随着科学技术的发展，现代电子战信号的电磁环境变得越发复杂^[1-2]，接收机作为电子战中无线信号接收的重要系统，其接收到的信号往往具有非合作、先验信息未知、接收信号中所包含的子带信号数目、带宽及位置均未知的特点^[3]。为了能够动态地适应电子战系统中低截获概率(low probability of intercept，LPI)雷达信号等大瞬时带宽的信号在传统的均匀宽带数字信道化接收机中存在的跨信道的情况，动态数字信道化接收机应运而生。在动态数字信道化接收机中，正确地对子带信号的频谱实施检测，判断子信道中信号的有无，继而对存在信号的子信道进行综合，重构出相应的原始信号，实现宽带信号中多个信号的提取与分离是动态数字信道化技术的关键，对后续的信号处理起着关键作用^[4]。

频谱检测作为动态信道化结构中的重要组成部分，对子带信号检测的正确与否，影响着整个接收机的性能，是后续信号处理的基础。以往的经典频谱检测处理方法主要包括能量检测法(energy detection，ED)^[5]、匹配滤波法(matched filtering detection，MFD)^[6]以及循环平稳特征检测法(cyclostationary feature detection，CFD)^[7]。ED检测方法的优势是实现简单，无需已知信号的先验信息，但是需要根据噪声估计检测门限，受噪声的可变性影响较大。MFD方法的优点是检测精度高，在一定条件下是最佳检测，但是其需要了解信号和噪声的先验信息，这在现代电子战中的雷达信号接收中是很难做到的。而CFD方法的优点是抗噪性能强，但是其实现过程复杂，进行信号检测的时间较长，不具备实时性。近年来，随机矩阵理论(random matrix theory, RMT)作为一种新的理论，其发展促进了人们对频谱检测技术的研究^[8-9]。基于随机矩阵理论的频谱检测方法，通过分析接收信号的采样协方差矩阵的特征值来进行频谱检测，具有实现简单、不需要先验信息以及检测效果好的优点而受到学者们的关注，并出现了包括最大最小特征值之比(maximum-minimum eigenvalue，MME)^[9]、最大最小特征值之差(different between the maximum and minimun eigenvalue，DMM)^[10]等优秀的算法及其相应的改进算法。然而，已有的算法大多根据最大特征值所具有的分布规律确定门限，获得的门限精度有待进一步提升，并且他们的检验统计量通常只利用到了采样协方差矩阵的最大特征值和最小特征值的信息，其余特征值因没有用到而被舍弃，与此同时，最大最小特征值并不能完整地反馈出采样协方差矩阵的所有特征值信息，因而会造成资源浪费，也会对性能造成相应的损失。同时，特征值之差一类算法的最终门限表达式与噪声有关，检测结果受噪声影响。

从大数据的观点来看，根据系统观测采集到的所有数据进行分析和计算，能够从高维度的角度提取到多维数据的固有属性，从而能够更加清晰准确地认识到系统的内部特性，并以此做出相应的判决。对于信号的采样协方差矩阵来说，其所有的特征值共同反映了信号的特征信息，与只利用最大和最小特征值的信息相比较，对全部特征值进行合理利用将能获得更好的检测效果。基于以上想法，本文利用随机矩阵理论的最新研究成果，应用更为精确的最小特征值的分布^[11]，结合采样协方差矩阵的全部特征值信息，将判决统计量表示为平均特征值与最小特征值之比的形式，在2种不同条件下推导出了更优的检测门限表达式，提出了2种基于特征值的改进检测方法：平均特征值与最小特征值之比(average eigenvalue-minimum eigenvalue，AEME)算法和性能更优的平均特征值与最小特征值之比(improved average eigenvalue-minimum eigenvalue，IAEME)算法。给出了算法的推导过程和算法流程，并通过Matlab仿真实验与其他文献中已有的方法进行对比分析，验证了所提算法的性能。

1 基于特征值的动态信道化子带频谱检测模型

基于特征值的动态信道化子带频谱检测结构可以表示为如图1所示。

假设系统信道个数为 $K$ ，输入信号 $x(n)$ 经过分析滤波器组后可以得到 $K$ 路子带输出，将第 $i$ 路子带输出信号表示为 ${x_i}(n),\;i = 0,1, \cdots ,K - 1$ ，并且 ${x_i}(n)$ 由信号和噪声2部分组成：

${x_i}(n) = {s_i}(n) + {\omega _i}(n),\;i = 0,1,\cdots,K - 1$

式中： ${s_i}(n)$ 为第 $i$ 路子信道在第 $n$ 个时刻采样得到的信号； ${\omega _i}(n)$ 为第 $i$ 路子信道中的高斯噪声，其均值为0、方差为 ${\sigma ^2}$ 。频谱检测的目的是从输出子带信号数据中，根据一定的判决准则，判断子带中信号的“有”或“无”，继而为后续信号重构提供依据。因而，对动态信道化各个子带的频谱检测可以表述为一个二元假设检验问题：

${x_i}(n) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\omega _i}(n), {H_0}} \\ {{s_i}(n) + {\omega _i}(n), {H_1}} \end{array}} \right.$

式中： ${H_0}$ 和 ${H_1}$ 分别表示信道中仅包含噪声和信道中除了噪声外还有有用信号存在的情况； $n = 0, 1, \cdots ,L - 1$ 。

当用某种检测算法对频谱进行检测时，需要对各子带输出信号的观测数据进行处理，得到根据某种数据形式计算得到的检验统计量 $T[{x_i}(n)]$ ，假设 $\gamma $ 为检测门限，则判决规则可以表示为

$\left\{ \begin{array}{l} T[{x_i}(n)] > \gamma ,{\kern 1pt} {H_1} \\ T[{x_i}(n)] \leqslant \gamma , {H_0} \\ \end{array} \right.$

2 单通道信号的多通道转换

在动态数字信道化接收机中，各子带的输出数据通常都是单通道形式的，即为一个 $1 \times L$ 的观测数据向量。为了获得各个子带输出信号的采样协方差矩阵及其特征值，需要将单通道信号进行多通道转换，将单通道接收转换为多通道接收的形式，即将各个子带输出的 $1 \times L$ 维观测数据向量转换为 $M \times N$ 的数据矩阵形式，常用的方法有延时扩展法^[12]、经验模态分解法^[13]和间隔采样法^[14]等。

延时扩展法采用延时处理的方式将观测数据进行延时获得多段数据，以此构造虚拟通道，进而将各个通道的数据组合在一起构造接收数据矩阵。其优点是操作简单且计算量小，但是需要的采样点数较多。

经验模态分解法以信号本身的局部时间特性为依据，将要处理的信号分解为一系列固有模态函数(intrinsic mode function，IMF)的和的形式，从而使一般复杂的信号能够分解为单分量信号。一个单通道的观测信号经过经验模态分解后，可以将其扩展成为IMF分量与残余量组合的多通道形式，进而获得数据矩阵。其优点是能够自适应地将信号分解为多通道接收形式，但是其计算复杂度高，不利于数据的实时处理。

所谓间隔采样法，是指输入信号为过采样信号，对输入信号进行重采样可以获得新的数据向量，用重采样得到的数据向量即可构成多维矩阵。假设输入的单通道接收观测数据向量为 ${{x}}(n),\;n = 0,1, \cdots ,L - 1$ ，对其以周期 $T$ 进行重采样，其中 $T$ 满足 $T/{T_s} = M$ ， $M$ 为整数， ${T_s}$ 为 ${{x}}(n)$ 的采样周期，则能够得到 $M$ 个新的采样序列 ${x_i}(n),\;i = 1, 2, \cdots ,M$ 。

${x_i}(n) = x[Mn + i - 1],\;i = 1,2, \cdots ,M$

因而可以通过间隔采样把观测信号的单通道接收数据转换为多通道的接收形式。

$\begin{array}{l} {{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}(n)} \\ {{x_2}(n)} \\ \vdots \\ {{x_M}(n)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x(nM)} \\ {x(nM + 1)} \\ \vdots \\ {x(nM + M - 1)} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x(0)}&{x(M)}& \cdots &{x((N - 1)M)} \\ {x(1)}&{x(M + 1)}& \cdots &{x((N - 1)M + 1)} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {x(M - 1)}&{x(2M - 1)}& \cdots &{x(NM - 1)} \end{array}} \right] \\ \end{array} $

式中， $n = 0,1, \cdots ,N - 1$ 。新的采样序列的采样率为原序列的 $1/M$ ，图2给出了将一个过采样信号通过间隔采样法得到多个新序列的例子，图中 $M = 3$ 。

由于信道化处理中的分析滤波器组的输出子带带宽远小于输入信号带宽，每个子带的输出均为过采样信号，因此，间隔采样法较适合信道化处理中的信号维数转换。

对第 $i$ 个子带的输出信号 ${x_i}(n)$ 采用间隔采样法进行处理，能够得到如下所示的观测数据矩阵：

$\begin{array}{l} {{{X}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{i1}}(n)} \\ {{x_{i2}}(n)} \\ \vdots \\ {{x_{iM}}(n)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_i}(nM)} \\ {{x_i}(nM + 1)} \\ \vdots \\ {{x_i}(nM + M - 1)} \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_i}(0)}&{{x_i}(M)}& \cdots &{{x_i}((N - 1)M)} \\ {{x_i}(1)}&{{x_i}(M + 1)}& \cdots &{{x_i}((N - 1)M + 1)} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{x_i}(M - 1)}&{{x_i}(2M - 1)}& \cdots &{{x_i}(NM - 1)} \end{array}} \right] \\ \end{array} $

(1)

式中 ${x_{im}}(n),\;m = 1,2, \cdots ,M$ 表示单通道信号 ${x_i}(n)$ 进行单通道信号的多通道转换后得到的每一个通道的信号，每个通道的信号含有 $N$ 个采样点。

3 检验统计量的确定

由式(1)可以求得第 $i$ 路子带输出的采样协方差矩阵为

$ {{{R}}_{ix}}(N) = \frac{1}{N}{{{X}}_i}{{X}}_i^{\rm{H}} = {{{R}}_{is}}(N) + {{{R}}_{i\omega }}(N) = \\ {{{R}}_{is}}(N) + {\sigma ^2}{{{I}}_M} $

(2)

当 ${H_0}$ 成立的条件下，由于信道中只存在噪声，则第 $i$ 路子带的采样协方差矩阵可以表示为

${{{R}}_{ix}}(N) = {{{R}}_{i\omega }}(N) = \frac{1}{N}{{{W}}_i}{{W}}_i^{\rm{H}} = {\sigma ^2}{{{I}}_M}$

根据随机理论可知，此时的 ${{{R}}_{ix}}(N)$ 是一个Wishart随机矩阵。

对 ${{{R}}_{ix}}(N)$ 进行特征分解能够获得其 $M$ 个特征值分别为 ${\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots ,{\lambda _M}$ ，在 ${H_1}$ 的情况下，其各个特征值可以表示为 ${\lambda _i} = {\rho _i} + {\sigma ^2}$ ；在 ${H_0}$ 的情况下，采样协方差矩阵 ${{{R}}_{ix}}(N) = {{{R}}_{i\omega }}(N)$ ，因此在特征分解后可以获得其 $M$ 个相等的特征值 ${\lambda _i} = {\sigma ^2}$ 。因此在理想情况下， ${H_0}$ 和 ${H_1}$ 的 ${{R}_{ix}}(N)$ 特征值的平均值分别表示为 ${\sigma ^2}$ 和 $\bar \rho + {\sigma ^2}$ ，而最小特征值都是 ${\sigma ^2}$ 。

基于上述分析，我们利用特征值的平均值与最小特征值的差异，采用二者的比值作为检验统计量进行频谱检测。则检验统计量可表示为

$T = \frac{{{{\bar \lambda }_i}}}{{\mathop {\min }\limits_{j = 1,2,\cdots,M} \lambda _i^j}}{\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{{\bar \rho }}{{{\sigma ^2}}} + 1,}\quad {{H_1}}\\ {1,}\quad {{H_0}} \end{array} \right.$

(3)

式中 $i = 0,1, \cdots ,K - 1 $ 。

显然，当采用检验统计量 $T$ 进行频谱检测时，根据式(3)，检测门限 $\gamma $ 的值应该取1，判决规则为

$\left\{ \begin{array}{l} T > 1,{\kern 1pt} {H_1} \\ T = 1, {H_0} \end{array} \right.$

(4)

然而， $\gamma = 1$ 是在理想情况下得到的门限。在实际的频谱检测过程中，由于采样数据的长度是有限的，因而根据式(2)估计得到的采样协方差矩阵 ${{{R}}_{ix}}(N)$ 只是近似等于其统计协方差矩阵。因而在信道中仅存在噪声时，检验统计量 $T$ 的值不会像式(4)中所表述的那样为一个常量，二者之间会存在一定的偏差， $T$ 的值会以一定的概率密度分布的形式出现。因而，实际的判决规则为

$\left\{ \begin{array}{l} T > \gamma ,{\kern 1pt} {H_1} \\ T \leqslant \gamma , {H_0} \end{array} \right.$

(5)

算法检测性能的优劣取决于 $\gamma $ 的取值，由于事先我们并不知道各个子带输出的信号中是否存在有用信号，即我们无法获得有用信号的任何先验信息，因而在 ${H_1}$ 情况下，很难通过检测概率 ${P_d} = P\{ T > \gamma |{H_1}\} $ 确定检测门限的取值。由于在 ${H_0}$ 情况下采样协方差矩阵 ${{{R}}_{ix}}(N)$ 是一个Wishart随机矩阵，根据文献[15-17]可知，Wishart随机矩阵的特征值具有极限收敛特性和满足Tracy-Widom分布的特性，因而可以通过分析给定虚警概率 ${P_f} = P\{ T > \gamma |{H_0}\} $ 的概率分布情况获得检测门限。

4 检测门限的确定

Wishart随机矩阵的联合概率密度表达式复杂度很高，根据文献[15-17]，利用随机矩阵的渐进理论，可以得出Wishart随机矩阵的特征值满足下面的几个定理。

定理1　假设噪声为实信号，令

${{A}}(N) = \frac{N}{{{\sigma ^2}}}{{{R}}_\omega }(N)$

$\mu = {\left( {\sqrt {N - 1} + \sqrt M } \right)^2}$

$\upsilon = \left( {\sqrt {N - 1} + \sqrt M } \right){\left( {\frac{1}{{\sqrt {N - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt M }}} \right)^{1/3}}$

假设 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } M/N = c\left( {0 < c < 1} \right)$ ，矩阵 ${{A}}\left( N \right)$ 的最大特征值用 ${\lambda _{\max }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right)$ 表示，则 $[{\lambda _{\max }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right) - \mu ]/\upsilon $ 满足1阶Tracy-Widom分布 ${F_1}\left( t \right)$ 。

定理2　假设噪声为复信号，令

${{A}}\left( N \right) = \frac{N}{{{\sigma ^2}}}{{{R}}_\omega }\left( N \right)$

$\mu ' = {\left(\sqrt N + \sqrt M \right)^2}$

$\upsilon ' = \left(\sqrt N + \sqrt M \right){\Bigg(\frac{1}{{\sqrt N }} + \frac{1}{{\sqrt M }}\Bigg)^{1/3}}$

假设 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } M/N = c\left( {0 < c < 1} \right)$ ，矩阵 ${{A}}\left( N \right)$ 的最大特征值用 ${\lambda _{\max }}({{A}}(N))$ 表示，则 $[{\lambda _{\max }}({{A}}(N)) - \mu ']/\upsilon '$ 满足2阶Tracy-Widom分布 ${F_2}(t)$ 。

定理3　根据M-P律，当 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } M/N = c\left( {0 < c < 1} \right)$ 时，

$\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\lambda _{\max }} = \frac{{{\sigma ^2}}}{N}{\left( {\sqrt N + \sqrt M } \right)^2}$

$\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {\lambda _{\min }} = \frac{{{\sigma ^2}}}{N}{\left( {\sqrt N - \sqrt M } \right)^2}$

伴随着人们对于随机矩阵理论研究的深入，学者们指出当 $M$ 和 $N$ 的取值趋向于无穷时，Wishart随机矩阵的特征值的最小值 ${\lambda _{\min }}$ 也满足Tracy-Widom分布，并且已经证明了最小特征值的极限分布函数具有比最大特征值的极限分布函数更加准确、性能更加良好的特性，尤其是在较低维度情况下^[18]。

定理4　假设噪声为实信号，令

${{A}}(N) = \frac{N}{{{\sigma ^2}}}{R_\omega }(N)$

$\mu = {\left( {\sqrt {N - 1} - \sqrt M } \right)^2}$

$\upsilon = \left( {\sqrt {N - 1} - \sqrt M } \right){\left( {\frac{1}{{\sqrt {N - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt M }}} \right)^{1/3}}$

假设 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } M/N = c\left( {0 < c < 1} \right)$ ，矩阵 ${{A}}\left( N \right)$ 的最小特征值用 ${\lambda _{\min }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right)$ 表示，则 $[{\lambda _{\min }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right) - \mu ]/\upsilon $ 满足1阶Tracy-Widom分布 ${F_1}\left( t \right)$ 。

定理5　假设噪声为复信号，令

${{A}}(N) = \frac{N}{{{\sigma ^2}}}{{{R}}_\omega }(N)$

$\mu ' = {\left(\sqrt N - \sqrt M \right)^2}$

$\upsilon ' = \left(\sqrt N - \sqrt M \right){\Bigg(\frac{1}{{\sqrt N }} - \frac{1}{{\sqrt M }}\Bigg)^{1/3}}$

假设 $\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } M/N = c\left( {0 < c < 1} \right)$ ，矩阵 ${{A}}\left( N \right)$ 的最小特征值用 ${\lambda _{\min }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right)$ 表示，则 $[{\lambda _{\min }}\left( {{{A}}\left( N \right)} \right) - \mu ]/\upsilon $ 满足2阶Tracy-Widom分布 ${F_2}\left( t \right)$ 。

由于检验统计量选取为待检测子带信号采样协方差矩阵特征值的平均值与最小特征值的比值，而在 ${H_0}$ 成立的情况下，噪声的方差可以表示为

${\sigma ^2} = \frac{1}{{M - 1}}\Bigg(\sum\limits_{i = 1}^M {{\lambda _i}} - {\lambda _{\max }}\Bigg)$

(6)

由式(6)可以将 ${{{R}}_{ix}}(N)$ 特征值的平均值表示为

$\bar \lambda = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 1}^M {{\lambda _i}} = \frac{1}{M}\left( {(M - 1){\sigma ^2} + {\lambda _{\max }}} \right)$

根据定理3可知， ${{{R}}_{ix}}(N)$ 特征值的平均值可以表示为

$\begin{array}{l} \bar \lambda = \dfrac{{M - 1}}{M}{\sigma ^2} + \dfrac{1}{M}\dfrac{{{\sigma ^2}}}{N}{\left( {\sqrt N + \sqrt M } \right)^2} = \\ \dfrac{{{\sigma ^2}}}{N}\left( {\dfrac{{N(M - 1)}}{M} + \dfrac{{{{\left(\sqrt N + \sqrt M \right)}^2}}}{M}} \right) \end{array} $

(7)

另一方面，在 ${H_0}$ 成立的情况下， ${{{R}}_{ix}}(N)$ 的特征值的平均值可以表示为

$\bar \lambda = \frac{{{\lambda _{\max }} + {\lambda _{\min }}}}{2}$

根据定理3有

$\bar \lambda = \frac{{{\sigma ^2}}}{{2N}}\left[{\left(\sqrt N + \sqrt M \right)^2} + {\left(\sqrt N - \sqrt M \right)^2}\right]$

(8)

根据式(7)和式(8)中特征值的平均值的2种形式，能够推导出2种检测门限值，继而得到2种频谱检测算法，将前者称之为平均特征值与最小特征值之比(average eigenvalue-minimum eigenvalue，AEME)检测算法，后者称之为IAEME检测算法，并用 ${\gamma _{{\rm{AEME}}}}$ 和 ${\gamma _{{\rm{IAEME}}}}$ 表示二者的检测门限。

当利用AEME算法对动态信道化的子带进行频谱检测时， ${\gamma _{{\rm{AEME}}}}$ 的具体推导过程如下：

假设信号为实信号，若 $T > {\gamma _{{\rm{AEME}}}}$ ，则表明待检测子信道中存在有用信号；否则判断信号不存在。根据虚警概率 ${P_f}$ 的定义有

${P_f} = P\left\{ {\frac{{\bar \lambda }}{{{\lambda _{\min }}}} > {\gamma _{{\rm{AEME}}}}\Bigg|{H_0}} \right\} = P\left\{ {{\lambda _{\min }} < \frac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{AEME}}}}}}\Bigg|{H_0}} \right\}$

(9)

根据定理4可以将式(9)变换为

$\begin{array}{c} {P_f} = P\left\{ {{\lambda _{\min }} < \dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{AEME}}}}}}\Bigg|{H_0}} \right\} = \\ P\left\{ {\dfrac{{{\sigma ^2}}}{N}{\lambda _{\min }}(A(N)) < \dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{AEME}}}}}}} \right\} = \\ P\left\{ {\dfrac{{{\lambda _{\min }}(A(N)) - \mu }}{\upsilon } < \dfrac{{\dfrac{N}{{{\sigma ^2}}}\dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{AEME}}}}}} - \mu }}{\upsilon }} \right\} = \\ {F_1}\left(\dfrac{{\dfrac{N}{{{\sigma ^2}}}\dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{AEME}}}}}} - \mu }}{\upsilon }\right) \end{array} $

因而，能够得到AEME算法的检测门限为

$\begin{array}{c} {\gamma _{{\rm{AEME}}}} = \dfrac{{N\overline \lambda /{\sigma ^2}}}{{F_1^{ - 1}({P_f})\upsilon + \mu }} = \\ \dfrac{{\left[{{\left(\sqrt N + \sqrt M \right)}^2} + N(M - 1)\right]/M}}{{F_1^{ - 1}({P_f})\upsilon + \mu }} \end{array} $

式中 $\mu $ 和 $\upsilon $ 的表达式参照定理4即可获得。

从判决门限的表达式可以看出，检测门限与噪声无关，只与虚警概率 ${P_f}$ 以及各个子带的输出信号经单通道信号的多通道转换后得到的观测数据矩阵的行数 $M$ 和列数 $N$ 有关，因而检测性能不受噪声影响。

当利用IAEME算法对动态信道化的子带进行频谱检测时， ${\gamma _{{\rm{IAEME}}}}$ 的具体推导过程如下：

假设信号为实信号，若 $T > {\gamma _{{\rm{IAEME}}}}$ ，则表明待检测子信道中存在有用信号；否则判断信号不存在。根据虚警概率 ${P_f}$ 的定义有

$ {P_f} = P\left\{ {\dfrac{{\bar \lambda }}{{{\lambda _{\min }}}} > {\gamma _{{\rm{IAEME}}}}\Bigg|{H_0}} \right\} = P\left\{ {{\lambda _{\min }} < \dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{IAEME}}}}}}\Bigg|{H_0}} \right\} $

(10)

根据定理4可将式(10)变换为

$\begin{array}{c} {P_f} = P\left\{ {{\lambda _{\min }} < \dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{IAEME}}}}}}\Bigg|{H_0}} \right\} = P \left\{ {\dfrac{{{\sigma ^2}}}{N}{\lambda _{\min }}(A(N)) < \dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{IAEME}}}}}}} \right\} = \\ P\left\{ {\dfrac{{{\lambda _{\min }}(A(N)) - \mu }}{\upsilon } < \dfrac{{\dfrac{N}{{{\sigma ^2}}}\dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{IAEME}}}}}} - \mu }}{\upsilon }} \right\} = \\ {F_1}\left(\dfrac{{\dfrac{N}{{{\sigma ^2}}}\dfrac{{\bar \lambda }}{{{\gamma _{{\rm{IAEME}}}}}} - \mu }}{\upsilon }\right) \\ \end{array} $

因而，能够得到IAEME算法的检测门限为

$\begin{array}{c} {\gamma _{{\rm{IAEME}}}} = \dfrac{{N\overline \lambda /{\sigma ^2}}}{{F_1^{ - 1}({P_f})\upsilon + \mu }} = \\ \dfrac{{\left[{{\left(\sqrt N + \sqrt M \right)}^2} + {{\left(\sqrt N - \sqrt M \right)}^2}\right]/2}}{{F_1^{ - 1}({P_f})\upsilon + \mu }} \end{array} $

式中 $\mu $ 和 $\upsilon $ 的表达式参照定理4即可获得。

从判决门限的表达式可以看出，检测门限同样与噪声无关，且只与虚警概率 ${P_f}$ 以及各个子带的输出信号经单通道信号的多通道转换后得到的观测数据矩阵的行数 $M$ 和列数 $N$ 有关，因而算法的检测性能同样不受噪声的影响。

Tracy-Widom分布函数的表达式非常复杂，其1阶累积分布函数 ${F_1}(t)$ 和2阶累积分布函数 ${F_2}(t)$ 可以分别表示为^[19]。

${F_1}(t) = \exp \left( { - \frac{1}{2}\int_t^\infty {(q(u) + (u - t){q^2}(u)){\rm{d}}u} } \right)$

(11)

${F_2}(t) = \exp \left( {\int_t^\infty {(u - t){q^2}(u){\rm{d}}u} } \right)$

(12)

式中 $q(u)$ 需要通过求解Painlevé II非线性微分方程

$q''(u) = uq(u) + 2{q^3}(u)$

(13)

来获得。

由式(11)~(13)可以看出，要获得Tracy-Widom分布的闭式表达式非常困难。为了能够方便地使用Tracy-Widom分布的累积分布函数，在文献[17]中Johnstone等采用级数展开的方法求得了它的一些离散值，如表1所示。

这样就可以通过查找表的方式方便地使用Tracy-Widom分布的函数值。

上述讨论均基于实信号，当信号为复信号时，只需将 ${F_1}(t)$ 换成 ${F_2}(t)$ ，并将门限表达式中的 $\mu $ 和 $\upsilon $ 参照定理5对应换成 $\;\mu '$ 和 $\upsilon '$ 即可。

5 算法步骤

综合前面的内容可知，AEME和IAEME这2种算法的检验统计量是相同的，但检测门限不同，因而可以将2种算法的执行步骤统一归纳如下：

1)对信道化输出的第 $i$ 路子带信号经单通道信号的多通道转换后，得到 $M \times N$ 维的观测矩阵，并构造采样协方差矩阵 ${{R}_{ix}}(N)$ ；

2)对各子带信号的采样协方差矩阵 ${{R}_{ix}}(N)$ 进行特征分解，求出特征值的平均值和当前子带的最小特征值，进而构造算法相应的检验统计量 $T$ ；

3)根据实际情况设定的虚警概率 ${P_f}$ ，确定相应算法的检测门限 $\gamma $ 的表达式；

4)根据相应的检测算法的判决表达式确定信号是否存在，即当 $T > \gamma $ 时，判断存在信号；否则当 $T \leqslant \gamma $ 判断不存在信号。

6 仿真实验与性能分析

为了验证本文所提算法的有效性，本节在Matlab仿真实验平台上对算法进行仿真并对算法的性能进行分析。

6.1 检测门限的有效性

设置单通道信号的多通道转换之后的行数 $M = 5$ ，虚警概率为 ${P_f} = 0.01$ 。在不同的采样点数 $N$ 的条件下，算法的检测门限与只存在噪声而不存在有用信号的情况下的检验统计量 $\bar \lambda /{\lambda _{\min }}$ 的关系，如图3所示。

从图中3可以看出，在虚警概率较低时，IAEME算法的门限值与AEME算法的门限值非常接近，但IAEME算法的检测门限相比较AEME算法的检测门限更低，且二者随着采样点数的增加差距逐渐减小。另一方面，当信道中只存在噪声的情况下，根据式(5)可知，检验统计量应该小于等于算法的检测门限值。另外，二者的检测门限值曲线均位于检验统计量的上方，由于存在一定的虚警概率，检验统计量中有少数点越过了IAEME算法的检测门限。

由于2种算法的检验统计量相同，但IAEME算法的检测门限更低，因而在实际的检测中，IAEME算法会获得更好的检测效果。从图中还可以了解到，由于AEME算法距离实际的检验统计量较远，虽然其能获得更低的虚警概率，但其是以牺牲检测性能为代价，不利于实际检测的应用。从图中还可以看出，算法的检测门限随着采样点的变化也在动态变化，因而在实际检测中能够动态地适应不同的检测情况，验证了算法的检测门限的有效性。

6.2 算法性能的比较分析

为了确定本文所提方法的可行性和有效性，对本文提出的基于特征值的频谱检测算法AEME以及IAEME与已有文献中的基于特征值的频谱检测算法MME、AME、MMAE、MEMAE、IMEMAE和MMGAE^[20]等几种算法的检测性能进行对比，考察在一定的虚警概率 ${P_f}$ 下，算法所能达到的统计检测概率 ${P_d}$ 作为指标来评价算法的性能。设置系统带宽为 $B = 750$ MHz，根据带通采样定理可以将系统的采样频率设置为 ${f_s} = 1\;500$ MHz，按照图1中的动态数字信道化结构，将监视频带划分为 $K = 32$ 个子带。输入信号设置为线性调频信号，起始频率为1 225 MHz，终止频率设置为1 315 MHz。信号采用图1所示的动态数字信道化结构进行处理后，采用本文提出的算法对子带频谱进行检测。

设置每个子信道的采样点数 $L = 2\;880$ 点，虚警概率为 ${P_f} = 0.01$ ，观测数据矩阵的行数设置为 $M = 6$ ，则每行的采样点数为 $N = 480$ 。设置信噪比变化步长为1 dB，进行10 000次的蒙特卡洛仿真实验，可以得到不同算法的检测概率随信噪比变化的情况，如图4所示。

从图4中能够看出，随着信噪比的提升，各个算法的检测性能均呈现出上升趋势。本文提出的2种算法采用特征值的均值 $\bar \lambda $ 与最小特征值 ${\lambda _{\min }}$ 的比值作为检验统计量，由于采用平均值，引入了信号更多的特征信息，因而会使检测性能得到提升。同时在检验统计量中采用了最小特征值的极限分布，由于对最小特征值的极限分布在低维度下的描述更为准确、性能更加良好，因此同样会使算法的检测性能得到提升。同时可以看出，IAEME算法的检测性能最好，在信噪比为−10 dB时，其检测概率就已经接近90%；其次为AEME算法，由于其在检验统计量相同的情况下，检测门限值高于IAEME算法，因而其检测性能会略差。本文提出的2种算法随着信噪比的提升其检测性能的增长速度相对其他算法而言相对较慢，这是因为在采样点数有限的情况下，利用特征值的均值改进检验统计量相当于降低了检验统计量数值的大小，间接使其对检测门限的敏感性降低。

由于算法的检测门限表达式与信道化子带信号间隔采样后得到的 $M \times N$ 维观测矩阵的行数 $M$ 和列数 $N$ 有关，因此可将 $M$ 的值固定为 $M = 6$ ，通过改变 $N$ 来对比不同算法的检测性能。设置虚警概率 ${P_f} = 0.01$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = - 10$ dB。将 $N$ 的变化范围设置为300~3 000，每次增加60点，进行10 000次蒙特卡洛仿真实验。可以得到不同算法的检测概率与每个子信道间隔采样之后的采样点数 $N$ 之间的变化情况，如图5所示。

从图5中可以看出，随着子信道采样点数的增加，各个算法的检测性能均得到了提升，由于在检验统计量中采用了最小特征值的极限分布，并且对最小特征值的极限分布在低维度下的描述更为准确、性能更加良好，因此会使算法的检测性能得到提升。因而与已有的算法相比，新提出的2种算法在较低的采样点数下会获得更高的检测概率。其中IAEME算法的性能最好，在子信道间隔采样后的的采样点数 $N$ 为540点时，算法的检测概率就可以达到90%以上；而AEME算法的性能稍差一些。本文提出的2种算法在小样本的应用情况下能够获得更好的检测效果。

将 $N$ 的值固定为 $N = 480$ ，通过检测概率与每个子信道的观测矩阵的行数 $M$ 值的关系来对比不同算法的检测性能。设置虚警概率 ${P_f} = 0.01$ ，信噪比 ${\rm{SNR}} = - 10$ dB。将观测矩阵行数 $M$ 的变化范围设置为3~10，步长为1，进行10 000次蒙特卡洛仿真实验。可以得到不同算法的检测概率与每个子信道的观测矩阵的行数 $M$ 之间的关系如图6所示。

从图6中可以看出，随着 $M$ 数值的增加，相当于间接增加了各个子信道的采样点数，因而几种算法的检测性能均得到了提升。本文提出的2种算法在构建检验统计量时采用了特征值的平均值，由于采用特征值平均值使得观测数据矩阵的所有特征信息得以利用，其所包含的矩阵特征要优于只采用其中一个特征值所包含的信息，能够更加完整地体现矩阵的特征。并且随着 $M$ 数值的增加，矩阵的特征值数量也在随之增加，采用特征值的平均值构建检验统计量进行频谱检测的优势会更加明显，因而在相同的 $M$ 值下会获得更高的检测概率。

综上，通过以上8种算法的仿真对比实验可知，8种算法随着信噪比 ${\rm{SNR}}$ 、观测矩阵的行数 $M$ 以及列数 $N$ 的增加其性能均呈上升趋势，且新提出的2种方法在较低信噪比时的性能显著优于其他6种方法，在较低的信噪比下能够获得较高的检测性能。同时，在 $M$ 值和 $N$ 值较低时，新算法的性能也优于其他算法。其中IAEME算法的检测性能在所有算法中最高，具有明显的优越性，在低信噪比、低采样点数以及低 $M$ 值的条件下具有更高的检测概率和可靠性。仿真结果证明了本文所提出的方法是有效的。

本文提出算法的检测门限表达式只与虚警概率 ${P_f}$ 、信道化子带信号间隔采样后得到的观测矩阵的行数 $M$ 和列数 $N$ 有关，与噪声无关，在检测时不需要已知信号和噪声的任何先验信息即可完成检测，克服了噪声变化对检测性能的干扰，是一种盲检测方法。同时从算法的检测门限表达式可以看出，算法能够根据实际情况需要随着虚警概率、观测矩阵的行数和列数进行调整获得不同的检测判决门限，可以适应不同的应用场景。由于信号与噪声的特征值差异在任何情况下都是存在的，不论何种形式的信号，都可以通过特征值进行信号与噪声之间的区分，因此该方法对多种信号均具有检测性能，具有可以适应复合信号检测的优点。

7 结论

本文对基于特征值的频谱检测算法进行了研究，提出了2种基于特征值的动态信道化子带频谱检测改进算法，给出了算法的详细推导过程，并通过仿真实验验证了算法的有效性。

1)算法综合考虑了采样协方差矩阵所有特征值对信号特征的描述，利用采样协方差矩阵的特征值的平均值和更为精确的最小特征值的极限分布推导出了更为精确的检测门限表达式，提高了检测性能。

2)算法的检测门限表达式只与虚警概率 ${P_f}$ 、信道化子带信号间隔采样后得到的观测矩阵的行数 $M$ 和列数 $N$ 有关，与噪声无关。在检测时不需要已知信号和噪声的任何先验信息即可完成检测，克服了噪声变化对检测性能的干扰，是一种盲检测方法。

3)算法可以根据实际情况需要对虚警概率进行调整获得不同的检测判决门限，可以适应不同的应用场景。

4)由于信号与噪声的特征值差异在任何情况下都是存在的，不论何种形式的信号，都可以通过特征值进行信号与噪声之间的区分，因此该方法对多种信号均具有检测性能，具有可以适应复合信号检测的优点。

5)算法与已有的算法相比在低信噪比、低采样点数 $N$ 以及低 $M$ 值的情形下，均具有更高的检测性能，尤其是IAEME算法的性能最佳，能够在更恶劣的条件下发挥作用，具有更好的适用性。

综上所述，本文提出的算法具有实现简单、不需要先验信息、适用能力强、检测性能好等优点，更符合未来电子战中的信号电磁环境，具有良好的应用前景。