系统的建模与辨识一直是人们研究的重点与难点，它的好坏直接影响着控制系统的性能。尤其对于现在控制系统越来越复杂，要求也越来越高，控制系统呈现出多变量、强耦合、非线性等特点，这就使得传统的方法很难对这些系统进行建模。模糊理论的产生为这些系统提供了新方法，现在已经应用于自动控制、电力系统和预测控制等领域。T-S模型是在模糊辨识方面应用较广的模型，它是由Takagi和Sugeno于1985年提出的一种模糊模型^[1]。国内外学者对此方法进行了深入研究，主要研究的内容有前提参数辨识、结论参数辨识、规则库优化、输入变量选择等。随着人工智能技术的不断发展，智能算法也越来越多地应用到了T-S模型的优化上。如文献[2]采用模糊聚类优化模型的前提结构，并应用遗传算法 (genetic algorithm, GA)对前提参数进行了优化，但是计算时间长，而且精度不是很高。文献[3]采用菌群优化算法(bacterial foraging optimization algorithm, BFO)优化T-S模型前提参数，虽然辨识精度有提高，但是收敛速度还是太慢，耗时太长。文献[4]采用粒子群算法(particle swarm optimization algorithm, PSO)和最小二乘算法提出一种模糊自适应函数逼近器，由于标准粒子群算法本身的局限性而使辨识精度不高。

随着模糊聚类理论的发展和成熟，已经成功应用到了很多的领域。目前，学者们已经提出了很多模糊聚类算法，比较典型的有基于相似关系^[5]和模糊关系^[6]的方法、基于目标函数的方法^[7]、基于模糊图论的最大支撑树方法^[8]等。其中研究最多的是基于目标函数的模糊聚类方法。该方法主要思想就是求解一个带约束的非线性规划问题，得到数据集的模糊划分和聚类结果。模糊C均值(fuzzy C-means, FCM)聚类算法是基于目标函数聚类算法的一种，它的应用也最为广泛。FCM算法是由K均值聚类算法加入模糊因子改进而来，内平方误差和(within-groups sum of squared error, WGSS)是聚类目标函数的常见形式，1973年，Dunn扩展了内平方误差和函数，提出了类内加权平均误差和函数作为目标函数^[9]。此后一年，Bezdek提出在目标函数中引入了新的参数 $m$ ，把原先的类内加权平均误差和函数改进为目标函数的无限簇，从而形成了广泛应用的FCM聚类算法^[10]。从此，FCM聚类算法蓬勃发展，已经成为聚类算法中研究的热点。

本文提出一种改进的粒子群算法和模糊C均值聚类算法相结合的模糊辨识新方法。采用模糊C均值聚类算法对聚类中心进行初步优化，然后通过改进粒子群算法的全局搜索能力优化聚类中心。这样既保持了模糊C均值聚类算法的优点，又达到了对模型的全局优化，显著的提高了算法的辨识精度和效率。

1 PSO算法基本原理

Kennedy等于1995年提出了PSO算法^[11]，它具有进化计算和群智能的优点，是一种启发式全局优化算法。与其他进化算法类似，PSO算法也是通过个体间的协作与竞争，实现复杂问题的全局优化。

PSO算法可以描述为：设粒子在 $D$ 维空间搜索，粒子个数为 $N$ 。第 $k$ 个粒子所处的位置为向量 ${{{X}}_{{k}}} = ({x_{k1}},{x_{k2}}, \cdots ,{x_{kD}})$ ，粒子的飞行速度为 $ {{{V}}_{{k}}} = ({v_{k1}},$ $ {v_{k2}}, \cdots,{v_{kD}})$ ，每一个粒子都是所优化问题的一个解，粒子通过不断的改变自己的位置和速度找到新解。第 $k$ 个粒子到目前为止搜索到的最优解 ${{{P}}_{{k}}} = ({p_{k1}},{p_{k2}}, \cdots ,{p_{kD}})$ ，整个群体经历过的最优位置为 ${{{P}}_{{g}}} = ({p_{g1}},{p_{g2}}, \cdots ,{p_{gD}})$ 。每个粒子的速度和位置按照式(1)、式(2)进行变化：

$\begin{array}{l} {v_{kd}}(t + 1) = w{v_{kd}}(t) + {c_1}{r_1}({p_{kd}}(t) - {x_{kd}}(t)) + \\ \qquad\qquad\;\;{c_2}{r_2}({p_{gd}}(t) - {x_{kd}}(t)) \end{array}$

(1)

${x_{kd}}(t + 1) = {x_{kd}}(t) + {v_{kd}}(t + 1)$

(2)

式中： ${r_1},{r_2}$ 为[0, 1]之间的随机数； ${c_1},{c_2}$ 为正常数，称作加速因子； $w$ 为惯性权重。每个粒子第 $d$ 维的速度和位置的变化范围为 $[ - {v_{d,\max }},{v_{d,\max }}]$ 和 $[ - {x_{d,\max }},{x_{d,\max }}]$ 。粒子的最大速度 ${v_{d,\max }}$ 太大，可能会使得粒子飞过最好解； ${v_{d,\max }}$ 太小，会使得搜索速度太慢，而且容易陷入局部最优解。惯性权重 $w$ 可以很好地控制粒子的搜索范围。 $w$ 较大时，粒子进行较大范围的搜索； $w$ 较小时，粒子进行小范围的挖掘。

2 搜索模式动态调整的PSO算法

改进的PSO算法(SMPSO)分为两种搜索模式：局部搜索模式和全局搜索模式。局部搜索模式就如同自然界中大部分动物觅食一样，它在搜索到的疑似最优位置周边都会进行更加细致地搜索，然后根据视觉、味觉、听觉等因素更加准确地判断全局最优解的位置。这样既避免了种群过早的收敛，陷入局部最优解，而且通过在疑似最优位置四周的搜索，更容易找到全局最优位置。在全局搜索模式时，粒子之间会协同合作，共享最优位置信息，使整个种群向着全局最优位置逼近，以更短的时间寻找到最终目标。由于每代粒子都具有“自我”学习提高和向“他人”学习的优点，从而能使种群在较少的迭代次数内找到最优解。

SMPSO算法首先要选择粒子的数目 $N$ ，每个粒子都有自己的位置、适应度和处于局部搜索模式或者全局搜索模式的标识值。粒子的位置根据求解的需要由 $D$ 维向量表示，适应度可由目标函数的适当变形得到，所处模式的标识值可以用数字0和1表示。粒子的两种模式分别代表着算法的不同进程。在程序的运行中，一部分粒子执行局部搜索模式，其余的粒子执行全局搜索模式。它们各自的数量由搜索模式动态调整参数 ${\rm SM}$ 控制， ${\rm SM}$ 表示处于全局搜索模式的粒子所占种群的比例，按照式(3)计算得到，其中 ${\rm S{M}_{\max }}$ 和 ${\rm S{M}_{\min }}$ 分别为 ${\rm SM}$ 的最大值和最小值， ${\rm DT}$ 为当前的迭代的次数， ${\rm MaxDT}$ 是最大的迭代次数。随着 ${\rm DT}$ 的增加， ${\rm SM}$ 从 ${\rm S{M}_{\min }}$ 线性地增加到 ${\rm S{M}_{\max }}$ ，这样可以使得粒子群在开始时搜索能力比较强，而到后期随着种群的最优适应度越来越好，增大 ${\rm SM}$ ，有利于粒子群聚集到更好的位置，进行更细致的搜索。

${\rm SM} = {\rm S{M}_{\min }} + {\rm DT} \cdot \frac{{{\rm S{M}_{\max }} - {\rm S{M}_{\min }}}}{{{\rm MaxDT}}}$

(3)

SMPSO算法整体进程描述如下：

1) 选择粒子群个体数为 $N$ ；

2) 随机初始化粒子的位置为 $D$ 维向量，按照 ${\rm SM}$ 随机分配粒子进入局部搜索模式和全局搜索模式；

3) 根据适应度函数计算每个粒子的适应度值，选择适应度值最好的粒子为当前的最优解；

4) 根据粒子所处模式的标识值，判断粒子处于哪种搜索模式。如果粒子处于局部搜索模式，应用局部搜索模式的程序；如果粒子处于全局搜索模式，应用全局搜索模式的程序。具体步骤详见2.1和2.2；

5) 按照 ${\rm SM}$ 重新分配粒子进入局部搜索模式和全局搜索模式；

6) 如果程序满足了终止条件，则终止程序；否则返回3)继续执行。

2.1 局部搜索模式

在此模式下，主要有两个基本的要素：局部搜索次数( ${\rm SN}$ )，表示每个处于局部搜索模式的粒子迭代一次搜索的次数。粒子将按照之后描述的规则，从中选择一个位置；局部搜索范围( ${\rm SR}$ )，表示粒子局部搜索最大能抵达的范围。局部搜索模式步骤如下：

1) 复制 ${\rm SN}$ 份当前粒子的位置；

2) 对于每个粒子的候选位置，按照式(4)更新粒子的候选位置。

$\begin{array}{l} {x_{id}}\left( {t + 1} \right) = {x_{id}}\left( t \right) \pm {\rm rand} \cdot {\rm{SR}},\\ d = 1,2, \cdots ,D;\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,{\rm{SN}} \end{array}$

(4)

式中： ${x_{id}}$ 表示粒子的第 $i$ 个候选位置在第 $d$ 维的位置， ${\rm rand}$ 表示位于0~1之间的随机数；

3) 计算所有候选位置的适应度( ${\rm FS}$ )；

4) 计算所有候选位置和它本身被选择的可能性。如果所有的 ${\rm FS}$ 都相同，将所有候选位置的可选择性设置为1；否则按照式(5)计算候选位置的可选择性：

${P_i} = \frac{{\left| {{\rm F{S}_i} - {\rm F{S}_b}} \right|}}{{\left| {{\rm F{S}_{\max }} - {\rm F{S}_{\min }}} \right|}},\;\;\;\; i = 1,2, \cdots ,SN + 1$

(5)

式中： ${P_i}$ 表示候选位置的可选择性， ${\rm F{S}_i}$ 表示候选位置的适应度值， ${\rm F{S}_{\max }}$ 和 ${\rm F{S}_{\min }}$ 表示候选位置中最大适应度值和最小适应度值。如果求解目的是要找到最大适应度值，则 ${\rm F{S}_b} = {\rm F{S}_{\min }}$ ，否则 ${\rm F{S}_b} = {\rm F{S}_{\max }}$ ；

5) 根据候选位置和它本身的可选择性 ${P_i}$ ，运用轮盘赌方法选择粒子的下一个位置。每个候选位置和本身被选中的概率 ${\hat P_i}$ 为

${\hat P_i} = {{{P_i}} / {\sum\limits_{i = 1}^{SN + 1} {{P_i}} }},\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,SN + 1$

(6)

在局部搜索模式，采用了遗传算法常用的轮盘赌选择法，正是借鉴了“物竞天择，适者生存”的生物进化理论，并且还保留了物种的多样性，利用概率选择的方法，选择优胜的个体，淘汰劣质个体。

2.2 全局搜索模式

全局搜索模式对标准PSO进行简化处理，提高算法运行速度。粒子群按照式(7)、式(8)更新粒子的位置。

${{{X}}_{{k}}}(t + 1) = {{{X}}_{{k}}}(t) + c \cdot r \cdot ({{{P}}_{{{kg}}}}(t) - {{{X}}_{{k}}}(t))$

(7)

${{{P}}_{{{kg}}}}(t) = \lambda {{{P}}_{{g}}}(t) + (1 - \lambda ){{{P}}_{{k}}}(t)$

(8)

式中： ${{{X}}_{{k}}}$ 表示第 $k$ 个粒子的位置； ${{{P}}_{{{kg}}}}$ 表示第 $k$ 个粒子的最佳搜寻位置； ${{{P}}_{{g}}}$ 表示粒子群经历的最好位置； ${{{P}}_{{k}}}$ 表示第 $k$ 个粒子经历的最好位置； $\lambda $ 是0和1之间的一个常数； $r$ 是一个位于0和1之间的随机数； $c$ 是一个正常数，称作加速因子。

从式(7)和式(8)可以看出本文方法与标准粒子群算法的不同之处如下：

1) 本文方法省去了粒子的速度，由于本文加入了局部搜索模式，使得粒子在两种模式之间切换，粒子的历史速度对于粒子的影响并不是很大。只要控制好参数 ${\rm SM}$ 和 ${\rm SR}$ ，粒群体将不容易早熟，陷入局部最优解。同时，省去速度参数，也避免了对粒子速度的限制，进一步减少了算法的运行时间。

2) 种群的每个粒子对局部最优解 ${{{P}}_{{k}}}$ 和全局最优解 ${{{P}}_{{g}}}$ 的位置进行判断和权衡，找出最佳搜寻位置 ${{{P}}_{{{kg}}}}$ ，随后对此最佳位置进行跟踪。从式(8)可以看出最佳搜寻位置 ${{{P}}_{{{kg}}}}$ 在 ${{{P}}_{{g}}}$ 和 ${{{P}}_{{k}}}$ 的连线上， $\lambda $ 越接近1， ${{{P}}_{{{kg}}}}$ 离全局最优解 ${{{P}}_{{g}}}$ 的距离越近； $\lambda $ 越接近0， ${{{P}}_{{{kg}}}}$ 离局部最优解 ${{{P}}_{{k}}}$ 越近。

2.3 算法参数分析

本文算法不同于标准PSO算法的参数主要有 ${\rm SN}$ 、 $\lambda $ 、 ${\rm S{M}_{\max }}$ 、 ${\rm S{M}_{\min }}$ 和 ${\rm SR}$ 。对于不同的优化问题参数选择不同，本文按照优化时间最短和优化结果最优原则，通过大量的仿真实验，总结了参数的选取方法：

1) 搜寻个数 ${\rm SN}$ 选取的越大，耗时越多，但是相应的优化精度越高，一般选取3~5之间。

2) $\lambda $ 是控制最佳搜寻位置的参数，调节整体和局部的关系。针对参数 $\lambda $ 的选择，本文采用了黄金分割点的位置 $\lambda = 0.618$ 或者 $\lambda = 0.382$ 。黄金分割已经在众多领域取得了成功的应用，例如在数学上具有广泛应用价值的优选法，在股市上的应用，在战术布阵中的应用等。黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例，达到了局部与整体的辩证统一。

3) ${\rm SM}$ 表示处于全局搜索模式的粒子所占种群的比例。 ${\rm SM}$ 越大，全局搜索模式的粒子越多，算法收敛到最优解的速度越快，但是容易早熟，陷入局部最优解； ${\rm SM}$ 越小，局部搜索模式的粒子越多，算法找到最优解的速度太慢，耗时太多，所以一般情况下 ${\rm S{M}_{\max }}$ 为1， ${\rm S{M}_{\min }}$ 为0.5。

4) 局部搜索范围 ${\rm SR}$ 越大，越有利于算法摆脱局部最优解，加快算法找到全局最优解，但是局部搜索能力比较弱； ${\rm SR}$ 越小，局部搜索能力比较强，但是容易陷入局部最优解。根据具体问题的取值范围合理的选择 ${\rm SR}$ 的大小。

3 基于SMPSO和FCM的建模方法 3.1 T-S模糊模型

在1985年，Takagi等^[1]提出了T-S模糊模型，第 $i$ 条规则的形式为

$\begin{array}{l} {R^i}:\;\;\;{\rm{if}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;A_1^i\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;A_2^i\;{\rm{and}}\; \cdots \;{\rm{and}}\;{x_r}\;{\rm{is}}\;A_r^i,{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{then}}\;{y^i} = p_0^i{\rm{ }} + p_1^i{x_1} + \cdots + p_r^i{x_r} \end{array}$

(9)

式中： $i = 1,2, \cdots ,c$ ； $j = 1,2, \cdots ,r$ ； ${x_j}$ 是第 $j$ 个输入； $A_j^i$ 是一个模糊集合； ${y^i}$ 是第 $i$ 条规则的输出； $p_j^i$ 是结论参数。

那么由各规则输出 ${y^i}{\rm{ }}(i = 1,2, \cdots ,c)$ 的加权平均可求得系统的总输出 $\hat y$ 为

$\begin{array}{l} \hat y = \sum\limits_{i = 1}^c {{\mu _i}{y^i}} /\sum\limits_{i = 1}^c {{\mu _i}} = \sum\limits_{i = 1}^c {{w_i}} {y^i} = \\ \;\;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^c {{w_i}} (p_0^i{\rm{ }} + p_1^i{x_1} + \cdots + p_r^i{x_r}) \end{array}$

(10)

式中： ${\mu _i} = \prod\limits_{j = 1}^r {A_j^i} ({x_i})$ ， $(i = 1,2, \cdots ,c)$ ； $\prod $ 是模糊化算子，通常表示取小运算或者乘积运算，本文表示取小运算； ${w_i} = {\mu _i}/\sum\limits_{i = 1}^c {{\mu _i}} $ 。

如果T-S模糊模型具有统一的前件结构，参照文献[12]的定义，T-S模糊模型的另一种表示方法如下：

$\begin{array}{l} {R^i}:\;\;\;{\rm{if}}\;{\rm{ }}{{x}}\;{\rm{is}}\;{A^i}{\rm{,}}\\ \;\;\;\;\;\;\;{\rm{then}}\;{y^i} = p_0^i + p_1^i{x_1} + \cdots + p_r^i{x_r} \end{array}$

(11)

式中： ${{x}} = ({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_r})$ 为输入变量向量，这样可以使得模糊规则数等于输入变量的模糊集合数，明显的减小了算法的复杂度。

代入 $N$ 对输入数据可得矩阵等式：

${\hat{ Y}} = {{XP}}$

(12)

式中： ${\hat{ Y}}$ 是 $N$ 维列向量； ${{X}}$ 是 $N \times L$ 的矩阵； ${{P}}$ 是 $L = (r + 1) {\text ×}c$ 维参数列向量。

由式(12)可得模型输出 ${\hat{ Y}}$ 是参数向量 ${{P}}$ 的线性组合，采用递推最小二乘法求取参数 ${{P}}$ ，算法如下：

${{{P}}_{{{i + 1}}}} = {{{P}}_{{i}}} + \frac{{{{{S}}_{{i}}} \cdot {{{x}}^{\rm{T}}}_{{{i + 1}}} \cdot ({y_{i + 1}} - {{{x}}_{{{i + 1}}}} \cdot {{{P}}_i})}}{{1 + {{{x}}_{{{i + 1}}}} \cdot {{{S}}_{{i}}} \cdot {{x}}_{{{i + 1}}}^{\rm{T}}}}$

(13)

${{{S}}_{{{i + 1}}}} = {{{S}}_{{i}}} - \frac{{{{{S}}_{{i}}} \cdot {{x}}_{{{i + 1}}}^{\rm{T}} \cdot {{{x}}_{{{i + 1}}}} \cdot {{{S}}_{{i}}}}}{{1 + {{{x}}_{{{i + 1}}}} \cdot {{{S}}_{{i}}} \cdot {{x}}_{{{i + 1}}}^{\rm{T}}}}$

(14)

3.2 模糊C均值聚类算法

模糊C均值聚类算法是一种自动对样本点进行分类的方法，是当前应用较为广泛的一种模糊聚类算法。聚类的目标函数 ${{{J}}_m}({{U}},{{V}})$ 如式(15)，聚类的最终目的是求得目标函数 ${{{J}}_m}({{U}},{{V}})$ 的极小值，具体实现步骤如下：

$\left\{ \begin{array}{l} {{{J}}_m}({{U}},{{V}}) = \sum\limits_{i = 1}^c {\sum\limits_{k = 1}^n {{{({u_{ik}})}^m}{{({d_{ik}})}^2}} } \\ {\rm{s.t}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{U}} \in {{{M}}_{fc}} \end{array} \right.$

(15)

1) 设定聚类中心数 $c(2 \leqslant c \leqslant n)$ ， $n$ 为样本个数，给聚类中心 ${{{V}}^0}$ 赋初值，设定模糊权重指数 $m$ 、最大迭代次数 ${C_{\max }}$ 和停止阈值 $\varepsilon $ ；

2) 根据聚类中心 ${{{V}}^r}$ ，用式(16)计算第 $r + 1$ 次迭代的隶属度矩阵 ${{{U}}^{r + 1}}$ ，对于 $\forall i,k$ ，如果 $\exists d_{ik}^r$ ，则有：

$u_{ik}^{r + 1} = \frac{1}{{\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^c {{{(\frac{{d_{ik}^r}}{{d_{lk}^r}})}^{\frac{2}{{m - 1}}}}} }}$

(16)

如果 $\exists i,k$ ，使得 $d_{ik}^r = 0$ ，则有 $u_{ik}^{r + 1} = 1$ ，对于 $j \ne k, $ $u_{ij}^{r + 1} = 0$ ；

3) 根据隶属度矩阵 ${{{U}}^{r + 1}}$ ，用式(17)计算第 $r + 1$ 次迭代的聚类中心 ${{{V}}^{r + 1}}$ ：

${{V}}_i^{r + 1} = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{(u_{ik}^{r + 1})}^m}{{{x}}_k}} }}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{{(u_{ik}^{r + 1})}^m}} }}$

(17)

4) 根据给定的阈值 $\varepsilon $ ，如果 $\left\| {{{{V}}^{r + 1}} - {{{V}}^r}} \right\| < \varepsilon $ 或者迭代次数大于 ${C_{\max }}$ ，则停止迭代，最后一次的迭代结果就是隶属度矩阵 ${{U}}$ 和聚类中心 ${{V}}$ ，否则令 $r = r + 1$ ，转到2)。

由以上算法步骤可以看出，整个迭代过程就是不断优化聚类中心和隶属度矩阵的过程。Bezdek等对算法进行了完善，并给出了收敛性说明^[13-15]：模糊C均值聚类算法可以从任意给定的初始点开始收敛到目标函数 ${{{J}}_m}({{U}},{{V}})$ 的局部极小点。

3.3 基于SMPSO和FCM的模糊辨识

模糊C均值聚类算法是一种局部搜索算法，容易陷入局部最优解。为了解决这一问题，本文首先采用模糊C均值聚类算法对聚类中心进行初步优化，然后利用改进粒子群算法的全局搜索能力优化聚类中心。这样既保持了模糊C均值聚类算法的优点，又达到了对模型的全局优化，显著的提高了算法的辨识精度和效率。具体算法步骤如下：

1) 由辨识的目标得到输入输出数据。

2) 采用模糊C均值聚类算法对聚类中心 ${{V}}$ 进行初步优化，算法步骤详见3.2。

3) 选择输入变量个数为 $r$ ，即聚类中心的维数为 $r$ ，那么粒子的位置表示为

$\begin{array}{l} {{X}} = [\underbrace {{v_{11}},{v_{12}}, \cdots ,{v_{1r}}}_{{{{v}}_1}}, \cdots ,\underbrace {{v_{i1}},{v_{i2}}, \cdots ,{v_{ir}}}_{{{{v}}_i}}, \cdots , \underbrace {{v_{c1}},{v_{c2}}, \cdots ,{v_{cr}}}_{{{{v}}_c}}] \end{array}$

(18)

式中： ${{X}}$ 为 $r \times c$ 维向量，即粒子群优化参数编码。

4) 根据聚类中心 ${{{V}}^\lambda }$ ，用式(19)计算第 $\lambda + 1$ 次迭代的隶属度矩阵 ${{{U}}^{\lambda + 1}}$ ，对于 $\forall i,k$ ，如果 $\exists d_{ik}^\lambda $ ，则有：

$u_{ik}^{\lambda + 1} = \frac{1}{{\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^c {{{(\frac{{d_{ik}^\lambda }}{{d_{lk}^\lambda }})}^{\frac{2}{{m - 1}}}}} }}$

(19)

如果 $\exists i,k$ ，使得 $d_{ik}^\lambda = 0$ ，则有 $u_{ik}^{\lambda + 1} = 1$ ，对于 $j \ne k, $ $u_{ij}^{\lambda + 1} = 0$ 。

5) 采用递推最小二乘法求取结论参数 ${{P}}$ ，用结论参数 ${{P}}$ 和输入数据集计算模糊模型的输出 ${\hat y_k}$ 。SMPSO算法的适应度函数如式(20)，根据适应度函数算出每个个体的适应度值，由式(3)~(8)更新个体位置。

$\begin{array}{c} {\rm{fitness}} = {{{J}}_m}({{U}},{{V}}) + w \cdot {\rm{MSE}}= \\ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^c {\sum\limits_{k = 1}^n {{{({u_{ik}})}^m}{{({d_{ik}})}^2}} } + \frac{w}{N}\sum\limits_{k = 1}^N {{{\left( {{y_k} - {{\hat y}_k}} \right)}^2}} \end{array}$

(20)

式中： $w$ 为建模均方误差 ${\rm{MSE}}$ 的比例因子。因为，一般建模均方误差都很小，这样对适应度函数就起不到明显的作用，所以加入比例因子 $w$ ，可以调节 ${{{J}}_m}({{U}},{{V}})$ 和 ${\rm{MSE}}$ 对适应度函数的影响，从而达到更好的寻优效果。

6) 如果程序满足了终止条件，则终止程序；否则返回4)继续执行。

4 仿真研究 4.1 Box-Jenkins煤气炉数据辨识

著名的Box等煤气炉数据^[16]已经被许多学者用作检验辨识方法的标准试验数据。输入量 $u(k)$ 是流向煤气炉的流量，输出量 $y(k)$ 是出口二氧化碳的浓度。

这组数据有296对输入输出测量值，是一个SISO动态系统。本文选择 $r = 2,c = 6$ ，输入变量选择 $y(k - 1)$ 和 $u(k - 3)$ ，输出量为 $y(k)$ 。改进的粒子群算法的参数选择如表1所示。辨识模型需要优化的聚类中心的参数为 $r c{\rm{ = 12}}$ 个；结论参数为 $(r + 1) c{\rm{ = }}18$ 个。仿真结果如图1和图2所示，与其他方法的对比结果如表2所示。

由仿真结果可以看出，本文方法所用模糊规则数少，但是辨识精度高，是一种有效的辨识方法。

4.2 非线性动态系统

本节以式(25)的非线性动态系统为仿真对象，由 $u{\rm{(}}k{\rm{) = }}\sin {\rm{(}}2k{\text π} {\rm{/}}100{\rm{)}}$ 产生输入数据。选择 $r = 3,c = 6$ ，输入变量选择 $u(k)$ 、 $y(k)$ 和 $y(k - 1)$ ，输出量为 $y(k + 1)$ ， $y{\rm{(}}1{\rm{) = }}0$ ，训练数据500组。改进的粒子群算法的参数选择如表4所示。辨识模型需要优化的聚类中心的参数为 $r c{\rm{ = }}18$ 个；结论参数为 $(r + 1) c{\rm{ = }}24$ 个。仿真结果如图3和图4所示，与其他方法的对比结果如表3所示。

$y{\rm{(}}k{\rm{ + }}1{\rm{) = }}\frac{{y{\rm{(}}k{\rm{)}}}}{{{\rm{1 + }}y{{(k)}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}u{{\rm{(}}k{\rm{)}}^3}$

(21)

从仿真结果可以看出，本文方法不仅提高了辨识精度，而且大幅度的缩短了程序运行时间，验证了本文方法有很高的效率。

5 结束语

本文将改进的粒子群算法和模糊C均值聚类算法相结合，提出一种新的模糊辨识方法。首先采用模糊C均值聚类算法对聚类中心进行初步优化。然后对粒子群算法进行了改进，提出一种搜索模式动态调整的PSO算法，显著提高了PSO算法处理复杂问题的全局优化能力。并且将改进的PSO算法运用到聚类中心的优化中，有效的解决了FCM算法容易陷入局部最优的问题，提高了模糊辨识的精度和效率。最后通过建模仿真，表明了本文方法的有效性和优越性。