在燃料设计过程中，通过性能参数与准则限制进行比较，来判断设计是否满足要求。性能参数主要包括燃料棒内压、燃料中心温度等可以在燃料棒性能分析中表征燃料棒性能的数据^[1]。在燃料棒生产过程中，会存在制造公差，比如燃料芯块密度、芯块和包壳的尺寸等。除了制造参数带来的不确定性，还需考虑计算分析中所用模型带来的不确定性。针对不同准则需考虑的不确定因素（制造参数或模型）并不一样。设计验证中该不确定因素的取值应根据燃料棒的堆内行为进行考虑。本文以田湾核电站5、6号机组长燃料循环堆芯燃料管理为背景，采用自主研发的燃料棒性能分析程序FUPAC^[2-3]模拟燃料棒在堆内辐照期间的热力学行为，针对燃料棒内压和燃料温度设计准则进行验证计算，并对制造参数及模型带来的不确定性加以分析。

1 设计准则

为保证反应堆可靠的运行，对于工况I和工况II的所有运行事件，必须满足下述设计准则，即当证明每个燃料区的燃料性能在所有工况I和工况II事件中均在各准则规定限值之内时，则燃料棒设计被视为满足准则^[4]。通常的做法是证明考虑不确定性的极限燃料棒性能在各准则规定的限值以内。

1）燃料棒内压准则：在堆内，燃料棒的内压应低于一个限值，即功率保持不变时，在该内压限值作用下由于包壳向外蠕变而造成芯块−包壳直径间隙增大或闭合后重新打开。采用该准则可防止包壳向外蠕变速率超过芯块的肿胀速率，从而保证在稳态运行中不会发生芯块−包壳直径间隙增大或闭合后重新打开现象。

2）燃料温度准则：燃料最高中心温度必须低于其熔点。未辐照UO₂燃料的熔点为2 800 ℃，保守估计燃耗每增加10 000 MWd/tU，该熔点约降低32 ℃。考虑到模型和制造误差等各种不确定性影响因素，燃料中心温度计算时的限值取为2 590 ℃。采用该准则可避免燃料熔化状态可能导致的包壳严重承载，因为燃料熔化时相变会引起芯块体积变化。

2 计算模型 2.1 冷却剂与包壳间换热

在单相流条件下，燃料棒外表面温度（ ${T_{{p_{_1}}}}$ ）是单相强迫对流换热系数（h）、冷却剂温度（T_L）和表面热流密度（Ф）的函数^[5]。

${T_{{p_{_1}}}} = {T_L} + \frac{\varPhi }{h}$

在发生沸腾时，燃料棒外表面温度（ ${T_{{p_{_2}}}}$ ）应该低于一个限值，该限值等于饱和温度（T_SAT）加上一个温升（ΔT_SAT）。

${T_{{p_{_2}}}} = {T_{{\rm{SAT}}}} + \Delta {T_{{\rm{SAT}}}}$

实际的燃料棒外表面温度是两者的较小值，即

${T_p} = \min ({T_{{p_{_1}}}},{T_{{p_{_2}}}})$

单相强迫对流换热系数h（W/(cm²∙K)）采用的是SAURY关系式：

$h = {h_0} + C \cdot {G^\omega } \cdot D_h^{\omega - 1} \cdot \left( {1 + {K_h}\frac{{{T_L} + {T_P}}}{2}} \right)$

式中： ${D_h}$ 为水力当量直径，cm；G为质量流速，g/(cm²﹒s)。

在两气−液相强迫对流条件下，燃料棒外表面温度与冷却剂饱和温度之间的温差（ΔT_SAT）采用Jens Lottes关系式^[6-7]：

$\Delta {T_{{\rm{SAT}}}} = 7.91 \cdot {{\rm{e}}^{ - p/62}} \cdot {\varPhi ^{0.25}}$

式中：p为冷却剂系统压力，10⁵Pa； $\varPhi $ 为燃料棒表面热流密度，W/cm²。

2.2 芯块−包壳间隙传热

间隙（对流形式）换热系数为

${h_{{\rm{gap}}}} = {h_r} + {h_{{\rm{gas}}}} + {h_c}$

式中： ${h_r}$ 为辐射换热系数， ${\rm{W/(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{K}})$ ； ${h_{{\rm{gas}}}}$ 为间隙气体换热系数， ${\rm{W/(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{K}})$ ； ${h_c}$ 为燃料与包壳接触换热系数， ${\rm{W/(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot {\rm{K}})$ 。

2.2.1 辐射换热

热辐射换热系数计算公式如下：

$\left\{ \begin{array}{l} {h_r} = K \cdot \dfrac{{T_f^4 - T_c^4}}{{{T_f} - {T_c}}} \\ K = {\sigma _{{\rm{rad}}}} \cdot \dfrac{{{\varepsilon _f} \cdot {\varepsilon _c}}}{{{\varepsilon _f} + {\varepsilon _c} - \left( {{\varepsilon _f} \cdot {\varepsilon _c}} \right)}} \\ \end{array} \right.$

式中： ${\sigma _{{\rm{rad}}}}$ 为斯忒藩−玻尔兹曼常数； ${\varepsilon _f}$ 为燃料发射率； ${\varepsilon _c}$ 为包壳发射率； ${T_f}$ 为燃料外表面温度， ${\rm{K}}$ ； ${T_c}$ 为包壳内表面温度， ${\rm{K}}$ 。

2.2.2 气体换热系数

由于燃料外表面与包壳内表面温度的不连续性，气体与燃料和包壳表面都存在温度跳跃，考虑温度跳跃，对单一气体的换热系数的计算公式为：

$\left\{ \begin{array}{l} {h_{{\rm{gas}}}} = \dfrac{\lambda }{{\delta + {g_1} + {g_2}}} \\ {g_1} + {g_2} = \dfrac{\lambda }{P}\left( {\dfrac{{{a_1} + {a_2} - {a_1}{a_2}}}{{{a_1}{a_2}}}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{\gamma - 1}}{{\gamma + 1}}} \right) \cdot {\left( {8{\text{π}}\dfrac{{MT}}{R}} \right)^{\frac{1}{2}}} \\ \end{array} \right.$

式中： $\lambda $ 为单一气体的热导率， ${\rm{W}}/({\rm{m}} \cdot {\rm{K}})$ ； $\delta $ 为间隙宽度， ${\rm{m}}$ ； ${g_1} + {g_2}$ 为燃料和包壳表面温度跳跃距离， ${\rm{m}}$ ；a₁、a₂为热适应系数； $P$ 为内部气体压力，Pa； $\gamma $ 为比热的倒数； $M$ 为气体摩尔质量； $T$ 为气体温度，K； $R$ 为理想气体常数。

2.2.3 接触换热系数

当燃料与包壳接触时，换热系数计算公式为：

$\left\{ \begin{array}{l} {h_c} = 1.10 \times \dfrac{{{\lambda _{{\rm{avg}}}} \cdot m}}{\sigma } \cdot {\left( {\dfrac{{{p_{{p_{\rm{l}}}}}}}{{{H_M}}}} \right)^{0.9}} \cdot {\left( {\dfrac{{{p_{{\rm{con}}}}}}{{{H_M}}}} \right)^{0.35}}, {p_{{\rm{con}}}} < 4.0 \;{\rm{MPa}} \\ {h_c} = 1.10 \times \dfrac{{{\lambda _{{\rm{avg}}}} \cdot m}}{\sigma } \cdot {\left( {\dfrac{{{p_{{\rm{con}}}}}}{{{H_M}}}} \right)^{1.25}}, {p_{{\rm{con}}}} > 4.0\; {\rm{MPa}} \\ \end{array} \right.$

式中： $\lambda _{{\rm{avg}}}^{}$ 为平均热导率， ${\rm{W}}/({\rm{m}} \cdot {\rm{K}})$ ； $\lambda _f^{}$ 为燃料外表面热导率， ${\rm{W}}/({\rm{m}} \cdot {\rm{K}})$ ； $\lambda _c^{}$ 为包壳内表面热导率， ${\rm{W}}/({\rm{m}} \cdot {\rm{K}})$ ； $m$ 为平均粗糙度； $\sigma $ 为有效表面粗糙度； ${p_{{p_{\rm{l}}}}}$ 为弹塑性转变时接触压强，Pa； ${p_{{\rm{con}}}}$ 为接触压强，Pa； ${H_M}$ 为硬度。

2.3 芯块体积释热率

燃料芯块内部各处的体积释热率与裂变密度分布相对应，后者取决于燃料内初始的同位素分布和辐照条件（如温度、功率、环境等）。这些条件导致了中子通量和同位素组成的径向分布。影响释热率的主要现象包括：

1）由于自屏蔽效应，中子通量沿芯块表面向中心逐步降低；

2）芯块内的易裂变原子贫化；

3）由于²³⁸U的捕获，将在芯块边缘形成一个薄层的Pu富集层；

4）可燃毒物如钆的消耗。

2.4 燃料热导率

燃料热导率^[8-10]考虑了以下因素的影响：

1）热导率辐照退化

对于具有一定孔隙率的UO₂燃料，其实际热导率为

$\lambda _{{\rm{POR}}}^{{\rm{Bu}}} = \lambda _{100}^{{\rm{Bu}}}\left( {1 - \left( {a - b \times {{10}^{ - 4}}{T_c}} \right){\rm{POR}}} \right)$

式中： $\lambda _{{\rm{POR}}}^{{\rm{Bu}}} $ 是具有一定孔隙率的UO₂燃料其实际热导率；T_c是局部温度，℃； $\lambda _{100}^{Bu}$ 为100%理论密度燃料的热导率。

2）燃料边缘效应

当燃料棒平均燃耗高于45 000 MWd/tM或芯块边缘燃耗高于70 000 MWd/tM时，芯块边缘会形成高燃耗结构^[11-12]。高燃耗结构的空隙率（POR）增加，晶粒变小，因此将改变该处的热导率。

2.5 燃料密度

1）燃料的密度

二氧化铀芯块的理论密度为

${\rho _{{\rm{u}}{{\rm{o}}_{\rm{2}}}}} = \dfrac{{4\left[ {\left( {1 - Y} \right){M_{{}^{238}{\rm{U}}}} + Y{M_{{}^{235}{\rm{U}}}}} \right] + 8\left( {1 + \dfrac{X}{2}} \right){M_{\rm{O}}}}}{{a{{(X)}^3}N}}$

式中：Y为²³⁵U的原子份额；X=O/U（氧铀原子比）−2；M为原子量；a(X)为晶格常数（10⁻¹⁰ m）；N=6.02×10²³（阿伏伽德罗常数）。

二氧化铀芯块晶格常数为

$a(X) = 5.470\;4 + 0.25\left| X \right|$

式中：X=O/U－2；a(X)为晶格常数，10⁻¹⁰ m。

²³⁵U的份额计算公式为

$Y = \frac{{1.012\;766}}{{0.012\;766 + \varepsilon _1^{ - 1}}}$

式中ε₁为²³⁵U的富集度。

除考虑了孔隙率，还综合考虑了应变的作用：

$\rho _{u{o_2}}' = {\rho _{u{o_2}}}\left( {1 - {\rm{POR}}} \right)\left( {1 - \varepsilon } \right)$

式中： ${\rho _{u{o_2}}}$ 为二氧化铀理论密度；POR为孔隙率； $\varepsilon $ 为芯块的应变。

2.6 不确定性因素

通过对模拟过程中模型的详细分析，对燃料棒内压和燃料温度计算过程中需考虑的不确定因素如下：

1）燃料棒内压不确定性分析

在分析燃料棒内压过程中，需要考虑最大芯块包壳间隙和裂变气体释放上界模型、最小燃料密实和最小气腔长度。

2）燃料温度不确定性分析

在分析燃料温度过程中，需要考虑温度上界模型、最大芯块包壳直径间隙、最小燃料密度、最小燃料密实。

在设计过程中，为了更准确地对燃料棒性能进行评估，在保证裕量的同时，计算结果不宜过分保守。这就要求全面考虑制造参数及模型不确定因素的同时要结合燃料棒在堆内的实际行为，即在不同时刻添加瞬态所考虑的不确定因素是不同的。下面针对实际工程背景，进行准则验证及不确定因素敏感性分析。

3 例题验证

以田湾核电站5、6号机组长燃料循环堆芯燃料管理为背景，针对燃料棒内压和燃料温度准则进行验证计算、分析和评价。

3.1 燃料棒内压

分别选取二氧化铀棒和含钆棒的极限棒进行计算，在不考虑其他不确定因素的条件下，名义结果列于表1。

分别考虑最大芯−包间隙、最小气腔长度、裂变气体释放上界模型以及最小燃料密实的计算结果列于表2。

对比表1、2可以发现，无论是二氧化铀极限棒还是含钆极限棒，其内压均与气腔长度成负相关、与燃料芯块−包壳间隙成正相关。这是由于气腔长度越短，裂变气体产生的压力越高。虽然芯块−包壳间隙的增大，也是对空间体积的贡献，不过由于裂变气体的增加导致传热恶化，造成燃料温度升高，进一步引起内压的升高。

3.2 燃料温度

选择二氧化铀极限棒进行计算，给定燃耗下，燃料中心温度与线功率密度直接相关，因此稳态工况的验证计算可被瞬态工况的计算包络。

瞬态模拟过程中考虑模型或制造参数所带来的不确定性，包括温度上界模型、最大芯块包壳直径间隙、最小燃料密度、最小燃料密实。

燃料在堆内的行为随辐照的变化而不同，因此在不同时刻考虑的不确定性是不同的，计算过程中分别在寿期初和各循环末对燃料棒进行瞬态模拟，寿期初考虑的不确定性因素如下：1）温度上界模型；2）最大芯块包壳直径间隙；3）最小燃料密度。

各循环末考虑的不确定性因素如下：1）温度上界模型；2）最小燃料密实；3）最小燃料密度。

计算结果如3表所示，可以看出燃料温度与芯−包间隙成正比，与燃料密实、燃料密度成反比。本质上这3种由于燃料堆内行为变化而带来的参数变化都是在增大燃料内部的孔隙率，由于裂变气体的聚集，导致传热恶化，进一步带来温度的升高。

4 结论

本文详细分析了燃料棒设计采用的热力学模型，深入研究制造参数和模型带来的不确定性。以田湾核电站5、6号机组长燃料循环堆芯燃料管理为背景，在进行准则验证的同时，结合燃料在堆内不同时刻的行为进行了敏感性分析，得到以下结论：

1）分析得到影响设计准则的主要影响因素，以及工程计算中需要考虑的不确定性因素；

2）通过我院自主化软件FUPAC程序验证计算，计算结果与技术限值相比较均有裕量，满足设计准则；

3）在新型燃料设计当中，需全面考虑引起燃料棒失效的因素以及计算模型带来的不确定性，在保证安全性的同时提高经济性。