无人水面艇(unmanned surface vessel, USV)有体型小、机动性能强、智能程度高等特点，可以执行水质监测、海上救援和舰艇跟踪等不适合人员参与的任务，具有广泛市场应用前景。航向保持问题不仅关系到航行的经济性与安全性，更是研究自动避碰、航迹跟踪等问题的基础，所以其一直是船舶研究领域的热点^[1-3]。与普通船舶不同，USV航速快且抗扰能力弱，所以在复杂多变的海洋环境以USV的航向保持策略需要有较快的收敛速度和较强的鲁棒性。

USV航行过程中，因航速、装载和外界干扰等因素的影响，其航向保持系统存在明显的非线性特性，再加上模型参数的不确定性和未建模动态的影响，导致航向保持领域存在两个关键性问题：运动过程中的非线性；航向保持过程中的模型不确定性。目前研究航保持的策略主要包括；反步(backstepping)、滑模控制、模糊控制、自抗扰控制(ADRC)等。Fan等^[4]应用滑模控制(SMC)实现了船舶的航向和航迹控制，但SMC的高频抖振现象难以解决。为了解决抖振问题，文献[5]采用模糊滑模算法，仿真证明其性能明显优于常规的SMC控制。文献[6]为克服滑模面切换带来的抖振，提出一种新型的双曲正弦函数的指数趋近律，实现自适应调节，使切换平缓。文献[7]将ADRC与滑模方控制相结合设计航向保持控制策略，并通过坐标变化解决由风、流产生的漂角。根据万能逼近理论，模糊逻辑可逼近任意非线性函数，在文献[8-9]基础上分别采用backstepping与终端滑模和参数自适应相结合的方法设计航向控制器，但backstepping存在的“计算爆炸”问题没有得到解决。文献[10]针对船舶离散非线性系统的航向保持问题，采用单一神经网络逼近系统所有未知部分，有效的减轻了“计算爆炸”问题。由于大部分文献都是针对桨—舵推进的大型船舶研究航向保持问题，但其在一定程度上并不适用于吊舱推进的小型USV。

本文通过MMG(manoeurring mathematical model group)分离建模的思想建立吊舱推进USV三自由度模型，然后在受力分析和假设的基础上将MMG模型化简为响应型船舶运动模型。在得到响应模型后，基于多模态控制思想提出快速收敛航向保持策略，并通过径向基(RBF)神经网络^[11-12]万能逼近解决了模型不确定性问题，然后通过扰动观测器、饱和函数和模糊软切换降低了系统的抖振。最终通过仿真验证本文提出航向保持策略的快速性和鲁棒性。

1 吊舱推进USV建模

在实际航行过程中USV的运动状态是非常复杂的，一般情况包括前进速度u、横漂速度v、起伏速度w，艏摇角速度r、横摇角速度p及纵摇角速度q六个自由度的运动。根据现有经验，可以忽略起伏、纵摇及横摇运动，即认为船舶做平面运动，即w=p=q=0。USV的平面运动及其各个变量如图 1所示。

图 1中V表示USV运动速度，ψ表示航向角，由于吊舱不同于传统意义上的螺旋桨和舵，所以称δ为推进角。假设USV前后对称且附体坐标系的原点和重心重合，则三自由度的平面运动模型可以表示为^[13]

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {m + {m_x}} \right)\dot u - \left( {m + {m_y}} \right)vr = {X_{\rm{H}}} + {X_{\rm{P}}}\\ \left( {m + {m_y}} \right)\dot v + \left( {m + {m_x}} \right)ur = {Y_{\rm{H}}} + {Y_{\rm{P}}}\\ \left( {{I_{zz}} + {J_{zz}}} \right)\dot r = {N_{\rm{H}}} + {N_{\rm{P}}} \end{array} \right. $

(1)

式中：m为USV重量，m_x为x轴方向的附加质量，m_y为y轴方向的附加质量，I_zz为o_x轴的惯性矩，J_zz为z轴方向上的附加惯性矩。X、Y、N分别为作用在船体上的流体动力和力矩，下标H为作用于裸船体的流体动力，下标P为关于推进器的力。

参考文献[13]，作用于裸船体流体动力为

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_{\rm{H}}} = {X_0} + {X_{{\rm{Hu}}}}\Delta u\\ {Y_{\rm{H}}} = {Y_{{\rm{Hv}}}}v + {Y_{{\rm{Hr}}}}r\\ {N_{\rm{H}}} = {N_{{\rm{Hv}}}}v + {N_{{\rm{Hr}}}}r \end{array} \right. $

(2)

式中：X₀为USV在初始状态时的直航阻力，X_Hu、Y_Hv、Y_Hr、N_Hv和N_Hr是相应的水动力系数。其它参数及其推导过程请参考文献[13]。为了简化分析，我们不考虑吊舱支架、艉鳍等起到舵作用的控制面的影响。根据文献[14]，推进器(螺旋桨)推力T_P为

$ {T_P} = cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n} $

(3)

式中：δ_n为螺旋桨转速，c和d为相应常数。当推进角为δ时，各个方向的推力大小分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_{\rm{P}}} = \left( {cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}} \right)\cos \delta \\ {Y_{\rm{P}}} = \left( {cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}} \right)\sin \delta \\ {N_{\rm{P}}} = {x_{\delta s}}\left( {cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}} \right)\sin \delta \end{array} \right. $

(4)

式中：x_δs为从旋转中心到推进器支点的纵向力臂长度。假设δ为小量，所以sin δ≈δ，cos δ≈1，则式(4)可以化简为

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_{\rm{P}}} = cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}\\ {Y_{\rm{P}}} = \left( {cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}} \right)\delta \\ {N_{\rm{P}}} = {x_{\delta s}}\left( {cV{\delta _n} + d\left| {{\delta _n}} \right|{\delta _n}} \right)\delta \end{array} \right. $

(5)

因为在初始状态下，USV所受阻力等于推进器推力，所以X₀+X_P=0，即

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_{\rm{H}}} + {X_{\rm{P}}} = {X_u}\Delta u\\ {Y_{\rm{H}}} + {Y_{\rm{P}}} = {Y_{{\rm{Hv}}}}v + {Y_{{\rm{Hr}}}}r + {X_{\rm{p}}}\delta \\ {N_{\rm{H}}} + {N_{\rm{P}}} = {N_{{\rm{Hv}}}}{\rm{v}} + {N_{{\rm{Hr}}}}r + {x_{\delta s}}{X_{\rm{p}}}\delta \end{array} \right. $

(6)

将式(6)代入式(1)，再根据文献[13]的假设得

$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {m + {m_x}} \right)\Delta \dot u = {X_u}\Delta u\\ \left( {m + {m_y}} \right)\dot v = \left( {m + {m_x}} \right){u_0}r = {Y_{Hv}}v + {Y_{{\rm{Hr}}}}r + {X_p}\delta \\ \left( {{I_{zz}} + {J_{zz}}} \right)\dot r = {N_{Hv}}{\rm{v}} + {N_{Hr}}r + {x_{\delta s}}{X_p}\delta \end{array} \right. $

(7)

根据文献[13]，可以将式(7)化简为

$ T\dot r + r + \alpha {r^3} = K\delta $

(8)

式(8)是经典的Norrbin模型^[15-16]，由此可得，吊舱推进USV仍然符合Norrbin模型结构，并可以将此推论推广到一般矢量推进船舶。

2 航向保持控制策略 2.1 控制目标

选取状态变量${x_1} = \psi, {x_2} = \dot \psi = r, u = \delta $，则由式(8)得船舶运动方程

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}\\ {{\dot x}_2} = f\left( x \right) + bu + d\left( x \right)\\ y = {x_1} \end{array} \right. $

(9)

式中:f(x)=-x₂/2-αx₂³/T，b=K/T。由于受航行状态的变化和未建模动态的影响，所以f(x)是不确定的。d(x)为环境干扰且‖d(x)‖ < l_d，l_d>0。在应用过程中，输入量u的变化范围为|u|≤35°，变化速率$\left| {\dot u} \right| \le 10$。

2.2 FNTSM设计

在控制输入u的作用下，航向ψ能够跟踪目标航向x_d。

定义航向跟踪误差e₁=x₁-x_d且${e_2} = {\dot x_1}-{\dot x_{\rm{d}}}$。文献[17]给出了二阶系统的LSM和NTSM控制器设计及其稳定性证明。

LSM控制器：

设s=c₁e₁+e₂，c₁>0，其控制律为

$ u = - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {c_1}{e_2} + \left( {{l_d} + {\eta _1}} \right){\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right] $

(10)

式中η₁>0为LSM控制器的设计参数。

NTSM控制器：

设$s = {e_1} + \frac{1}{{{\lambda _1}}}e_2^{\frac{{{p_1}}}{{{q_1}}}}$，其中λ₁>0是待设计的滑模面参数，q₁和p₁是正奇数，满足p₁>q₁且1 < p₁/q₁ < 2。其控制律为

$ u = - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {\lambda _1}\frac{{{q_1}}}{{{p_1}}}e_2^{2 - \frac{{{p_1}}}{{{q_1}}}} + \left( {{l_d} + {\eta _2}} \right){\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right] $

(11)

式中η₂>0为NTSM控制器的设计参数。

针对模型的不确定性，可以通过提高控制律(10)和(11)的增益η₁和η₂来增强系统的鲁棒性，也可以提高系统的收敛速度，但会加剧系统抖振，不利于系统的稳定性。

当s=0时，LSM可以表示为

$ {e_2} = - {c_1}{e_1} $

(12)

NTSM可以表示为

$ {e_2} = {\left( { - {\lambda _1}{e_1}} \right)^{\frac{{{q_1}}}{{{p_1}}}}} $

(13)

对比式(12)和(13)，由于0.5 < q₁/p₁ < 1，当系统靠近平衡点时，NTSM的收敛速度高于LSM的收敛速度；当系统状态远离平衡点时，NTSM的收敛速度低于LSM的收敛速度。针对这一特性，结合LSM与NTSM组成FNTSM控制律，解决了NTSM的全局快速收敛的问题。FNTSM的切换函数为

$ s = \left\{ \begin{array}{l} {c_2}{e_1} + {e_2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| > \varepsilon \\ {e_1} + \frac{1}{{{\lambda _2}}}e_2^{\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| \le \varepsilon \end{array} \right. $

(14)

式中:c₂>0，λ₂>0，p₂和q₂为正奇数且1 < p₂/q₂ < 2。FNTSM的切换函数由LSM和NTSM的切换函数分段连接而成，由于LSM和NTSM各自独立，可以分别设计其控制律。根据式(10)、(11)，则FNTSM的控制律为

$ u = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {c_2}{e_2} + \left( {{l_d} + {\eta _3}} \right){\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| > \varepsilon \\ - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {\lambda _2}\frac{{{q_2}}}{{{p_2}}}e_2^{2 - \frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}} + \left( {{l_d} + {\eta _4}} \right){\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| \le \varepsilon \end{array} \right. $

(15)

在此控制律下，系统在FNTSM上的收敛时间是有限的^[18]。

2.3 扰动观测器的设计

扰动d(x)由风、流和二阶浪引起，相对USV动态这些干扰频率是很低的，所以$\dot d(x) = 0$，为了避免一阶浪对推进系统的磨损，所以在此高频扰动进系统时经滤波器祛除。

定理1  对于系统(9)在分段滑模控制律的作用下，将在有限时间内达到滑模面，并使得滑模面上的跟踪误差在有限时间内收敛到零。

由定理1可知，满足Lyapunov稳定性的一个重要条件是：系统(9)中d(x)满足‖d(x)‖ < l_d，l_d是滑模控制切换增益的组成部分，它直接决定抖振现象的严重程度。当d(x)增大时，l_d会增大，从而增大控制系统的抖振，影响系统的稳定性，为了减弱扰动量对控制系统的影响，本文设计了扰动观测器来解决上述问题。在扰动观测器下控制律为

$ u = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {c_2}{e_2} + \hat d\left( x \right) + {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| > \varepsilon \\ - \frac{1}{b}\left[ {f\left( x \right) + {\lambda _2}\frac{{{q_2}}}{{{p_2}}}e_2^{2 - \frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}} + \hat d\left( x \right) + {\eta _4}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| \le \varepsilon \end{array} \right. $

(16)

设计的扰动观测器为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot {\hat x}}_2} = f\left( x \right) + \hat d\left( x \right) + bu + {k_{1i}}{{\tilde x}_2}\\ \dot {\hat d}\left( x \right) = {k_{2i}}{{\tilde x}_2} \end{array} \right. $

式中：k_1i、k_2i>0为设计常数，i=1, 2。当|e₁|>ε时i=1；当|e₁| < ε时i=2。$\hat d(x)、{\hat x_2}$为系统状态量的观测值，${\tilde x_2} = {x_2}-{\hat x_2}$为估计误差值。

1) 当|e₁|>ε时，对式(14)进行求导:

$ \dot s = {c_2}{{\dot e}_1} + {{\dot e}_2} = {c_2}{e_2} + f\left( x \right) + bu + d\left( x \right) - {{\ddot x}_d} $

定义第一个Lyapunov函数：

$ {V_1} = \frac{1}{2}{s^2} + \frac{1}{{2{k_{21}}}}\tilde d{\left( x \right)^2} + \frac{1}{2}\tilde x_2^2 $

(17)

对式(17)求导得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_1} = s\dot s + \frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} = }\\ {s\left[ {d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) - {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right)} \right] + }\\ {\frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d\left( x \right)\left( {\dot d\left( x \right) - \dot {\hat d}\left( x \right)} \right) + {{\tilde x}_2}\left( {{{\dot x}_2} - {{\dot {\hat x}}_2}} \right) = }\\ {s\left[ {\tilde d\left( x \right) - {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right)} \right] - {k_{11}}\tilde x_2^2 \le }\\ { - \left( {{\eta _3} - \tilde d\left( x \right)} \right) - {k_{11}}\tilde x_2^2} \end{array} $

取${\eta _3} > \left| {\tilde d(x)} \right|$，k₁₁>0，则${\dot V_1} \le 0$。

所以在Lyapunov意义下是渐进稳定的。

2) 当$\left| {{e_1}} \right| \le \varepsilon $时，对式(14)求导:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot s = s\left( {{e_2} + \frac{1}{{{\lambda _2}}}\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}e_2^{\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}} - 1}{{\dot e}_2}} \right) = }\\ {{e_2} + \frac{1}{{{\lambda _2}}}\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}e_2^{\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}} - 1}\left( {f\left( x \right) + bu + d\left( x \right) - {{\ddot x}_d}} \right)} \end{array} $

设$\phi ({e_2}) = \frac{1}{{{\lambda _2}}}\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}e_2^{\frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}-1}$，则

$ \dot s = {e_2} + \phi \left( {{e_2}} \right)\left( {f\left( x \right) + bu + d\left( x \right) - {{\ddot x}_d}} \right) $

定义第二个Lyapunov函数：

$ {V_2} = \frac{1}{2}{s^2} + \frac{1}{{2{k_{22}}}}\tilde d{\left( x \right)^2} + \frac{1}{2}\tilde x_2^2 $

(18)

对式(18)求导得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_2} = s\dot s + \frac{1}{{{k_{22}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} = }\\ {s\phi \left( {{e_2}} \right)\left[ {\tilde d\left( x \right) - {\eta _4}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right)} \right] - {k_{12}}\tilde x_2^2 \le }\\ { - \phi \left( {{e_2}} \right)\left( {{\eta _4} - \tilde d\left( x \right)} \right)\left| s \right| - {k_{12}}\tilde x_2^2} \end{array} $

取${\eta _4} > \left| {\tilde d(x)} \right|$且ϕ(e₂)>0，k₁₂>0，则${\dot V_2} \le 0$。

所以在Lyapunov意义下是渐进稳定的。另外对比两次控制输入可知，采用扰动观测器后扰动项由d(x)变成了${\tilde d(x)}$, 降低了符号函数的控制增益，有效地减弱了抖振现象。

2.4 模型不确定性

因为f(x)未知，上述控制律便不适用。为了解决这个问题，本文采用RBF^[19]逼近定理使${\hat f(x)}$逼近f(x)。

当|e₁|>ε时，

$ f\left( x \right) = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{h}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + {\omega _1},\hat f\left( x \right) = {{\mathit{\boldsymbol{\hat W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{h}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)。$

当|e₁|≤ε时，

$ f\left( x \right) = {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\xi }}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + {\omega _2},\hat f\left( x \right) = {{\mathit{\boldsymbol{\hat \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\xi }}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)。$

ω₁和ω₂分别为理想神经网络逼近f(x)的误差，

$ \tilde f\left( x \right) = f\left( x \right) - \hat f\left( x \right),\mathit{\boldsymbol{\tilde W}} = \mathit{\boldsymbol{W}} - \mathit{\boldsymbol{\hat W}},\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }} = \mathit{\boldsymbol{\varphi }} - \mathit{\boldsymbol{\hat \varphi }}。$

分别取自适应率为

$\boldsymbol{\dot {\hat W}} = {\gamma _1}s\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})$，γ₁为大于零的参数

$\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \varphi} }} = {\gamma _2}s\phi ({e_2})\mathit{\boldsymbol{\xi }}(\mathit{\boldsymbol{x}})$，γ₂为大于零的参数

则控制律为

$ u = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{b}\left[ {\hat f\left( x \right) + {c_2}{e_2} + \hat d\left( x \right) + {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| > \varepsilon \\ - \frac{1}{b}\left[ {\hat f\left( x \right) + {\lambda _2}\frac{{{q_2}}}{{{p_2}}}e_2^{2 - \frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}} + \hat d\left( x \right) + {\eta _4}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right],\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {{e_1}} \right| \le \varepsilon \end{array} \right. $

(19)

当|e₁|>ε时,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot s = {c_2}{{\dot e}_1} + {{\dot e}_2} = }\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{h}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) - {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) + {\omega _1}} \end{array} $

定义第三个Lyapunov函数:

$ {V_3} = \frac{1}{2}\left( {{s^2} + \frac{1}{{{\gamma _1}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde W + }}\frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d{{\left( x \right)}^2} + \tilde x_2^2} \right) $

(20)

对式(20)进行求导得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_3} = s\dot s - \frac{1}{{{\gamma _1}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W} + }}\frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} = }\\ {s\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{h}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) - {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) + {\omega _1}} \right) - }\\ {\frac{1}{{{\gamma _1}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat W} + }}\frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} \le }\\ {s\left[ {\tilde d\left( x \right) - {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) + {\omega _1}} \right] - \tilde d\left( x \right){{\tilde x}_2} + }\\ {{{\tilde x}_2}\left( {d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) - {k_{11}}{{\tilde x}_2}} \right) \le }\\ { - \left( {{\eta _3} - \tilde d\left( x \right) - {\omega _1}} \right)\left| s \right| - {k_{11}}\tilde x_2^2} \end{array} $

取${\eta _3} > \left| {\tilde d(x)} \right| + {\omega _{1\max }}, {k_{11}} > 0$，则${\dot V_3} \le 0$。

所以在Lyapunov意义下是渐进稳定的。

当|e₁|≤ε时,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot s = {e_2} + \phi \left( {{e_2}} \right)\left( {f\left( x \right) + bu + d\left( x \right) - {{\ddot x}_d}} \right) = }\\ {\phi \left( {{e_2}} \right)\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\xi }}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) - {\eta _4}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) + d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) + {\omega _2}} \right)} \end{array} $

定义第四个Lyapunov函数:

$ {V_4} = \frac{1}{2}\left( {{s^2} + \frac{1}{{{\gamma _2}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi + }}\frac{1}{{{k_{22}}}}\tilde d{{\left( x \right)}^2} + \tilde x_2^2} \right) $

(21)

对公式(21)进行求导得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_4} = s\dot s - \frac{1}{{{\gamma _2}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \varphi} }} + \frac{1}{{{k_{22}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} = }\\ {s\phi \left( {{e_2}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\xi }}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) - \frac{1}{{{\gamma _2}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde \varphi }}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \varphi} }} + s\phi \left( {{e_2}} \right)\left( { - {\eta _4}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) + } \right.}\\ {\left. {d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) + {\omega _2}} \right) + \frac{1}{{{k_{22}}}}\tilde d\left( x \right)\dot {\tilde d}\left( x \right) + {{\tilde x}_2}{{\dot {\tilde x}}_2} \le }\\ {\phi \left( {{e_2}} \right)\left( {s{\omega _2} + s\tilde d\left( x \right) - {\eta _4}\left| s \right|} \right) - \tilde d\left( x \right){{\tilde x}_2} + }\\ {{{\tilde x}_2}\left( {d\left( x \right) - \hat d\left( x \right) - {k_{12}}{{\tilde x}_2}} \right) \le }\\ { - \phi \left( {{e_2}} \right)\left| s \right|\left( {{\eta _4} - \tilde d\left( x \right) - {\omega _2}} \right) - {k_{12}}\tilde x_2^2} \end{array} $

取${\eta _4} = \left| {\tilde d(x)} \right| + {\omega _{2\max }} + \sigma $

式中:σ>0，ϕ(e₂)>0，k₁₂>0，则

$ {{\dot V}_4} \le - \phi \left( {{e_2}} \right)\sigma \left| s \right| - {k_{12}}\tilde x_2^2 \le 0 $

所以在Lyapunov意义下是渐进稳定的。

定义函数

$ \Xi \left( t \right) = \phi \left( {{e_2}} \right)\sigma \left| s \right| + {k_{12}}\tilde x_2^2 = - {{\dot V}_5} $

(22)

将式(22)两边对时间求积分，可得

$ \int_0^t {\Xi \left( \tau \right){\rm{d}}\tau } = {V_5}\left( {s\left( 0 \right),{{\tilde x}_2}\left( 0 \right)} \right) - {V_5}\left( {s\left( t \right),{{\tilde x}_2}\left( t \right)} \right) $

由于${\dot V_5} \le 0$，从而可以得出V₅(t)为非增函数，而V₅(s(0), ${\tilde x_2}$(0))是有界的，所以V₅(s(t), ${\tilde x_2}$(t))≥0，所以0≤V₅(s(t), ${\tilde x_2}$(t))≤∞，因此下式一定成立：

$ \int_0^t {\Xi \left( \tau \right){\rm{d}}\tau } < \infty $

显然，$\mathit{\dot \Xi }(\tau )$也是有界的，由Barbalat引理，有$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \mathit{\dot \Xi }(t) = 0$。这表明当t→∞时，有s(t)→0，${{\tilde x}_2}$(t)→0，进而e₁(t)→0，e₂(t)→0也成立。综上所述：当|e₁|≤ε时，选取控制律(19)时，通过选取适当参数，可使系统全局渐进稳定。

2.5 减弱抖振

由于开关函数的不连续性，在滑模面附近来回穿越形成抖振。抖振不仅影响控制的精度，还会激发高频未建模动态，所以必须对抖振加以限制。因为快速性主要体现在LSM阶段，而鲁棒性主要体现在NTSM的滑动模态，所以在|e₁|>ε时，仍采用符号函数sgn(s)，当|e₁|≤ε采用饱和函数sat(s)代替符号函数。

$ {\rm{sat}}\left( s \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,\;\;\;\;\;\;\;s > \Delta \\ \sigma s,\;\;\;\;\;\left| s \right| \le \Delta \\ - 1,\;\;\;\;\;s < - \Delta \end{array} \right. $

(23)

式中: $\sigma = \frac{1}{\mathit{\Delta }}$，Δ称为边界层。

采用模糊加权方法来转化切换过程中系统参数变化带来的抖振，提高系统的暂态响应。其基本思想是:根据系统状态误差，运用模糊推理方法，得到切换过程中LSM控制器控制增益v，则NTSM控制器增益为1-v，并由此来加权两个模态的增益向量来设计切换控制器。

1) 模糊控制器为单输入单输出系统。输入为系统误差将e₁，输出为LSM控制器控制增益v。首先将系统误差e₁的论域归一化为[-6  6]，输出v的论域为[0  1]，其隶属函数分别如图 2和3所示。

2) 控制规则为当系统误差|e₁|减小时，控制增益v也减小，控制规则如图 4所示。

3) 模糊推理采用Zadeh和Max-min法，反模糊化采用centroid面积重心法。

至此，最终的控制律为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {u = \left[ { - {b^{ - 1}}\left[ {\hat f\left( x \right) + {c_2}{e_2} + \hat d\left( x \right) + {\eta _3}{\mathop{\rm sgn}} \left( s \right) - } \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {{{\ddot x}_d}} \right]} \right]v + \left[ { - {b^{ - 1}}\left[ {\hat f\left( x \right) + {\lambda _2}\frac{{{q_2}}}{{{p_2}}}e_2^{2 - \frac{{{p_2}}}{{{q_2}}}} + \hat d\left( x \right) + } \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {{\eta _4}{\rm{sat}}\left( s \right) - {{\ddot x}_d}} \right]} \right]\left( {1 - v} \right)} \end{array} $

(24)

2.6 切换系统的稳定性

本文在不同的误差范围内，使用LSM或NTSM，分别针对不同的控制器证明了稳定性。考虑到在FNTSM下，系统为一切换系统，因此应该针对切换系统的特点，进行更为严格的稳定性证明。

切换系统稳定性分析建立在Lyapunov稳定性理论基础上，已有的研究结果主要有公共Lyapunov函数法、多Lyapunov函数法、驻留时间法等。多Lyapunov函数法的基本思想是通过为每个子系统构造相应的Lyapunov函数，并比较切换时刻的Lyapunov函数值的大小来研究切换系统的稳定性。根据多Lyapunov函数法思想，Johansson等^[20]提出了分段连续Lyapunov函数法，即每个子系统可以找到一个Lyapunov函数，且该函数是递减的；在切换时刻上，参与切换的两个子系统的Lyapunov函数相等，则切换系统是渐进稳定的^[21]。

首先，使用分段连续Lyapunov函数法证明系统的稳定性。

1) 在第2.4节，已经证明${{\dot V}_3} \le 0$且${{\dot V}_4} \le 0$，即这两个Lyapunov函数都是递减的。

2) 正如2.4节中对稳定性分析所示，

$ {V_3} = \frac{1}{2}\left( {{s^2} + \frac{1}{{{\gamma _1}}}{{\tilde W}^T}\tilde W + \frac{1}{{{k_{21}}}}\tilde d{{\left( x \right)}^2} + \tilde x_2^2} \right) $

(25)

$ {V_4} = \frac{1}{2}\left( {{s^2} + \frac{1}{{{\gamma _2}}}{{\tilde \varphi }^T}\tilde \varphi + \frac{1}{{{k_{22}}}}\tilde d{{\left( x \right)}^2} + \tilde x_2^2} \right) $

(26)

在相应参数选择合理的情况下，V₃=V₄。所以，根据分段连续Lyapunov函数法可以证明切换系统是渐进稳定性的。

其次，如果不同模态之间的切换采用硬切换，可能会引起系统状态的大幅度跳变，导致系统的不稳定。为解决这一问题，可以采用软切换策略。例如文献[22]设计惯性环节切换控制律完成高低转速控制器间的切换，虽然取得了良好控制效果，但引入了非线性因素。文献[23]针对民航客机不同模态间的切换，引入惯性延迟淡化器抑制切换瞬态，这种切换方法结构简单，适用于控制律变化不大的模态切换过程。本文在2.5节使用模糊来实现软切换，在一定程度上也保证了切换系统的稳定性。

3 航向保持模拟仿真

为了验证本文所设计的快速终端滑模航向保持策略正确性，对大连海事大学“蓝信”号吊舱推进无人艇进行航向保持仿真研究。当USV以9 kn的速度行驶时，方程(9)中船舶运动模型主要参数为K=0.707，T=0.332，α=0.001。选取控制律(24)的控参数c₂=0.45，η₃=12，λ₂=1.3，p₂=11，q₂=9，Δ=1，η₄=3, k₁₁=2，k₂₁=10，k₁₂=1，k₂₂=15，γ₁=3.5，γ₂=4.5。为了对照比较，将FNTSM与典型的自适应控制算法进行对比，本文选用反步自适应控制策略，控制律如式(27)所示，具体推导过程参考文献[24]。

$ u = \hat \vartheta \bar \omega $

(27)

其中,

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot {\hat \vartheta} = - \rho {\mathop{\rm sgn}} \left( b \right)\bar \omega {z_3},}\\ {\bar \omega = \left[ { - {z_2} - \left( {{l_3} + \frac{1}{{l_4^2}}} \right){z_3} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat \theta }}}^{\rm{T}}}{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}&{x_2^3} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} + \dot \eta } \right],}\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot {\hat \theta} }} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}\left( {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}&{x_2^3} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}{z_3} - \kappa \left( {\hat \theta - {\theta _0}} \right)} \right),}\\ {{z_1} = \int {\left( {{x_1} - {x_d}} \right){\rm{d}}t} ,{z_2} = {x_1} - {x_d},{z_3} = {x_2} - \eta ,}\\ {\eta = - {l_1}{z_1} - {l_2}{z_2} + {{\dot x}_d}。} \end{array} $

参数l₁=0.01，l₂=0.6，l₃=1，l₄=1，Γ=$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$，κ=1，θ₀=[-1  -1]^T，ρ=0.2。

当外界扰动较弱取2.5sin(0.6t)时，FNTSM和反步自适应的仿真情况如图 5所示。

从图 5可以看出，当扰动为弱扰时，与反步自适应航向保持控制策略相比，本文提出的FNTSM具有较快的收敛速度和较好的航向保持能力，航向无超调且静态误差为零，这说明扰动观测器起到了良好的效果；而反步自适应策略控制下的航向有较大的波动，其绝对误差的最大值为3。从推进角的变化曲线可以看出，两个推进角变化都在合理的范围内。虽然FNTSM的推进角存在一定的抖振现象，但滑模控制的本质就是利用抖振来增强系统的鲁棒性，这是难以避免的。

为了进一步验证FNTSM的鲁棒性，在所有控制参数不变的情况下，当外界扰动较强取5×2.5sin(0.6t)时，仿真情况如图 6所示。

从图 6可以看出，当扰动为强扰时，FNTSM依然可以保持航向的稳定，无超调且其稳态误差为零。而反步自适应策略控制下的航向误差进一步变大，绝对误差的最大值为6。进一步观察推进角的比较曲线可以看出，FNTSM和反步自适应的推进角的变化在合理的范围内。综上所述：无论在弱扰动还是强扰动的作用下，FNTSM依然保持了良好的控制效果，且控制效果明显优于反步自适应航向保持策略，进一步体现了本文提出控制策略的快速性和鲁棒性。

4 结论

1) 在相同弱扰动下，FNTSM收敛速度快于反步自适应航向保持策略。

2) 在相同强扰动下，控制参数不变时，FNTSM的鲁棒性优于反步自适应航向保持策略。

3) 吊舱推进USV符合Norrbin结构可以推广到一般矢量推进船舶。

在下一步的研究中理论联系实际，将本文提出的控制策略应用于实船以验证FNTSM的有效性。