _{eff}}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}} \right) + 2{C_{1\varepsilon }}\frac{\varepsilon }{k}{v_t}{{\mathit{\boldsymbol{\bar S}}}_{ij}}\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} - }\\ {R - {C_{2\varepsilon }}\rho \frac{{{\varepsilon ^2}}}{k}} \end{array} $

(8)

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar S}}}_{ij}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {{\bar u}_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right),{\mu _{{\rm{eff}}}} = {\mu _t} + \mu $

(9)

$ R = \frac{{{C_\mu }\rho {\eta ^3}\left( {\frac{{1 - \eta }}{{{\eta _0}}}} \right)}}{{1 + \beta {\eta ^3}}}\frac{{{\varepsilon ^2}}}{K},\eta = \frac{{Sk}}{\varepsilon } $

(10)

式中：S_ij为应变率张量；R为ε方程中的附加源项，表示平均应变率对ε的影响；模型参数C_μ＝0.084 5，C_1ε＝0.42，C_2ε＝1.68，α_k＝1.0，α_ε＝0.769，β＝0.012，η₀＝4.38。

2.3 网格划分与定解条件

计算域采用结构网格和非结构网格拼接的混合网格, 为了验证网格的无关性条件，对网格数分别为603.8万、1 141万和1 537.9万的实体模型进行了数值预测，其效率的最大误差为0.78%，扬程的最大误差为0.18 m，最终确定模型网格数为1 141万。

3 导叶进口参数的选择 3.1 导叶进口宽度匹配方案

考虑b₃对泵性能的影响，选取导叶最佳轴面投影尺寸，在此基础上，保持b₂和b₄恒定，则b₃存在3种关系：b₂=b₃ < b₄、b₂ < b₃ < b₄、b₂ < b₃=b₄，如图 3所示。b₃分别取值为40、52和65 mm，在此基础上, 得到泵水力性能最优条件下b₃的最佳值。

3.2 导叶进口宽度对外特性的影响

为了定量描述液体在导叶流道内的损失，定义导叶流道内水头损失为

$ {L_{\rm{D}}} = \frac{{{P_{{\rm{Tout}}}} - {P_{{\rm{Tin}}}}}}{{\rho g}} $

(11)

式中：P_Tout为过流部件出口总压，kPa；P_Tin为过流部件进口总压，kPa。

如图 4所示的数值计算结果表明，模型泵H和η均随b₃的增大而减小，η变化较显著(减小5%)；H相对较小，约为1.5 m，轴功率P_e随b₃增大，增加1 kW，叶轮扬程H_I和导叶损失L_D也随之增加，H_I变化接近1.5 m；L_D增大1.33 m；模型泵b₃=52 mm时，蜗壳损失L_V达最小值，约为0.9 m。为了探究引起外特性曲线变化规律的内在机理，需要对核主泵内部流场进行数值分析。

分析图 5表明，蜗壳内部液流的湍动能分布极不均匀，较大的湍动能对水力部件的效率产生不利影响。当b₃较大且液流扩散严重时，导叶内产生的湍流脉动向下游发展，蜗壳内低湍动能区进一步缩小。所以，为减小导叶与环形蜗壳的水力损失，应选用较小的b₃，即b₂=b₃=40 mm时，泵的综合性能较好，该结论为叶轮和导叶几何参数优化匹配研究提供了设计依据。

4 最佳比面积的影响因素分析 4.1 正交试验分析

针对b₃、α₃和Z_D，选择三水平进行方案对比。根据外特性与内部流场变化规律的分析结果，对因素的水平值进行选取，所选参数值如表 3所示。

由于选取的因素均与ξ有关，ξ受到因素之间相互关系的影响，所以采用考虑因素间交互作用的正交试验表。选择正交表L18_3_7，其中7为因素个数(三个独立因素、三个相互作用关系与误差)，3为因素水平，18为需要进行试验的次数。结果如表 4所示，其中A、B、C分别代表b₃、α₂、Z_D，A×B、A×C、B×C分别代表b₃与α₃的交互作用、b₃与Z_D的交互作用、α₃与Z_D的交互作用。

各因素不同水平对性能指标的影响存在差异，因此对结果进行极差分析，探究所选因素及其水平对性能的影响程度。定义μ_i(i=1, 2, 3)为各因素的i水平所对应指标的平均值，极差R为该因素μ_i中最大值与最小值之差，因素的极差大于误差极差时, 得到的结果较为可靠，如表 5为极差分析表。

忽略因素极差小于误差极差的因素，其余因素极差越大作用越大，将因素对核主泵作用大小排列如图 6所示，表 6为交互作用对η影响的分析结果。

4.2 最优方案试验验证

采用正交试验法，并不能涵盖所有组合的方案，使泵的η更高。因此，可按因素水平均值的大小进一步分析最优组合方案。可以看出，对泵外特性作用最显著的因素是b₃；在极差表中发现，b₃取水平1，即40 mm时H最高，故b₃=40 mm；其次，对H作用显著的因素是Z_D，Z_D取水平2, 即Z_D=7，据此可确定b₃和Z_D的匹配方案，两者的交互作用的显著性最弱，故不再考虑；对η而言，b₃的影响最显著，根据极差选择的水平与H一致，即40 mm。另外，需分析b₃与α₃的交互作用，如表 4所示，在b₃已确定条件下，在A水平1下选择α₃水平3即20°，根据极差表选取Z_D=7，因此，可确定最优比面积ξ_opt的参数组合方案为：b₃=40 mm、α₃=20°、Z_D=7，ξ=0.835。

基于ξ_opt=0.835，对核主泵进行样机制造和试验验证，试验结果如图 7所示，结果表明ξ=0.835时，对比额定工况下数值计算和外特性试验结果，扬程计算值比试验值高5.8%，效率计算值比试验值高3.7%，核主泵的性能指标满足设计要求。

5 比面积对水力性能的影响 5.1 比面积对外特性的影响

H、η和ξ的关系曲线如图 8所示，ξ和H、η的变化趋势基本一致。当ξ≤0.803时，ξ-H特性曲线随ξ的增大呈逐渐减小的趋势，ξ=0.803时ξ-H特性曲线达最小值, 此时H_min=26 m；当ξ≤0.786时，ξ-η特性曲线随ξ的增大呈先增大后减小的趋势，ξ=0.713时达极大值(η=83.13%)，ξ=0.786时达极小值(η=81.85%)。在0.786≤ξ≤0.939时，ξ-η特性曲线呈现先增大后减小的趋势，ξ=0.835时，ξ-η特性曲线达最大值(η_max=83.83%)，随后ξ-η特性曲线陡降，当ξ=0.939时ξ-η特性曲线达极小值。同样的，在0.803≤ξ≤0.939时，ξ-H特性曲线也呈现先增大后减小的趋势，ξ=0.874时，ξ-H特性曲线达最大值(H_max=27.12 m)，随后ξ-H特性曲线陡降，在ξ=0.939时ξ-H特性曲线达极小值H=26.14 m。

虽然数值预测存在难以避免的误差，个别数据点有可能偏离实际情况，但极值点附近的数据点变化趋势一致，所以，反映ξ对H和η特性曲线的影响规律是可信的。上述研究表明:特性曲线的极值中，当ξ=0.835时，ξ-η特性曲线和ξ-H特性曲线几乎同时达最大值，此时泵的效率最高，泵的扬程接近最大值，此时，效率为83.83%，扬程为26.67 m；叶轮和导叶的匹配度最优。

在特性曲线上选取具有代表性的样本，观察ξ对外特性及内部流场的影响，选取三个典型ξ值作为特征点，取ξ分别为0.706、0.827、0.874的模型泵作为对象，揭示ξ对模型泵内部流动特征及其参数分布规律的影响，所选特征点导叶参数如表 7所示。

5.2 比面积对内部流场的影响

如图 9所示，导叶进口处静压分布较差，液流进入导叶且与导叶叶片前缘发生撞击，使动静叶交界面产生流动干涉效应；另一方面，由于叶轮叶片压力面与吸力面存在一定压差，液流在叶轮出口侧易产生二次流动。当ξ=0.874时，叶轮出口侧和导叶的静压值较高，即ξ和H有关，当ξ较大时，液体从叶轮出口流向导叶进口过程中受到过流部件的约束和控制作用更小，动静叶交界面处液流的做功能力和水力稳定性显著增强。

如图 10所示，鉴于泵叶轮流道过流面积呈先增大后减小的趋势，所以速度值也呈减小后增大，最低速度位于流线相对位置0.6处，此位置过流面积达最大值；ξ对上游叶轮流道速度分布的影响仅局限在叶轮出口区域，考虑到叶轮出口吸力面侧易产生流动分离，所以流道后段产生加速，可使流动分离点向出口偏移，有利于改善叶轮内部流态。导叶内部液流速度呈减小的趋势，导叶叶片前缘区域，ξ对液流速度的影响较显著：研究表明，考虑到导叶的扩压作用，理想条件下，当导叶内部速度值呈线性下降趋势时，导叶内部流道H_L达最小值，导叶叶片对液流的控制力较强。基于上述结论，在0.786≤ξ≤0.874时选择最优ξ，CFD对比表明，当ξ=0.835时，L_D达最小值。

如图 11为湍动能云图，对比ξ为0.706、0.827和0.874时，叶轮和导叶流道内部湍动能分布规律，发现ξ=0.827时，叶轮、导叶和环形蜗壳内部湍动能分布较为均匀，各过流部件内部液流的湍流耗散较小，且ξ=0.835时，ξ-η特性曲线和ξ-H特性曲线均达到最大值附近，表明最优ξ_opt=0.835。

当ξ=0.706和0.874时，导叶和环形蜗壳内部湍流耗散较为明显，高湍动能区集中在导叶流道内部。特别当ξ=0.874时，泵内湍流脉动加剧，导叶内部高湍动能区最为明显，主要集中在导叶叶片进口位置的吸力面侧，此时液体从叶轮出口向导叶进口运行过程中，流道面积突扩，导致导叶局部区域产生明显的漩涡和二次流，使泵内部流动损失增大，所以选择合理的ξ值可抑制动静叶栅内部结构产生漩涡和二次流。外特性试验和内部流动分析均表明，ξ_opt=0.835时，核主泵动静叶栅的几何参数匹配度达最优。

6 结论

1) 在核主泵叶轮水力性能达最优条件下，通过理论推导，得到了比面积ξ和导叶几何参数的数学方程，表明D₃、b₃、Z_D、δ₃和α₃对比面积ξ有显著影响。

2) 数值和试验结果均表明，比面积ξ对核主泵的扬程和效率影响显著，比面积ξ反映了核主泵叶轮和导叶之间的多参数匹配关系，通过正交实验，可以获得核主泵叶轮和导叶最优比面积ξ_opt。

3) 数值分析表明，比面积ξ对核主泵叶轮的做功能力有较大影响，最优比面积ξ_opt时，可显著提高核主泵叶轮尾缘区叶片载荷值，使叶轮扬程显著增大；同时，还可以显著降低导叶叶片前缘区的液流速度和水力损失，提高导叶叶片前缘流道内部液流的静压恢复能力。