图像作为人们获取知识的主要载体，已经得到了一定的发展。但是，在图像去噪^[1-2]这方面仍然有着需要改进的地方，图像去噪重构精度不够、时间开销比较大^[3]等都需要进一步研究与学习。所以，本文主要针对这2个方面进行研究，通过结合压缩感知^[4-6]和交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers, ADMM）^[7-9]的相关知识，以期找到一个更好的解决方法，从而可以达到更好的图像去噪效果。

1 一种基于熵函数的重构算法

本节主要针对 ${l_p}$ 问题^[10-14]的改进。该问题广泛应用于信号处理、自适应滤波、系统识别等众多领域，其表达式为

$\mathop {\min }\limits_x F\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{f_i}\left( x \right)} \right|}^p}} {\rm{, }} {0 \leqslant p \leqslant 1} $

(1)

显然，式(1)中的函数 $F\left( x \right)$ 是非光滑函数，本文采用极大熵函数进行求解，假设：

$ F\left( x \right) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {|{f_i}\left( x \right){|^p}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {\max \left\{ {{f_i}\left( x \right) - {f_i}\left( x \right)} \right\}} \right]}^p}} $

(2)

又因为存在以下关系：

$ \mathop {\lim }\limits_{q \to \infty } \left[ {\dfrac{1}{q}\ln \left( {{{\rm{e}}^{qt}} + {{\rm{e}}^{ - qt}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{q \to \infty } \dfrac{{t{{\rm{e}}^{qt}} - t{{\rm{e}}^{ - qt}}}}{{{{\rm{e}}^{qt}} + {{\rm{e}}^{ - qt}}}} = \max \left( {t, - t} \right) = |t| $

(3)

所以，对比式(2)、(3)可以知道，非线性 ${l_p}$ 的求解问题可以转化为关于参数 $q$ 的最优化问题：

$ \mathop {\min }\limits_x F\left( {x,q} \right) = {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\dfrac{1}{q}\ln \left( {{{\rm{e}}^{q{f_i}\left( x \right)}} + {{\rm{e}}^{ - q{f_i}\left( x \right)}}} \right)} \right]} ^p} $

(4)

式中： ${0 < p < 1;\; q \to \infty } $ 。

式(4)中函数 $F\left( {x,q} \right)$ 是关于 $x$ 的可微函数，而且和二次连续可微函数 ${f_i}\left( x \right)$ 相比，拥有同阶光滑性。

鉴于实验仿真的考虑，现将熵函数进行变形：

$\begin{array}{c} \dfrac{1}{q}\ln \left( {{{\rm{e}}^{q{f_i}\left( x \right)}} + {{\rm{e}}^{ - q{f_i}\left( x \right)}}} \right) = \dfrac{1}{q}\ln \left[ {{{\rm{e}}^{q|{f_i}\left( x \right)|}}\left( {1 + {{\rm{e}}^{ - 2q|{f_i}\left( x \right)|}}} \right)} \right] =\\ {\rm{ }} |{f_i}\left( x \right)| + \dfrac{1}{q}\ln \left( {1 + {{\rm{e}}^{ - 2q|{f_i}\left( x \right)|}}} \right) \\ \end{array} $

则该熵函数的偏导为

$\begin{array}{c} {\nabla _x}F\left( {x,q} \right) =\\ {\rm{ }} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {p\left[ {\dfrac{1}{q}\ln \left( {{{\rm{e}}^{q{f_i}\left( x \right)}} + {{\rm{e}}^{ - q{f_i}\left( x \right)}}} \right)} \right]} ^{p - 1}} \dfrac{{{{\rm{e}}^{q{f_i}\left( x \right)}} - {{\rm{e}}^{ - q{f_i}\left( x \right)}}}}{{{{\rm{e}}^{q{f_i}\left( x \right)}} + {{\rm{e}}^{ - q{f_i}\left( x \right)}}}}{\nabla _x}{f_i}\left( x \right) =\\ {\rm{ }} {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {p\left[ {|{f_i}\left( x \right)| + \frac{1}{q}\ln \left( {1 + {{\rm{e}}^{ - 2q|{f_i}\left( x \right)|}}} \right)} \right]} ^{p - 1}} \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2q{f_i}\left( x \right)}}}}{{1 + {{\rm{e}}^{ - 2q{f_i}\left( x \right)}}}}{\nabla _x}{f_i}\left( x \right) \\ \end{array} $

基于上述理论，可以得到基于熵函数的重构算法，算法模型为

${L_p}\left( {{{x}},\lambda ,q} \right) = \frac{1}{2}\left\| {{{\varPhi x}} - {{y}}} \right\|_2^2 + \lambda F\left( {{{x}},q} \right)$

所以，基于一种熵函数的重构算法（reconstruction algorithm based on maximum entropy algorithm, MEA-RA）的求解步骤如下所示：

输入　压缩后的信号 ${{y}}$ ，观测矩阵 ${{\varPhi }}$ 、 $\lambda $ 、 $p$ 。

输出　重构目标信号 ${{x}}$ 。

初始化 ${{{x}}^{\left( 0 \right)}} = {{{\varPhi }}^{\rm{T}}}{\left( {{{\varPhi }}{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \right)^{ - 1}}{{y}}$ ， ${\beta _0} = {\left( {\dfrac{\epsilon }{n}} \right)^{\frac{1}{p}}}/\log 2$ ， $\beta = \dfrac{1}{q} = \;{\beta _0}$ ， ${\beta _{\mathit{\Upsilon}} } = {10^{ - 6}}$ 。

1) 循环： $t = 1,2, \cdots ,{\mathit{\Upsilon }} $ 。

a) 通过求解式(5)来更新 ${{{x}}^{\left( t \right)}}$ ，得到 ${{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}$ ：

$\begin{array}{c} p{\left[ {|{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}| + \dfrac{1}{q}\ln \left( {1 + {{\rm{e}}^{ - 2q|{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}|}}} \right)} \right]^{p - 1}} \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2q{f_i}\left( x \right)}}{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}}}{{1 + {{\rm{e}}^{ - 2q{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}}}}}+ \\ {\rm{ }} \dfrac{1}{\lambda }{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}\left( {{{\varPhi }}{{{x}}^{\left( t \right)}} - {{y}}} \right) = 0 \\ \end{array} $

(5)

b) 更新 $\;\beta = {\beta _0}{10^{ - \mu \left( {t + 1} \right)}}$ ，其中 $\;\mu = \dfrac{{\log \left( {{{{\beta _0}} / {{\beta _{\mathit{\Upsilon }}}}}} \right)}}{{{\mathit{\Upsilon }} + 1}}$ ；

c) 判断是否满足迭代终止条件： $\left| {{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}} - {{{x}}^{\left( t \right)}}} \right| < \xi $ 或者 $\;\beta = {\beta _{\mathit{\Upsilon }} }$ ，其中 $\xi $ 是一个很小的正常数， ${\mathit{\Upsilon }} $ 是使迭代满足终止条件的最小值。若满足，结束循环；若不满足，返回1)；

2) 得到稀疏目标信号的解： ${{x}} = {{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}$ 。

为了更好地体现重构效果，本文将上述方法与其他相关算法进行对比，来充分说明本文所提算法的优越性。评价的标准是峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)、结构相似性(structural Similarity，SSIM)和所需时间t。具体分析与讨论下面将会介绍。

首先，本节与MEA-RA算法对比的是基于Lq最小化的稳定稀疏逼近（stable sparse approximation based on Lq minimization, StSALq）算法^[15]、复合三角函数零空间重加权近似 ${{{l}}_0}$ 范数(composite trigonometric function null-space reweighted approximate ${{{l}}_0}$ -norm，CTNRAL0)^[16]、LP正则化最小二乘算法(l_p-regularized least squares algorithm，l_p-RLS)^[17]、近似消息传递算法(approximate message passing, AMP)^[18]。本节以 $256 \times 256$ 的Peppers图像作为实验对象(如图1所示)，并且在不同压缩比的情况下，对这些算法进行仿真分析。实验中，取压缩比(compression ratio, CR)分别为0.4、0.5、0.6，添加的噪声是均值为零、方差为0.01的高斯噪声。

去除噪声恢复后的效果图如图2~4所示，从图2~4中可以看出，当CR大于0.5时，所有算法都可以很好地恢复出原始的图片，尤其是MEA-RA算法的效果最好，但是其他4种算法恢复的图像仍然会有一些小的噪点。在CR等于0.4的时候，效果更加明显。尤其是StSALq算法，去除噪声后恢复的图像出现了一些线状的噪声，而且边缘地方恢复的效果也不是很好。而MEA-RA算法仍然可以恢复出很好的效果，并且没有明显的噪声。这些分析都是从主观上进行的，下面将从客观数据上对其进行更充分的说明。

其次，本文将从PSNR和SSIM 2方面进行考虑，如表1所示。MEA-RA算法在PSNR方面，值是最大的，而且比其他最好的算法在数值上提升了至少1 dB以上，说明恢复的效果也是最好的。在SSIM方面，该算法也是最接近1的，也就说明本文所提算法恢复后的图像和原图像基本上是一致的。另外4种算法，相对来说没有那么理想，尤其是在压缩比比较低的时候，StSALq算法恢复的PSNR值只有21.811 dB、CTNRAL0算法只有24.989 dB， ${l_p}$ -RLS算法为26.343 dB。所以，综合来看，MEA-RA算法具有相对其他4种算法最好的效果。

最后，从运算所需时间上进行分析，如表2所示。MEA-RA算法的运行时间是相对最短的，其他几种算法的时间都比较长，尤其是StSALq算法、CTNRAL0算法和 ${l_p}$ -RLS算法，这3种算法的运行时间过长，在当前的实际环境中很难使用。另外，从不同压缩比所用的时间来看，每种算法所受的影响都不同，但总体趋势，即相对时间的多少是不变的。所以，比较来看，MEA-RA算法是相对最优的。但是在时间上仍然有很大的改进空间。

综上所述，在对比的几种算法中，MEA-RA算法的PSNR和SSIM值最高，在PSNR值上至少提升了1 dB，并且运行时间也是最短的，是这几种算法中最好的。但是仍然存在需要改进的地方，下节会对其进行进一步分析，在时间上进行进一步优化。

2 基于ADMM改进的去噪方法

由第1节可以知道，在比较的几种重构算法中，MEA-RA算法的重构效果最好，并且时间也是相对比较少的。为了实现更快更好的去噪重构效果，本文将该算法与ADMM算法^[19-20]进行结合，提出了一种更快而且图像去噪重构效果更好的算法。

所提算法是一种基于ADMM改进的重构算法。主要是将MEA-RA算法和ADMM算法进行结合，利用ADMM算法实现MEA-RA，所以提出一种速度更快的新算法——基于ADMM改进的MEA-RA算法（improved MEA-RA algorithm based on ADMM, MEA-RA-ADMM）。

该算法的具体实现步骤如下：

输入　压缩后的信号 ${{y}}$ 、 ${{\varPhi }}$ 、 $\lambda $ 、 $p$ 、 $q$ 。

输出　重构目标信号 ${{x}}$ 。

初始化 ${{{x}}^{\left( 0 \right)}} = {{{\varPhi }}^{\rm{T}}}{\left( {{{\varPhi }}{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}} \right)^{ - 1}}{{y}}$ ， ${v^{\left( 0 \right)}} = {{{x}}^{\left( 0 \right)}}$ ， ${u^{\left( 0 \right)}} = {{0}}$ ， $\;{\beta _0} = {\left( {\dfrac{\epsilon }{n}} \right)^{\frac{1}{p}}}/\log 2$ ， $\beta = \dfrac{1}{q} = {\beta _0}$ ， $\;{\beta _{\mathit{\Upsilon }}} = {10^{ - 6}}$ 。

1) 外部循环： $t = 1,2, \cdots ,{\mathit{\Upsilon }} $ 。

a) 内部循环： $k = 0,1, \cdots ,{\rm{iter}}$ ，iter为迭代次数；

$ {{{x}}^{\left( {k + 1} \right)}} = \arg \mathop {\min }\limits_{{x}} \frac{1}{2}\left\| {{{y}} - {{\varPhi }}{{{x}}^{\left( k \right)}}} \right\|_2^2{\rm{ + }}\frac{\lambda }{{\rm{2}}}\left\| {{{{x}}^{\left( k \right)}} - \left( {{{{v}}^{\left( k \right)}} - {{{u}}^{\left( k \right)}}} \right)} \right\|_2^2 $

$ {{{v}}^{\left( {k + 1} \right)}} = {\rm{BM3D}}\left( {1,\frac{{{y}}}{{\max \left( {{y}} \right)}},\sigma } \right) $

式中：BM3D是一种去噪模型； $\sigma = \sqrt {\frac{\beta }{\lambda }} $ 。

$ {{{u}}^{\left( {k + 1} \right)}} = {{{u}}^{\left( k \right)}} - \left( {{{{x}}^{\left( {k + 1} \right)}} - {{{v}}^{\left( {k + 1} \right)}}} \right) $

b) 将a)得到的结果赋值给 ${{{x}}^{\left( t \right)}}$ ，然后通过求解式(6)来更新 ${{{x}}^{\left( t \right)}}$ ，得到 ${{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}$ ：

$\begin{array}{c} p{\left[ {|{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}| + \dfrac{1}{q}\ln \left( {1 + {{\rm{e}}^{ - 2q|{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}|}}} \right)} \right]^{p - 1}} \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - 2q{f_i}\left( x \right)}}{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}}}{{1 + {{\rm{e}}^{ - 2q{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}}}}}+ \\ {\rm{ }} \dfrac{1}{\lambda }{{{\varPhi }}^{\rm{T}}}\left( {{{\varPhi }}{{{x}}^{\left( t \right)}} - {{y}}} \right) = 0 \\ \end{array} $

(6)

c) 更新 $\beta = {\beta _0}{10^{ - \mu \left( {t + 1} \right)}}$ ，式中 $\mu = \dfrac{{\log \left( {{{{\beta _0}} / {{\beta _{\mathit{\Upsilon }} }}}} \right)}}{{{\mathit{\Upsilon }} + 1}}$ ；

d) 判断是否满足迭代终止条件： $\left| {{{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}} - {{{x}}^{\left( t \right)}}} \right| < \xi $ 或者 $\;\beta = {\beta _{\mathit{\Upsilon }} }$ ，其中 $\xi $ 是一个很小的正常数。若满足，结束循环；若不满足，返回1)；

2) 得到稀疏目标信号的解： ${{x}} = {{{x}}^{\left( {t + 1} \right)}}$ 。

2.1 参数的选择

本文由于涉及到 ${l_p}$ 范数，在实际的实验中将对 $p$ 进行精确取值，为了实验可以达到最好的效果，下面将对不同的 $p$ 值进行实验，并计算不同 $p$ 的取值情况下归一化均方误差（normalized mean square error, NMSE）的数值。NMSE值越小说明图像去除噪声后恢复效果越好。在这里，将二者的曲线绘制成二维曲线图，如图5所示。从图5中可以知道，在 $p$ 的取值为0.1~0.8时，NMSE逐渐减少，从0.8~1呈现逐渐增大的趋势，在 $p$ 的取值为0.8时取得最小值。这也说明在 $p$ 为0.8时，本文算法取得最好的效果。所以，在接下来的实验中设置常数 $p$ =0.8。

本算法首先调节熵函数替换 ${l_p}$ 范数，之后为了达到更好的去噪效果，引入正则化机制，即添加正则化常数。同样为了达到更好的效果，本文对不同的 $\lambda $ 值进行取值，并比较不同 $\lambda $ 值情况下NMSE的变化情况，从而可以更好地把控参数对本文算法的影响。通过实验，并将结果绘制成如图6所示的二维曲线图。从实验中可以知道，在 $\lambda $ 取值为 ${10^{ - 8}}$ ~ ${10^{ - 2}}$ 时，曲线比较平稳；在 $\lambda $ 取值大于 ${10^{ - 2}}$ 时，曲线出现逐渐增长的趋势，即NMSE的值逐渐变大。基于这种情况，本文取 $\lambda $ = ${10^{ - 5}}$ 。在接下来的实验中设置 $\lambda $ 为 ${10^{ - 5}}$ 。

2.2 实验仿真分析

本文以下面2幅图像作为实验对象，如图7所示。主要考虑高斯噪声对信号的影响。与MEA-RA-ADMM对比的算法选择MEA-RA和基于ADMM的BM3D算法2种。选择的一个依据是改进之前，通过实验可以知道这种改进方式是否有用、是否可以提升算法的性能；选择的另一个依据是该算法是典型的算法，BM3D是去噪效果很好的一种去噪算法，将其应用到ADMM，更有一定的说服力。所以，选择了这2种算法。接下来，将添加不同噪声强度的高斯信号，并且在不同压缩比下分别对这3种算法进行对比，并分析实验的结果。

首先以Lenna图为目标图，如图8~11所示为3种算法在压缩比为0.6、添加噪声强度分别为0.07、0.09、0.10、0.20等4种情况下去噪的恢复效果图以及残差图。从图8~11中可以看出，MEA-RA-ADMM性能最好，恢复的图像最接近原始图像。而其他2种算法都存在一些噪声，尤其是帽子和头发部分。另外，随着噪声的增加，去除噪声后恢复的效果也在逐渐变差，但是MEA-RA-ADMM仍然可以恢复很好的效果。

图8~11中上方的图为3种算法的去噪恢复图，下方的图为残差图。上面仅仅是主观评价，为了使结果更具有说服力，本文从残差值、峰值信噪比(PSNR)、归一化均方误差(NMSE)和时间上分别进行比较，其中NMSE和SSIM均是对原图与恢复效果图误差的评估。

首先，从残差上进行分析和比较3种重构算法去除噪声后的恢复效果。如图8~11和表3所示，本文所提算法是三者中残差最小的，从残差图中基本看不到噪点。另外2种算法噪点相对比较多，也可以说明本文所提算法是最优的。

其次，从PSNR和NMSE 2方面进行分析和对比。从表3、4可以知道，本文所提算法MEA-RA-ADMM的PSNR是最大的，并且NMSE是最小的。从数值上看，本文所提算法在PSNR上比单纯的MEA-RA算法提升了1.3 dB，比基于ADMM的BM3D算法提升更多；在NMSE上比单纯的MEA算法降低了10%。所以本文所提MEA-RA-ADMM是一种恢复效果很好的重构算法。

最后，从时间上进行比较。Lenna图和Parrots图在不同压缩比、不同噪声强度下的运行时间如表5所示。相对MEA-RA算法，本文所提MEA-RA-ADMM算法在噪声强度小于0.2时运行时间会有提升，这说明结合ADMM算法具有减少时间消耗的作用。虽然相对于ADMM算法，时间消耗大一些，但是若达到相同的去噪效果，时间也是最低的。而且在之前的分析可以看出，相对于MEA-RA算法，本文算法不但在PSNR上有一定的提升，而且也缩短了时间上的开销，进一步提升了该算法的图像去噪重构的效果。

3 结论

本文针对图像去噪的恢复效果较差以及恢复时间较长的问题，提出了解决方法。

1)首先根据熵函数提出了一种新的重构算法，即基于熵函数的重构算法——MEA-RA算法。

2)然后进行实验对比，对比的算法也都是与此相关的一些算法，经过仿真结果可以知道MEA-RA 算法具有很好的性能，而且时间复杂度相对也比较低。

3)为了进一步降低时间开销，本文将MEA-RA算法与ADMM算法进行结合，提出了一种新的基于ADMM的图像去噪算法——MEA-RA-ADMM算法。

4)对新提算法进行仿真分析，结果说明MEA-RA-ADMM是一个很好的算法，在PSNR值上有至少1 dB的提升，而且在时间上，当噪声强度小于0.2的时候，也得到了一定的提升。本文所提算法具有一定的工程实践价值。