雷达辐射源无意调制指的是由于辐射源自身硬件缺陷和结构上的差异使得输出信号带有的附加调制信息，不同类型的辐射源所携带的附加调制信息不同，即使是相同类型的辐射源，由于内部器件的制造工艺以及所采用器件批次的不同其所携带的附加调制信息也不尽相同^[1]。如同生物指纹一样，雷达辐射源的无意调制也可认为是辐射源的一种指纹，常被称为“辐射源指纹”，更关键的是这种辐射源指纹信息无法消除和伪造，具有唯一性且受外界环境的干扰较小，因此常被作为区分不同雷达辐射源个体的关键信息，由此也引发了国内外众多学者对无意调制特征提取的深入研究。现有的提取方法根据特征提取域的不同可分为时域、频域和时频域特征提取法。时域特征提取方法主要基于无意调制所引发的信号脉冲包络和瞬时参数的变化，通过提取脉冲包络信息或信号瞬时参数等时域信息来作为辐射源无意调制特征^[2-4]。时域特征提取方法简单且易于实现，但所提特征抗噪声性能差，高信噪比下特征往往被噪声淹没。频域特征提取方法主要基于信号频域分析，通过提取雷达辐射源信号的频域信息进行辐射源个体识别，其中频域信息主要以信号的瞬时频率^[5-6]和高阶统计量中的双谱和三谱等特征为主^[7]。但瞬时频率的抗噪声性能仍然较差，双谱和三谱等特征尽管抗噪声性能较好但是特征维度较高，提取过程计算量较大，容易使后续识别陷入维度灾难，从而降低了特征提取的实时性。由于雷达辐射源信号属于典型的非平稳信号，其时频域分析描述了信号时频域中的联合能量分布情况，相较于单独的时域或频域分析，时频域分析能够展现出信号更多的细节信息。再者雷达辐射源无意调制的不确定性将会引入不同频率分量信号，其频率往往隐藏在信号的某个或某几个频带内，从而导致各频带内的能量分布也不尽相同。根据上述特点，本文在时频分析的基础上提出了基于小波能量谱和ReliefF算法的雷达辐射源无意调制特征提取算法，该算法对信号进行小波变换的同时获取信号小波能量谱信息，并采用ReliefF算法对不同层的小波能量谱值进行权重分析，通过剔除个体间差异较小的低权重能量值来实现特征有效性的提升和特征维度的降低，最后保留个体间差异较大的高权重能量值来作为雷达辐射源无意调制的特征。仿真实验表明该特征提取算法具有较高的可行性和有效性。

1 雷达辐射源信号的小波能量谱 1.1 小波变换

在Hilbert函数空间中，小波基函数是由小波母函数在伸缩因子和平移因子下生成的，其中小波母函数定义为频谱满足式(1)的一类函数 $\psi (t)$ ：

${C_\psi } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\dfrac{{|\widehat \psi \left( \omega \right){|^2}}}{{|\omega |}}{\rm{d}}} \omega < \infty $

(1)

式中： $\widehat \psi (\omega )$ 是 $\psi (t)$ 的傅里叶变换。与其对应的小波基函数定义为

${\psi _{a,b}}\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {|a|} }}\psi \left( {\dfrac{{t - b}}{a}} \right)$

式中： $a$ 为伸缩因子； $b$ 为平移因子。

对于信号 $f(t)$ 的连续小波变换可表示为

${W_f}\left( {a,b} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {|a|} }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right)} \psi \left( {\dfrac{{t - b}}{a}} \right){\rm{d}}t$

相应的连续小波逆变换可表示为

$f\left( t \right) = \dfrac{1}{{{C_\psi }}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{W_f}\left( {a,b} \right)} } \psi \left( {\dfrac{{x - b}}{a}} \right){\rm{d}}a{\rm{d}}b$

在实际的工程应用中常采用二进制离散小波变换对信号进行处理。在二进制离散小波变换中伸缩因子 $a$ 和平移因子 $b$ 分别进行了离散取值，即 $a = 1/{2^j},b = k/{2^j};j {\text{、}}k \in Z$ 。此时信号 $f(t)$ 的离散小波变换可定义为

${W_f} = {2^{ - j/2}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right)} \psi \left( {{2^{ - j}}t - k} \right){\rm{d}}t$

相应的离散小波逆变换(信号重构)可表示为

$f\left( t \right) = C\displaystyle\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {\displaystyle\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{W_f}} } {\psi _{\left( {{2^j},{2^j}k} \right)}}\left( t \right)$

式中 $C$ 为常数。

从多分辨分析角度讲，小波变换的实质是根据频率的高低将信号分解为高频分量和低频分量，并对低频分量作进一步分解，以获取更加精细的低频信息，以 $j$ 层小波分解为例，信号 $f(t)$ 的频谱 $f$ 可表示为

$f{\rm{ = }}c{L_j} + \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^j {c{H_i}} $

式中： $c{L_j}$ 表示第 $j$ 层离散逼近， $c{H_i}$ 为第 $i$ 层离散细节。

1.2 小波能量谱的获取

小波变换是一种能量保持守恒的变换^[9]。对于信号 $f(t)$ ，其小波分解前后的能量总和保持不变，即有

$\int_{ - \infty }^{{\rm{ + }}\infty } {|f\left( t \right){|^2}} {\rm{d}}t = \dfrac{1}{{{C_\psi }}}\int_0^\infty {\dfrac{1}{{{a^2}}}{\rm{d}}a\int_{ - \infty }^{ + \infty } {|{W_f}\left( {a,b} \right){{\rm{|}}^2}} {\rm{d}}b} $

式中 ${C_\psi }$ 为小波成立的条件，即

${C_\psi } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\dfrac{{|\widehat \psi \left( \omega \right){|^2}}}{{|\omega |}}} {\rm{d}}\omega < \infty $

(2)

其中尺度 $a$ 所对应的小波能量值 $E(a)$ 可定义为

$E\left( a \right) = \dfrac{1}{{{C_\psi }{a^2}}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {|{W_f}\left( {a,b} \right){{\rm{|}}^2}} {\rm{d}}b$

(3)

当进行 $j$ 层小波分解时应用式(2)可构建出 $j$ 层小波能量谱 $E = [{E_{L_0}},{E_{L_1}}, \cdots, {E_{L_i}}, \cdots ,{E_{L_j}}]$ ，其中 ${E_{L_i}}, $ $ i = 1, 2, \cdots ,m$ 表示第 ${L_i}$ 层小波下的信号能量值。

在进行小波分析时小波基函数的选取至关重要，根据实际情况本文将选取时域中有限支撑的dbN小波。

2 基于ReliefF算法的权重分析

不同个体的雷达辐射源信号经小波变换后，其各层能量值的区分度是存在差异的，若将区分度较小的能量值也作为无意特征，其必然会降低特征的有效性。为了减小低区分度小波能量值对特征有效性的影响，本文将采用ReliefF算法对小波能量值进行权重分析，为后续特征选取提供依据。

ReliefF算法是 Kononeill等对Relief算法的改进，以克服Relief算法只能处理二分类问题的局限性^[10]。ReliefF算法是一种基于样本学习的特征权重计算算法，根据特征与类别的相关度大小赋予特征不同的权重值，当特征与类别相关度较大时特征将被赋予较高的权重值，反之当特征与类别相关度较小时被赋予的权重值也相应变小^[11]。其中特征与类别的相关度是通过比较该特征在同类样本中的近邻距离与不同类样本中的近邻距离的大小来衡量的。

对于含有 $n$ 个样本的任意数据集合 $ F=({x}_{i},{y}_{i})，$ $ i=1,2,\cdots ,n$ ，其中 $x \in {R^d}$ 是一个含有 $d$ 维特征的样本， $y$ 是样本标签。当计算各特征的权重时首先需要在 $F$ 中随机选取一个样本 $x$ ,并根据样本 $x$ 的类别标签在同类数据中选取近邻样本 $H$ ;在不同类数据中选取近邻样本 $M$ 。然后根据式(3)和(4)分别计算 $x$ 与 $H$ 和 $M$ 在第 $l(l = 1,2, \cdots ,d)$ 个特征下的特征距离 ${d_{Hl}}$ 和 ${d_{Ml}}$ ：

${\rm{ }}{d_{Hl}}\left( {i,j} \right){\rm{ = }}\left| {H\left( {i,j} \right) - x\left( {1,j} \right)} \right|$

(4)

${\rm{ }}{d_{Ml}}\left( {i,j} \right){\rm{ = }}\left| {M\left( {i,j} \right) - x\left( {1,j} \right)} \right|$

(5)

判断 ${d_{Hl}}$ 和 ${d_{Ml}}$ 的大小关系。若 ${d_{Hl}} > {d_{Ml}}$ 说明特征 $l$ 与类别的相关性小，其对分类起负面作用，此时应该减小该特征的权重，反之若 ${d_{Hl}} < {d_{Ml}}$ 说明特征 $l$ 与类别的相关性大，其有利于分类识别，此时应该增加该特征的权重。权重更新公式如式(5)所示：

$w = {w_A} - \dfrac{{{\rm{ }}\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^k {d_{_{Hl}}^j} }}{{mk}} + \displaystyle\sum\limits_{c \ne {\rm{class}}(s)} {\dfrac{{{\rm{ }}\dfrac{{p\left( c \right)}}{{1 - p\left( {{\rm{class}}\left( s \right)} \right)}}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^k {d_{ml}^i} }}{{mk}}} $

$ p\left(c\right)=\dfrac{c{\text{类样本的个数}}}{{\text{所有样本的个数}}}$

式中： $k$ 为选取的近邻样本数量， $c$ 为抽取的样本 $x$ 的标签， $p(c)$ 为类别 $c$ 中样本数量占总的样本数量的比例。

应用ReliefF算法进行权重分析的详细步骤如下：

输入　数据集 $F$ ，样本 $k$ ,迭代次数 $m$ 。

将所有特征权重值初始化为0。

${\rm{for}}\;i = {1^{}}\;{\rm{t}}{{\rm{o}}^{}}\;m$

①在特征集 $F$ 中随机抽取样本 $s$ 。

②选取 $k$ 个同类近邻样本 ${H_j}\left( {j = 1,2, \cdots ,k} \right)$ ， $k$ 个不同类近邻样本 ${M_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,k} \right)$ 。

③ ${\rm{fo}}{\rm{r}}\;A = {1}\;{\rm{t}}{{\rm{o}}}\;d$

输出　数据权重集 $W$ 。

3 基于小波变换和ReliefF的特征提取

雷达辐射源无意调制的不确定性使得原始信号叠加了不同的频率分量，若想定量地分析这些频率分量就需要不同精度的频率分解^[12-15]。对于小波变换而言其分解层数据决定其频率精度，但是小波分解的层次不是随意的，长度为 $N$ 的信号其最大可分层数为 ${\log _2}N$ 层。为此本文将根据信号长度采用全尺寸小波变换对信号进行分析，即直接对信号进行 ${\log _2}N$ 层小波分解，然后通过信号重构获取 ${\log _2}N$ 层小波能量谱并采用ReliefF算法对小波能量值进行权重分析。保留高权重能量值作为无意调制特征。具体的特征提取流程如图1所示。

根据图1所示流程详细的特征提取步骤阐述如下：

1)信号预处理。为了避免因脉冲宽度的变化引起的信号点数的差异，在特征提取时对不同点数的信号均以1 024点进行统一，具体统一方法为对大于1 024点的信号进行截短操作，对于小于1 024点的信号进行补零操作。

2)小波变换。根据雷达辐射源信号的采样点数计算小波分解层数的最大值 ${\log _2}N$ 。并进行 ${\log _2}N$ 层小波分解，得到不同尺度下的一系列小波系数，其中包含n个细节系数和1个近似系数。然后将各尺度下的细节系数根据式(9)获取对应的能量值 $E(a)$ ，并构建小波能量谱 ${{\mathit{\boldsymbol{E}}}} = [{E_1},{E_2}, \cdots, {E_n}]$ 。

3)权重分析。采用ReliefF算法对小波能量谱的各值进行权重分析获取各能量值的权重信息 ${{\mathit{\boldsymbol{W}}}} = [{w_1},{w_2} ,\cdots, {w_n}]$ 。

4)特征选择。将获取的权重与设定的权重阈值Γ进行对比，剔除权重低于阈值的小波能量值，将剩余的小波能量值构建最终的特征集合。

4 仿真与分析

为了更加贴近真实雷达辐射源信号，在仿真分析时将采用3部信号源所发射信号进行分析，其中信号源类型分别为Aglient N5172B、AWG70001和E4438C，并分别命名为辐射源1、辐射源2和辐射源3。信号类型为LFM信号，载频为500 MHz，带宽100 MHz,脉冲宽度为5 μs,采样频率1 GHz，每个信号源截取600个，共计1 800个信号进行特征提取和仿真分析。

4.1 特征提取算法有效性仿真

为了说明小波能量提取的可行性，图2、3给出了在辐射源1和辐射源2所获取的LFM信号4层小波重构信号的波形图。

通过对比图2和图3可以看出，两辐射源信号小波分解后各层信号波形存在差异，其中d1层和d2层差异较大，这种不同层次间的波形差异正是由于辐射源无意调制引入的频率分量叠加到了信号不同频段所导致的。各层波形的差异将会带来能量值的不同，因此提取信号不同频段的能量值作为区分不同辐射源的无意调制特征是可行的。

为了评估分解层数对特征有效性的影响，仿真时层数将从4层开始到 ${\log _2}N$ 层分别进行小波分解，并分别采用ReliefF算法进行权重分析。设定近邻样本数为8，迭代次数为20，图4给出了10次蒙特卡洛实验下的小波能量谱权重分析效果图。

图4的横坐标代表各层小波能量谱特征，纵坐标为无量纲的特征权重，10条曲线分别为各次蒙特卡洛实验特征权重分析结果。

由图4中的仿真结果可以看出，不同层的小波能量值的权重数值是存在差异的，这种差异正是小波能量值在区分不同个体时有效性的体现。总体上看当分解层数过低时高权重特征个数较少，随着分解层数的增加相应的高权重小波能量值的数量也在增加，这一点说明了小波分解层数对有效特征个数的影响，以及进行全小波分解的可行性。并且权重值处于波动状态，这一现象正是无意调制随性和低频性的体现，也充分说明了将小波变换和ReliefF算法相结合进行无意特征提取的可行性。

为了进一步说明权重与特征有效性的关系，选取3部辐射源10层小波分解中的最高权重值与最低权重值所对应的的小波能量值，即第6层小波能量值和第4层小波能量值进行聚类分析，聚类的效果如图5所示。

由图可以看出4层小波能量值重叠程度较高，辐射源的区分度较差。而6层小波中的小波能量值的重叠程度较低，辐射源间有明显的区分，由此以说明高权重的小波能量值在进行辐射源个体识别时要优于低权重的小波能量值，也进一步证明了特征权重与特征有效性的正比关系。

通过ReliefF算法获得小波能量值的权重信息后，在后续的特征提取中需要确定权重阈值Γ，根据图4中10层小波能量谱图中的权重值分别选取0.02、0.04、0.06、0.08、0.1、0.12、0.14分别作为Γ值进行特征的选取，并将选取后的特征进行分类识别。其中分类器选用MATLAB中自带的SVM工具箱，将10次蒙特卡洛实验下的平均识别率记录于表1中。

由表1中的数据可以看出，随着权重阈值的增高识别率呈现先增后降的趋势，当权重阈值为0.06时识别率达到峰值，主要原因在于当权重阈值升高时，被剔除的小波能量值也在逐渐增加，而识别率先增后降的趋势反映出了部分低权重小波能量值对识别的反作用及高权重小波能量值对识别率提升的帮助。从特征维数角度看，阈值为0.06时的特征维度要低于原始小波能量谱的维度。从而可以说明将小波变换和ReliefF相结合的特征提取算法能够在降低特征维度的同时进一步提高特征的有效性，同时也证明了该特征提取算法的可行性和有效性。

4.2 特征提取算法抗噪声性能仿真分析

为了验证文中所提算法的抗噪声性能，在信噪比环境为−8、−4、0、4、8、12、16 dB下截取三信号源的LFM信号各600个，设定权重阈值为0.06并分别采用文中所述特征提取算法和文献[4]中的时域包络特征以及文献[7]中的双谱特征提取方法进行提取特征，然后选用MATLAB中自带的SVM工具箱进行分类识别，统计10次蒙特卡洛实验下的平均识别率，具体的识别效果如图6所示。

由图6可以看出，随着信噪比的提升3种特征的识别率均呈上升趋势，同一信噪比下文中所述特征提取算法的识别率要高于其他2种，尤其是在信噪比低于0 dB时这种区别更为明显，从而证明文中所述基于小波能量谱和ReliefF特征提取算法的良好的抗噪声性能。

为了进一步说明信号调制样式对特征提取算法的影响，采用LFM信号同样的获取方式，截取不同信噪比下的CW信号和BPSK信号，并用文中特征提取算法进行特征提取后识别，统计10次蒙特卡洛实验下的平均识别率，具体的识别效果如图7所示。

整体上看随着信噪比的升高3类信号的识别率均有提升，固定某一信噪比时，可以看出CW信号的识别率最高，主要原因在于BPSK信号和LFM信号的频率会分散在不同的频带中，而CW信号的频率较为单一使得小波分解时更容易分离出无意调制信息。但是总体上看三者差别并不大，从而说明了本文所提特征提取算法较高的适用性。

5 结论

针对雷达辐射源无意调制特征提取困难的问题本文根据无意调制的特性，在时频分析的基础上提出了基于小波能量谱和ReliefF的特征提取算法。通过小波变换获取了雷达辐射源信号不同频段的能量信息，然后采用ReliefF算法对各能量值进行了权重分析，并通过剔除低权重能量值提高了特征的有效性，降低了特征的维度，仿真结果验证了该算法的有效性和可行性，并且相较于其他传统算法，本文所述特征提取算法具有更高的抗噪声性能。