﻿ 集对分析在不确定性智能决策中的应用
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 智能系统学报  2020, Vol. 15 Issue (1): 121-135  DOI: 10.11992/tis.201910025 0

### 引用本文

LIU Xiumei, ZHAO Keqin. Application of set pair analysis in the uncertainty intelligent decision making[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2020, 15(1): 121-135. DOI: 10.11992/tis.201910025.

### 文章历史

1. 连云港师范高等专科学校 质量监督处，江苏 连云港 222006;
2. 诸暨市联系数学研究所，浙江 诸暨 311800

Application of set pair analysis in the uncertainty intelligent decision making
LIU Xiumei 1, ZHAO Keqin 2
1. Quality Supervision Department, Lianyungang Normal College, Lianyungang 222006, China;
2. Institute of Zhuji Connection Mathematics, Zhuji 311800, China
Abstract: Language is the expression of thought. Intelligent decision-making is a class of advanced decision-making based on unity of opposites of certainty and uncertainty. This paper summarizes the application of set pair analysis in pure natural language decision-making, mixed language decision-making of natural language and mathematics, interval number decision-making and intuitionistic fuzzy decision-making, set pair analysis rough set decision-making, decision-making combining connection number and Markov chain, Bayesian decision-making of Zhao Senfeng-Keqin probability, decision-making of partial connection number and integrated decision-making of identical, different and opposite. It is characterized by combining the decision modeling based on uncertainty with the uncertainty system analysis, combining macro-level analysis and micro-level analysis of the system, integrating two or more decision-making methods, and giving decision-making suggestions according to the specific conditions of uncertainty. Therefore, it is an intelligent decision based on the overall situation. It is believed that the uncertain intelligent decision-making process of set pair analysis is essentially a process of converting information energy in the decision-making system into intelligence.
Key words: uncertainty intelligent decision-making    pure natural language intelligent decision-making    hybrid intelligent decision-making    interval number decision-making    partial connection number decision-making    identical discrepancy contrary integration decision-making    decision-making space    set pair analysis

1 集对分析及其联系数

 $u = a + bi$
 $u = a + bi + cj$
 $u = a + bi + cj + dk$
 $u = a + bi + cj + dk + el$

 $a + b = 1,$
 $a + b + c = 1,$
 $a + b + c + d = 1,$
 $a + b + c + d + e = 1,$

2 集对分析的纯自然语言智能决策 2.1 纯自然语言智能决策特点

2.2 纯自然语言决策的集对分析原理与步骤

2.3 实例

 ${{{w}}_1} = {(0.328,0.329,0.343)},$
 ${{{w}}_2} = {(0.278,0.401,0.321)},$
 ${{{w}}_3} = {(0.339,0.332,0.329)},$

1）把表1的语言变量用模糊数表示[6]，得表2

2）把表2中的模糊数转换成三元联系数，得表3。转换方法：直觉模糊数 $\left\langle {\mu ,\nu } \right\rangle$ ，转换为三元联系数 $u = a + bi + cj$ ，其中 $a = \mu$ $b = 1 - \mu - \nu$ $c = \nu$

3）按照数(属性权重)与多项式(属性三元联系数)相乘的法则，计算每一个决策者关于方案的综合联系数。

 $u_1^{(1)} = 0.603\;3 + 0.067\;15i + 0.329\;55j$
 $u_2^{(1)} = 0.538\;8 + 0.049\;95i + 0.411\;25j$
 $u_3^{(1)} = 0.565\;9 + 0.098\;5i + 0.335\;6j$
 $u_4^{(1)} = 0.603 + 0.165\;7i + 0.231\;3j。$

 $u_1^{(2)} = 0.652\;4 + 0.104\;3i + 0.243\;3j$
 $u_2^{(2)} = 0.391\;4 + 0.167\;9i + 0.440\;7j$
 $u_3^{(2)} = 0.577 + 0.047\;9i + 0.375\;11j$
 $u_4^{(2)} = 0.519\;3 + 0.079\;9i + 0.400\;8j$

 $u_1^{(3)} = 0.668\;4 + 0.132\;9i + 0.197\;8j$
 $u_2^{(3)} = 0.264\;8 + 0.050\;15i + 0.685\;05j$
 $u_3^{(3)} = 0.533\;6 + 0.2i + 0.266\;4j$
 $u_4^{(3)} = 0.598\;4 + 0.082\;85i + 0.318\;75j$

4）按照3位决策者各自的权重，计算决策群体关于每个方案的综合联系数 ${u_t}$ ( $t$ =1，2，3，4)，得到：

 ${u_1} = 0.642\;5 + 0.101\;7i + 0.255\;8j$
 ${u_2} = 0.397\;6 + 0.097\;3i + 0.505\;1j$
 ${u_3} = 0.560\;7 + 0.108\;7i + 0.330\;6j$
 ${u_4} = 0.568\;1 + 0.106\;5i + 0.325\;4j$

5）对每个方案的综合联系数 ${u_t} = {a_t} +$ ${b_t}i + {c_t}j$ ，按 ${e_t} = \dfrac{{{a_t}}}{{{a_t} + {c_t}}}$ ( $t$ =1，2，3，4)，也称为三元联系数的贴近度公式。计算得：

 ${e_1} = 0.715\;2,{e_2} = 0.440\;5$
 ${e_3} = 0.629\;1,{e_4} = 0.635\;8$

6）计算每个方案综合联系数 $u = a +$ $bi + cj$ 的二阶全偏联系数 ${\partial ^{2 \pm }}u$ ，公式为 ${\partial ^{2 \pm }}u = {\partial ^{2 + }}u +$ ${\partial ^{2 - }}u$

 ${\partial ^{2 \pm }}{u_1} = - 0.087\;5,{\partial ^{2 \pm }}{u_2} = 0.022\;5$
 ${\partial ^{2 \pm }}{u_3} = - 0.050\;6,{\partial ^{2 \pm }}{u_4} = - 0.053\;3$

7）对每个方案的综合联系数作不确定性分析。分析情况见表4，为简便计，仅考虑 $i = - 1,i = 0,i = 1$ ( $j = - 1$ )3种情况时 ${u_t}$ ( $t$ =1，2，3，4)的值。

3 基于集对分析的自然语言和数学语言混合不确定性智能决策 3.1 自然语言和数学语言混合决策

3.2 实例

1）把表5中的语言变量用区间数表示，按照“冷−热”语言变量在 $[0,1]$ 区间赋值，为简明起见，分别为：冷态 $= [0.2,0.3]$ ，温态 $= [0.4,0.5]$ ，热态 $= [0.6,0.7]$ ，极热态 $= [0.8,0.9]$ 。点实数也用区间数表示，如 $1 = [1,1],2 = [2,2]$ $0.9 = [0.9,0.9]$ 等，得表6

2）把表6中的各区间数(属性值和权重)联系数化，转换为二元联系数，对区间数 ${p_{kt}} = [p_{kt}^ - ,p_{kt}^ + ]$ ( $k = 1,2, \cdots ,6$ $t = 1,2, \cdots ,5$ )，转换公式为 ${u_{kt}} = \dfrac{{p_{kt}^ + + p_{kt}^ - }}{2} + \dfrac{{p_{kt}^ + - p_{kt}^ - }}{2}i$ ，对权重区间数的转换方法类似，得表7

3）把表7中的各数据作规范化处理(去量纲)，对于效益型属性值联系数，规范化处理后所得联系数 $u'{_{kt}}$

$u'{_{kt}}$ = $\dfrac{{{u_{kt}}}}{{\mathop {\max }\limits_k {u_{kt}}}}$ ( $k = 1,2, \cdots ,6$ $t = 1,2, \cdots ,5$ )

$u{'_{kt}}$ = $\dfrac{{\mathop {\min }\limits_k {u_{kt}}}}{{{u_{kt}}}}$ ( $k = 1,2, \cdots ,6$ $t = 1,2, \cdots ,5$ ${u_{kt}} \ne 0$ )

6个候选方案的规范化属性值联系数见表8

4）把表8中的各属性规范化联系数计入属性权重运用多项式乘法规则，并求和，用以下模型计算：

 $\begin{array}{c} {u_k} = \displaystyle\sum\limits_{t = 1}^n {w{'_t}u{'_{kt}}} = {A_{kt}} + {B_{kt}}i\\ \left( {k = 1,2, \cdots ,6,\;t = 1,2, \cdots ,5} \right) \end{array}$

5）根据集对分析理论，把表9中的各方案决策值联系数还原成归一化三元决策联系数，并按 ${e_k} = \dfrac{{{a_k}}}{{{a_k} + {c_k}}}$ ( $k = 1,2, \cdots ,6$ )，计算每个方案的综合联系数 ${u_k}$ 的值，见表10

 ${S_5} \succ {S_6} \succ {S_2} \succ S_3 \succ {S_1} \succ S_4$

6）利用例1中6）中的计算二阶全偏联系数公式，计算表10中的三元决策联系数的二阶全偏联系数 ${\partial ^{2 \pm }}{u_k}$ ，得表11

 ${S_4} \succ S_1 \succ {S_3} \succ S_2 \succ {S_6} \succ {S_5}$

7）不确定性分析。

4 基于集对分析的区间数不确定性智能决策 4.1 区间数不确定性智能决策

4.2 实例

1）对表13数据进行规范化处理，方法见参考文献[6]，得规范化区间数决策矩阵：

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {[0.609,0.712]}&{[0.8,1.0]}&{[0.3,0.5]}&{[0.6,0.8]} \\ {[0.737,0.894]}&{[0.4,0.6]}&{[0.3,0.5]}&{[0.4,0.6]} \\ {[0.808,1.000]}&{[0.4,0.6]}&{[0.7,0.9]}&{[0.5,0.7]} \\ {[0.764,0.933]}&{[0.7,0.9]}&{[0.8,1.0]}&{[0.7,0.9]} \\ {[0.700,0.840]}&{[0.6,0.8]}&{[0.5,0.7]}&{[0.8,1.0]} \end{array}} \right]$

2）用三元联系数表示用规范化处理得到的上述矩阵，例如化区间数[0.609，0.712]为0.609+0.103 $i$ +0.288 $j$ ，得到三元联系数表示的决策矩阵，见表14

3）用区间数表示各属性权重得

${\tilde w_1} = [0.25,0.40]$ ${\tilde w_2} = [0.22,0.30]$ ${\tilde w_3} = [0.00,0.10]$ ${\tilde w_4} = [0.20,0.30]$

4）把各属性权重区间数改写成三元联系数，得

 ${u_{{{\tilde w}_1}}} = 0.25 + 0.15i + 0.60j$
 ${u_{{{\tilde w}_2}}} = 0.22 + 0.08i + 0.70j$
 ${u_{{{\tilde w}_3}}} = 0.00 + 0.10i + 0.90j$
 ${u_{{{\tilde w}_4}}} = 0.20 + 0.10i + 0.70j$

5）按普通多项式相乘规则得到各属性加权联系数，见表15

6）计算每个方案的综合联系数 ${u_t}$ ，并把得到的各方案的2次联系数化为一次幂的三元联系数，注意取 ${j^2} = 1$ $i$ 项、 $ij$ 项、 ${i^2}$ 项都归于 $i$ 项。

${u_1}$ =0.448 25+0.355 1 $i$ +1.727 4 $j$ + 0.635 $ij$ +0.071 45 ${i^2}$ +0.762 8 ${j^2}$

${u_2}$ =0.352 25+0.335 8 $i$ +1.466 7 $j$ + 0.692 1 $ij$ +0.079 55 ${i^2}$ +1.073 6 ${j^2}$

${u_3}$ =0.39+0.405 2 $i$ +1.892 8 $j$ + 0.647 2 $ij$ +0.084 8 $i^2$ +0.58 $j^2$

${u_4}$ =0.485+0.446 85 $i$ +2.217 15 $j$ + 0.589 45 $ij$ +0.081 35 $i^2$ +0.180 2 $j^2$

${u_5}$ =0.467+0.402 $i$ +1.934 $j$ + 0.614 $ij$ +0.077 $i^2$ +0.506 $j^2$

$u{'_1}$ =1.211 05+1.061 55 $i$ +1.727 4 $j$

$u{'_2}$ =1.425 85+1.107 45 $i$ +1.466 7 $j$

$u{'_3}$ =0.97+1.137 2 $i$ +1.892 8 $j$

$u{'_4}$ =0.665 2+1.117 65 $i$ +2.217 15 $j$

$u{'_5}$ =0.973+1.093 $i$ +1.934 $j$

$u'{'_1}$ =0.302 8+0.265 4 $i$ +0.431 8 $j$

$u'{'_2}$ =0.356 5+0.276 9 $i$ +0.366 6 $j$

$u'{'_3}$ =0.242 5+0.284 3 $i$ +0.473 2 $j$

$u'{'_4}$ =0.166 3+0.279 4 $i$ +0.554 3 $j$

$u'{'_5}$ =0.243 3+0.273 2 $i$ +0.483 5 $j$

7）按 ${e_t} = \dfrac{{{a_t}}}{{{a_t} + {c_t}}}$ ( $t$ =1，2，3，4，5)，计算每个方案的综合联系数 $u'{'_t}$ $= {a_t} + {b_t}i + {c_t}j$ 的值，得：

${e_1} = {\rm{0}}{\rm{.412\;2}}$ ${e_2} = 0.4{\rm{93\;0}}$ ${e_3} = 0.{\rm{338\;8}}$ ${e_4} = 0.{\rm{230\;8}}$ ${e_{\rm{5}}} = {\rm{0}}{\rm{.334\;8}}$

8）仿照例1的6）的方法，计算方案决策联系数的二阶全偏联系数 ${\partial ^{2 \pm }}{u_t}$ ( $t$ =1，2，3，4，5)，得：

 ${\partial ^{2 \pm }}u'{'_1} = 0.013\;3$
 ${\partial ^{2 \pm }}u'{'_2} = 0.000\;9$
 ${\partial ^{2 \pm }}u'{'_3} = 0.014\;4$
 ${\partial ^{2 \pm }}u'{'_4} = 0.012\;1$
 ${\partial ^{2 \pm }}u'{'_5} = 0.019\;0$

9）作方案的不确定性分析。仅考虑 $i = - 1,$ $i = 0,i = 1$ 这3种情况时 $u'{'_t}$ ( $t$ =1，2，3，4，5)的值( $j = - 1$ )。

5 讨论

1)本文对两个三元联系数a+bi+cj作乘积运算采用普通的多项式乘法规则，在运算结果中出现了ij项和 $i$ 的平方项(i2)以及j的平方项(j2)，根据集对分析原理，不确定性示性系数 $i$ 与任何数的乘积都具有不确定性，所以 $ij$ 项和 $i$ 的平方项(i2)并入bi项，j代表−1， $j$ 的平方项(j2)视为1，所以带j平方项(j2)的值计入a中。

2)决策总是在一定条件下做出。条件变化，决策也随之变化，简称为条件决策。条件决策的特点就是在决策的时候充分考虑条件的不确定性。

3)关于纯自然语言、自然语言与数学语言混合和区间数决策问题的决策程序。通过上述讨论，发现纯自然语言、自然语言与数学语言混合和区间数决策3种类型的决策模型具有统一的形式和统一的决策步骤，用框图表示如图1所示。