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  应用科技  2017, Vol. 44 Issue (5): 57-61, 69  DOI: 10.11991/yykj.201610015
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引用本文  

李传东, 王亮. 气浮平台转动惯量测量精度影响因素分析[J]. 应用科技, 2017, 44(5), 57-61, 69. DOI: 10.11991/yykj.201610015.
LI Chuandong, WANG Liang. Analysis on the factors affecting the measuring accuracy of rotational inertia of air-floated platform[J]. Applied Science and Technology, 2017, 44(5), 57-61, 69. DOI: 10.11991/yykj.201610015.

通信作者

王亮, E-mail:wangliang@buaa.edu.cn

作者简介

李传东(1991-), 男, 硕士研究生;
王亮(1962-), 男, 教授, 博士

文章历史

收稿日期:2016-10-31
网络出版日期:2017-03-31
气浮平台转动惯量测量精度影响因素分析
李传东, 王亮    
北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院, 北京 100191
摘要:单轴气浮平台用于测量航天器在微重力情况下的转动惯量、角速度等物理参数,转动惯量的高精度测量对于航天器的研发具有重要意义。介绍了单轴气浮平台的机械结构,以及对应的转动惯量测量方法,通过机械系统动力学自动分析(automatic dynamic analysis of mechanical systems,ADAMS)仿真和实验验证,完成了单轴气浮平台调平精度、弹簧刚度、系统阻尼大小等因素对转动惯量测量影响的分析,测量方法具有较高的测量精度,结论对高精度转动惯量的实验测量具有参考意义。
关键词单轴    气浮平台    转动惯量    仿真    实验    测量精度    测量方法    影响因素    
Analysis on the factors affecting the measuring accuracy of rotational inertia of air-floated platform
LI Chuandong, WANG Liang    
School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China
Abstract: Single-axis air-floated platform is used to measure the rotational inertia, angular velocity and other physical parameters of spacecraft in microgravity, the high-precision measurement of rotational inertia is of great significance to the research and development of spacecraft. The mechanical structure of single-axis air-floated platform and the measurement method of rotational inertia were introduced, through ADAMS(automatic dynamic analysis of mechanical systems) dynamics simulation and field experiment, the effects of adjustment precision, spring stiffness and system damping of air-floated platform on the measurement of rotational inertia were analyzed. The measurement method has a high precision, the conclusion has an important reference value for the experimental measurement of high-precision rotational inertia.
Key words: single-axis    air-floated platform    rotational inertia    simulation    experiment    measurement accuracy    measuring method    influence factor    

航天器的转动惯量等物理量的变化对于其在空间轨道的运行状态、运动姿态有直接影响,转动惯量的准确测量对于航天器等设计和控制具有重要的意义。单轴气浮平台是一种测量大型不规则物体转动惯量以及角速度等参数的实验装置,用于模拟航天器在空间微重力环境下的单轴运动。文中将在有限元仿真软件和现场实验的基础上,系统地分析气浮平台调平精度、弹簧刚度、系统阻尼大小等因素对转动惯量测量的影响。

1 单轴气浮平台机械结构

单轴气浮平台测量角动量的方法为扭摆法,文献中较常见的基于扭摆法的转台系统,其基本结构通常由扭杆、角接触球轴承和工作台组成[1]。扭杆是转台系统的重要部件,利用它的储存能量的性能,实现工作台和待测物周期性摆动。文中所述单轴气浮平台,采用气浮轴承代替角接触球轴承,利用压缩空气将气浮平台悬浮,增加了平台的承载能力,轴承和轴承座之间形成气膜,又可极大程度地减少工作台运动中的摩擦阻力,实现较高精度的角动量测量,同时使得转台系统不再局限于扭摆运动,还可实现小摩擦的连续圆周转动,用于完成角速度的测量。文中的单轴气浮平台采用相对于旋转中心对称的一对弹簧代替扭杆,气浮平台结构如图 1所示。工作台被气浮轴承浮起之后,通过弹簧与平台底座相连,平台扭摆时通过交替地压缩和拉伸弹簧产生扭矩。

图 1 单轴气浮平台结构
2 转动惯量测量原理

基于扭摆法的转动惯量测量方法[2-3],是利用给出气浮台初始角度后,使其在弹簧恢复力作用下自由摆动,记录角度数据、后期处理进而完成转动惯量测量的一种方法。单轴气浮平台在做小角度自由扭摆运动时,弹簧产生的恢复力与其形变成正比,即F=-kx,转换为相对于回转中心的扭矩M1=-,其中k为弹簧的刚度,K为弹簧等效扭转刚度,弹性限度内为常数,θ为平台转角;空气阻力与扭摆运动中的转动角速度成正比,即${M_2} = -C\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}}$,其中C为阻尼系数。J为转动惯量,则扭摆系统的振动方程为

$ J\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{\mathit{t}^2}}} + C\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}} + K\theta = 0 $

定义${\omega _0} = \sqrt {\frac{K}{J}} $为无阻尼振动固有频率,$\xi = \frac{C}{{2\sqrt {KJ} }}$为系统阻尼比,则原方程可写为

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{\mathit{t}^2}}} + 2\xi {\omega _0}\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}} + \omega _0^2\theta = 0 $

其特征方程为

$ {r^2} + 2\xi {\omega _0}r + \omega _0^2= 0 $

特征根为

$ {r_{1, 2}} = - \xi {\omega _0} \pm {\omega _0}\sqrt {{\xi ^2} - 1} $

假如ξ<1,即弱阻尼情况时,${r_{1, 2}} = - \xi {\omega _0} \pm {\rm{i}}{\mathit{\omega }_0}\sqrt {1 - {\xi ^2}} $,微分方程的解为

$ \theta \left( t \right) = \frac{{{\theta _0}}}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}{{\rm{e}}^{\left( { - \xi {\omega _0}t} \right)}}{\rm{cos}}\left( {{\omega _0}t\sqrt {1 - {\xi ^2}} } \right) $ (1)

定义有阻尼振动频率${\mathit{\omega }_d}\sqrt {1 - {\xi ^2}}{\omega }_0$TdT0分别为有阻尼和无阻尼的振动周期,${T_0} = \sqrt {1 - {\xi ^2}} {T_d} $fdf0为有阻尼振动频率,由此得到转动惯量的计算公式为

$ J = \frac{K}{{\omega _0^2 }} = \frac{K}{{\left( {2\pi } \right){^2}f_0^2}} = \frac{K}{{\left( {2\pi } \right){^2}f_d^2}}\sqrt {1 - {\xi ^2}} $ (2)

由于弹簧等效扭转刚度K不易准确测量,为避免因测量引起的误差,文中采用在气浮平台上附加已知质量为m0、半径为r的圆柱体砝码,砝码质量均匀,其质心距离气浮平台回转中心的距离为L,根据转动惯量计算中的平行轴定理,可知气浮台增加的转动惯量为

$ \Delta J = 2{m_0}{L^2} + {m_0}{r^2} $

此时根据式(2)气浮平台的转动惯量变为

$ J + \Delta J = \frac{K}{{\left( {2\pi } \right){^2}f_{d1}^2}}\sqrt {1 - {\xi ^2}} $ (3)

式中fd1为增加砝码之后气浮平台的有阻尼振动频率,将式(2)和(3)进行运算,得到

$ J = \frac{{f_{{\rm{d1}}}^2}}{{f_{\rm{d}}^2 - f_{{\rm{d1}}}^2}}\Delta J $ (4)

由式(4)可知,气浮平台的转动惯量测量与弹簧的等效扭转刚度无关。实验中采集平台转动角度随时间的变化曲线如图 2所示,利用MATLAB对式(1)进行数据拟合[4-7],进而得到增加砝码前后精确的频率值,以及装载待测物体之后的频率值,即可根据式(4)分别计算出单轴气浮平台的转动惯量以及待测物体的转动惯量。

图 2 气浮平台扭摆角度随时间变化图
3 平台倾角对转动惯量测量的影响

气浮平台采用4个地脚螺栓与大地相连,通常情况下,难以实现完全水平,而且由于地壳运动,长时间未使用之后气浮平台水平角度也会发生变化。即使在假设气浮轴承供气均匀、台体加工精度极高的情况下,平台的倾斜依然会导致转台的质心偏离转台的旋转中心,其相当于在平台整周旋转中加入了重力引起的不平衡力矩。

3.1 力学分析

气浮轴承及转台的总重为G,假设其重心为C,与转台旋转中心的距离为s,在转台平面上建立以旋转轴为z轴、扭摆运动平衡位置为x轴的坐标系。在转台倾斜的情况下,重心C随转台的摆动而摆动。当重心C在最低位置时,转台达到重力矩的平衡状态。

首先分析扭摆运动的平衡点和重力矩平衡位置相同的情况。假设转台倾斜角度如图 3,建立矢量P,方向垂直于旋转轴z,且通过重心C

图 3 转台倾斜图

当转台旋转一定角度时,重心C沿矢量P方向的分量Gp

${G_p} = G{\rm{sin}}\;\alpha $

式中α为转台回转轴与重力方向的夹角,则由此产生的扭矩为

$ {M_G} = {G_s}{\rm{sin}}\;\alpha {\rm{sin}}\;\theta $

则扭摆系统的运动方程为

$J\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{\mathit{t}^2}}} + C\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}} + K\theta = {G_s}{\rm{sin}}\;\alpha {\rm{sin}}\;\theta $

扭摆运动的转动角度较小,因此θ≈sin θ,则方程可写为

$ J\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{\mathit{t}^2}}} + C\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}} + N\theta = 0 $

式中N=(K-Gssin α)为定值,即相当于增大了弹簧的刚度,则转动惯量的测量仍可根据式(4)完成。

当运动的平衡位置和矢量P不重合时,如图 4所示。

图 4 平衡位置不重合图

此时扭摆运动的方程变为

$ J\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{\mathit{t}^2}}} + C\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}\mathit{t}}} + K\theta = \pm Gs{\rm{sin}}\;\alpha {\rm{sin}}\;\left( {\theta - \varphi } \right) $

式中φ为扭摆运动平衡位置和重力矩平衡位置向量P间的夹角。此方程无法求出通常意义下的解析解,因此利用MATLAB中的ode45()函数求取方程的数值解并绘图[8-10],只要选取的时间步长足够小,文中选取步长为10 ms,就可以保证数据的精度。通过对系统转动惯量J、阻尼系数ξ、弹簧等效扭转刚度K、转台重量m以及倾斜角度α、平衡位置夹角φ等的赋值,对比观察倾斜角度α以及平衡位置夹角φ变化所引起的数值解图形的变化。MATLAB计算出的数值解曲线如图 56所示。

图 5 不同倾斜角度下数值曲线
图 6 不同平衡位置夹角下数值曲线

为了便于观察,图 5中仅展示了数值解的第30~50 s,图 5中虚线代表倾斜角度为1°时的数据点,实线代表倾斜角度为10°时的数据点,观察曲线可知,倾斜角度会影响转台摆动周期,随着角度增大,摆动周期随之减小,进而影响转动惯量的测量精度。

图 6中虚线和实线分别代表扭摆运动平衡位置和重力矩平衡位置向量P间的夹角为0.8π和π/3。通过对130~150 s时间段的观察可以看出:随着平衡位置夹角的改变,转台摆动周期随之改变。

在实际转台实验中,转台的调平精度会控制在1°之内,文中按照1°最大偏角极限情况进行分析。根据数值解仿真可知,最大偏角引起的周期改变小于0.001 s,且当弹簧刚度较小、转台及待测物重量较大的情况下,其相对于扭摆周期的比例极小,因此调平问题对于转动惯量测量的影响极小。

3.2 仿真分析

由于实验中难以调整气浮平台的倾斜角度,进行不同倾角下的数据采集分析,本节利用有限元仿真,定量地分析了气浮平台的调平情况对于转动惯量测量的影响。

仿真中采用1 N/mm的弹簧组,阻尼设置为固定阻尼,分别设置气浮平台与水平面间的夹角为0°、0.3°、0.6°、1°、2°、3°,待测物为0.767 kg的砝码,其转动惯量计算值为0.173 331 04 kg·m2,进行仿真,数据见表 1

表 1 不同倾斜角度转动惯量仿真数值

根据表 1可知,随着气浮平台与地面间夹角的增加,平台的转动惯量会逐渐增大。在气浮平台的实际调平中,平台的倾斜角度会被控制在1°之内,且平台自身转动惯量较大,因此平台的调平对于平台转动惯量的影响很微小,0°~3°平台转动惯量变化仅为0.005 kg·m2。平台倾斜后待测物体的转动惯量也逐渐增大,取0°和1°的数据进行计算,因倾斜所引起的测量误差变化仅为10-5 kg·m2。转动惯量测量与平台倾斜角度关系如图 7所示。

图 7 转动惯量测量与平台倾斜角度关系图

在气浮平台的实际实验中,难以精确测量平台的实际倾斜角度,此处仅进行定性分析。调平前平台倾斜角度约为1.5°左右,调平后倾斜角度小于0.8°,同时由于存在制造误差、操作误差等随机误差的影响,平台和待测物体转动惯量的测量值会有一定波动。待测物体转动惯量理论计算值为3.947 92 kg·m2。如表 2所示,列出了调平前后转动惯量测量值。

表 2 实际实验转动惯量测量值

调平前转动惯量平均值为3.956 82 kg·m2,调平后转动惯量平均值为3.954 17 kg·m2。根据实际测量数据可知,调平前后待测物体转动惯量的测量绝对误差可控制在0.01 kg·m2以内。因此对于质量较大的待测物体,该气浮平台的测量相对误差更小。

4 弹簧刚度对于转动惯量测量的影响

文中所述气浮平台采用成组圆柱螺旋弹簧提供扭摆力矩,随着使用时间的增加,弹簧的刚度系数会发生变化,且由于制造等原因也会存在弹簧刚度系数不均的情况,前文利用公式推导,排除弹簧刚度系数对于转动惯量测量的影响,本节将利用有限元仿真配合实际实验对其进行验证。表 3中列出了不同弹簧刚度下转动惯量的仿真测量值。图 8为不同弹簧刚度系数下的扭摆实验数据。

表 3 不同弹簧刚度下转动惯量仿真测量值
图 8 不同弹簧刚度系数下的扭摆实验数据

根据表 3图 8的数据可知,弹簧刚度的大小会直接影响无阻尼振动频率ω0的大小,但其对于平台转动惯量以及待测物体转动惯量的测量的影响较小。在实际实验中,弹簧刚度难以直接测量,仅更换不同弹簧进行实验。实验数据图像疏密程度类似于图 8(a)(b),两次更换弹簧后,分别进行了4次转动惯量测量实验,实验数据的平均值分别为3.939 45和3.949 01 kg·m2,数据绝对误差小于0.01 kg·m2。实验结果与仿真分析结果基本一致。因此只要选用在刚度系数k在小变形范围内近似为定值的弹簧,且保证每次实验的初始摆角尽量相同,即可实现转动惯量的较高精度测量。

表 4数据中仅列出几组有代表性的仿真数据,综合各种弹簧刚度不同的情况,砝码转动惯量测量的误差均小于0.001 kg·m2。因此弹簧组的刚度不同所引起的测量误差较小,可不必进行考虑。本节验证了式(4)结论:转动惯量测量与弹簧的等效扭转刚度无关。

表 4 成组不同刚度弹簧转动惯量仿真测量值
5 系统阻尼对于转动惯量测量的影响

气浮平台在扭摆过程中会受到空气阻力以及气浮轴承排出气体的影响,导致平台扭摆的幅度逐渐减小,扭摆速度和角度减小。文中假设系统阻尼大小与扭摆角速度成正比,如图 9为阻尼逐渐增大情况下的气浮平台扭摆角度曲线。从图可看出随着线性阻尼的增大,振幅的衰减速度越来越快,但扭摆周期不变。文中所述的气浮平台阻尼较小,衰减情况和图 9(a)的情况接近,实际实验中为保证转动惯量的测量精度,使用有机玻璃罩住待测物体进行试验,可保证系统的阻尼情况不因待测物体的加载而改变。综上,系统阻尼大小对于转动惯量几乎无影响。

图 9 不同阻尼条件下的气浮平台扭摆角度曲线
6 结论

文中介绍了基于单轴气浮平台的转动惯量测量方法,并利用ADAMS有限元分析软件完成仿真,结合具体现场实验得出以下结论:

1) 单轴气浮平台的倾斜角度以及弹簧组刚度的不均对于转动惯量的测量影响很小,测量绝对误差均可控制在0.01 kg·m2以内。

2) 文中介绍的转动惯量测量方法具有很高的测量精度。

3) 文中弹簧刚度和空气阻尼均为线性,而在实际实验中,当扭摆角度过大时,弹簧的刚度系数会呈现非线性性质,文中所述转动惯量测量原理和各种测量影响因素结论,还可在加入非线性因素后进行更进一步的研究。

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