工业过程控制领域中一些具有模糊性和随机性的复杂非线性系统, 采用二值逻辑或多值逻辑难以对其精确描述, 对于这些不确定控制对象, 较有效的处理手段是模仿人对非确定概念的判断和思维方式, 通过综合决策和似然推理来解决模糊信息处理的问题。在模糊推理领域, Zadeh等^[1-5]率先给出基于合成关系的推理模式(compositional rules of inference, CRI)，之后经多位学者的充实与完善，在工业领域获得成功应用。该方法虽简便易行，但它欠缺严格的公理化证明，推理结果不可还原，并在一些应用中存在输出结果与现实情况不吻合的问题^[6-7]。由此，一些学者根据给定事实与规则前提的相似性，提出一种与CRI有显著差异的推理模式-基于相似度的近似推理(similarity-based approximate reasoning, SAR)^[8-9]。在该算法的基础上, Chen等^[10-11]讨论了相似性推理中规则后件的调整问题, 给出多种调整函数的表示形式; 何映思等^[12]提出一种具有可还原性的多维模糊推理算法; 针对模糊拒取式(fuzzy modus tollens, FMT)问题, Mondal等^[13]给出3种基于相似度的逆向推理算法; Raha等^[14]结合模糊关系, 构造基于相似度的模糊推理算法; Li等^[15]进一步讨论分析了Raha推理模型的相关性质。另一方面，研究人员将SAR推理方法拓展到区间值模糊(也称为vague或直觉模糊)环境中。Chen等^[16]讨论了区间值模糊集之间的相似性度量, 提出一种新的双向近似推理方法; 李凡等^[17]改进了区间值模糊集的相似性度量, 探讨一种基于相似性的多规则模糊推理方法; 石玉强等^[18]针对区间值模糊集距离测度中存在的缺陷, 给出基于区间值模糊集距离的双向近似推理算法; Feng等^[19-20]将相似度量引入区间值模糊关系的构造，提出一种基于约简型修正关系的近似推理模式; 王毅等^[21]通过引入包含函数来定义区间值模糊相似度, 并将其应用于近似推理算法的构造。

基于相似度的推理机制是根据输入变量与前件之间的相似程度，按照一定的算法对后件进行修正来导出推理结果。修正计算的目的，是使得输出结果对输入事实和规则前提中的任意变化能作出准确的响应。本文在分析CRI与SAR推理模式不合理之处的基础上，通过定义模糊概念之间的贴近方向函数，提出一种基于相似修正关系的近似推理算法。给出包括扩展与缩减2种类型的修正计算方案，探讨用于转化条件命题(构造模糊关系)的转化算子，进而给出该方法在焊接工艺决策中的应用。

1 相似修正关系推理 1.1 CRI与SAR推理

设 $A \in {\cal F}(U)$ 和 $B \in {\cal F}(V)$ 为条件命题 $A \to B$ 的前、后件, $A' \in {\cal F}(U)$ 为给定事实。关于模糊假言推理(FMP)的合成关系算法(CRI)可表示为

$\begin{array}{l} B'(v) = {\sup _{u \in U}}T(A'(u),R(u,v))=\\ {\sup _{u \in U}}T(A'(u),{R_T}(A(u),B(v))) \end{array}$

(1)

式中： $T$ 为t-范数； $R$ 为由规则 $A \to B$ 转化的 $U \times V$ 上的模糊关系； ${R_T}$ 为转化算子。取 $T$ 为取小运算min, ${R_T}$ 为Mamdani算子，则：

$\begin{array}{l} B'(v) = {\sup _{u \in U}}\min (A'(u),\min (A(u),B(v)))=\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \min ({\sup _{u \in U}}\min (A'(u),A(u)),B(v)) \end{array}$

(2)

由式(2)，给定前件 $A$ , 若 ${\sup _u}\min \{ A'(u),A(u)\} $ (又称适配度)为一常量, 则无论输入 $A'$ 如何变化, 输出结果 $B'$ 将保持不变。例如, 令 $A = \{ 1,0.7,0.5,0.2\} $ , 分别取 $A'$ 为 $\{ 1,0.5,0.2\} $ 、 $\{ 1,0.2\} $ 、 $\{ 1,0.9,0.7,0.4\} $ 、 $\{ 1,1,0.8,0.6\} $ 等。可见，由于CRI未考虑输入与前件间的相似性匹配，导致其在一定条件下得出的推理结论与实际明显不符。

对于基于相似度的近似推理(SAR), 该算法一般可表示为

$B'(v) = M(S(A',A),B(v))$

(3)

式中： $S(A',A)$ 为事实与前件间的相似度； $M:{[0,1]^2} \to [0,1]$ 为修正函数(修正算子)，表示相似度 $S(A',A)$ 对于后件 $B$ 的修正关系。显然, 由于相似性测度的交换性, 当 $A'$ 和 $A$ 互换时, 推理结果将保持不变, 即输出未能响应推理系统中发生的变化。由此可知, 因SAR对前、后件的内在关联没有给予重视, 导致出现上述不合理的推理结论。

1.2 贴近方向函数

考察近似推理中相似度量的定义对推理结论的影响。设前件 $A = \{ 1,0.6,0.3\} $ , 给定事实变量 ${A'_1} = $ “有点 $A$ ” $ = \{ 1,0.8,0.5\} $ , ${A'_2} = $ “很 $A$ ” $ = \{ 1,0.4,0.1\} $ 。若相似度量由常用的距离函数定义, 为

$S\left( {A',A} \right) = 1 - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {A'({u_i}) - A({u_i})} \right|} $

由式(3)有 ${B'_1} = {B'_2}$ 。类似地，令 $A = \{ 0.8,0.6,0.3, 0.1\} $ ， ${A'_1} = \{ 1,0.8,0.6,0.3\} $ ， ${A'_2} = \{ 0.6,0.4,0.2,0\} $ , 且事实与前件的相似性由黎曼贴近度定义, 为

$S\left( {A',A} \right) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{{u_i} \in U} {\min (A'({u_i}),A({u_i}))} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{{u_i} \in U} {\max (A'({u_i}),A({u_i}))} }}$

则由式(3)同样得 ${B'_1} = {B'_2}$ 。换而言之, 当输入变量间有显著差异时, 推理结果仍维持不变, 这样的结论显然不符合一般的直觉思维。

事实上, 在现有基于相似度的近似推理模式中, 相似匹配仅对输入事实与规则前件间的接近程度进行计算, 无法反映概念间隶属函数变化的趋向, 如“high”、“more or less high”、“minus high”、“plus high”、“very high”等, 为此引入一个模糊概念间贴近方向函数的定义。

定义1　设 ${N_D}:{\cal F}{(U)^2} \to [ - 1,1]$ 满足 $\forall A,A' \in {\cal F}(U)$ , 均有:

${N_D}(A',A) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {(A'({u_i}) - A({u_i}))} $

(4)

称 ${N_D}$ 为 ${\cal F}{(U)^2}$ 上的一个贴近方向函数。若 ${\alpha _D}(A',A) \in [0,1]$ , 称 $A'$ 由正向贴近 $A$ , 否则称 $A'$ 由负向贴近 $A$ 。例如, 给定自然数论域上的3个模糊子集 $A{\text{、}}A'{\text{、}}A'' \in {\cal F}(N)$ ：

$A = $ “little” $ = \{ (1,1),(2,0.8),(3,0.5),(4,0.3),(5,0.1)\} $

$A' = $ “plus little” $ = \{ (1,1),(2,0.8),(3,0.4),(4,0.2)\} $

$A'' = $ “minus little” $ = \{ (1,1),(2,0.8),(3,0.6), (4,0.4),(5,0.2)\} $

由式(4)得: ${N_D}(A',A) = - 0.06$ , ${N_D}(A'',A) = 0.06$ 。即 $A'$ 和 $A''$ 分别由负、正方向贴近 $A$ 。这意味着 $A'$ 相对 $A$ 是缩减的(即 $A' \subseteq A$ ), 而 $A''$ 相对 $A$ 是扩展的(即 $A'' \supseteq A$ )。

1.3 近似推理中的相似修正关系计算

根据上述讨论, 本节在现有SAR推理模式的基础上, 结合CRI转化计算的特点, 通过引入贴近方向函数, 提出一种依据输入与前提的相似性对模糊关系进行修正的推理方法, 即相似修正关系推理(similarity-modified relation inference, SMRI)。

SMRI算法:

1)根据事实 $A'$ 与前件 $A$ 间的相似度 $S(A',A)$ 和贴近方向 ${N_D}(A',A)$ 进行匹配计算;

2)运用转化算子 ${R_T}$ 将条件命题 $A \to B$ 转化为模糊关系 $R$ ;

3)根据 $S(A',A)$ 和 ${N_D}(A',A)$ 对 $R$ 进行修正计算, 生成修正关系 $R'$ (也称诱导关系);

4)由修正关系 $R'$ 的取大投影计算导出结论 $B'$ 。

近似推理是由非精确前提中得出潜在非精确结论的决策过程。在人们直觉思维中推理过程往往是近似的, 例如, 据条件命题“如果苹果红了，那么苹果熟了”和2个给定的事实“苹果很红”、“苹果有点红”, 可分别得出结论“苹果很熟”、“苹果有点熟”, 由此可以推断出：

$A' \subseteq A \Rightarrow B' \subseteq B\;\left( {\text{缩减式}} \right)$

$A' \supseteq A \Rightarrow B' \supseteq B\;\left( {\text{扩展式}} \right)$

1.4 修正计算方案

设 $A'$ 由正向贴近 $A$ , 则按上述扩展式推理的假设可知: 若 $A' = A$ , 则 $B' = B$ ; 若 $A'$ 增加且与 $A$ 的相似度降低, 则 $B'$ 将随之增加, 同时与 $B$ 的相似度也相应降低。因SMRI算法的结果 $B'$ 是由 $R'$ 的取大计算导得, 故修正关系 $R'$ 应随 $S(A',A)$ 降低而增加, 因此当 ${N_D}(A',A) \geqslant 0$ , $R'$ 随 $S(A',A)$ 变化应满足:

1)若 $S(A',A) = 1$ , 则 $R'(u,v) = R(u,v)$ ;

2)若 $S(A',A) = 0$ , 则 $R'(u,v) = 1$ ;

3)若 $S(A',A)$ 从1降至0, 则 $R'(u,v)$ 从 $R(u,v)$ 增至1。

按照缩减式推理的假设, 当 $A'$ 负向贴近 $A$ , 若 $A'$ 减少且 $S(A',A)$ 相应降低, 则 $R'$ 相应减少, 由此, 当 ${N_D}(A',A) < 0$ , $R'$ 随 $S(A',A)$ 变化应满足:

4)若 $S(A',A) = 1$ , 则 $R'(u,v) = R(u,v)$ ;

5)若 $S(A',A) = 0$ , 则 $R'(u,v) = 0$ ;

6)若 $S(A',A)$ 从1降至0,则 $R'(u,v)$ 从 $R(u,v)$ 减至0。

根据性质1)、4), 若 $A'$ 等于 $A$ , 则 $R'$ 无需修正。由2)、5), 若 $A'$ 与 $A$ 完全不同，则当 ${N_D} (A',A) \geqslant 0$ , 有 $R' = U \times V$ , $B' = V$ , 即结论完全不确定；当 ${N_D}(A',A) < 0$ , 有 $R' = \phi $ , $B' = \phi $ , 即结论完全未知。由3)、6), 当 $A'$ 分别由正向、负向贴近 $A$ 时, $R'$ 将随 $S(A',A)$ 降低而相应增、减，并且在 $S(A',A)$ 值域内 $R'$ 从确定状态分别转化到不确定及未知状态。

简记 $S(A',A) = s$ , ${N_D}(A',A) = {n_D}$ , $R(u,v) = r$ , $R' (u,v) = r'$ , 记 $\;s$ 子集为 $\;\tilde S$ 。

定义2 设 $M:\tilde S \times R \to R'$ 满足 $\forall s,{s_1},{s_2} \in \tilde S$ , $\forall r,{r_1},{r_2} \in R$ , 均有:

1) $M(1,r) = r$ ；

2) ${r_1} \leqslant {r_2} \Rightarrow M(s,{r_1}) \leqslant M(s,{r_2})$ ；

3) ${n_D} \geqslant 0 \Rightarrow M(0,r) = 1$ ；

4) ${n_D} \geqslant 0$ 且 ${s_1} \leqslant {s_2} \Rightarrow M({s_1},r) \geqslant M({s_2},r)$ ；

称 $M$ 为扩展型修正算子; 若满足1)、2)并且:

5) ${n_D} < 0 \Rightarrow M(0,r) = 0$ ；

6) ${n_D} < 0$ 且 ${s_1} \leqslant {s_2} \Rightarrow M({s_1},r) \leqslant M({s_2},r)$ ；

称 $M$ 为缩减型修正算子，记 $r' = M(s,r)$ 。

由定义2, 考察模糊逻辑中的剩余蕴涵(R-蕴涵) $I:{\rm{ }}{[0,1]^2} \to [0,1]$ , $\forall x,y \in [0,1]$ , $I(x,y) = \{ z \in [0,1]: \sup T(x,z) \leqslant y\} $ , 且 $\forall a,b,c \in [0,1]$ , 均有:

7) $a \leqslant c \Rightarrow I(a,b) \geqslant I(c,b)$ ；

8) $b \leqslant c \Rightarrow I(a,b) \leqslant I(a,c)$ ；

9) $I(1,b) = b$ ；

10) $I(0,b) = 1$ ；

由7)~10), 剩余蕴涵满足扩展型修正算子的性质1)~4), 主要有 ${I_{{G_o}}}$ (Goguen算子)、 ${I_G}$ (Gödel算子)、 ${I_L}$ (Lukasiewicz算子)等, 其强弱顺序为 ${I_G}(a,b) \leqslant {I_{{G_o}}}(a,b) \leqslant {I_L}(a,b)$ .

另一方面, 考察t-范数 $T:{\rm{ }}{[0,1]^2} \to [0,1]$ , $\forall a,b,c \in [0,1]$ , 均满足:

11) $a \leqslant c \Rightarrow T(a,b) \leqslant T(c,b)$ ；

12) $b \leqslant c \Rightarrow T(a,b) \leqslant T(a,c)$ ；

13) $T(1,b) = b$ ；

14) $T(0,b) = 0$ 。

由11)~14), t-范数可满足缩减型修正算子的性质1)、2)、5)和6), 主要有 ${T_M}$ 、 ${T_P}$ 、 ${T_L}$ 等, 且有 ${T_L}(a,b) \leqslant {T_P}(a,b) \leqslant {T_M}(a,b)$ 。

定义3　设 $M:{[0,1]^2} \to [0,1]$ 为修正算子, $I$ 、 $T$ 分别表示剩余蕴涵及t-范数, 则修正关系 $r'$ 可表达为

$r' = M(s,r) = \left\{ \begin{array}{l} I(s,r),\quad {n_D} \geqslant 0\\ T(s,r),\quad {\text{其他}} \end{array} \right.$

(5)

式(5)给出修正关系 $R'$ 的计算方案, 据SMRI算法, 由 $R'$ 投影计算得到的推理结果为

$B'(v) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\sup }\limits_{u \in U} I(s,R(u,v)),\quad {n_D} \geqslant 0}\\ {\mathop {\sup }\limits_{u \in U} T(s,R(u,v)),\quad {\text{其他}}} \end{array}} \right.$

(6)

就推理机制而言, SMRI算法与CRI、Turksen的SAR有显著差别。令 $R(B|A)$ 表示条件命题, CRI和SAR推理过程可分别表示为

$\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A' \wedge R(B|A) \Rightarrow B'\\ BS(A',A) \Rightarrow B'{\text{或}}B/S(A',A) \Rightarrow B' \end{array}$

对本文的算法, 有:

$S(A',A) \to R(B|A) \Rightarrow B'\;\left( {\text{扩展式}} \right)$

$S(A',A) \wedge R(B|A) \Rightarrow B'\;\left( {\text{缩减式}} \right)$

式中： $ \to $ 为剩余蕴涵； $ \wedge $ 为t-范数。

1.5 近似推理中的转化算子

在SMRI方法的步骤2)中, 通过合适的转化算子 ${R_T}$ 将条件命题转化为模糊关系 $R$ 。根据CRI的推理模式, ${R_T}$ 主要分成两类^[5]: 1) 递增的模糊算子, 对应于“与”运算, 它包括 ${T_M}$ 、 ${T_P}$ 、 ${T_B}$ 、 ${T_D}$ (强烈算子)等; 2)左递减且右递增的模糊算子, 对应于“蕴涵”运算, 如 ${I_{KD}}$ 、 ${I_{{G_o}}}$ 、 ${I_L}$ 、 ${I_G}$ 等。

命题1　 令 $A \in {\cal F}(U)$ 为正规且非充分覆盖 $U$ , 给定 $s = 1$ 。

1) 如转化算子 ${R_T}$ 递增, 有 $B' = B$ ;

2) 如转化算子 ${R_T}$ 左递减, 有 $B' = V$ 。

证明1)　由修正算子 $M$ 的右递增性, 据式(6)有:

$\begin{array}{l} B'\left( v \right) = {\sup _{u \in U}}M\left( {s,R\left( {u,v} \right)} \right)=\\ {\sup _{u \in U}}M\left( {s,{R_T}\left( {A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right)=\\ M\left( {s,{{\sup }_{u \in U}}{R_T}\left( {A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right) \end{array}$

由 ${R_T}$ 递增及 $A$ 正规, 若给定 $s = 1$ , 则:

$\begin{array}{c} B'\left( v \right) = M\left( {s,{R_T}\left( {{{\sup }_{u \in U}}A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right)=\\ M\left( {s,{R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right)} \right) = M\left( {s,B\left( v \right)} \right)=\\ M\left( {1,B\left( v \right)} \right) = B\left( v \right) \end{array}$

2) 由 ${R_T}$ 左递减, 有:

$\begin{array}{c} B'\left( v \right) = {\sup _{u \in U}}M\left( {s,{R_T}\left( {A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right) =\\ M\left( {s,{R_T}\left( {{{\inf }_{u \in U}}A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right) \end{array}$

据 ${B'_{{I_{GO}},{\Phi _M}}}$ 非充分覆盖 ${B'_{{I_L},{\Phi _M}}}$ , 得 ${\inf _{u \in U}}A\left( u \right) = 0$ , 若给定 ${B'_{{T_P},{\Phi _M}}}$ , 则:

$\begin{array}{c} B'\left( v \right) = M\left( {s,{R_T}\left( {{{\inf }_{u \in U}}A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right)=\\ M\left( {1,{R_T}\left( {0,B\left( v \right)} \right)} \right)=\\ M\left( {1,1} \right) = 1{\rm{ }} \end{array}$

故有 $B' = V$ 。证毕。

据命题1中性质1), 若转化算子 ${R_T}$ 递增, 则对于正规前件 $A$ 结论 $B'$ 可还原, 又因

$B'\left( v \right) = \left\{ \begin{array}{l} I\left( {s,B\left( v \right)} \right),\quad {n_D} \geqslant 0\\ T\left( {s,B\left( v \right)} \right),\quad {\text{其他}} \end{array} \right.$

若扩展型和缩减型修正算子分别为 ${I_{{G_o}}}$ 、 ${T_P}$ 时，则:

$B'\left( v \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left\{ {1,B\left( v \right)/s} \right\}{\rm{, }}\quad {n_D} \geqslant 0{\rm{ }}\\ sB\left( v \right){\rm{, }}\quad {\text{其他}} \end{array} \right.$

(7)

式(8)正是文献[8-9]中Turksen的“扩展”与“缩减”推理形式。任给 $A \in {\cal F}(U)$ , 由SMRI算法可得:

$B'\left( v \right) = \left\{ \begin{array}{l} I(s,{R_T}(\mathop {\sup }\limits_{u \in U} Au,Bv)),\quad {n_D} \geqslant 0\\ T(s,{R_T}(\mathop {\sup }\limits_{u \in U} Au,Bv)),\quad {\text{其他}} \end{array} \right.$

(8)

据命题1的性质2), 若转化算子 ${R_T}$ 左递减, 当 $A' = A$ 并且 $A$ 未完全覆盖 $U$ , 结论为其论域自身, 相当于“ $B'$ is any”的非确定状态。由此可知, 将Ⅱ类模糊算子用作转化算子不满足实际应用要求。

定义4　设 ${R_T}:{[0,1]^2} \to [0,1]$ 满足 $\forall a,b,c \in [0,1]$ , 均有:

1) ${R_T}(1,b) = b$ ；

2) $a \leqslant c \Rightarrow {R_T}(a,b) \leqslant {R_T}(c,b)$ ；

3) $b \leqslant c \Rightarrow {R_T}(a,b) \leqslant {R_T}(a,c)$ ；

4) ${R_T}({R_T}(a,b),c) = {R_T}({R_T}(b,c),a)$ ；

5) ${R_T}(a,0) = 0$ ；

6) ${R_T}(a,b) \leqslant \min (a,b)$ ；

称R_T为 ${[0,1]^2}$ 上的一个转化算子，记 $r = {R_T}(a,b)$ 。

命题2　令 $A \in {\cal F}(U)$ 为正规子集。 $\forall A' \in {\cal F}(U)$ , 若 ${n_D} \geqslant 0$ , 则 $B' \supseteq B$ ; 否则 $B' \subset B$ 。

证明　据式(8), 若 ${n_D} \geqslant 0$ , 则 $\forall v \in V$ 有:

$\begin{gathered} B'\left( v \right) = I\left( {s,{R_T}\left( {{{\sup }_{u \in U}}A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right)= \\ I\left( {s,{R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right)} \right) \geqslant\\ I\left( {1,{R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right)} \right) = {R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right) = B\left( v \right) \\ \end{gathered} $

即 $B' \supseteq B$ 。若 ${n_D} < 0$ , 则 $\forall v \in V$ 有:

$\begin{gathered} B'\left( v \right) = T\left( {s,{R_T}\left( {{{\sup }_{u \in U}}A\left( u \right),B\left( v \right)} \right)} \right) =\\ T\left( {s,{R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right)} \right) <\\ T\left( {1,{R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right)} \right) = {R_T}\left( {1,B\left( v \right)} \right) = B\left( v \right) \\ \end{gathered} $

故 $B' \subset B$ 。证毕。

命题2表明，若 $A$ 正规, 推断结果 $B'$ 的“扩展”或“缩减”取决于 $A'$ 对 $A$ 的贴近方向, 并且SMRI算法具有还原性。

SMRI算法中, 修正及转化算子的选用对计算结果有直接影响。为使输出结果对系统相关变量的任意变化作出明显的响应, 对于扩展式可取强蕴涵和较强的t-范数, 而对于缩减式, 则取较弱的t-范数作为操作算子。表1为几种修正算子与转化算子的组合情况。

据式(8), 因修正算子和转化算子为右递增, 且 ${I_G} \leqslant {I_{{G_o}}} \leqslant {I_L}$ , ${T_L} \leqslant {T_P} \leqslant {T_M}$ , ${T_B} \leqslant {T_P} \leqslant {T_M}$ , 故对扩展式, 有:

${B'_{{I_G},{T_B}}} \subseteq {B'_{I,T}} \subseteq {B'_{{I_L},{T_M}}}$

对缩减式, 有:

${B'_{{T_L},{T_B}}} \subseteq {B'_{T,T}} \subseteq {B'_{{T_M},{T_M}}}$

算例1　设 $A = \{ 1,0.75,0.5,0.25\} $ , $B = \{ 0.25,0.5, 0.75,1\} $ , ${A'_1} = \{ 1,0.56,0.25,0.06\} $ , ${A'_2} = \{ 1,0.87,0.71,0.5\} $ , 按合成推理和SMRI算法分别给出结果。

据CRI方法, 取转化算子和t-范数均为取小运算 ${T_M}$ , 由 ${A'_1} = \{ 1,0.56,0.25,0.06\} $ , 得:

${B'_1}({v_1}) = 0.25$ , ${B'_1}({v_2}) = 0.5$ , ${B'_1}({v_3}) = 0.75$ , ${B'_1}({v_4}) = 1$

即 ${B'_1} = B$ 。同样可得 ${B'_2} = B$ , 故 ${B'_1} = {B'_2} = B$ 。

据SMRI算法, 计算 $A'$ 与 $A$ 间的相似度和贴近方向:

$S({A'_1},A) = 1 - \frac{{0.19 + 0.25 + 0.19}}{4} = 0.84$

${N_D}({A'_1},A) = - \frac{{0.19 + 0.25 + 0.19}}{4} = - 0.16$

$S({A'_2},A) = 1 - \frac{{0.12 + 0.21 + 0.25}}{4} = 0.86$

${N_D}({A'_2},A) = \frac{{0.12 + 0.21 + 0.25}}{4} = 0.14$

由 ${N_D}({A'_1},A) < 0$ , 据式(8), 取修正算子和转化算子为 ${T_L}$ 、 ${T_B}$ , 有:

$\begin{gathered} {{B'}_1}( {{v_1}} ) = \max ( {S( {{{A'}_1},A} ) + \max ( {\mathop {\max }\limits_{u \in U} Au + B{v_1} - 1,0} ) - 1,}\\{0} ) = \max ( {0.84 + \max ( {1 + 0.25 - 1,0} ) - 1,0} ) = 0.09 \\ \end{gathered} $

依次计算得:

${B'_1}({v_2}) = 0.34$ , ${B'_1}({v_3}) = 0.59$ , ${B'_1}({v_4}) = 0.84$

由 ${N_D}({A'_2},A) > 0$ , 据式(8), 取修正算子和转化算子为 ${I_L}$ 、 ${T_M}$ , 有:

$\begin{gathered} {{B'}_2}\left( {{v_1}} \right) = \min \left( {1 - S\left( {{{A'}_1},A} \right) + \min \left( {\mathop {\max }\limits_{u \in U} A\left( u \right),B\left( {{v_1}} \right)} \right),1} \right) =\\ \min \left( {1 - 0.86 + \min \left( {1,0.25} \right),1} \right) = 0.39 \\ \end{gathered} $

依次可得:

${B'_2}({v_2}) = 0.64$ , ${B'_2}({v_3}) = 0.89$ , ${B'_2}({v_4}) = 1$

即 ${B'_1} \ne {B'_2}$ 。由此可见, 对比CRI方法, SMRI计算结果可对输入事实的变化和趋向作出响应。

2 基于近似推理的焊接工艺参数决策

气体保护焊以其高效作业、低成本、操作方便等特点在船舶、机械、石化、车辆等制造业有广泛应用。焊接规范参数的选取是焊接质量控制的关键环节之一, 为获得规范参数与焊缝形态之间关系的数学模型, 往往需进行大量的工艺试验, 但焊接过程的复杂性使构建精确的模型通常不易实现。理论已证明模糊逻辑作为一种万能逼近器, 能以任意精度逼近非线性对象或过程^[5], 所以模糊建模在焊接领域具有较好的应用前景, 下面给出SMRI算法在CO₂焊接工艺决策方面的应用。

2.1 焊接参数决策的推理模型

焊接熔深是焊缝接头质量的最重要指标, 在与之相关的诸多焊接工艺参数中, 焊接电流和焊速为主要因素, 为此可构建一个在不同焊速下, 以焊缝熔深 ${D_w}$ 和焊接电流 ${I_w}$ 分别作为输入和输出变量的模糊推理模型, 其论域分别为 $X$ 和 $Y$ 。

由CO₂焊接试验总结出3种焊速下熔深与电流之间关系的工艺规则, 如表2所示。

简明起见, 各模糊变量的隶属函数取三角形或梯形, ${D_w}$ 和 ${I_w}$ 的隶属函数分别如图1、图2所示。

基于SMRI方法实现焊接电流决策的主要步骤如下：

1)输入精确量的模糊化。设输入精确值 $x'$ 对应于变量 $A'$ , 则该模糊变量的构造可以表示为 $A'(x) = A(x + ({x_0} - x'))$ , 如图3所示。

2) 计算输入与前件间的相似度和贴近方向。

$S(A',A) = \frac{{\displaystyle\int_X {\min \left\{ {A'(x),A(x)} \right\}{\rm{d}}x} }}{{\displaystyle\int_X {\max \left\{ {A'(x),A(x)} \right\}{\rm{d}}x} }}$

${N_D}(A',A) = {{\int_X {(A'(x) - A(x)){\rm{d}}x} }/{\int_X {{\rm{d}}x} }}$

3) 修正关系及投影计算。据式(8), 有:

$B'(y) = M(S(A',A),{R_T}({\sup _{x \in X}}A(x),B(y)))$

因 $A$ 为正规子集, 由定义4得:

$B'(y) = M(S(A',A),B(y))$

这里, 若 ${N_D}(A',A) \geqslant 0$ , $M$ 取 ${I_L}$ , 否则取 ${T_L}$ 。

4) 输出解模糊。按最大隶属原则, 输出量y’可由 $B'(y') = {\sup _{y \in Y}}B'(y) = 1$ 进行计算, 如图4所示。

按以上步骤, 通过MATLAB编程建立基于SMRI的焊接规范参数决策模型, 模型运行界面如图5所示。

2.2 推理模型的验证

根据给定的焊缝熔深, 通过SMRI模型推理获得焊接电流和焊速后实施焊接, 试验条件为: 逆变NB-500焊机, 焊接母材AH36船用高强钢, 对接平焊, 焊丝直径1.0 mm, 焊接电压21±2 V。焊后切取焊缝的横截面并测量焊缝深度。模型推理和实验结果如表3所示, 其中 ${h_P}$ 为板厚, ${D'_w}$ 、 ${D_w}$ 分别为焊缝深的期望值和实测值, ${I'_w}$ 、 ${V'_w}$ 分别为电流和焊速决策模型的计算值。焊缝熔深期望值与实测值的吻合情况如图6所示, 最大误差为1.99%, 平均误差为1.24%, 这说明焊接参数决策模型达到了较高的推算精度, 完全可以满足工程实际应用的要求。

3 结束语

在SAR推理模式的基础上, 引入贴近方向函数作为匹配计算的一个环节, 可以更准确地反映模糊概念中隶属度的变化趋向。CRI的推理过程可以看作由给定事实直接对模糊关系进行修正计算, 其修正函数对应于合成运算。对于本文的SMRI算法，计算修正关系是通过事实和前提的相似匹配来达成, 由此事实与前提中的任意变化(包括扩展和缩减变化)都可整合到修正关系之中, 这不仅改进了Turksen等人提出的基于相似度的近似推理模式，而且有助于解决CRI的推理结论在某些情况下与实际不符的问题。

在近似推理中有多种模糊算子可选择, 本文对SMRI模式中的转化算子和修正算子的选择方案进行了探讨。例如，当要求推理结论对输入事实和规则的变化作出显著响应时，可以分别选择较强和较弱的模糊算子进行扩展及缩减计算。工程化应用是近似推理算法研究的目标之一, 本文给出SMRI算法在焊接工艺参数决策的实例, 下步将研究修正算子和转化算子的性质，并将该算法应用到焊接模糊控制方面。