日益复杂的电磁作战环境对雷达系统的探测及跟踪技术提出了新的要求。特别是在对非线性目标进行无源探测和超视距跟踪时，由于目标定位数据的高度非线性，跟踪算法初期的收敛性能会大打折扣。卡尔曼滤波是公认速度快且性能稳定的滤波算法之一，近几十年来，学者们针对非线性系统对其进行了一系列改进。其中扩展卡尔曼滤波(EKF)、无迹卡尔曼滤波(UKF)和容积卡尔曼滤波(CKF)在许多工程场合得到了成熟运用。这些算法常被用来处理探测得到的非线性量测，以增强雷达目标跟踪的精度。李炳荣等^[1]提出一种采用修正增益的扩展卡尔曼滤波算法，提高了单站目标无源跟踪的稳定性和跟踪精度。曲长文^[2]和LIU Changyun^[3]均对UKF算法进行改进，提高了滤波精度和收敛速度。胡振涛^[4]和Liu H^[5]通过改进CKF算法提高了目标跟踪算法性能。文献LIU Changyun^[6]、武勇^[7]和BAO Shuida^[8]对多种滤波算法进行结合，以提高算法鲁棒性。而Chavez-Garcia^[9]又提出一种新的多传感器多目标跟踪算法。

以上文献均把研究重点落在了算法性能的改进方面。另一方面，滤波初值的选取是否得当同样对目标跟踪效果发挥着重要作用^[10]，但少有深入研究。文献[1]、[2]、[4]、[8]中均未提到目标初始状态的确定。文献[3]设定目标状态初始值为其期望值。文献[5]在仿真时直接给定初始值且与目标真实初始状态相同。文献[7]仿真时设定初始值与实际值有一定偏差。实际上，在工程中目标真实运动状态是无法直接得到的，均需利用量测来进行估计。

目前，目标跟踪时大致获取目标初始位置普遍采用三点法(TPM)，但该方法对探测精度影响十分敏感，特别是在恶劣的电磁环境下对超视距目标进行跟踪时，易导致量测不可靠(本文定义距离误差大于0.5 km或角度误差大于0.1°的量测为不可靠量测)，此时利用TPM估算出的目标运动初始状态与真实状态差距很大甚至远超出目标物理性能限制，从而导致目标跟踪初期收敛速度变慢且滤波精度较差。这种现状下，雷达往往放弃精准跟踪而等待目标靠近，如此便失去了该段时间来对目标进行评估反应。若在超视距目标跟踪时探测效果不理想的情况下依旧能得到较好的目标跟踪效果，提高跟踪算法的前期收敛速度和精度，便可赢得前期这段宝贵时间来对目标进行预先识别和评估。为达到这一目的，本文对现有方法进行改进，提出了一种自适应滤波初值确定方法，即投影修正法(PCM)。

1 传统卡尔曼滤波算法

传统卡尔曼滤波的系统方程如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{X}}(k + 1) = \mathit{\boldsymbol{FX}}(k) + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} W}}(k)}\\ {\mathit{\boldsymbol{Z}}(k) = \mathit{\boldsymbol{HX}}(k) + \mathit{\boldsymbol{V}}(k)} \end{array} $

(1)

式(1)为状态转移方程和量测方程。式中：k为离散时间，目标在时刻k的状态为X(k)；W(k)是均值为零、协方差为Q的高斯白噪声；F为状态转移矩阵；Γ为噪声驱动矩阵。式中：Η为量测矩阵；V(k)为协方差为R的观测噪声序列。以下为滤波递推过程：

1) 分别预测目标状态及噪声协方差矩阵：

$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k + 1|k) = \mathit{\boldsymbol{F\hat X}}(k|k) $

$ \mathit{\boldsymbol{P}}(k + 1|k) = \mathit{\boldsymbol{FP}}(k|k){\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}} + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} Q}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}^{\rm{T}}} $

式中：$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} $(0|0)=X(0)，P(0|0)=P(0)，X(0)和P(0)分别为滤波状态初值和初始噪声协方差矩阵。

2) 卡尔曼滤波增益的求取

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{K}}(k + 1) = }\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}(k + 1|k){\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}}{{\left[ {\mathit{\boldsymbol{HP}}(k + 1|k){\mathit{\boldsymbol{H}}^{\rm{T}}} + \mathit{\boldsymbol{R}}} \right]}^{ - 1}}} \end{array} $

3) 结合量测值Z(k+1)估计下一时刻的目标状态向量和噪声协方差矩阵：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k + 1|k + 1) = \mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k + 1|k) + \mathit{\boldsymbol{K}}(k + 1)\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}(k + 1)}\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}(k + 1|k + 1) = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{I}}_n} - \mathit{\boldsymbol{K}}(k + 1)\mathit{\boldsymbol{H}}} \right]\mathit{\boldsymbol{P}}(k + 1|k)} \end{array} $

(2)

式中：ε(k+1)=Z (k+1)－H$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}} $(k+1|k)表示量测新息，I_n为n阶单位矩阵。

卡尔曼滤波算法是一种高斯噪声背景下的最优估计跟踪算法。但在实际的跟踪系统中，无论是目标的运动状态还是量测信息，往往都具有某些非线性特性，这种情况下，线性卡尔曼滤波的作用效果将受到限制，由此非线性的卡尔曼滤波算法应运而生。

2 非线性卡尔曼滤波算法

非线性系统描述为

$ \mathit{\boldsymbol{X}}(k + 1) = f(\mathit{\boldsymbol{X}}(k),\mathit{\boldsymbol{W}}(k)) $

$ \mathit{\boldsymbol{Z}}(k) = h(\mathit{\boldsymbol{X}}(k),\mathit{\boldsymbol{V}}(k)) $

式中：f(·)是非线性状态转移函数；h(·)是非线性观测函数；W(k)和V(k)都是均值为零的高斯白噪声，W(k)的协方差为Q，V(k)的协方差为R。

以下简单介绍3种常用的非线性卡尔曼滤波算法，分别为扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波和容积卡尔曼滤波算法。

2.1 扩展卡尔曼滤波

EKF的主要思路是充分利用非线性模型的特性，对其进行局部线性化，进而将非线性模型近似为线性模型。

将非线性系统函数展开成Taylor级数如下：

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{X}}(k + 1) \approx f(k,\mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k)) + \frac{{\partial f}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k)}}[\mathit{\boldsymbol{X}}(k) - \mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k)] + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;G(k,\mathit{\boldsymbol{\hat X}}(k))\mathit{\boldsymbol{W}}(k) \end{array} $

只保留等式右侧的线性部分即可得到近似的线性系统模型如式(3)所示。其中F(k)和H(k)分别为f(·)和h(·)在k时刻的雅可比矩阵，n为状态向量维数。

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{X}}(k + 1) = \mathit{\boldsymbol{F}}(k)\mathit{\boldsymbol{X}}(k) + \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} W}}(k)}\\ {\mathit{\boldsymbol{Z}}(k) = \mathit{\boldsymbol{H}}(k)\mathit{\boldsymbol{X}}(k) + \mathit{\boldsymbol{V}}(k)} \end{array} $

(3)

$ \mathit{\boldsymbol{F}}\left( k \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{X}}\left( {k - 1} \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {x_n}}}}\\ {\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {f_2}}}{{\partial {x_n}}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {f_n}}}{{\partial {x_n}}}} \end{array}} \right] $

$ \mathit{\boldsymbol{H}}\left( k \right) = \frac{{\partial h}}{{\partial \mathit{\boldsymbol{X}}\left( {k - 1} \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {h_1}}}{{\partial {x_n}}}}\\ {\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {h_2}}}{{\partial {x_n}}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {\frac{{\partial {h_n}}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial {h_n}}}{{\partial {x_2}}}}& \cdots &{\frac{{\partial {h_n}}}{{\partial {x_n}}}} \end{array}} \right] $

变换之后再通过线性卡尔曼滤波完成对目标的滤波估计。

2.2 无迹卡尔曼滤波

UKF仍采用卡尔曼滤波的基本框架，其主要思想是以UT变换为基础，选取采样策略来模拟逼近非线性分布。其中UT变换指在确保不改变采样点原分布均值和协方差的前提下，依照某种策略随机选取Sigma点集，并针对各点进行非线性变换，变换后状态分布的均值和协方差即可通过求取转换后点集的统计变量来得到。具体变换过程如下：

设状态向量X=[x₁, x₂, …, x_n]^T，已知其均值和方差分别为X和P，则可通过以下方式求取2n+1个sigma点X_(i)(i=0~2n)和相应的权值ω：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{(i)}} = \mathit{\boldsymbol{\bar X}},i = 0}\\ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{(i)}} = \mathit{\boldsymbol{\bar X}} + {{(\sqrt {(n + \lambda )\mathit{\boldsymbol{P}}} )}_i},i = 1\sim n}\\ {{\mathit{\boldsymbol{X}}_{(i)}} = \bar X - {{(\sqrt {(n + \lambda )\mathit{\boldsymbol{P}}} )}_i},i = n + 1\sim2n} \end{array}} \right. $

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\omega _{(i)}^m = \frac{\lambda }{{n + \lambda }},i = 0}\\ {\omega _{(i)}^c = \frac{\lambda }{{n + \lambda }} + 1 - {a^2} + \beta ,i = 0}\\ {\omega _{(i)}^m = \omega _{(i)}^c = \frac{\lambda }{{2(n + \lambda )}},i = 1\sim2n} \end{array}} \right. $

式中：($ \sqrt {\boldsymbol{P}} $)^T($ \sqrt {\boldsymbol{P}} $)=P，($ \sqrt {\boldsymbol{P}} $)_i表示矩阵方根的第i列；ω_(i)^m和ω_(i)^c分别对应第i个采样值对应的均值权值和协方差权值；参数λ=a²(n+κ)－n用来减小预测误差，a的选取影响着采样点的分布状态，κ的选取一般要求保证(n+λ)P为半正定矩阵；β是一个非负的权系数。

无迹卡尔曼滤波算法通过对将非线性变换作用于sigma点集，再通过变换后的点集求取变换后的均值和协方差，求得的非线性变换后的均值和协方差至少具有2阶精度(Taylor函数展开式)，可明显降低非线性系统中的滤波误差。

2.3 容积卡尔曼滤波

CKF是一种滤波精度更高的非线性滤波算法，该算法同无迹卡尔曼滤波一样，基本思想也是通过采样的方式来逼近状态分布，同样采用经典卡尔曼滤波算法的算法迭代框架。但使其区别于无迹卡尔曼滤波的是对采样点的选取遵循球面径向积分原则：

$ \int\limits_{{R^m}} {f\left( x \right)N\left( {x;\mu ,\mathit{\boldsymbol{P}}} \right){\rm{d}}x} \approx \left( {\sum\limits_{l = 1}^L {f\left( {\mu + \sqrt {\mathit{\boldsymbol{P}}} {\xi _l}} \right)} } \right)/L $

式中：N(x; μ, P)表示x服从均值为μ、协方差为P的正态分布；P_k|k为时刻k的误差协方差，且P_k|k正定。ξ_l表示第l个容积点；L表示等权容积点数，且L=2l，m表示状态维数。后验概率密度p(x_k|Z_1:k)~N(x_k; $ \hat x $_k|k, P_k|k)。

对P_k|k进行cholesky分解得到S_k|k，即

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{k|k}} = {\mathit{\boldsymbol{S}}_{k|k}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{S}}_{k|k}}} \right)^{\rm{T}}} $

则可以求得容积点估计x_k|k^l:

$ \mathit{\boldsymbol{x}}_{k|k}^l = {\mathit{\boldsymbol{S}}_{k|k}}{\mathit{\boldsymbol{\xi }}_l} + {\mathit{\boldsymbol{\hat x}}_{k|k}} $

式中：$ {\mathit{\boldsymbol{\xi }}_l} = \sqrt {\frac{L}{2}} {\left[ \mathit{\boldsymbol{\delta }} \right]_l}$，l=1, 2, …L，[δ]_l∈R^m×1表示矩阵[I^m×m, －I^m×m]∈R^m×L第l列元素，I^m×m表示m维单位矩阵。

本文结合以上3种非线性卡尔曼滤波算法，对初值确定方法进行仿真验证。

3 初值确定方法

在研究目标跟踪滤波算法时，现有大多文献设定目标初始状态已知，忽略了确定初值的过程，或直接采用三点法粗略估计目标初始状态。事实上，初值确定的合理性明显影响着目标跟踪的收敛速度和跟踪精度。

3.1 三点法

设通过处理量测信息依次得到目标在跟踪初期的3组位置信息分别为s₀, s₁和s₂，则目标在前2个时刻的速度和初始加速度分别为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat v}}}_0} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{s}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_0}}}{T} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat v}}}_1} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{s}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{s}}_1}}}{T} $

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat a}}}_1} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\hat v}}}_1} - {{\mathit{\boldsymbol{\hat v}}}_0}}}{T} $

式中：s_i表示对无源探测测得量测进行相应计算处理后得到的第i组位置信息，T表示2次获取量测的时间间隔，$\mathit{\boldsymbol{\hat v}} $_i表示第i个测量时刻的速度。

假设目标在大地坐标系下的初始状态向量为X(0)=[x₀, v_{0, x}, a_{0, x}, y₀, v_{0, y}, a_{0, y}, z₀, v_{0, z}, a_{0, z}]^T，则其中$ {i_0} = {s_{1, i}}, {v_{0, i}} = {\hat v_{1, i}}, {a_{0, i}} = {\hat a_{1, i}}, i \in \left\{ {x, y, z} \right\} $。

3.2 投影修正法

无源探测技术的高隐蔽性和远距离作用范围使其得到极大重视，但探测精度不高的问题也一直制约其发展，特别是在进行机动目标超视距跟踪时，探测量测的误差进一步增大。由式(2)可知，在滤波迭代过程中，若量测扰动过大时，会带来很大的新息误差，导致目标状态估计误差明显增大，滤波前期调整过程更加漫长，无法快速收敛于真实值。经过长时间的迭代处理后，通过不断调整卡尔曼滤波增益，最终实现目标跟踪滤波的收敛。

为解决上述问题，本文提出利用投影修正法对TPM粗略估算的目标初始状态进行自适应修正，使其满足目标的物理特性，确定更合理的目标初值，从而减小滤波前期的慢收敛/发散现象。

在三维空间建立大地坐标系，如图 1所示，将目标速度‖v_max‖，分别向x-y-z 3个坐标轴投影。图中灰色阴影部分为由于探测所得量测误差导致的目标速度方向波动范围，且阴影中速度矢量长度不超过目标运动最大速率。

如果三点法估算出的速度矢量超出这一范围，则需修正。分析图 1中几何关系，求得目标最大速度‖v_max‖在3个坐标轴上的分量分别为：

$ {v_{\max ,x}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} $

$ {v_{\max ,y}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\sin {\theta _1}\sin {\theta _2} $

$ {v_{\max ,z}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\cos {\theta _1} $

对3个分量值分别求取关于俯仰角θ₁和方位角θ₂的偏导数，得到如下结果：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {v_{\max ,x}}}}{{\partial {\theta _1}}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\cos {\theta _1}\cos {\theta _2}}\\ {\frac{{\partial {v_{\max ,x}}}}{{\partial {\theta _2}}} = - \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\sin {\theta _1}\sin {\theta _2}} \end{array}} \right. $

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {v_{\max ,y}}}}{{\partial {\theta _1}}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\cos {\theta _1}\sin {\theta _2}}\\ {\frac{{\partial {v_{\max ,y}}}}{{\partial {\theta _2}}} = \left\| {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\max }}} \right\|\sin {\theta _1}\cos {\theta _2}} \end{array}} \right. $

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {v_{\max ,z}}}}{{\partial {\theta _1}}} = - \left\| {{v_{\max }}} \right\|\sin {\theta _1}}\\ {\frac{{\partial {v_{\max ,z}}}}{{\partial {\theta _2}}} = 0} \end{array}} \right. $

在修正速度分量前需先对其有效性进行判定，为防止因量测误差扰动而造成误判，本文规定，i方向上的有效(无需修正)的速度分量v_i和最大速度分量v_{max, i}间需满足如下条件：

$ \left\| {{v_i} + \Delta {v_i}\left( {\Delta {\theta _1},\Delta {\theta _2}} \right)} \right\| \le \left\| {{v_{\max ,i}}} \right\| $

则速度分量的判决边界为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_i} = \left\| {{v_{\max ,i}}} \right\| - \max \left( {\left\| {\Delta {v_i}} \right\|} \right) = }\\ {\left\| {{v_{\max ,i}}} \right\| - \max \left( {\left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _1}}}\Delta {\theta _1} + \frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _2}}}\Delta {\theta _2}} \right\|} \right)} \end{array} $

又由于

$ \begin{array}{l} \max \left( {\left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _1}}}\Delta {\theta _1} + \frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _2}}}\Delta {\theta _2}} \right\|} \right) \le \\ \max \left( {\left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _1}}}\Delta {\theta _1}} \right\| + \left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _2}}}\Delta {\theta _2}} \right\|} \right) \end{array} $

所以

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_i} \approx }\\ {\left\| {{v_{\max ,i}}} \right\| - \max \left( {\left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _1}}}\Delta {\theta _1}} \right\| + \left\| {\frac{{\partial {v_{\max ,i}}}}{{\partial {\theta _2}}}\Delta {\theta _2}} \right\|} \right)} \end{array} $

式中：V_i为速度i方向上的有效分量判决边界，i∈{x, y, z}。一般认为目标相对观测站的方向角θ服从正态分布，即θ~N($ \hat \theta $, σ_θ)，其中$ \hat \theta $为目标角度量测，σ_θ为测量标准差，由于

$ P\left\{ {\theta \in \left[ {\hat \theta - 3{\sigma _\theta },\hat \theta + 3{\sigma _\theta }} \right]} \right\} = 0.9974 \approx 1 $

规定θ₁∈[$ \hat \theta $－3σ_θ, $ \hat \theta $+3σ_θ]、θ₂∈[$ \hat \theta $－3σ_θ, $ \hat \theta $+3σ_θ]。

依次对三点法估计得到的3个初始速度分量进行有效性判决后，修正不可靠分量，这样不仅充分利用了量测中携带的目标运动信息，同时也得到了与先验知识匹配性更高的速度初值。具体修正方案如式(4)：

$ {v_{0,i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_{c,i}},{{\hat v}_{1,i}} > {V_i}}\\ { - {v_{c,i}},{{\hat v}_{1,i}} < - {V_i}}\\ {{{\hat v}_{1,i}}, - {V_i} \le {{\hat v}_{1,i}} \le {V_i}} \end{array}} \right. $

(4)

式中v_{c, i}表示速度修正矢量v_c的i方向分量，且i∈{x, y, z}。

同理可得到对初始加速度的修正方案：

$ {a_{0,i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{c,i}},{{\hat a}_{1,i}} > {A_i}}\\ { - {a_{c,i}},{{\hat a}_{1,i}} < - {A_i}}\\ {{{\hat a}_{1,i}}, - {A_i} \le {{\hat a}_{1,i}} \le {A_i}} \end{array}} \right. $

式中：A_i为加速度在i方向上的判决边界；a_{c, i}表示加速度修正矢量a_c的i方向分量，i∈{x, y, z}。算法实现框图如图 2所示。

投影修正法的实现步骤如下：

1) 根据对所测目标的已有先验知识分析其物理性能，确定目标运动最大速率‖v_max‖和最大加速度‖a_max‖；

2) 在有效范围内选取相应修正值；

3) 利用三点法粗略估计目标初始运动状态；

4) 判别目标初值有效性，并修正不可靠初值分量；

5) 利用修正后的目标初值开始迭代滤波。

并分别设定修正值‖v_c‖和‖ a_c‖。再利用TPM求取目标初始速度和加速度。最后对量测可靠性进行判决，并对不可靠信息进行修正，利用新的初始状态进行滤波。

4 仿真结果

本文采用Singer模型^[11]，跟踪模拟目标运动轨迹，机动时间设为^[12]为60 s，对三维空间中的机动目标进行跟踪仿真。观测站位置设置为[150, 490, 100]^T，单位为km，距离量测相对误差为0.001，角度量测误差为0.1°。探测采样周期T=0.5 s，采样点数N=200。假设目标与观测站的相对速度不超过2马赫(1马赫≈340 m/s)^[13]，相对加速度不超过10 g(g=9.8 m/s²)，即0≤‖ v_c‖≤‖v_max‖=680，0≤‖a_c‖≤‖a_max‖=98。

场景1  假定目标的初始位置在大地坐标系下的坐标为[630 km, 778 km, 316 km]^T，距离观测台600 km，目标初始速度矢量为[－100 m/s, 400 m/s, 200 m/s]^T，加速度矢量为[5 m/s², －8m/s², －5m/s²]^T，并由此开始做匀加速运动。采用3种非线性卡尔曼滤波算法，并分别结合PCM、TPM和真实值替代法(true value substituting method，TVSM)3种初值确定方法对目标进行跟踪，x-y-z 3个方向上的跟踪绝对误差(AD)随采样点数n的变化曲线如图 3所示。

由图 3可以看到，在量测误差影响下，当n∈[0, 80]时，直接采用TPM确定的初值误差较大，导致对目标的跟踪滤波结果严重偏离真实位置，在各方向上的跟踪误差均明显超过了PCM和TVSM。而采用PCM对初值进行适当修正后，跟踪滤波误差大幅减小，仅略高于真实值法。在n>80时，3种初值确定方法下的卡尔曼滤波均收敛至同一水平。由此可得出结论，PCM和TVSM相较TPM算法能明显改善目标跟踪初期的跟踪精度，在场景1设定的条件下，PCM和TVSM的收敛时间比TPM加快约80个采样周期。而在工程应用中，往往难以直接得到目标实际初始状态，所以与TVSM相比，在对机动目标进行超视距跟踪的现实场景下，PCM算法能够发挥更有效的作用。

场景2  假定目标的初始位置在大地坐标系下的坐标为[630 km, 778 km, 316 km]^T，距观测台600 km，目标初始速度矢量为[100 m/s, 400 m/s, 100 m/s]^T，加速度矢量为[10 m/s², －10 m/s², 10 m/s²]^T，并由此开始做匀加速运动。采用PCM确定初值，并分别结合3种非线性卡尔曼滤波算法对目标进行跟踪，进行100次Monte-Carlo仿真，求取跟踪轨迹的相对均方根误差。在PCM算法中选取不同的修正值时对应的误差变化趋势如图 4。

场景3  假定场景2中目标初始位置在大地坐标系下的坐标变为[750 km, 1 130 km, 580 km]^T，与观测台之间的距离为1 000 km，并由此开始做匀加速运动。在相同条件下进行仿真，结果见图 5。

图 4、5表现了当选取不同的修正值‖v_c‖和‖a_c‖时，得到目标跟踪相对误差的变化趋势。PRMS为滤波前200个周期(即n∈[0, 200])的相对误差平均值，同理PRMS50表示n∈[50, 200]时求得的PRMS，PRMS100表示n∈[100, 200]时求得的PRMS。其中，图(a)~(c)、图(d)~(f)和图(g)~(i)分别为运用EKF、UKF和CKF算法求得的结果。

从图 4和图 5中PRMS的变化趋势不难看出，当采用PCM分别结合EKF、UKF和CKF进行目标跟踪时，零值修正(即‖ v_c‖=0，‖a_c‖=0)可明显减小滤波初期的相对误差值。从PRMS50和PRMS100的变化趋势可看出，随着算法继续迭代，滤波相对误差对修正值‖v_c‖和‖a_c‖的敏感度逐渐下降，算法后期收敛精度基本不受影响。由此可见，在选取PCM修正值时，零值修正能在保证算法最终精度基本不变的前提下得到更好的初始滤波效果，即目标跟踪的收敛时间至少缩短了50个采样周期。

5 结论

本文对超视距无源探测情况下，有界范围内的非线性目标跟踪问题进行研究，通过改进初值选取方法对跟踪滤波收敛速度和精度进行改善。

1) 提出一种适用于工程实践的初值确定方法——投影修正法(PCM)。

2) 结合3种非线性卡尔曼滤波算法，对比以往的TPM和TVSM两种初值确定方法进行仿真验证。仿真结果表明PCM可明显提高对非线性目标进行超视距跟踪时的卡尔曼滤波算法收敛速度。此外，采取零值修正的PCM算法在相同条件下，能取得更快的滤波收敛速度，且整体滤波跟踪精度不下降。

3) 实际工程应用中，在对非线性目标进行超视距无源探测和跟踪时，采用零值修正的PCM进行初值确定可提高目标跟踪前期精度和收敛速度，便于快速准确地锁定目标，为探测方赢取更多反应时间。