系统发生故障的过程涉及因素很多，在相同因素作用下也可能经历不同的发展过程。这些过程各具特征，涉及的事件也是不同的。因此在研究SFEP时首先要解决过程的描述问题。作者在前期研究中提出了SFEP的概念^[1-4]表示系统在不同因素、不同关系和不同事件情况下故障发生、发展和最终结果情况。进一步地，提出了空间故障网络(space fault network, SFN)来描述系统故障演化过程(SFEP)。

面对的另一个问题，SFEP的边界是演化过程的开始和结束。在SFEP表示为SFN后，起始于边缘事件，结束于最终事件，其间经历的事件称为过程事件，而各种事件之间的逻辑关系则用连接表示。SFN可通过两种方式研究，一是转换为空间故障树(space fault tree，SFT)^[5-16]，二是结构化表示。可证明最终事件发生概率分布可由边缘事件发生概率分布表示，因此获得SFEP边缘事件发生概率分布成为研究最终事件发生情况的关键。目前已有的事件发生概率分布计算方法有两种：一是经过大量实验，记录不同条件下的事件发生情况形成分布；二是通过相对较少的实验通过统计得到特征函数，最终得到概率分布。但这些实验的工作量仍然很大，难以满足实际研究要求。

对于少故障数据条件下的系统故障分析目前研究不多，主要包括：基于卷积网络的高速列车转向架故障辨识^[17]，改进SVDD算法的升降机轴承故障检测^[18]，改进AlexNet的滚动轴承变工况故障诊断^[19]，数控机床小样本可靠性建模^[20]、栈式自编码网络的故障诊断方法研究^[21]、小样本条件下化工设备可靠性预测^[22]、指数正则化零空间鉴别分析的故障识别^[23]、小样本数据下数控刀架可靠性研究^[24]、小样本数据的数控机床MTBF评估^[25]。这些方法和理论都是基于小样本或少数据情况下的研究方法。但这些方法缺乏系统层面的描述和研究，缺乏通用性方法研究。

本文在提出SFN基础上，从获得少量故障数据方面入手，考虑信息扩散思想，建立了少故障数据条件下SFEP最终事件发生概率分布计算方法。目的在于：在得到与准确结果精度可比条件下，大幅减少故障数据量；在获得少故障数据条件下，得到满足故障分析要求的事件发生概率分布。

1 SFEP和SFN

SFEP描述了系统发生故障的过程。该过程中蕴含了众多事件，也蕴含了这些事件之间的关系。SFEP是在系统层面对系统故障过程进行描述，在系统层面抽象各种类型系统，并予以分析。最终达到对故障演化过程描述、分析、预测和干预的目的。SFEP就研究对象而言大体分为两个方面：一是人工系统；二是自然系统。虽然人工系统和自然系统的目的、发生、发展、结果、预测和控制措施不同，但在系统层面上都可表示为众多事件相互作用的过程。

为描述和分析SFEP，作者2018年提出了SFN理论，作为SFT理论的第三阶段。SFEP是众多事件及其逻辑关系组成的网络结构，同时网络中蕴含着事件间的各种逻辑关系和相互作用的联系。使用目前常规方法难以分析，如系统动力学^[26]、符号有向图^[27]、解释结构^[28]、形式概念分析^[29]等。因此在SFT前期研究基础上提出了SFN，将表示结构扩展为网络结构，来表示更具一般性的SFEP。SFN结构上由点和线段组成。点表示SFEP中的事件，箭头线段表示事件之间的关系。事件由对象、状态和逻辑关系组成。对象是作用的承受者和行为执行者。状态是对象的表象和体现。逻辑关系表示了原因事件导致该事件发生的逻辑关系。有时为了研究方便将事件分离成实体事件(对象和状态)和关系事件(逻辑关系)，以表达演化过程中更为复杂的逻辑关系。

通过上述分析可知，SFN描述SFEP是通过网络实现的，则需要确定网络中的各种事件和边界。SFN包括3种事件：边缘事件、过程事件和最终事件、边缘事件是SFEP的起点；最终事件则是演化达到的最终状态；过程事件负责两者之间能量、物质和信息的传递。因此边缘事件和最终事件是SFEP的边界。事件之间的因果传递关系使用箭头线段表示称为连接，从原因事件指向结果事件。边缘事件是最基本的原因事件。连接蕴含了传递概率，代表原因事件导致结果事件的可能性。目前传递概率分为两种形式：一是延续性传递概率，认为原因事件在合理的情况下总有一定可能性导致结果事件发生；二是过滤性传递概率，认为原因事件发生概率只有大于传递概率才按照原因事件发生概率传递。这两种方式针对的问题不同，这里使用第一种方式。

如何获得基本原因事件，即边缘事件发生情况是另一个问题。在不同的基础数据条件下，获得原因事件发生情况的方法也不同。最基本的是只有发生概率或者元件故障概率，理想情况下获得事件发生概率分布^[5]。发生概率是不考虑不同影响因素时得到的平均情况。实际上影响因素变化注定导致发生概率的变化，因此在SFT和SFN中使用事件发生概率或故障概率来表示不同因素值情况下的不同发生概率，称为概率分布。但在实际研究中发现获得完整的事件发生概率分布非常困难，给后期研究带来问题。

本文提出一种基于信息扩思想的少故障数据条件下事件发生概率分布确定方法。实际中获得系统运行条件因素范围内的故障或事故发生条件是简单的。例如：系统可能工作在0~50 ℃之间，数据统计的故障时间是0~100天。统计每一次故障或事故发生时系统运行时间和温度。将0~50 ℃和0~100天作为分布的2个因素，事件发生作为第3个因素，建立事件发生概率坐标系。0~50 ℃和0~100天组成了研究范围D。再将事件发生的温度和时间因素在D中对应位置的发生概率设为100%。得到了因素坐标系统的离散点，进而使用信息扩散思想得到事件发生概率分布。

2 边缘事件发生概率分布确定

在得到离散事件发生情况的分布后，需将其转化为边缘事件发生概率分布，最后得到最终事件发生概率分布。离散事件发生的分布可表示为式（1）：

$P({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1(100{\text{%}} ),\quad{\text{发生}}}\\ {0,\quad{\text{不发生}}} \end{array}} \right.$

(1)

式中：x表示因素；n表示因素数量。

使用信息扩散概念将事件发生的离散点转化为以该点为中心的正态分布。将该点的发生概率1作为正态分布的最高点，对应的投影位置是各因素在D中的交点。并且将D范围都进行对该点的分布计算，参照正态分布形式，得到一个事件(m_j)的事件发生概率分布，如式(2)所示：

$\begin{array}{c} {P_{mj}}({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})=\\ \exp \Bigg( - \dfrac{{{{\Bigg(\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - {x_{i0}})}^2}} \Bigg)}^{1/2}}}}{{2\tau }}\Bigg),\quad{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n} \in D \end{array}$

(2)

式中： ${x_i}$ 表示在研究区域D内第i种因素的所有值； ${x_{i0}}$ 代表事件m_j发生时第i种因素的值；D代表由n个因素变化范围组成的研究区域；τ为调整系数，以调整正态分布的宽度。

进一步地，在D中已经收集到了多个实际发生的事件并且记录了因素条件，那么这些事件组成了发生事件集合 $ M = \{ {m_1},{m_2}, \cdots ,{m_J}\} $ ，共有J个事件。进一步将M中事件发生概率分布进行综合，并绘制于区域D内。这里需要强调的是，M中事件都是同一个对象在不同因素影响下发生的事件。由于各事件发生条件不同，相互没有传递关系，因此各个事件的发生都可以认为是独立的。这样事件在D中的分布可通过所有事件根据式(2)得到的独立分布对D中所有位置取最大值获得，如式(3)所示：

$\begin{array}{c} {P_M}({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}) = \\ {\rm{max}}({P_{m_j}}({x_1}, {x_2}, \cdots ,{x_n})) = \\ {\rm{max}}\Bigg(\exp \Bigg( - \dfrac{{{{\Bigg(\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - {x_{i0}})}^2}} \Bigg)}^{1/2}}}}{{2\tau }}\Bigg)\Bigg),\\ {m_j} \in M; j = 1,2, \cdots ;J;{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n} \in D \\ \end{array} $

(3)

式(3)可研究在D区域内的各类事件发生概率分布。通过论述可知，SFEP起始于边缘事件，因此研究SFN最终事件发生概率分布只能从边缘事件开始。可用式(3)计算SFEP中边缘事件发生概率分布。这样只需记录少量该边缘事件的发生情况，就可确定该事件发生概率分布。

3 最终事件发生概率分布确定

最终事件是由过程事件得到的，而所有过程事件是由多个边缘事件通过多次演化得到的。因此想要了解整个SFEP在得到边缘事件发生概率分布后还要分析由边缘事件到最终事件的演化过程。演化过程主要体现在事件间逻辑关系和传递概率，这里使用延续性传递概率。

首先分析事件间最基本的逻辑关系，即原因事件−连接−结果事件。针对同一最终事件，将涉及的所有关系组成关系组S。一般情况下，SFN有3种逻辑关系，与、或和传递蕴含在连接中。与关系和或关系分别表示多个原因事件同时或其一导致结果事件；传递则表示原因事件直接导致结果事件。当然根据柔性逻辑得到的事件发生逻辑关系有20种，这里只对上述3种进行讨论，关系组S如式(4)所示：

$\begin{array}{l} S = \left\{ {{\rm{CE}} \to {\rm{RE}}|{p_{{\rm{RE}}}} = } \right.\coprod ({q_{{\rm{CE}} \to {\rm{RE}}}}{p_{{\rm{CE}}}})\;{\rm{or}}\\ {{p}_{{\rm RE}}}=\Pi ({{q}_{{\rm CE}\to {\rm RE}}}{{p}_{{\rm CE}}})\;{\rm{and}};\left. {{p}_{{\rm RE}}}=({{q}_{{\rm CE}\to {\rm RE}}}{{p}_{{\rm CE }}})\;{\rm{trans}} \right\} \end{array}$

(4)

式中：CE代表原因事件，包括边缘事件和过程事件；RE代表结果事件，包括过程事件和最终事件； ${p_{{\rm RE}}}$ 结果事件发生概率/分布； ${q_{{\rm CE} \to {\rm RE}}}$ 原因事件到结果事件的传递概率； ${p_{{\rm CE}}}$ 原因事件发生概率/分布；or表示原因事件或关系导致结果事件；and表示原因事件与关系导致结果事件；trans表示原因事件导致结果事件。

S相当于关系字典，记录了原因事件和结果事件之间的逻辑关系。将最终事件作为起点寻找其原因事件，再将该原因事件作为结果事件继续寻找原因事件，直到原因事件为边缘事件时停止。将这些关系从S中提出进行叠加，得到由边缘事件发生概率分布表示的最终事件发生概率分布解析式。

4 实例分析

一个SFEP，用SFN表示如图1所示。

图1中，包含了22个事件，其中事件A、B、C、F和K都是边缘事件，发生概率分布用p_A、p_B、p_C、p_F、p_K表示；事件V和U是最终事件，发生概率分布用p_V、p_U表示；其余为过程事件。逻辑关系为28个，用28个传递概率表示。当有多个传递概率，即多个原因事件时，结果事件增加了逻辑关系标注。其中，·表示与关系，+表示或关系，传递关系不标出。从实际系统研究故障过程，事件发生可认为是系统中具体元件发生故障，因此事件发生概率分布可理解为元件故障概率分布。

根据前述过程，首先统计边缘事件在研究区域内的故障情况。研究区域D为0~50 ℃和0~100天。根据式(1)得到了各边缘事件在区域D中的发生情况，A发生30次、B发生50次、C发生100次、F发生70次、K发生25次。各事件发生情况如图2所示。图中红色位置即为事件发生(故障)位置，并对应了使用时间和使用温度因素。图中故障发生没有明确的分布特征，具有一定的随机性。但也有一些位置集中或稀疏，这些稀疏位置实际上对应了元件的更换状态，即新元件进入系统工作状态。进一步，根据式(2)和式(3)得到各事件发生概率分布(故障概率分布)，如图3所示。调整系数τ=30。

图3中蓝色区域表示故障概率分布较低的区域，红色部分代表较高区域。由于各事件发生情况和数量的不同，导致在相同研究区域D内分布状态的不同。原则上能够得到的发生次数越多，调整系数τ越小，越接近实际情况。但也受限于实际故障数据统计情况。

根据式(4)得到的最终事件U和V的关系组，可最终叠加得到这两个事件的发生概率分布解析式，分别如式(5)和式(6)所示(MATLAB化简得到)。

$ \begin{array}{c} {p_{\rm{U}}} = {q_2}(1 - (1 - {q_4}{q_6}(1 - (1 - {q_8}{q_{13}}(1 - (1 - {q_{20}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{28}}{q_{21}}(1 - (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))){q_{14}}(1 - \\ (1 - {q_{19}}{q_{21}}(1 - (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))(1 - {q_{18}}{q_{23}}{p_{\rm{F}}}{q_{22}}(1 - (1 - {q_{26}}{p_{\rm{B}}})(1 - {q_{27}}{p_{\rm{C}}})))(1 - \\ {q_{17}}{p_{\rm{K}}})))(1 - {q_9}{q_{15}}(1 - (1 - {q_{19}}{q_{21}}(1 - (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))(1 - {q_{18}}{q_{23}}{p_{\rm{F}}}{q_{22}}(1 - (1 - {q_{26}}{p_{\rm{B}}})(1 - \\ {q_{27}}{p_{\rm{C}}})))(1 - {q_{17}}{p_{\rm{K}}})))))(1 - {q_5}{q_{10}}{q_{15}}(1 - (1 - {q_{19}}{q_{21}}(1 - (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))(1 - \\ {q_{18}}{q_{23}}{p_{\rm{F}}}{q_{22}}(1 - (1 - {q_{26}}{p_{\rm{B}}})(1 - {q_{27}}{p_{\rm{C}}})))(1 - {q_{17}}{p_{\rm{K}}})))){q_3}(1 - (1 - {q_{11}}{q_{15}}(1 - (1 - {q_{19}}{q_{21}}(1 - \\ (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))(1 - {q_{18}}{q_{23}}{p_{\rm{F}}}{q_{22}}(1 - (1 - {q_{26}}{p_{\rm{B}}})(1 - {q_{27}}{p_{\rm{C}}})))(1 - {q_{17}}{p_{\rm{K}}})))(1 - {q_{12}}{q_{16}}{p_{\rm{K}}})) \end{array} $

(5)

$ \begin{array}{l} {p_{\rm{V}}} = {q_1}{q_7}{q_{13}}(1 - (1 - {q_{20}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{28}}{q_{21}}(1 - (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}}))))q14(1 - (1 - {q_{19}}{q_{21}}(1 - \\ (1 - {q_{24}}{p_{\rm{A}}})(1 - {q_{25}}{p_{\rm{B}}})))(1 - {q_{18}}{q_{23}}{p_{\rm{F}}}{q_{22}}(1 - (1 - {q_{26}}{p_{\rm{B}}})(1 - {q_{27}}{p_{\rm{C}}})))(1 - {q_{17}}{p_{\rm{K}}})) \end{array} $

(6)

将图3中得到的各边缘事件发生概率分布分别带入式(5)和式(6)，替换p_A、p_B、p_C、p_F、p_K可得到p_U和p_V的分布，传递概率为0.1，如图4所示。

图4给出了得到的最终事件发生概率分布，图5给出了使用完整边缘事件发生概率分布得到的最终事件发生概率分布。对比二者，由于边缘事件数量、传递概率数值和演化结构是相同的，U和V最终事件概率数量级相同。图5可认为在研究范围D内是正确的分布状态。图5中故障概率低的分布区域，在图4中同样较低。图4中故障概率高的分布区域，在图5中都是高分布区域。因此给出的方法在一定程度上可以反映客观情况，但符合度取决于观察故障样本的数量。

综上，实质上论文给出了一种在少故障数据条件下的SFEP最终事件发生概率分布计算方法。通情况下，对于所给实例研究区域，D={使用时间∈[0,100]天，使用温度∈[0,50]℃}，需要对每一个因素整数值位置进行实验，得到元件故障次数和总实验次数，进而得到故障发生概率。这样的测试工作显然是不可取的，当然这是最原始的方法。也可以使用SFN中因素变化对元件故障概率影响表征的特征函数，进而得到在多因素影响下的元件故障概率分布，但这也需要相当数量实验确定特征函数。论文所提方法需要的故障数量少于上述方法几个数量级。当然故障数量越多，可越真实的反映实际情况。但通过实例分布可知，故障数量小于100时即可表现元件故障概率分布。从而叠加得到更为复杂的SFEP最终事件发生概率分布。而这种结果也与上述两种方法得到的结果类似，也表明了论文方法的效用。

5 结束语

论文使用信息扩散思想，研究了少故障数据条件下的SFEP最终事件发生概率分布计算方法。研究了少故障数据条件下边缘事件发生概率分布确定方法。根据边缘事件发生的因素条件，对D内的该边缘事件的多次发生都生成正态分布，相同因素状态下取所有分布的最大值，得到该边缘事件在D中的发生概率分布。研究了少故障数据条件下最终事件发生概率分布确定方法。根据各边缘事件在D中的发生概率分布，按照SFN得到的关系组，叠加产生从边缘事件到最终事件的发生概率分布解析式。通过实例所得最终事件发生概率分布与以往结果对比说明方法的效用。所提方法在少故障数据条件下与真实结果在定性方面是可比的。可用于SFEP的SFN分析和应用。