大量的半潜式海洋平台应用实例表明，在平台支撑柱中的肘板焊接连接处较容易出现损伤裂纹以及疲劳裂纹。此处的裂纹在多种载荷的作用下，微小的裂纹也会越变越大，最终会导致肘板与底板的完全断裂，进而造成重大的安全事故^[1-2]。因此肘板连接处的损伤裂纹是一种极其严重的损伤，必须要引起足够的重视。

超声导波检测方法传播距离长、衰减小、适用性强，已经广泛应用在航空航天^[3]、机械加工^[4]、管道运输^[5]和风机叶片^[6]等领域。但其半潜式海洋平台肘板连接处的监测研究较少，而肘板又是典型的纵向变厚度板结构，因此急需开展导波在变厚度肘板中传播规律的相关研究。

Hyeon Jae Shin等^[7]利用超声导波对导管中的缺陷裂纹进行了相关的研究，得出了超声导波的调谐原理。Alnassar等^[8]对导波在矩形焊缝中的散射规律进行了研究。Ochoa等^[9]通过超声导波得出了复合材料焊缝接头中的传播规律并对其进行了研究。何存富等^[10-11]介绍了超声导波的频散现象以及求解方法。刘镇清^[12]、袁慎芳等^[13-14]对超声导波的传播理论有一个系统的阐述。吴斌等^[15-16]对焊缝中导波的传播规律进行了研究，分析了超声导波在对接焊缝中的能量衰减和频散现象。李喜朋^[17]对变厚度板中导波的传播规律进行了研究。超声导波技术在航空航天、管道检测方面应用已经较为成熟，但是在海洋工程方面，尤其是半潜式海洋平台中肘板状态的监测方面仍有不小的空缺，因此急需研究超声导波在肘板中的传播规律，以应对肘板状态监测。

本文在平板导波传播规律研究的基础上，推导变厚度板的导波传播规律，并求解相应的频散方程，得到变厚度板的频散曲线，并通过建模仿真得出了导波在不同肘板状态下的传播规律。

1 变厚度板模型推导

变厚度板与平板的不同之处就在于其为存在夹角 $\beta $ 的斜面板，结构如图1和图2所示。

该斜面板各向同性，材料属性一致。根据力的平衡条件——切应力互等定律，可得斜面板在表面的正应力( $\sigma $ )和切应力( $\tau $ )分别为

$ \begin{array}{c} \sigma {\rm{ = sin}}\dfrac{\beta }{2}\left( {{\sigma _x}{\rm{sin}}\dfrac{\beta }{2} + {\tau _{xy}}\cos \dfrac{\beta }{2}} \right) +\\ \cos \dfrac{\beta }{2}\left( {{\tau _{yx}}{\rm{sin}}\dfrac{\beta }{2} + {\sigma _y}\cos \dfrac{\beta }{2}} \right) = \\ {\tau _{xy}}\sin \beta + \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _x} + {\sigma _y}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _y} - {\sigma _x}} \right)\cos \beta \\ \end{array} $

$ \begin{array}{c} \tau {\rm{ = }} - {\rm{sin}}\dfrac{\beta }{2}\left( {{\sigma _x}\cos \dfrac{\beta }{2} - {\tau _{xy}}\sin \dfrac{\beta }{2}} \right) + \cos \dfrac{\beta }{2}\left( {{\tau _{yx}}\cos \dfrac{\beta }{2} - } \right. \\ \left. {{\sigma _y}\sin \dfrac{\beta }{2}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _y} - {\sigma _x}} \right)\sin \beta - {\tau _{xy}}\cos \beta \\ \end{array} $

式中： ${\sigma _x}$ 和 ${\sigma _y}$ 分别为 $x$ 方向和 $y$ 方向的应力分量， ${\tau _{xy}}$ 则为切应力分量。

根据板中平衡微分方程和物理方程，可以得到斜面板中应力和位移之间的关系：

$\begin{array}{c} \sigma {\rm{ = }}G\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)\sin \beta + G\left( {\dfrac{{\partial v}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)\cos \beta + \\ \left( {\lambda + G} \right)\left( {\dfrac{{\partial u}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right) \end{array} $

$\tau {\rm{ = }}G\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}} - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)\sin \beta - G\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)\cos \beta $

式中： $G$ 和 $\lambda $ 统称为Lame系数，其中 $G = \dfrac{E}{{2 + 2\mu }}$ ， $\;\mu$ 为泊松比， $E$ 为杨氏模量， $\lambda = \dfrac{{2\mu G}}{{1 - 2\mu }}$ ；u为 $x$ 轴的位移分量； $v$ 为 $y$ 轴的位移分量。

结合势函数的解法和假设，可以得到该变厚度板中正应力( $\sigma $ )和切应力( $\tau $ )的势函数：

$\begin{array}{c} \sigma {\rm{ = }}G\left( {2\dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x\partial y}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}}} \right)\sin \beta + G\cos \beta - \\ G\dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x^2}}}\left( {\sin \beta + \cos \beta } \right) + \left( {\lambda + G} \right)\left( {\dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x^2}}} + 2\dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}}} \right) \end{array} $

(1)

$\begin{array}{c} \tau {\rm{ = }}G\left( {2\dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x\partial y}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} - \dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {y^2}}}} \right)\cos \beta + \\ G\left( {\dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {y^2}}} + 2\dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial x\partial y}} - \dfrac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x^2}}}} \right)\sin \beta \end{array} $

(2)

1.1 频散方程的推导和求解

求解势函数式(1)和式(2)，可得以下波动方程：

$\phi {\rm{ = }}\left( {{A_1}\cos \left( {py} \right) + {A_2}\sin \left( {py} \right)} \right)\exp \left[ {i\left( {kx - \omega t} \right)} \right]$

(3)

$\varphi {\rm{ = }}\left( {{B_1}\cos \left( {qy} \right) + {B_2}\sin \left( {qy} \right)} \right)\exp \left[ {i\left( {kx - \omega t} \right)} \right]$

(4)

式中： $p = \dfrac{{{\omega ^2}}}{{C_{\rm{L}}^2}} - {k^2}$ ， $q = \dfrac{{{\omega ^2}}}{{C_{\rm{T}}^2}} - {k^2}$ ， $k{\rm{ = }}\dfrac{\omega }{{{c_{\rm{p}}}}}$ 。其中， ${C_{\rm{L}}}$ 为纵波传播速度， ${C_{\rm{L}}} = \sqrt {\dfrac{E}{\rho }}$ ； ${C_{\rm{T}}}$ 为横波传播速度， ${C_{\rm{T}}} = $ $ \sqrt {\dfrac{G}{\rho }}$ ； ${A_1}$ 、 ${A_2}$ 、 ${B_1}$ 、 ${B_2}$ 为任意常数； $\varphi $ 为正应力( $\sigma $ )的势函数； $\phi $ 为切应力( $\tau $ )势函数； $\omega $ 为角频率； ${c_{\rm{p}}}$ 为导波传播的相速度，m/s。

导波在板中的传播受到板的材料属性、弹性、刚性系数和密度的影响，其中最主要的影响因素是密度和弹性性能。板的杨氏模量是指抵抗纵向形变的能力，又被称作拉伸模量，决定着导波的纵波传播速度 ${C_{\rm{L}}}$ ；而板的切向模量是指抵抗切向应变的能力，也被称作刚性模量，决定着导波的横波传播速度 ${C_{\rm{T}}}$ 。

根据位移的振动形式，可以将变厚度板应力与位移的表达式分为对称模式和非对称模式，同时去掉式(3)和式(4)中的 $\exp \left[ {i\left( {kx - \omega t} \right)} \right]$ ，可以得到对称模式下应力与位移的关系式为

$\left\{\begin{array}{l} \phi {\rm{ = }}{A_1}\cos \left( {py} \right) \\ \varphi {\rm{ = }}{{{B}}_2}\sin \left( {qy} \right) \\ u = ik{A_1}\cos \left( {py} \right) + q{B_2}\cos \left( {qy} \right) \\ v = - p{A_1}\sin \left( {py} \right) - ik{B_2}\sin \left( {qy} \right) \\ \sigma = \left[ { - 2ikpG\sin \beta \sin \left( {py} \right) - \left( {\lambda + G} \right)} \right.({k^2} + \\ \quad\ \;\, \left. {{p^2})\cos \left( {py} \right) + G\cos \beta \left( {{k^2} - {p^2}} \right)\cos \left( {py} \right)} \right]{A_1} + \\ \quad\ \;\, \left[ {G\sin \beta \left( {{k^2} - {q^2}} \right)\sin \left( {qy} \right) - 2ikqG\cos \beta \cos \left( {qy} \right)} \right]{B_2} \\ \tau = \left[ { - 2ikpG\cos \beta \cos \left( {py} \right) + G\left( {{p^2} - {k^2}} \right){\rm{sin}}\beta \cos \left( {py} \right)} \right]{A_1} + \\ \quad\ \;\,\left[ {G\cos \beta \left( {{k^2} - {q^2}} \right)\sin \left( {qy} \right) + 2ikqG\sin \beta \cos \left( {qy} \right)} \right]{B_2} \end{array}\right. $

(5)

反对称模式为

$\left\{\begin{array}{l} \phi = {A_2}\sin \left( {py} \right) \\ \varphi = {B_1}\cos \left( {qy} \right) \\ u = ik{A_2}\sin \left( {py} \right) - q{B_1}\sin \left( {qy} \right) \\ v = {A_2}\cos \left( {py} \right) - ik{B_1}\cos \left( {qy} \right) \\ \sigma = \left[ {2ikpG\sin \beta \cos \left( {py} \right) - \left( {\lambda + G} \right)\left( {{k^2} + {p^2}} \right)\sin \left( {py} \right) + } \right. \\ \quad\ \; \, \left. {G\cos \beta \left( {{k^2} - {p^2}} \right)\sin \left( {py} \right)} \right]{A_2} + \\ \quad\ \;\, \left[ {G\sin \beta \left( {{k^2} - {q^2}} \right)\cos \left( {qy} \right) - 2ikqG\cos \beta \sin \left( {qy} \right)} \right]{B_1} \\ \tau = \left[ {2ikpG\cos \beta \cos \left( {py} \right) + G\left( {{p^2} - {k^2}} \right){\rm{sin}}\beta \sin \left( {py} \right)} \right]{A_2} + \\ \quad\ \;\, \left[ {G\cos \beta \left( {{k^2} - {q^2}} \right)\cos \left( {qy} \right) - 2ikqG\sin \beta \sin \left( {qy} \right)} \right]{B_1} \end{array}\right.$

(6)

该斜板各向同性，因此根据 $y = \pm h\left( x \right) = $ $ \pm x\tan \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right)$ ，且任一点的正应力与切应力相同，可以对式(5)和式(6)求解，得到以下频散方程：

$\begin{array}{c} \left\{ {\left[ {\left( {\lambda + G} \right)({k^2} + {p^2}) + G\cos \beta ({p^2} - {k^2})} \right]} \right. \\ {{\left. {2ikpG\sin \beta \tan \left( {ph} \right)} \right\}} / {\left[ {2ikpG\cos \beta \tan \left( {ph} \right) - G({p^2} - } \right.}} \\ {k^2})\left. {\sin \beta } \right] = \dfrac{{\left( {{k^2} + {p^2}} \right)\sin \beta \tan \left( {qh} \right) - 2ikq\cos \beta }}{{\left( {{k^2} + {p^2}} \right)\cos \beta \tan \left( {qh} \right) + 2ikq\sin \beta }} \end{array} $

(7)

$\begin{array}{c} \{ 2ikpG\sin \beta - [\left( {\lambda + G} \right)({k^2} + {p^2}) + G\cos \beta ({p^2} - \\ {{{k^2})]\tan \left( {ph} \right)\} } / {[2ikpG\cos \beta - G({p^2} - }} \\ {k^2})\sin \beta \tan \left( {ph} \right)] = \\ \dfrac{{\left( {{k^2} - {q^2}} \right)\sin \beta + 2ikq\cos \beta \tan \left( {qh} \right)}}{{\left( {{k^2} - {p^2}} \right)\cos \beta - 2ikq\sin \beta \tan \left( {qh} \right)}} \\ \end{array} $

(8)

根据式(7)和式(8)，便可以对变厚度板的频散曲线进行求解，得到变厚度板相速度和群速度与频厚积之间的变化关系。

1.2 群速度曲线推导

采用二分法对式(7)和式(8)的变厚度板频散方程进行求解，同时带入钢材的相关材料属性，包括弹性模量、剪切模量和泊松比等，并根据肘板模型令 $\;\beta = {55^ \circ }$ ，可以得到变厚度板的群速度和相速度曲线。

由图3和图4可知，A₀和S₀频散曲线的走势完全不同，两者的规律差异很大。在频率较低时，A₀模态速度发生明显变化，其频散特性非常显著；而S₀模态速度变化缓慢，其频散特性在初始阶段较弱。随着频率的逐渐增大，两者的速度变化趋势也发生明显的不同，A₀模态速度变化逐渐变缓，频散现象变弱；而S0模态的速度变化趋势逐渐变大，其频散现象也相应增强。最后，2种的模态的频散现象都趋于稳定。由此可以得到变厚度板的主要频散规律：

1)随着频厚积的增大，部分模态的导波才可以传播，只有A₀和S₀不受频厚积的影响，并且随着频厚积的增大，有更多的模态可以传播，对导波传播的限制变小。

2)导波的群速度和相速度都随着频厚积的增大逐渐收敛，速度变化都趋于平缓。

根据变厚度板的频散曲线，可以从理论上得到导波在变厚板中的频散规律，并且明确了A₀模态和S₀模态在相应频厚积下的变化规律，为下文的仿真建模以及参数设定提供指导。

2 肘板仿真模型的建立

在半潜式海洋平台中，由于支撑柱经常承受海浪带来的冲击力，时间长久之后有可能会出现裂纹，尤其是在半潜式平台划定的特殊区域(按船级社规范规定的立柱、横撑、浮筒、甲板盒等相连接位置的角隅处)，肘板连接的趾端，更容易产生裂纹。这种位置一旦发生裂纹没有被发现，极容易产生裂纹的扩展，影响海洋平台的安全。

图5为半潜式海洋平台肘板处的实物图，圆圈处是裂纹常发生的位置。因此本文依据半潜式海洋平台肘板建立相应的仿真模型，先研究超声导波在肘板处即变厚板中的传播规律，再对裂纹进行定性分析。本文基于ABAQUS有限元分析软件构建肘板的仿真模型，采用单面激励的方式。

肘板仿真模型的建立，首先需要设立一个合适的底板，肘板底板仿真模型的具体参数设置如下：密度为7850 kg/m³，泊松比为0.3，杨氏弹性模量为200~210 GPa，窗口类型为Hanning窗，信号长度为5个周期，网格尺度为1 mm×1 mm，时间步增量为1×10^-7 s。

为了模拟平板尺寸无限大，即消除反射波的影响，因此在底板的四周设立消波边界，采用阻尼递增的方法设置吸波层。根据A₀和S₀的波长，设定了20层吸波层，每一层边界宽度为4 mm，并计算出了每层的阻尼系数。

如图6(a)所示，在宽度960 mm×960 mm的底板上增加了80 mm的吸波层。由图6(b)平板仿真位移云图可以看出，随着阻尼系数的增加，消除的导波变多，直到全部消除。这也就避免了反射波的存在，从而很好地模拟了无限大的金属平板，避免了反射波对分析仿真结果的干扰。

2.1 无裂纹肘板仿真模型的建立

为增强仿真模型的真实性，本文根据国内某公司提供的半潜式海洋平台支撑构件图纸，设肘板高500 mm，长250 mm，厚20 mm。如图7所示，A₁点为激励传感器，R₁—R₅点为接收传感器。随着肘板厚度的增加，等梯度增加传感器的接收点，每个接收点之间的水平距离为20 mm，垂直距离也相同，为46 mm。设定等梯度的变化是为了对信号能更好地定性分析，从而研究导波在该肘板变厚度板模型中的传播规律。本文整体思路是对比健康信号与当前信号的差异，肘板的靠板对信号的影响相同，两者比较后可以相互抵消，因此在模型的建立中不加入靠板，只有肘板和底板。

2.2 含裂纹肘板仿真模型的建立

研究导波在变厚度板中传播规律的最终目的是为了得到肘板中的裂纹信息，肘板在出现裂纹之后，其内部结构发生改变，导波的传播规律是否与原来一致，还需要做进一步的探究。因此本文在原肘板的基础上，在肘板最易出现裂纹的阶梯突变处增加裂纹，以探究裂纹出现对导波传播的影响。增加裂纹之后的肘板，便为当前状态下的肘板模型。

建立如图8所示的肘板裂纹，裂纹开在肘板的阶梯突变处，且此裂纹高1 mm，纵深长1 mm，贯穿整个肘板连接处。为了研究裂纹改变后对信号的影响，共建立了裂纹纵深长度分别为1、2、3、4、5 mm共5种裂纹仿真模型，传感器的阵列保持不变，依旧是原肘板上的布置方式和位置。

根据已经建立的2种肘板模型，对导波信号依次进行对比分析。

3 不同状态下导波信号的对比分析 3.1 参考状态下导波信号研究

肘板没有裂纹时，当导波传播到厚度突变点时，信号的传播发生了变化，将接收传感器点R₁—R₅接收到的信号进行导出，得到了传感器接收点信号变化关系如图9所示。由图9（a）可以看出，由于传感器位置的远近不同，直达波的波达时刻也不相同，且跟传感器的位置成正比。经过计算可以得出，每个直达波的峰值点之间的时间差为 $2.31 \times {10^{{\rm{ - }}4}}\;{\rm{ s}}$ ，这也说明了该肘板的各向同性，导波在肘板内部随着距离的变化均匀传播。

为了便于分析直达波峰值之间的差异，将R₁—R₅接收点的直达波移动到同一坐标范围内，便得到了峰值变化关系图。由图9可以看出，R₁点传感器接收到的信号幅值最大，而R₅点传感器接收到的信号幅值最小，R₁与R₂点、R₃与R₄点信号幅值相差较小，而R₂与R₃点、R₄与R₅点信号幅值差相对较大，并且R₁—R₅点信号幅值依次递减。这说明了导波在肘板内部随着距离的增大，信号幅值依次递减。

在得到了导波波达时刻关系变化与信号幅值变化的关系之后，还需要对导波在肘板内部的传播形式进行研究，将仿真的输出模型沿z轴的方向剖开，可以更清楚地观察到肘板内部导波位移场的变化。如图10所示，沿着虚线的方向剖开，便得到剖面图，并从箭头所指的方向观察肘板内部尤其是阶梯突变点的导波变化。

基于ABAQUS仿真软件的模型分析功能，从图11由肘板内部导波位移场变化可以看出，肘板内部的导波也是呈圆弧形传播，并且随着位移的改变，其能量逐渐变小。导波在阶梯突变点O点触发了多种的传播形式，进行了一定程度上的模式转换。导波由右方激励传感器发射激励信号，在突变点O点进行了反射和散射，还存在一部分导波进行了透射。这是由于传播中介结构的突然变化引起的，也是厚度的变化导致的。该点厚度发生了突增，随着距离的增大，肘板的厚度逐渐增大，而突变点O点的厚度变化则是突变的，这也就导致了导波在该点发生了模式转换，进行了反射和散射。

在得到位移场的变化关系之后，再对传感器接收点的信号进行具体分析。从中提取了比较有典型的A₁-R₁和A₁-R₃导波信号，如图12所示。由图12可知，第一个波包是A₀直达波，即导波经过肘板之后的透射波，该信号幅值比较大，衰减较小。结合前文变厚度板的频散曲线，根据频厚积的关系，便可以算出第二个波包为S₀，第3个波包为A₀。在A₁-R₃导波信号中，经过计算验证，第2个波包为S₀波，第3个波包为A₀波。R₃点传感器位置与R₁点传感器不同，频厚积发生了变化，相应的速度变大，因此出现的S₀波和A₀波更加靠近直达波，这也解释了直达波与其他波包发生时间差不同的原因。

在A₁点激励的导波为A₀波形，从R₁和R₃点信号中可以看出，接收到的信号不仅含有A₀还有S₀，可见导波在肘板突变点不仅发生了模式转换，还出现了导波的模态转换，由A₀波转换成了A₀波和S₀波。同时，在阶梯突变点还有散射以及肘板本身的反射，导致了主波包后小波包的出现。

经过对肘板突变点导波位移云图的分析，导波在该点发生了模式转换，出现了散射和反射。再结合传感器接收点的信号，发现了S₀和A₀信号的存在。在掌握变厚度肘板内部导波传播规律之后，针对带有裂纹的肘板模型，研究导波在包含裂纹的肘板内部的传播规律，为识别肘板中裂纹信息提供了理论支持。

3.2 当前状态下导波信号研究

把图13含裂纹下的波达时刻变化关系中的特性点数据提取出来，如表1所示。

本文将3 mm长裂纹的导波信号导出，依照前文的处理方法，由图13和图14与参考信号进行对比，导波的幅值出现了明显的减小，每个传感器接收点的信号同幅度降低。具体的波达时刻有所改变，但相互之间的规律不变，波达的时间点根据传感器位置的改变依次后延，波峰之间的时间差值与原肘板相同，都是 $2.31 \times {10^{{\rm{ - }}4}}\;{\rm{ s}}$ ，且导波的幅值从R₁到R₅依次降低。因此肘板在增加裂纹之后，导波在肘板中的传播依然是均匀传播。

随着裂纹纵深长度的改变，同一个传感器接收点接收到的信号幅值有所下降，但波达时刻变化较小，且5个传感器信号接收点都呈现出共同的规律。为了探究裂纹长度变化对幅值的影响，本文以裂纹纵深长度为自变量，以导波信号的幅值强度为因变量，取无裂纹时，以及裂纹纵深长度为1、2、3、4、5 mm的R₁点信号幅值，可得到以下关系式：

$y = - 0.114\;6x + 1.027$

该拟合方程的R² 为0.9872，表示该方程具有较高的可靠性。此外，由此线性方程可以得知，裂纹长度与信号幅值成线性变化关系，随着裂纹长度的增加，信号幅值呈线性下降。这也表明了导波在不同裂纹长度的肘板中，均匀传播且传播规律不变。

由此肘板仿真模型可以初步得出，当肘板连接处出现裂纹之后，肘板中导波的传播规律与原肘板相同，但导波在裂纹突变处发生了散射、衍射和反射，波达时间点有所改变，同时幅值明显降低。

4 结论

1)本文在平板中频散方程的基础上，进一步推出了变厚度板中的频散方程，并对频散方程进行了求解，得到了变厚度板中群速度和相速度与频厚积之间的关系，为下一步肘板中导波传播规律的研究提供理论指导。

2)同时依照半潜式海洋平台中的具体肘板，建立变厚度板肘板的仿真模型，分别创建了不含裂纹的肘板和包含裂纹的肘板模型，并对这2种模型进行了有限元分析。

3)针对不含裂纹的肘板，从导波的波达时刻、幅值、传播形式等多方面进行了探究，得出了导波在肘板阶梯突变处发生模式转换，包含衍射的同时，还出现了散射和反射。并进行了模式转换，由A₀入射波转换成A₀波和S₀波。

4)针对包含裂纹的肘板模型，采用同样的研究方法，进而得出导波在包含裂纹的肘板中幅值和波达时刻发生改变，但传播规律不变的结论。这为下一步探究肘板中的裂纹特征提供支持。