舰炮供弹系统作为舰炮武器系统的重要组成部分，其供弹速率、多弹种兼容性以及稳定性和可靠性都直接影响了整个舰炮武器系统的作战。而摆弹机构^[1-2]在舰炮供弹系统中占有举足轻重的地位。

由于装配、加工误差的存在及运动副之间运动的需要，实际摆弹机构中运动副之间必然留有间隙，而间隙会导致摆弹机构运动精度下降；并使摆弹臂在运动过程中产生一定程度冲击和振动，进而影响整个机构的动态特性^[3-5]。因此需要对含间隙的摆弹机构动力学特性进行分析，了解间隙对摆弹机构动力学特性的影响，为未来新型摆弹机构的具体设计提供依据。

1 含间隙的摆弹机构动力学模型 1.1 含间隙的摆弹机构模型简化

为了研究运动副间隙对摆弹机构的动态特性的影响，需要对现有舰炮摆弹机构模型进行简化，明确需要研究的含间隙的运动副数量和形式^{[4, 6-8]}。由于摆弹机构的摆弹动作主要由曲柄、连杆、齿条和摆弹臂4部分参与，可将摆弹机构简化为由该4部分组成的简化机构模型。简化后的摆弹机构原理图如图 1所示。

由于曲柄与连杆以及连杆与齿条之间的联接是用销轴来实现的，因此这两处的间隙较大，且对整个机构的运动特性的影响较为明显(此处忽略了齿轮齿条安装精度的影响)。由于齿条通过精密滚珠导轨与机架相连，运动时侧向与运动方向间隙较小，因此忽略了齿条与机架之间的运动间隙。

1.2 坐标系与广义坐标的选取

如图 2所示建立了舰炮摆弹机构的坐标系。为方便计算，建立了x-y和X-Y这2个坐标系，两坐标系y轴夹角为30°。通过机构分析可知，该机构具有3个自由度w=3×6-2×7-1=3，拟采取曲柄与y轴的夹角α₁，以及2个无质量杆件e₁、e₂与y轴的夹角α₂、α₄为广义自由度。

在处理后的机构简图中：e₁、e₂分别为2个间隙的长度；s₁、s₂、s₃、s₄分别为曲柄、连杆、齿条和摆臂的质心；l₁、l₂分别为曲柄和连杆的长度；r为摆弹臂不完全齿轮的半径；l_s1、l_s2、l_s3、l_s4分别是曲柄、连杆、齿条和摆臂质心到转动起点的距离。主要研究对象为摆臂与竖直方向的夹角θ、摆臂角速度ω₅、角加速度ε₅与广义自由度之间的关系。

2 考虑间隙的摆弹机构动力学分析 2.1 含间隙的摆弹机构各构件质心位置分析

由于运动副间隙较小且接触和分离的时间都很短，为了简化模型，认为运动副始终处于接触的状态，将间隙转化为无质量的杆件，整个模型即可转化为无间隙的多自由度的多杆机构(如图 2所示)，通过对各杆件受力分析，并结合牛顿欧拉法就可以推导出该机构的动力学方程^{[5, 9-12]}。

摆弹机构中各点的坐标在两坐标轴下的关系为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X\\ Y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {{30}^ \circ }}&{\sin {{30}^ \circ }}\\ { - \sin {{30}^ \circ }}&{\cos {{30}^ \circ }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] $

(1)

根据闭环矢量法，可以得到如式(2)的方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} {l_3} = {l_1}\cos {\alpha _1} + {e_1}\cos {\alpha _2} - {l_2}\cos {\alpha _3} - {e_2}\cos {\alpha _4}\\ 0 = {l_1}\sin {\alpha _1} + {e_1}\sin {\alpha _2} - {l_2}\sin {\alpha _3} - {e_2}\sin {\alpha _4} \end{array} \right. $

(2)

摆弹臂与齿条的运动关系为

$ {{\dot l}_3} = {{\dot y}_{{s_3}}} = {{\dot \alpha }_5}r = {\omega _5}r $

(3)

式中：ẏ_s3为齿条质心在y轴方向的线速度；$ {{\dot l}_3}$·为齿条沿y轴的移动速度；ω₅为摆弹臂的角速度。由式(2)可得

$ {\alpha _3} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{{l_1}\sin {\alpha _1} + {e_1}\sin {\alpha _2} - {e_2}\sin {\alpha _4}}}{{{l_2}}}} \right) $

(4)

计算曲柄、连杆、齿条及摆弹臂质心在x-y坐标系下的s₁、s₂、s₃、s₄坐标：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{s_1}}}}\\ {{y_{{s_1}}}} \end{array}} \right] = {l_{{s_1}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _1}}\\ {\cos {\alpha _1}} \end{array}} \right] $

(5)

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{s_2}}}}\\ {{y_{{s_2}}}} \end{array}} \right] = {l_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _1}}\\ {\cos {\alpha _1}} \end{array}} \right] + {e_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _2}}\\ {\cos {\alpha _2}} \end{array}} \right] - {l_{{s_2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _3}}\\ {\cos {\alpha _3}} \end{array}} \right] $

(6)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{s_3}}}}\\ {{y_{{s_3}}}} \end{array}} \right] = {l_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _1}}\\ {\cos {\alpha _1}} \end{array}} \right] + {e_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _2}}\\ {\cos {\alpha _2}} \end{array}} \right] - {l_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _3}}\\ {\cos {\alpha _3}} \end{array}} \right] - }\\ {{e_2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _4}}\\ {\cos {\alpha _4}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{l_{{s_3}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{l_3} + {l_{{s_3}}}} \end{array}} \right]} \end{array} $

(7)

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{s_4}}}}\\ {{y_{{s_4}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_A}}\\ {{y_A}} \end{array}} \right] + {l_{{s_4}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\alpha _5}}\\ {\cos {\alpha _5}} \end{array}} \right] $

(8)

式中x_A、y_A分别是耳轴中心A在坐标系x-y中的分量。

由式(4)可知，连杆的转角α₃是广义坐标α₁、α₂、α₄的函数，因此可得：

$ {\omega _3} = {{\dot \alpha }_3} = \frac{{\partial {\alpha _3}}}{{\partial {\alpha _1}}}{\omega _1} + \frac{{\partial {\alpha _3}}}{{\partial {\alpha _2}}}{\omega _2} + \frac{{\partial {\alpha _3}}}{{\partial {\alpha _4}}}{\omega _4} $

(9)

式中：ω₃为连杆的角速度；ω₁为曲柄的角速度；ω₂为杆件e₁的角速度；ω₄为杆件e₂的角速度。

分别对式(5)~(8)求一阶导数可以得到曲柄、连杆、齿条摆弹臂质心s₁、s₂、s₃、s₄在坐标系x-y下的质心速度。同理对其求二阶导，可以得到摆弹机构曲柄、连杆、齿条和摆弹臂质心的加速度推导的各构件质心加速度方程，可以得到8个运动约束方程，将摆弹机构的运动约束方程写成约束矩阵的形式如下

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{{s_1}x}}}\\ {{a_{{s_1}y}}}\\ {{a_{{s_2}x}}}\\ {{a_{{s_2}y}}}\\ {{a_{{s_3}x}}}\\ {{a_{{s_3}y}}}\\ {{a_{{s_4}x}}}\\ {{a_{{s_4}y}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{s_1}}}\cos {\alpha _1}}&0&0&0&0\\ { - {l_{{s_1}}}\sin {\alpha _1}}&0&0&0&0\\ {{l_1}\cos {\alpha _1}}&{{e_1}\cos {\alpha _2}}&{ - {l_{{s_2}}}\cos {\alpha _3}}&0&0\\ {{l_1}\sin {\alpha _1}}&{ - {e_1}\sin {\alpha _2}}&{{l_{{s_2}}}\sin {\alpha _3}}&0&0\\ {{l_1}\cos {\alpha _1}}&{{e_1}\cos {\alpha _2}}&{{l_2}\cos {\alpha _3}}&{ - {e_2}\cos {\alpha _4}}&0\\ { - {l_1}\sin {\alpha _1}}&{ - {e_1}\sin {\alpha _2}}&{{l_2}\sin {\alpha _3}}&{{e_2}\sin {\alpha _4}}&0\\ 0&0&0&0&{{l_{{s_4}}}\cos {\alpha _5}}\\ 0&0&0&0&{ - {l_{{s_4}}}\sin {\alpha _5}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _1}}\\ {{\varepsilon _2}}\\ {{\varepsilon _3}}\\ {{\varepsilon _4}}\\ {{\varepsilon _5}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {l_{{s_1}}}\sin {\alpha _1}}&0&0&0&0\\ {{l_{{s_1}}}\cos {\alpha _1}}&0&0&0&0\\ { - {l_1}\sin {\alpha _1}}&{ - {e_1}\sin {\alpha _2}}&{{l_{{s_2}}}\sin {\alpha _3}}&0&0\\ { - {l_1}\cos {\alpha _1}}&{ - {e_1}\cos {\alpha _2}}&{{l_{{s_2}}}\cos {\alpha _3}}&0&0\\ { - {l_1}\sin {\alpha _1}}&{ - {e_1}\sin {\alpha _2}}&{{l_2}\sin {\alpha _3}}&{{e_2}\sin {\alpha _4}}&0\\ { - {l_1}\cos {\alpha _1}}&{ - {e_1}\cos {\alpha _2}}&{{l_2}\cos {\alpha _3}}&{{e_2}\cos {\alpha _4}}&0\\ 0&0&0&0&{ - {l_{{s_4}}}\sin {\alpha _5}}\\ 0&0&0&0&{ - {l_{{s_4}}}\cos {\alpha _5}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {w_1^2}\\ {w_2^2}\\ {w_3^2}\\ {w_4^2}\\ {w_5^2} \end{array}} \right]} \end{array} $

式中ε₁、ε₂、ε₄分别为曲柄、无质量杆e₁和无质量杆e₂的角加速度。

通过上述计算过程，求得了摆弹机构各组件的质心速度、质心加速度、角速度和角加速度等参数与广义坐标α₁、α₂、α₄之间的关系，通过设定初始条件，各组件的长度和初始角度、角速度、角加速度等参数，进行计算机数值仿真可以得到需要的运动学曲线图，同时计算所得的质心速度和角速度表达式也可以为动力学分析提供依据。

2.2 摆弹机构各构件受力分析

运用连续接触模型进行摆弹机构运动学分析时，将间隙转化为无质量的杆件，在进行动力学分析时，无质量的杆件对力的传递没有影响。因此，运用达朗贝尔原理进行动态静力分析时，忽略无质量杆件的影响，对各构件进行受力分析，列出构件的力平衡方程和力矩平衡方程，并根据上一小节求得的各构件质心加速的方程，求得构件的各约束力方程。

分析摆弹机构各构件受力时，分别将机架、曲柄、连杆、齿条和摆弹臂一次标号为1、2、3、4、5。通过分析可以得到如图 3所示的摆弹机构各杆件受力分析图。

根据图 3(a)所示的曲柄受力分析结果，应用达朗贝尔原理列出其动态静力学分析平衡方程如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {F_{12x}} - {F_{32x}} + {M_2}g\sin {30^ \circ } - {M_2}{a_{{s_1}x}} = 0\\ - {F_{12y}} + {F_{32y}} - {M_2}g\cos {30^ \circ } - {M_2}{a_{{s_1}y}} = 0\\ - {M_1} + {F_{12x}}{l_{{s_1}}}\cos {\alpha _1} + {F_{12y}}{l_{{s_1}}}\sin {\alpha _1} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{F_{32y}}\left( {{l_1} - {l_{{s_1}}}} \right)\sin {\alpha _1} + {F_{32x}}\left( {{l_1} - {l_{{s_1}}}} \right)\cos {\alpha _1} + \\ \;\;\;\;\;\;\;{I_{{s_1}}}{\varepsilon _1} = 0 \end{array} \right. $

式中：M₂为曲柄质量；a_s1x、a_s1y为曲柄质心加速度在x轴和y轴的加速度分量；I_s1为曲柄绕质心转动的转动惯量；M₁为曲柄的驱动力矩。连杆的受力分析图如图 3(b)所示，应用达朗贝尔原理列出其动态静力学分析平衡方程如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {F_{43y}} - {F_{23y}} - {M_3}g\cos {30^ \circ } - {M_3}{a_{{s_2}y}} = 0\\ - {F_{43x}} + {F_{23x}} + {M_3}g\sin {30^ \circ } - {M_3}{a_{{s_2}x}} = 0\\ - {F_{23y}}{l_{{s_2}}}\sin {\alpha _3} - {F_{23x}}{l_{{s_2}}}\cos {\alpha _3} - \\ {F_{43y}}\left( {{l_2} - {l_{{s_2}}}} \right)\sin {\alpha _3} - {F_{43x}}\left( {{l_2} - {l_{{s_2}}}} \right)\cos {\alpha _3} - \\ {l_{{s_2}}}{\varepsilon _3} = 0 \end{array} \right. $

式中：M₃为连杆质量；a_s2x、a_s2y为连杆质心加速度在x轴和y轴的加速度分量；I_s2为连杆绕质心转动的转动惯量。

齿条的受力分析图如图 3(c)所示，由于齿条受到整个机架导轨的约束，其约束反力应分布沿齿条分布。

为了简化计算，将连杆和机架对齿条的约束反力的作用点选取在齿条的质心s₃处。应用达朗贝尔原理列出其动态静力学分析平衡方程如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {M_4}g\sin {30^ \circ } - {F_{14x}} + {F_{34x}} - {M_4}{a_{{s_3}x}} = 0\\ {F_{54y}} + {F_f} - {F_{34y}} - {M_4}g\cos {30^ \circ } - {M_4}{a_{{s_3}y}} = 0 \end{array} \right. $

式中：M₄为齿条质量；F_f为齿条受到的摩擦阻力；a_s3x、a_s3y为齿条质心加速度在x轴和y轴的加速度分量。

摆弹臂的受力分析图如图 3(d)所示，应用达朗贝尔原理列出其动态静力学分析平衡方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {F_{15y}} - {F_{45y}} - {M_5}g\cos {30^ \circ } - {M_5}{a_{{s_4}y}} = 0\\ {F_{15x}} + {M_5}g\sin {30^ \circ } - {M_5}{a_{{s_4}x}} = 0\\ {F_{45y}}\left[ {\gamma + {l_{{s_4}}}\sin {\alpha _5}} \right] + {F_{15x}}{l_{{s_4}}}\cos {\alpha _5} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{F_{15y}}{l_{{s_4}}}\sin {\alpha _5} - {l_{{s_4}}}{\varepsilon _5} = 0 \end{array} \right. $

式中：M₅为摆弹臂质量；I_s4为摆臂绕质心s₄的转动惯量；a_s4x、a_s4y为摆弹臂质心加速度在x轴和y轴的加速度分量。

通过对摆弹机构4个构件的受力分析，可以得到11个力平衡方程。将各构件的受力平衡方程整理成矩阵的形式如下：

(10)

式中：c代表cos；s代表sin；其他字母的含义同上文。

联立摆弹机构运动约束方程(9)、力平衡方程矩阵(10)和式(3)，可以得到整个摆弹机构的动力学约束矩阵。取输出量F_12x、F_12y、F_23x、F_23y、F_34x、F_34y、F_14x、F_45y、F_15x、F_15y、a_s1x、a_s1y、a_s2x、a_s2y、a_s4x、a_s4y、a₃、ε₁、ε₃、ε₅为输出，利用计算机进行建模和仿真，可以得出摆弹机构在力矩作用下的铰间作用力曲线，各构件的质心加速度、速度和位移曲线相关曲线以及各构件角加速度、角速度和角位移曲线等，从而可以直观地观察间隙大小的变化对摆弹机构动力学特性的影响。

3 考虑间隙的摆弹机构动力学仿真 3.1 摆弹机构动力学仿真模型的建立

根据实际建模的参数，可以得到摆弹机构的相关数据如表 1所示。

运用MATLAB/Simulink模块进行数值求解，可以得到摆弹机构摆弹机构在输入力矩作用下的动力学曲线^[13-16]。

仿真过程中曲柄的驱动力矩为M₁，α₁的初始角度为30°，α₃的初始角度为165.5°，α₅的初始角度为150°；广义坐标α₂、α₄的角加速度为定值，分别为3π、π；仿真步长为0.001 s，仿真时间为0.8 s；分别取间隙e₁、e₂、e₃长度为0 mm、0.5 mm和1 mm进行仿真。

仿真时主要研究间隙e₁、e₂的大小变化对摆弹机构动力学特性的影响。通过多次仿真试验，发现当驱动力矩为1 450 Nm时，摆弹臂能够在0.8 s内向上旋转100°。取M₁=1 450 Nm，e₁、e₂为0 mm、0.5 mm和1 mm(为方便仿真，取e₁=e₂)进行仿真，并将仿真结果进行对比和分析。

3.2 摆弹机构动力学仿真结果分析

为方便对比，将仿真结果进行处理，集成到以摆弹臂角加速度、摆弹臂角速度和摆弹臂角位移3张图中，对比摆弹臂在不同间隙情况下，摆弹臂的角加速度、角速度和角位移的变化情况。摆弹臂在不同间隙下的角加速度曲线、角速度曲线和角位移曲线分别如图 4~6所示。

从图 4中可以看出，当间隙e₁、e₂均为0.5 mm时，摆弹臂的角加速度会出现波动，在0.25 s左右角加速度曲线基本与无间隙的仿真曲线重合；当间隙e₁、e₂均为1 mm时，在0.35 s左右角加速度曲线基本与无间隙的仿真曲线重合。该结果说明铰间间隙会在摆弹臂启动瞬间会对其角加速度产生较大的影响，且间隙越大影响越明显，影响时间越长。

对比图 5、6所示的摆弹臂在不同间隙下的角速度和角位移曲线可以发现，铰间间隙对摆弹臂的角速度和角位移的影响并不是很大，整个曲线与不含间隙时的角速度和角位移曲线基本重合。

4 结论

利用含间隙机构的动力学建模与分析方法，对考虑铰间间隙的摆弹机构进行了动力学分析，推导出了考虑铰间间隙情况下摆弹机构的动力学方程，并列出了摆弹机构的力平衡方程和运动约束方程；在此基础上，运用MATLAB/Simulink模块对含间隙的摆弹机构的动力学特性进行了数值仿真，结果表明：

1) 摆弹机构铰间间隙会对摆弹臂角加速度产生较大的影响，且间隙越大影响越明显，影响时间越长；

2) 摆弹臂的角速度和角位移受铰间间隙的影响程度较低。