2. 北京遥感设备研究所,北京 100854
2. Beijing Institute of Remote Sensing Equipment, Beijing 100854, China
正交频分复用技术凭借抗多径效应的能力强、频谱利用高、易于其他多种接入方法相结合等特性在许多领域中得到应用,如3GPP的长期演进(long term evolution,LTE)标准,以及即将推出的5G通信系统。OFDM系统的主要缺点之一是信号峰值功率与平均功率的比值偏高[1]。目前提出的降低OFDM系统的PAPR的方法共分为3类:信号预畸变方法、编码类方法、概率类方法。其中,信号预畸变方法会导致信号失真[2-3],编码方法适用于子载波数目较少的系统,在子载波数目过多时其算法复杂度过高,所以概率类技术成为降低PAPR的主要方法。现有的概率类技术包括选择性映射算法(selected mapping,SLM)[4-5]、部分传输序列算法[6]等。
本文将针对PTS和WHT进行研究,提出一种联合算法提高PAPR抑制性能,同时不过多增加算法的计算量,达到算法复杂度和算法性能的折中。
1 OFDM系统及峰值均值功率比OFDM系统是一种多载波数字调制方案。其信号是由调制后的多个子载波叠加而成的。假设OFDM系统有N个子载波,其周期为T,每个子载波承载的数据为
$s(t) = \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {{A_i}\cos \left[ {2{{\text{π} }}\Bigg({f_c} + \frac{i}{T}\Bigg)t} \right]} ,\;0 \leqslant t \leqslant T$ |
通常采用快速傅里叶变换(fast Fourier transform,FFT)来实现OFDM的调制。设Xk表示OFDM的频域信号,经过IFFT变换后得到时域信号xn,其中xn与Xk的关系如下
${x_n} = \frac{{\rm{1}}}{{\sqrt N }}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{X_k}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{{\text{π}} }}}}{N}kn}}} ,\;0 \leqslant n \leqslant N - 1$ | (1) |
信号峰值功率与均值功率的比值称为峰值均值功率比简称峰均比,这里PAPR的值可用公式表示为[7]
${P_n} = 10\lg\frac{{\mathop {\max }\limits_{n = 0}^{N - 1} \left\{ {{{\left| {{x_n}} \right|}^2}} \right\}}}{{{\rm{E}}\left\{ {{{\left| {{x_n}} \right|}^2}} \right\}}}$ |
由峰均比定义可知OFDM子载波的同相叠加是一个随机过程。为了直观地表述OFDM信号的峰均比,可以使用互补累计分布函数(complementary cumulative distribution function,CCDF)在统计学的角度上表示信号的PAPR。互补累计分布函数表示OFDM信号的PAPR大于所设定的PAPR值门限z的概率[8]:
$C = {P_r}\left( {{P_n} > z} \right) = 1 - {\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - z}}} \right)^N}$ |
部分传输序列算法是降低OFDM信号PAPR的一种常用方法,PTS算法的基本原理是将原始序列分割成V个不同的子块,每个子块分别乘以不同的相位旋转因子后进行相加合并,通过改变各个子块所乘的相位旋转因子使PAPR尽可能小。PTS的原理框图如图1所示。
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输入的OFDM原始信号X=[X0,X1,···,XN-1]首先被分割为V个子块,对每一个子块进行相位加权并合并,得到
$ {X'} = \sum\limits_{v = 1}^V {{b^v}} {{X}^v} $ |
式中
${x} = {\rm{IFFT}}\left\{ {\sum\limits_{v = 1}^V {{b^v}{{{X}}^v}} } \right\} = \sum\limits_{v = 1}^V {{b^v} \cdot {\rm{IFFT}}\left\{ {{{{X}}^v}} \right\}} = \sum\limits_{v = 1}^V {{b^v}{{{x}}^v}} $ | (2) |
式中
$\left[ {{{\tilde b}^1},{{\tilde b}^2} \cdots ,{{\tilde b}^V}} \right] = \mathop {\arg \min }\limits_{\left[ {{{\tilde b}^1}, {{\tilde b}^2},\cdots ,{{\tilde b}^V}} \right]} \left( {\mathop {\max }\limits_{n = 0,1, \cdots ,N - 1} \left| {\sum\limits_{v = 1}^V {{b^v}{{x}^v}} } \right|} \right)$ |
从式(2)来看,
次优PTS算法的峰均比抑制性能与分块数相关,分块数越多次优PTS算法的峰均比抑制性能越好。次优PTS算法的性能与分块数的关系如图2所示。
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沃尔什哈达玛变换(WHT)是沃尔什(Walsh)变换和哈达玛(Hadamard)变换的统称,WHT的构成十分简单,是一个只由1和−1组成的有序序列[10]。WHT只需要进行简单的加减运算就可以得到,不需要进行大量的复数乘法运算,这样使得WHT具有较低的运算量。
WHT是以Walsh函数为基本函数的一种正交变换。Walsh函数由拉德梅克(Rademacher)函数得到,拉德梅克函数R(n,t)的定义为[11-13]
$\begin{array}{c} R\left( {n,t} \right) = {\mathop{\rm sgn}} \left( {\sin {2^n}{\rm{\text{π} }}t} \right)\\ {\mathop{\rm sgn}} \left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!{1,{\rm{ }}x > 0}\\ \!\!\!{ - 1,{\rm{ }}x <0} \end{array}} \right. \end{array}$ | (3) |
从式(3)可以看出拉德梅克函数是一个由1和−1组成的周期函数。Hadamard排列的walsh变换如下
${\rm{Wa}}{{\rm{l}}_H}\left( {i,t} \right) = \prod\limits_{k = 1}^p {{{\left[ {R\left( {k + 1,t} \right)} \right]}^{ < {i_k} > }}} $ |
式中:R(k+1,t)是拉德梅克函数,是倒序的二进制码的第k位,k=1,2, ···, p。一维WHT及其逆变换的定义为
$W\left( u \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{x = 1}^N {f\left( x \right){\rm{Wa}}{{\rm{l}}_H}\left( {u,x} \right),\;u = 1,2, \cdots ,N} $ |
$f\left( x \right) = \sum\limits_{x = 1}^N {W\left( u \right){\rm{Wa}}{{\rm{l}}_H}\left( {u,x} \right),\;x = 1,2, \cdots ,N} $ |
Walsh-Hadamard矩阵是正交矩阵的一种,可以通过递推的方法生成。以N阶Walsh-Hadamard矩阵为例,其生成方式如下:
$\left\{ \begin{array}{l} {{{H}}_1} = \left[ 1 \right]\\ {{{H}}_2} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right]\\ \quad\qquad\vdots \\ {{{H}}_N} = \dfrac{1}{{\sqrt N }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H_{{N/ 2}}}}&{{H_{{N / 2}}}}\\ {{H_{{N / 2}}}}&{ - {H_{{N / 2}}}} \end{array}} \right] \end{array} \right.$ |
式中矩阵前的系数为归一化系数。
根据式(1)中所假设的信号,离散时间信号的功率可由式(4)得出:
$\begin{split} {\left| {{x_n}} \right|^2} = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{p = 0}^{N - 1} {\displaystyle\sum\limits_{q = 0}^{N - 1} {{{{X}}_p}{{X}}_q^ * {{\rm{e}}^{{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}\left( {p - q} \right)} / N}}}} } = \\ 1{\rm{ + }}\dfrac{{\rm{2}}}{N}{\rm{Re}}\left\{ {\displaystyle\sum\limits_{p = 0}^{N - 2} {\displaystyle\sum\limits_{q = p + 1}^{N - 1} {{{{X}}_p}{{X}}_q^ * {{\rm{e}}^{{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}\left( {p - q} \right)} / N}}}} } } \right\} = \\ 1 + \dfrac{{\rm{2}}}{N}{\rm{Re}}\left\{ {\displaystyle\sum\limits_{q = 1}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{{{\rm{j2\pi }}q} / N}}}\displaystyle\sum\limits_{p = 0}^{N - 1 - q} {{{{X}}_{p + q}}{{X}}_p^ * } } } \right\}\\[-10pt] \end{split}$ | (4) |
对于任意一个复数Z,都有
${\left| {{x_n}} \right|^2} \leqslant 1 + \frac{2}{N}\sum\limits_{q = 1}^{N - 1} {\left| {\rho \left( q \right)} \right|} $ |
其中:
$\rho \left( q \right) = \sum\limits_{p = 0}^{N - 1 - q} {{{{X}}_{p + q}}{{X}}_p^ * ,q = 0,1, \cdots ,N - 1} $ |
是序列X的非周期自相关函数序列S。
假设OFDM信号
$P \leqslant 1 + \frac{2}{N}\sum\limits_{q = 1}^{N - 1} {\left| {\rho \left( q \right)} \right|} $ | (5) |
由式(5)可知,一个信号的PAPR值和该信号的自相关函数值有关。并且自相关函数值越小,该信号的PAPR越小。
假设S为矩阵H与输入序列X相乘得到的序列,
${\rm{E}}\left[ {\left| {{\rho _S}\left( {N - 1} \right)} \right|} \right] < {\rm{E}}\left[ {\left| {{\rho _X}\left( {N - 1} \right)} \right|} \right]$ |
根据式(5)可得
${\rm{E}}\left[ {\sum\limits_q^{N - 1} {{\rho _S}\left( q \right)} } \right] < {\rm{E}}\left[ {\sum\limits_q^{N - 1} {{\rho _X}\left( q \right)} } \right]$ | (6) |
由式(6)可得,经过WHT后信号的自相关函数的均值减小了,进而推断出进行变换后的序列的PAPR减小。
4 次优PTS-WHT联合算法联合算法的主要思想是先对数据进行低峰均比值的WHT,再利用PTS算法进一步优化。PTS算法使用搜索次数低的次优算法,从而达到复杂度低、性能好的效果。
4.1 次优PTS-WHT联合算法图3为次优PTS-WHT联合算法框图。
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该方法的主要步骤如下:
1)将输入的OFDM的串行数据进行串并变换,并进行数字映射,得到N个已映射的数据;
2)生成一个
3)采用相邻分割的方式将输入OFDM信号分成V个子块;
4)对V的子块数据进行IFFT变换;
5)设置所有的相位因子
6)设置
7)如果PAPR值大于Pmin,那么
8)如果
9)将得到的最优相位因子
对次优PTS-WHT联合算法进行Matlab仿真分析。本次仿真实验的基本参数设置如下:OFDM符号数为3 000,调制方式为QPSK,子载波数为256,IFFT取256点,CP长度为36,实验中可选择的相位因子为b=[1,−1],子块数目为4块,次优PTS算法采用随机交织。图4为OFDM原始信号通过次优PTS-WHT联合算法和次优PTS算法的CCDF分布图。图中可以看出相比于次优PTS算法,本文提出的联合算法的PAPR值降低了0.5 dB左右,OFDM系统的PAPR得到了较大的优化。
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改变次优PTS算法的子块数为8,次优PTS-WHT算法子块数不变,其余仿真参数同上。图5为OFDM原始信号、分块数为8的次优PTS算法和分块数为4的次优PTS-WHT联合算法CCDF分布图。
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从图5中可以看出,在次优PTS算法分块数增加一倍时,其峰均比抑制性能与次优PTS-WHT联合算法相近。但是此时的次优PTS算法增加了1 024次IFFT运算,而次优PTS-WHT联合算法仅仅增加了1 024次乘法运算。由此可见在PAPR抑制性能近似时,次优PTS-WHT算法运算量远远低于次优PTS算法。
5 结论本文提出了一种基于次优PTS-WHT联合算法,并对现有的次优PTS算法进行了仿真并进行对比。仿真结果表明:
1)在分块数相同的的情况下,联合算法的PAPR抑制性能相比次优PTS算法提升了0.6 dB。
2)在实现相同的PAPR抑制性能的条件下,次优PTS-WHT联合算法运算量则远低于次优PTS算法。
因此联合算法可以在不过多增加运算量的条件下实现良好的PAPR抑制效果。
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