自主水下机器人(autonomous underwater vehicle, AUV)系统是一种复杂的非线性耦合系统，且外界环境干扰较难精确描述，这增加了AUV系统运动控制策略设计的难度^[1-2]。多模型控制法能够根据被控对象的控制特点设置多个子模型逼近被控对象的全局动态特性，根据各子模型特点设计相应控制策略，建立控制器集，通过模型间的稳定切换达到快速响应外界控制需求的目的^[3]。多模型切换控制的控制优势逐渐得到水下机器人运动控制领域的关注。针对复杂环境下AUV系统的运动控制特点，AGUIAR A P等构建了多模型控制技术，解决了多模型间的平滑切换问题，实现了系统全局稳定性^[4]，解决了欠驱动AUV定深、定向、回转等运动控制和路径跟踪问题^[5]。Cavalletti M等针对ROV系统运载模式不同，采用基于神经网络的切换控制策略法，通过仿真验证了切换系统的鲁棒性^[6]。文献[7]采用基于频段模型切换的多控制器法，通过仿真验证了此控制算法在4种不同海况下所具有的良好定位控制性能。文献[8]延拓了多模型控制法中的相关理论，提出了在线选取最佳控制策略的控制库法，采用基于能量函数的直接切换法，实现了控制策略的稳定转换，并实现了近水面水下机器人系统的航向控制。文献[9]通过对船舶航向模型的研究设置了多个航向控制子模型，根据这些模型设置了PID控制库，采用基于系统纵向速度、外界环境的直接切换法选取控制策略，由于采用的是直接切换法，从系统输出曲线可以看出系统在切换瞬间运动状态有较大的抖动。文献[10]通过船舶试验证明了采用PID控制、滑模控制两种控制策略相对一种控制策略具有更强抗干扰能力。基于多模型切换的多控制策略研究不仅简化了控制策略设计的难度，且针对不同控制模式设置不同控制策略，提高了系统运动控制性能。

传统多模型切换系统的研究多集中于状态空间一致的研究^[11-12]，而对于状态空间不一致的多模型切换问题的研究较少。WANG P K C等提出了状态空间缩放法(dilation and contraction)将子系统统一到相同维数下，对非同维线性多模型切换系统的稳定问题进行研究，然而，此方法增加了切换系统的维数，增加了切换策略设计的难度^[13]。

为了解决AUV系统垂直面运动状态间的强耦合性，本文设置了基于状态变量增减的多模型切换控制法。根据所研究AUV系统运动控制特点推导了相关切换控制理论，以平缓切换过程控制执行机构以及状态变量的抖动。

1 AUV垂直面运动控制模型集

AUV系统垂直面控制模型是由垂向力方程、纵倾力矩方程以及从运动坐标系到固定坐标系间的转换方程组成。文献[14]将水平面的相关状态量忽略，纵向速度作为系统的模型参数进行处理，获得AUV系统垂直面的控制模型。

假设1:纵向速度变化平缓；

假设2:为了避免所研究AUV系统在执行任务期间出现危险，通常限制纵倾角变化范围为弧度，此条件满足：$\sin θ≈θ；$

假设3:垂向速度$w$很小或可忽略不计。

根据以上三条假设构建垂直面控制模型集。

若假设1~3都满足，垂直面控制模型可设置为

$ {M_z}:\left\{ \begin{array}{l} \dot z = - u\theta \\ \left( {{I_y} - {M_{\dot q}}} \right)\dot q = {M_q}uq - hG\theta + {M_\delta }{u^2}{\delta _s}\\ \dot \theta = q \end{array} \right. $

(1)

当任务执行过程中满足预设条件1、2，垂直面控制模型为

$ {M_w}:\left\{ \begin{array}{l} \left( {m - {Z_{\dot w}}} \right)\dot w - {Z_{\dot q}}\dot q = {Z_w}uw + {Z_q}uq + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;muq + {Z_{{\delta _s}}}{\delta _s}\\ \dot z = - u\theta + w\\ \left( {{I_y} - {M_{\dot q}}} \right)\dot q - {M_{\dot w}}\dot w = {M_w}uw + {M_q}uq + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;hG\theta + {M_{{\delta _s}}}{u^2}{\delta _s}\\ \dot \theta = q \end{array} \right. $

(2)

纵倾角控制模型为

$ {M_\theta }:\left\{ \begin{array}{l} \dot \theta = q\\ \left( {{I_y} - {M_{\dot q}}} \right)\dot q = {M_q}uq - hG\theta + {M_\delta }{u^2}{\delta _s} \end{array} \right. $

(3)

式中：$M_z$、$M_w$与$M_θ$分别代表深度控制、垂向速度控制与纵倾角控制子模型；$z$为垂向轴位移，m，θ为纵倾角，rad；$u$为纵向速度，m/s；$w$为垂向速度，m/s；$q$为纵倾角速度，rad/s；$δ_s$为驱动AUV系统垂向运动的水平舵舵角，rad。其中$h$为载体的稳心高，G为载体自身的重量，$hG≈z_GW－z_BB$系统入水后所受的静力矩。其他未描述符号为水动力参数，具体含义请参见文献[14]。

由于所研究被控对象AUV系统纵倾角约束于(－25°, 25°)，所以假设2成立，本文所研究AUV系统控制执行机构为水平舵，垂向速度$w$很小满足假设3，所研究垂直面模型集由方程(1) 与方程(3) 组成。

2 非完全同态多模型切换策略

本文所研究AUV系统垂直面控制模型集主要为状态变量增减的非完全同态多模型切换问题，本文将以此为主，研究多模型切换策略的设计。

说明：1) 本节所涉及的下标含有$i,j$标号的符号或变量为模型集中所含的第$i$个或第$j$个子模型相关的符号或变量; 2) 同态是切换前后各子系统具有完全相同的状态变量。

2.1 非完全同态多模型切换系统相关定义

本节基于线性与非线性多模型稳定切换的定义，延拓了非完全同态多模型稳定切换的概念。

设非完全同态多模型切换系统描述形式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_i}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{f}}_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{g}}_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right){\delta _i}\\ {M_j}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_j} = {\mathit{\boldsymbol{f}}_j}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right) + {\mathit{\boldsymbol{g}}_j}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right){\delta _j} \end{array} \right. $

(4)

模型切换顺序为从子模型$M_i$切换到$M_j$记作${M_i{|→}M_j}$(其中|→表切换的方向)，切换后系统状态空间发生变化，由状态向量空间$\mathit{\boldsymbol{x}}_i$切换到向量空间$\mathit{\boldsymbol{x}}_j$，即系统从某一运动控制模式切换为另一运动控制模式后系统状态变量发生变化。

定义1：多模型控制策略根据系统运动状态所构建的各子模型的阶次(维数)不完全相同或状态变量不完全相同称为非完全同态多模型切换系统。水下机器人系统垂直面控制模型集:

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_z}:\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot z}\\ {\dot \theta }\\ {\dot q} \end{array}} \right] = {A_z}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z\\ \theta \\ q \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ b \end{array}} \right]{\delta _s}\\ {M_\theta }:\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot \theta }\\ {\dot q} \end{array}} \right] = {A_\theta }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \theta \\ q \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ b \end{array}} \right]{\delta _s} \end{array} \right. $

(5)

其包含运动子模型$M_z$与子模型$M_θ$，其状态变量空间不完全相同。

定义2：当系统由模型$M_i$切换到模型$M_j$后，若系统的状态向量空间$x_i$包含于状态向量空间$x_j$，即切换后的状态空间在原状态空间的基础上增加，则称为状态变量增加的非完全同态多模型切换，如式(5)，由$M_θ$切换为$M_z$。状态变量增加的多模型逆向切换即切换后的状态空间在原状态空间的基础上缩减，则称为状态变量减少的非完全同态多模型切换，如式(5)，由$M_z$切换为M_θ。

定义3^[15]：多模型切换过程中，若其输出信号连续无抖动现象，则称切换控制输出信号平稳。

定义4^[15]：若系统所含状态量在运行中无抖动且在预设范围内连续平滑运行，则称切换系统稳定。若切换过程中，各状态量在预设范围内逐渐趋近于某一定值，则称切换系统渐近稳定。

为了研究方便，本文延拓了非完全同态多模型切换控制策略。

设子模型所采用的控制律为

$ {\delta _i} = {\mathit{\boldsymbol{k}}_i}\left( {{{\tilde x}_i}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{k}}_{ij}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_j} $

(6)

模型$M_j$的控制律为

$ {\delta _j} = {\mathit{\boldsymbol{k}}_{ji}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{k}}_j}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_j}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_j} $

(7)

式中：$\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i$为系统切换后变化的状态变量，$\mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i)$、$\mathit{\boldsymbol{k}}_{ji}(\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i) \mathit{\boldsymbol{k}}_{ij}(\mathit{\boldsymbol{x}}_j)$、$\mathit{\boldsymbol{k}}_{ji} (\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i)$与$\mathit{\boldsymbol{k}}_j (\mathit{\boldsymbol{x}}_j)\mathit{\boldsymbol{k}}_j(\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_j)$为各子模型控制参数。

2.2 基于状态变量减少的多模型切换策略

模型切换过程中，系统的状态量减少即$\mathit{\boldsymbol{x}}_i={\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i∪\mathit{\boldsymbol{x}}_j}={[\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i\ \ \mathit{\boldsymbol{x}}_j]}^T$，其中$\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i$为模型切换后减少的状态变量。如式(5) 所描述的AUV深度控制模型集中的两子模型，当从子模型$M_z$切换到子模型$M_θ$后减少了状态变量$z$。

定义状态变量减少的多模型切换系统，设切换前子模型$M_{iD}$为

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_{i{\rm{D}}}}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{12}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{21}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right] + {\mathit{\boldsymbol{B}}_i}{\delta _i} $

(8)

其对应控制律为

$ {\delta _i} = {\mathit{\boldsymbol{k}}_i}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{k}}_{ij}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_j} $

(9)

式中：下标D表示切换后系统状态变量减少，$\mathit{\boldsymbol{A}}_{{**}}$为子模型系统矩阵所含的各子矩阵。子模型$M_{iD}$的控制律如式(6)。

切换后子模型$M_{jD}$为

$ {M_{j{\rm{D}}}}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_j} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{22}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_j}{\delta _j} $

(10)

由于状态向量空间$\tilde x_i$消失，子模型$M_{jD}$的控制律为

$ {\delta _j} = {\mathit{\boldsymbol{k}}_j}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_j} $

(11)

下面根据多模型切换系统的稳定判据共同Lyapunov函数法推导关于状态变量减少的非完全同态多模型稳定切换策略。

共同Lyapunov函数稳定判据^[15]：对于切换系统(4) 如果存在同一Lyapunov函数$V(x)>0$，且所有切换子模型满足条件：$\frac{\partial V(x)} {\partial x}f_l(x)\le 0(或<0),\forall l\in \{i,j\}$。

那么切换过程渐近稳定，如果$V(x)$是径向无界的，则结果是全局的。

推论1：(状态变量减少的共同Lyapunov函数稳定判据)：

若切换系统$M_{iD}{|→}M_{jD}$各子系统在其对应控制律作用下满足如下两条件：

1) 存在正定矩阵$\mathit{\boldsymbol{P}}_i=\left[\begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{P}}_{11}& \mathit{\boldsymbol{P}}_{12}\\ \mathit{\boldsymbol{P}}^\text T_{12}&\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}\end{matrix}\right]$与正定矩阵$Q$，满足${V_i} = {\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}{P_i}\mathit{\boldsymbol{x > }}{\rm{0}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}} = \left[ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}\\ {\mathit{\boldsymbol{x}}_j} \end{array} \right]} \right)$且${\dot V_i} = - {\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qx}}$。

2) 正定函数${V_j} = \mathit{\boldsymbol{x}}_j^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} < 0$,满足${{\dot V}_j} < 0$；

则称多模型系统具有共同Lyapunov函数$V_j$。

证明：由条件1知：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_i} = \mathit{\boldsymbol{x}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_i}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}&{{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{P}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_{12}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{12}^{\rm{T}}}&{{\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}&{{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right] = }\\ {\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{11}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + \mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{12}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} + \mathit{\boldsymbol{x}}_j^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{21}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + \mathit{\boldsymbol{x}}_j^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array} $

(12)

由于${{\dot V}_i} = - \mathit{\boldsymbol{x}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{Q}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} < 0$故切换子系统(13) 稳定；由于$\mathit{\boldsymbol{P}}_i=\left[\begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{P}}_{11}& \mathit{\boldsymbol{P}}_{12}\\ \mathit{\boldsymbol{P}}^\text T_{12}&\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}\end{matrix}\right]>0$则$\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}>0$，又由于切换后系统状态变量$\tilde{\mathit{\boldsymbol{x}}}_i$消失，故切换后系统能量函数有${V_i=\mathit{\boldsymbol{x}}^T_j\mathit{\boldsymbol{P}}_{22}\mathit{\boldsymbol{x}}_j=V_j}，\dot V_j<0$。

故切换系统$M_{iD}{|→}M_{jD}$具有共同Lyapunov函数$V_i=\mathit{\boldsymbol{x}}^T_i\mathit{\boldsymbol{P}}_i\mathit{\boldsymbol{x}}_i$。

推论2：若切换系统$M_{iD}{|→}M_{jD}$满足如下条件：

1) 模型切换过程中$\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}^T_i\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i<ξ$，其中$ξ\in C^1$为预设阈值且满足$\dot ξ\le 0$；

2) 模型$M_{jD}$(在控制律$δ_j$式(11))作用下稳定。

则基于状态变量减少的多模型切换系统稳定。

证明：由条件2可知，模型$M_{jD}$在其控制律作用下稳定，则存在正定矩阵$\mathit{\boldsymbol P}$，其函数$V_j=\mathit{\boldsymbol{x}}^T_j\mathit{\boldsymbol{Px}}_j$满足$\dot V_j<0$。

构建子模型$M_{iD}$的Lyapunov函数$V_i：$

$ {V_i} = \mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} + \mathit{\boldsymbol{x}}_j^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} $

(13)

又根据条件1，有$\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}^T_i\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i<ξ，$则

$ {V_i} < \mathit{\boldsymbol{x}}_j^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} + \xi $

(14)

切换系统的Lyapunov函数满足条件：

$ {V_j} < {V_i} $

(15)

沿模型$M_{jD}$对函数(13) 求导，有

$ {{{\dot{V}}}_{i}}=\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}_{j}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{j}}+\mathit{\boldsymbol{x}}_{j}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{P}}{{{\mathit{\boldsymbol{\dot{x}}}}}_{j}}+2\mathit{\boldsymbol{\dot{\tilde{x}}}}_{i}^{\rm{T}}{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{x}}}}}_{i}}={{{\dot{V}}}_{j}}+2\mathit{\boldsymbol{\dot{\tilde{x}}}}_{i}^{\rm{T}}{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{x}}}}}_{i}}<2{{{\dot{\xi }}}^{\rm{T}}}\xi $

(16)

由于$ξ≥0$为期望阈值，$\dot ξ\le 0$，则$\dot V_i<0$，由Lyapunov函数法知，若多模型切换系统满足推论2两条件，基于状态变量减少的多模型切换系统稳定。

推论3：若切换系统$M_{iD}{|→}M_{jD}$切换瞬间满足：

1) 子模型$M_{iD}$(方程(8))，$M_{jD}$(方程(10))在对应控制律$δ_i$，$δ_j$作用下稳定，且系统切换前后控制执行机构不变(对于本文所研究AUV系统深度控制而言，控制执行机构是指系统的水平舵舵角)；

2) 模型切换过程中$^T_ix~_i<ξ$，其中$ξ\in C^1$为预设阈值且满足$\dot ξ\le 0$；

3) 系统能量函数 $\mathit{\boldsymbol \varOmega}_l:=\{\mathit{\boldsymbol x}:V_l(\mathit{\boldsymbol x})=\mathit{\boldsymbol x}^\text T\mathit{\boldsymbol P}_l\mathit{\boldsymbol x}>0,\mathit{\boldsymbol P}_l>0\}(l\in (i,j))$右连续，且有$\dot{\mathit{\boldsymbol \varOmega}}_l:=\{x:\dot V_l(x)<0\}(l\in (i,j))$。切换过程所采用加权多模型切换控制律为

$ \delta =\alpha \left( t \right){{\delta }_{i}}+\beta \left( t \right){{\delta }_{j}},\alpha \left( t \right)+\beta \left( t \right)=1 $

(18)

式中：$α(t)$与$β(t)$分别为切换前后对应的加权因子。

若切换系统满足以上条件，则切换瞬间稳定。

证明：切换系统控制律为式(18)，切换过程可描述为

$ {M_{i{\rm{D}}}} \mapsto {M_{j{\rm{D}}}}:\mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{iD}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right] + \alpha \left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}} \end{array}} \right]{\delta _i} + \beta \left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}} \end{array}} \right]{\delta _j} $

(19)

由于系统切换前后控制执行机构不变，故切换前后各子系统控制律所代表的量相同，在根据条件1与加权因子所满足的条件$α(t)+β(t)=1，$式(19) 可描述为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{iD}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right] + \alpha \left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}}\\ 0 \end{array}} \right]{\delta _i} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}} \end{array}} \right]{\delta _j} $

(20)

切换后系统模型为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_{{\rm{jD}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \end{array}} \right] + \alpha \left( t \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}}\\ 0 \end{array}} \right]{\delta _i} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_j}} \end{array}} \right]{\delta _j},\;\;\alpha \left( t \right) = 0 $

(21)

根据条件2）可知系统状态变量${}_i$的能量函数(标量函数)满足：

$ {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}_i}: = \left\{ {\mathit{\boldsymbol{x}}:{V_i}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i}} \right) = \mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_i^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_i} < \varepsilon } \right\} $

(22)

根据推论2可知系统在切换过程中的能量函数渐近衰减，模型切换瞬间稳定。

为了避免直接切换导致系统控制执行机构控制量的瞬间巨变问题，实现切换系统的平稳切换，本文拟设置加权多模型切换控制律(18)。

2.3 状态变量增加的多模型切换

状态变量增加的多模型切换系统是指切换后有新的状态变量增加的切换系统。

设切换前的模型$M_{iI}$为

$ {M_{{\rm{iI}}}}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_i}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_i}{\delta _i} $

(23)

式中：下标I表示切换后系统变量增加，切换后的模型为$M_{jI}：$

$ {M_{{\rm{jI}}}}:{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_j} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{11}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{12}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{21}}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_{22}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_j}} \end{array}} \right] + {\mathit{\boldsymbol{B}}_j}{\delta _j} $

(24)

式中：$\tilde x_j$为模型切换后新增状态变量。设模型$M_{iI}$在控制律(25) 作用下稳定。

$ {\delta _i} = \mathit{\boldsymbol{k}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_i} $

(25)

模型$M_{jI}$在控制律(26) 作用下稳定。

$ {\delta _j} = {\mathit{\boldsymbol{k}}_{ji}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{k}}_j}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_j}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}}_j} $

(26)

式中：$\mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}}_i)$与$\mathit{\boldsymbol{k}}_{ji}(\mathit{\boldsymbol{x}}_i)$、$\mathit{\boldsymbol{k}}_j(\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_j)$为含有状态变量的控制参数。

推论4：若切换系统$M_{iD}{|→}M_{jD}$所含各子系统在其对应控制律作用下满足如下两条件：

1) 存在正定函数$V_i=\mathit{\boldsymbol{x}}^T_i\mathit{\boldsymbol{P}}_i\mathit{\boldsymbol{x}}_i(\mathit{\boldsymbol{P}}_i>0)$且有${\dot V_i<0}$；

2) 存在正定矩阵$\mathit{\boldsymbol P}_j=\left[\begin{array}\mathit{\boldsymbol P}_i& \mathit{\boldsymbol P}_{12}\\ \mathit{\boldsymbol P}^\text T_{12}& \mathit{\boldsymbol P}_{22}\end{array}\right]$与正定矩阵$\mathit{\boldsymbol Q}$，满足$V_j=\mathit{\boldsymbol x}^\text T\mathit{\boldsymbol P}_j\mathit{\boldsymbol x}>0\left(\mathit{\boldsymbol x}=\left[\begin{array}\mathit{\boldsymbol x}_i\\ \tilde{\mathit{\boldsymbol x}}_j\end{array}\right]\right)$且$\dot V_j=－\mathit{\boldsymbol x}^T\mathit{\boldsymbol {Qx}}<0$。

则称基于状态变量增加的非完全同态多模型切换系统具有共同Lyapunov函数$V_j$。

证明过程为推论1的逆推导。

3 AUV湖试验证分析 3.1 AUV系统垂直面运动模型

本文所研究AUV系统垂直面的控制执行机构为对称于艉部的两水平舵，系统以纵倾角下潜为主，根据切换系统相关推论实现AUV深度控制模型(1) 与纵倾角控制模型(2) 的切换控制，其中深度控制采用基于状态反馈的动态滑模控制法，纵倾角控制采用状态反馈控制法。垂直面控制框图如图 1。相关约束条件为：系统纵倾角范围为${θ\in [-0.44\ \ 0.44]}$ rad，垂直舵舵角约束范围为$δ_s\in [-0.44\ \ 0.44]$ rad。

3.1.1 AUV系统三阶深度控制模型及其控制策略

深度控制模型采用方程组(1)，将其整理为状态空间表达式为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot z}\\ {\dot \theta }\\ {\dot q} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - u}&0\\ 0&0&1\\ 0&{{a_1}}&{{a_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z\\ \theta \\ q \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{b_1}} \end{array}} \right]{\delta _s} $

(27)

式中：$a_1=\frac{hG} {(I_y－M_\dot q)}，a_2=\frac{M_qu} {(I_y－M_\dot q)}，b_1=\frac{M_{δ_s}u^2} {(I_y－M_\dot q)}$。且参数$a_2$与$b_1$均为纵向速度$u$的函数，试验过程中，这些参数将随着纵向速度的变化而动态调整。为了避免由于纵向速度过小而造成控制参数过大问题，控制参数内所含纵向速度状态变量具有如下约束条件：$u=\left\{\begin{array}1u<1\\uu≥1\end{array}\right.$。

根据深度控制模型状态空间表达式(27), 构建滑模面$S$函数：

$ S = q - {c_1}\theta - {c_2}{e_{\rm{z}}} $

(28)

构建滑模面控制模型:

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot z}\\ {\dot \theta } \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - u}\\ 0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z\\ \theta \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over q} $

(29)

具体推论过程请见文献[20]中基于状态反馈的滑模控制法的设计部分。其中，$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{q}$为纵倾角速度估算值。

根据状态反馈控制法^[16]配置模型(29) 的期望闭环极点为$λ_z$与$λ_θ$，获取状态反馈控制律：

$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over q} = {c_1}\theta + {c_2}z $

(30)

式中：$c_1=λ_z+λ_θ，c_2=\frac{λ_zλ_θ} u$，将式(30) 代入滑模面$S$函数(28) 得：

$ S = q - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over q} \approx {e_q} $

(31)

其中，构建状态变量误差$e_z=z－z_d，e_θ=θ－θ_d，{e_q=q－q_d}$，($z_d、θ_d、q_d$分别为期望深度、纵倾角、纵倾角速度，均为标量)，其中d为期望达到的量。

由于通常期望纵倾角$θ_d=0$与期望纵倾角速度$q_d=0$，将$e_θ=θ，e_q=q$，故状态方程(27) 的状态误差表达式为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot e}_z}}\\ {{{\dot e}_\theta }}\\ {{{\dot e}_q}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - u}&0\\ 0&0&1\\ 0&{{a_1}}&{{a_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_z}}\\ {{e_\theta }}\\ {{e_q}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{b_1}} \end{array}} \right]{\delta _s} $

(32)

对滑模面$S$求导$\dot S=\dot q－c_1\dot z+c_2\dot θ$，将式(27) 的状态方程代入$\dot S$，有滑模面导数为

$ \dot S = \left( {{a_1} - {c_1}u} \right){e_\theta } + \left( {{c_2} + {a_2}} \right){e_q} + {b_1}{\delta _s} $

(33)

构建含有滑模面$S$变量的状态方程，将式(33) 代入模型(27)，基于滑模面(式(27))的状态方程可表述为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot z}\\ {\dot \theta }\\ {\dot S} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - u}&0\\ 0&0&1\\ 0&{{a_1} - {c_1}u}&{{c_2} + {a_2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z\\ \theta \\ S \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{b_1}} \end{array}} \right]{\delta _s} $

(34)

设期望滑模面微分方程为

$ \dot S = - 0.01S $

(35)

则由式(33)、(35) 得：

$ \dot S = \left( {{a_1} - {c_1}u} \right){e_\theta } + \left( {{c_2} + {a_2}} \right){e_q} + {b_1}{\delta _s} = - 0.01S $

(36)

即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_1} - {c_1}u} \right)\theta + \left( {{c_2} + {a_2}} \right)\left( {q - {c_1}\theta - {c_2}{e_z}} \right) + }\\ {{b_1}{\delta _s} = - 0.01S} \end{array} $

(37)

根据式(37) 推导三阶深度控制模型的控制律$δ_{s3}：$

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\delta _{s3}} = {\delta _s} = \frac{{{c_2}\left( {{c_2} + {a_2}} \right)}}{{{b_1}}}{e_z} + }\\ {\frac{{\left( {{c_2} + {a_2}} \right){c_1} - \left( {{a_1} - {c_1}u} \right)}}{{{b_1}}}\theta - \frac{{{c_2} + {a_2}}}{{{b_1}}}q + \frac{{0.01S}}{{{b_1}}}} \end{array} $

(38)

将相关的水动力参数、系统静力矩等代入控制律(38)，由于系数$a_1、a_2、b_1$含有状态变量纵向速度(此状态变量变化平稳)，控制律$δ_{s3}$的控制参数根据纵向速度的变化而动态变化，试验证明此方案可以有效避免耦合状态项间的相互干扰。

3.1.2 AUV系统二阶深度控制模型及其控制律

为了解决当深度偏差过高而造成纵倾角迅速变大或超出阈值问题，采用二阶纵倾角控制模型(3) 进行纵倾角θ的控制，控制律采用动态反馈法，设期望极点为$λ_θ$与$λ_q$。根据式(32) 可知，其状态误差方程描述形式为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot e}_\theta } = {e_q}\\ {{\dot e}_q} = {a_1}{e_q} + {a_2}{e_\theta } + {b_1}{\delta _s} \end{array} \right. $

(39)

根据状态反馈控制法^[16]，获取二阶模型的控制律$δ_{s2}$为

$ {\delta _{s2}} = \frac{{{c_3} - {a_2}}}{{{b_1}}}{e_q} - \frac{{{c_4} + {a_1}}}{{{b_1}}}{e_\theta } $

(40)

其中：$c_3=λ_θ+λ_p，c_4=λ_θλ_p。$

3.2 AUV垂直面两子模型切换控制策略设计

由于AUV系统两控制子模型在各控制律作用下具有渐近稳定性，根据推论1与推论4可知模型(32) 与模型(39) 构建的控制模型集，满足状态变量增加或减少的共同Lyapunov函数稳定判据条件，故两子模型控制律可实现两模型间的任意切换。

本文所采用的基于状态变量空间缩减的非完全同态多模型切换控制策略如下：

1) 设深度误差的能量函数$V=|e_z|$，当能量函数$V>4$时，系统垂直面控制律采用二阶纵倾角控制律$δ_s=δ_{s2}$(如式(40))，用以控制纵倾角，避免纵倾角过大问题。

2) 当能量函数$V\le 4$时，切换到三阶深度控制律$δ_s=δ_{s3}$，实现AUV系统的深度控制。

3) 为了避免从控制律(40) 切换控制律(38) 出现控制执行机构瞬间抖动，根据推论3的相关条件设置加权因子$α(t)、β(t)$，将加权因子设置为${β(t)=\frac t τ}与α(t)=\frac{1－t} τ$，其中$t\in (0,τ)$为时间变量，$τ$为驻留时间，以实现多模型切换过程控制执行机构输出的平稳性。其中切换控制律$δ=α(t)δ_{s3}+β(t)δ_{s2}，α(t)+β(t)=1$；

4) 从控制律(40) 切换到控制律(38) 瞬间，根据推论4的相关条件设置相似于第3) 条所描述的加权因子$α(t)、β(t)$，其中切换控制律为$δ=β(t)δ_{s3}+α(t)δ_{s2}，α(t)+β(t)=1$。

3.3 湖泊试验数据分析

本文通过AUV系统深度控制的湖泊试验数据，分析基于状态变量增减的多模型切换法的控制优势。湖试安排：1）检验三阶滑模控制试验效果，分析在三阶模型控制策略下系统运动控制品质；2）验证状态变量增加的多模型切换效果；3）通过增加下潜深度与变深试验验证多模型切换控制的控制品质；4）通过变化AUV系统下潜深度，验证切换策略。

基于三阶深度模型的定深控制结果分析，此次湖试AUV系统下潜深度为8 m。从湖试数据曲线(如图 2)分析AUV系统垂直面相关状态量与控制量的输出，其中深度控制出现了较大的超调量${δ_p=73\%}，$分析其原因是由于AUV系统纵倾角过大所引起、多次达到阈值±0.44 rad即±25°、且震荡等控制品质问题；系统控制执行机构水平舵长时间(50 s)处于满舵状态，这些都是不期望的现象。

基于状态变量增减的非完全同态多模型切换在AUV系统定深控制试验中的验证，仍采用定深8 m的试验，试验结果(如图 3)表明：AUV系统深度控制品质得到改善，深度控制超调消失；纵倾角控制品质得到改善无震荡现象；通过多模型切换策略的设置使得水平舵满舵时间大大缩短。

为了验证基于状态变量增减的多模型切换控制律能否保证切换过程的平稳性，本文采用AUV系统的变深控制试验，任务为AUV先定深10 m，450 s后定深5 m，湖试结果如图 4所示。AUV系统深度控制试验表明，AUV系统深度与纵倾角的控制具有调节时间短、无超调、无静态误差等良好动静态品质。在变深为5 m的控制过程中状态变量减少的切换有效地控制了水平舵舵角的变化。

4 结论

1）所提出的状态变量增减的非完全同态多模型切换法将复杂的垂直面运动控制问题分解为深度控制与纵倾角控制两类方式。

2）多次AUV湖试验证了基于状态变量增减的多模型切换控制策略，可消除AUV系统深度控制的超调量，避免了纵倾角过大现象。

3）加权多模型切换控制策略可以避免由于深度突然变化而造成控制执行机构的抖动，提高了AUV系统的深度控制的动、静态品质。