混响是海洋空间中无规则分布的散射体对入射声信号的散射回波，同一时间内在接收点相干叠加形成。散射体的随机分布导致混响是一个无规则的随机过程，但同时混响又反映了一定的声源信息，与声源具有相似的频率特性，因此混响也存在空间相关特性。Urick等^[1-2]利用900 m海深的爆炸声数据分析了混响垂直相关特性，分析了60 m海深的爆炸声混响垂直相关特性，提出“相关角度”的概念，建立浅海混响垂直相关模型并对实验数据处理结果进行解释。在混响建模中，海洋中各散射体满足无规则的随机均匀分布，对散射场相位的综合作用相互抵消，在考虑混响的空间相关特性建模时只考虑双程传播和散射模型的相位变化^[3-5]。因此，对于混响垂直相关的建模研究，主要以传播声场的垂直相关为基础，叠加散射过程，综合建立混响垂直相关模型。周纪浔等^[6-8]分析了低频小掠射角(0.7°~15°)混响垂直相关特性与海底反射损失之间的解析关系，提出了大面积测量海底小掠射角反射损失的方法及角度谱^[7]的概念，以此建立了浅海声场的垂直相关模型和小掠射角的混响垂直相关模型，并利用该模型反演海底声吸收参数的方法。文献[9-11]在射线简正波理论的基础上，同样假设海底各散射源独立地均匀分布在界面上，给出浅海海底界面混响垂直相关的一般形式解，同时给出均匀层中的简化解析式，得到与周纪浔相似的结果。张明辉^[12]根据混响的统计特性，瞬时幅值满足正态分布，相位满足[0, 2π]的平均分布，建立混响信号模型，并以此计算混响的垂直相关。在其理论分析中，同样认为散射空间相关半径内，散射系数的幅值和相位为同一数值，相关半径以外为服从相同分布的其他数值。韩荣荣^[13]在此基础上，对幅值和相位的统计分布进行改进，并以此为基础计算混响的空间相关。高天赋^[14]根据Bass微扰理论的物理散射模型提出了浅海全波动混响模型。唐大钧^[15]发表关于海底沉积层体积不均匀性混响的解析解形式的研究成果。尚尔昌等^[16]结合了两者的理论，建立了浅海海底混响模型，给出海底粗糙界面散射以及海底沉积层体积不均匀性散射的精确解析形式，称之为海底反向散射矩阵。基于物理散射机理建立起来的混响模型为混响的空间相关特性提供了良好的模型基础。

本文以全波动混响理论为基础，结合海底反射系数模型^[17-20]，对简正模态近似处理，将模态叠加转换成角度积分的形式^[21-23]，从而得到混响声场模型；借鉴角度谱理论的思想，建立单基地混响水平纵相关模型；利用浅海单基地混响实验验证该模型。

1 浅海全波动混响理论

全波动混响模型较以往基于经验散射理论建立的模型，无论是散射过程，还是声传播过程，都严格受波导的格林函数约束。因此该模型在分析除混响平均强度特性以外的其他特性中具有明显的优势。

在浅海波导环境中，简正波理论相对于其他声传播理论能够更好的描述声场，全波动混响理论中的格林函数由简正波描述。但随着频率的增加，波导简正波的数量增加，其优势逐渐减弱。所以文中主要分析可以利用少数简正波描述浅海低频海底混响的全波动混响模型。

在如图 1所示的水平均匀波导环境中，水深H。海底体积不均匀沉积层的平均地声参数(声速、密度和声吸收系数)为c_b、ρ_b和α_b。声源位于R_s(0, z_s)，发射短脉冲为s(t)，脉宽为τ。接收水听器位于R(0, z)接收到的混响平均强度为^[16]：

$ \begin{aligned} I_{\mathrm{rev}}(z, t)=&E \cdot {\rm{ \mathsf{ π} }} r c_{w} \cdot(2 {\rm{ \mathsf{ π} }})^{2}\left(k_{w} r\right)^{-2} \\ &\sum\limits_{m}^{M} \sum\limits_{n}^{N} \varphi_{m}^{2}\left(z_{s}\right) \varphi_{n}^{2}(z) \mathrm{e}^{-2\left(\beta_{m}+\beta_{n}\right) r} \boldsymbol{\varTheta}_{m n} \end{aligned} $

(1)

$ \boldsymbol{\varTheta}_{m n} =P\left(2 k_{w}\right)\left[\boldsymbol{\varphi}_{m}(H) C_{m n} \boldsymbol{\varphi}_{n}(H)\right]^{2} $

(2)

式中：E=s²(t)·τ是声源强度；r是混响的单程声传播距离，与混响时间t之间满足关系式r=c_wt/2；φ_m与φ_n是第m和n阶简正模态；β_m、β_n是第m和n阶本征值的虚部，直接描述混响的衰减特性。k_w=2πf/c_w是水体中的波数；Θ_mn是反向散射矩阵，反映了海底的反向散射的角度特性和强度特性，可描述为简正模态间的耦合；P(2k_w)是粗糙界面起伏程度谱函数或海底沉积层体积不均匀性谱函数，直接描述反向散射强度；c_w(z)为水体中声速，是深度的函数。

对于海底粗糙界面的谱函数采用基于实测数据统计的Goff-Jordan谱：

$ P_{R}\left(2 k_{w}\right)=\sigma_{\eta}^{2} S\left(2 k_{w}\right) $

(3)

$ S\left(2 k_{w}\right)=L {\rm{ \mathsf{ π} }}\left[1+\left(2 k_{w} L\right)^{2}\right]^{-3 / 2} $

(4)

式中：σ_η²是海底界面起伏高度的方差；L是粗糙界面的相关长度。海底界面起伏引起的入射简正模态和散射简正模态之间的耦合系数，是海底地声参数的函数：

$ C_{m n}^{R}=k_{w}^{2}-\frac{k_{b}^{2}}{\alpha}+\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) k_{m} k_{n}+\frac{1-\alpha}{\alpha^{2}} \gamma_{m} \gamma_{n} $

(5)

式中：α=ρ_bρ_w^-1是沉积层和水体的密度比；k_b=2πf/c_b是沉积层介质中的波数；k_m、k_n是第m和n阶本征值的实部。$ \gamma_{m}=\sqrt{k_{m}^{2}-k_{b}^{2}} \text { 和 } \gamma_{n}=\sqrt{k_{n}^{2}-k_{b}^{2}}$分别是沉积层中第m阶简正模态和第n阶简正模态本征值的垂直分量。

根据沉积层的形成过程，分别考虑水平方向和垂直方向上的沉积层体积不均匀性。假设水平方向的不均匀性谱函数与界面粗糙度谱函数一致；垂直方向上的不均匀性满足指数衰减的特性：

$ \begin{aligned} \varGamma\left(\gamma_{m n}\right)=& \gamma_{m n}^{-1}\left(\gamma_{m n}+L_{z}^{-1}\right)^{-1}+\gamma_{m n}^{-1}\left(\gamma_{m n}-L_{z}^{-1}\right)^{-1} \cdot\\ & \exp \left[-2 \gamma_{m n} h\right]+\left(\gamma_{m n}-L_{z}^{-1}\right)^{-1} \cdot \\ &\left(\gamma_{m n}+L_{z}^{-1}\right)^{-1} \exp \left[-\left(\gamma_{m n}+L_{z}^{-1}\right) h\right] \end{aligned} $

(6)

式中：L_z是沉积层体积不均匀性垂直方向的相关长度；h是有效沉积层厚度；为方便表示，令γ_mn=γ_m+γ_n。综合2个方向，沉积层体积不均匀性的谱函数为：

$ P_{V}\left(2 k_{w}\right)=\sigma_{V}^{2} S\left(2 k_{w}\right) \varGamma\left(\gamma_{m n}\right) $

(7)

式中σ_V²是海底沉积层体积不均匀性的方差。沉积层体积不均匀引起的入射简正模态和散射简正模态之间的耦合系数可以表示为：

$ C_{m n}^{V}=2 k_{b}^{2}+\xi\left(k_{b}^{2}+k_{m} k_{n}-\gamma_{m} \gamma_{n}\right) $

(8)

式中ξ是描述海底沉积层体积不均匀性的参数^[16]。

需要指出的是，该散射矩阵与海底位置的简正模态密切相关，而简正模态由波导环境决定的，所以它是受格林函数严格约束的，不同于传统的散射模型，不可以随意引入。同时，反向散射函数也受海底界面谱函数或海底沉积层体积不均匀性谱函数控制，能够反映海底界面高度起伏程度或者沉积层体积不均匀性的强弱。

2 单基地混响水平纵相关

根据海底反射系数的三参数模型^[17-20]，将海底混响平均强度的模态求和形式在深度上平滑平均，近似描述为角度积分的形式。

2.1 简正波衰减项

反射损失随掠射角θ变化的可近似描述^[17-20]为：

$ \ln |V(\theta)|=-Q \theta $

(9)

式中Q为反射系数的幅值参数。

Q参数通过改变各阶简正模态的衰减特性来影响声传播的衰减特性。Q与简正模态衰减系数之间满足关系：

$ \beta_{m}=-\ln \left|V\left(\theta_{m}\right)\right| / D_{m}=Q \theta_{m} / D_{m} $

(10)

$ D_{m}=2 \int_{\xi_{m}}^{\zeta_{m}} \tan ^{-1}\left(\theta_{m}(z)\right) \mathrm{d} z $

(11)

式中：D_m是射线-简正波理论引进的变量，代表了第m阶简正模态的“水平跨度”；ξ_m和ζ_m分别代表声线的上、下拐点或反射点。在浅海，通常是负梯度声速剖面或者等声速剖面，所以声线要经过海底-海面的多次反射向前传播。因此，式(11)中的积分上下限通常是海底海面位置，即ξ_m=0，ζ_m=H。

在如图 1所示的波导环境中，1 500 m/s的等声速剖面水层厚度为100 m。半无限海底沉积层的地声参数分别为：声速1 664 m/s，密度1.787 g/cm³，声吸收系数1.258 dB/λ。500 Hz的声源在波导环境中可以激发出25阶波导简正模态。各阶简正模态的衰减系数β_m与Q值近似结果的比较如图 2(a)所示。两者吻合较好，说明该近似结果合理、可信。

2.2 简正波能量

海底反射系数的相移参数用P表示，反映海底反射相移随角度变化的快慢程度^[17-20]：

$ \arg [V(\theta)]={\rm{ \mathsf{ π} }}-P \theta $

(12)

式中P参数主要是通过简正模态来控制声传播的能量。简正模态在海底界面处的幅值可以近似描述为P参数的函数：

$ \phi_{m}(H)=\sqrt{2 / H} \sin \left(\theta_{m} P / 2\right) $

(13)

图 2(b)给出了ϕ_m(H)与Kraken计算的比较结果，两者高度吻合，证实式(13)的近似可行。

在非海深位置，简正模态的能量可以通过正交完备性分析。简正波的正交完备性为：

$ \int_{-\infty}^{+\infty} \phi_{m}(z) \phi_{n}(z) \mathrm{d} z= \begin{cases}0, & m \neq n \\ 1, & m=n\end{cases} $

(14)

在浅海，简正模态近似在水层以外取0值，即式(14)可以简化为：

$ \int_{0}^{H} \phi_{m}(z) \phi_{n}(z) \mathrm{d} z=1 $

(15)

所以式(1)在深度上平滑平均后，非海深位置的简正模态能量近似为：

$ \phi_{m}^{2}(z) \approx 1 / H, 0<z<H $

(16)

2.3 混响平均强度

根据边界条件，在海深位置处的法向振速为0：

$ \sin \left(k_{m z} H\right) \approx 0 $

(17)

式(17)恒成立的前提是k_mzH=mπ，因此可以获得简正模态阶数微分与角度微分之间的转换关系：

$ k_{w} H \sin \theta_{m}=m {\rm{ \mathsf{ π} }} \Rightarrow k_{w} H \cos \theta \mathrm{d} \theta={\rm{ \mathsf{ π} }} \mathrm{d} m $

(18)

将式(1)在深度上平滑平均，结合式(10)、(13)、(16)和(18)，得到混响平均强度的角度积分形式：

$ \begin{aligned} I^{\mathrm{rev}}(t)=& E \cdot 16 {\rm{ \mathsf{ π} }} c_{w} H^{-2} r^{-1} \int_{0}^{\theta_{c}} \sin ^{2}(\phi P / 2) \cdot \\ & \exp [-2 Q r \phi / D(\phi)] \cdot\left\{\int_{0}^{\theta_{c}} M_{b}(\theta, \phi)\cdot\right.\\ &\left.\sin ^{2}(\theta P / 2) \exp [-2 Q r \theta / D(\theta)] \mathrm{d} \theta\right\} \mathrm{d} \phi \end{aligned} $

(19)

$ M_{b}(\theta, \phi)=P\left(2 k_{w}\right) C^{2}(\theta, \phi) $

(20)

式中：θ、ϕ分别代替θ_m、θ_n，表示入射掠射角和散射掠射角；θ_c是海底反射的临界掠射角；M_b(θ，ϕ)是描述海底反向散射强度特性的参数，是入射角和散射角的缓变函数，不同于经验的Lambert散射模型中的常数项μ；C(θ, ϕ)是C_mn的角度表示形式。

对于粗糙界面：

$ \begin{aligned} C(\theta, \phi)=& k_{w}^{2}-k_{b}^{2} \alpha^{-1}+\left(1-\alpha^{-1}\right) k_{w}^{2} \cos \theta \cos \phi+\\ &(1-\alpha) \alpha^{-2} \sqrt{\left(k_{w}^{2} \cos ^{2} \theta-k_{b}^{2}\right)\left(k_{w}^{2} \cos ^{2} \phi-k_{b}^{2}\right)} \end{aligned} $

(21)

对于沉积层体积不均匀性：

$ \begin{aligned} C(\theta, \phi)=& 2 k_{b}^{2}+\xi\left[k_{b}^{2}+k_{w}^{2} \cos \theta \cos \phi-\right.\\ &\left.\sqrt{\left(k_{w}^{2} \cos ^{2} \theta-k_{b}^{2}\right)\left(k_{w}^{2} \cos ^{2} \phi-k_{b}^{2}\right)}\right] \end{aligned} $

(22)

在小掠射角近似(cos θ≈1)的前提下，该参数可以近似为与角度无关的常数：

$ C(\theta, \phi) \approx k_{w}^{2} \varsigma $

(23)

式中ς是与地声参数有关的常数。

对于粗糙界面：

$ \varsigma=2\left(1-\alpha^{-1}\right)+\alpha^{-2}\left(1-c_{w}^{2} c_{b}^{-2}\right) $

(24)

对于沉积层体积不均匀：

$ \varsigma=2 c_{w}^{2} c_{b}^{-2}(1+\xi) $

(25)

在图 1所示的波导环境中，数值仿真了相干传播损失和非相干混响平均强度说明以上近似方法的合理性。图 3(a)是相干传播损失的比较。声源位于20 m，接收在海底平均界面处，即100 m。两者在强度和相干峰值上均高度吻合，说明了近似的合理性。图 3(b)是相同条件下的非相干海底界面混响平均强度的比较。接收位于水下50 m。海底界面起伏方差为0.01 m²，相关长度为10 m。两者之间相差不大，尤其是在4~20 s时，两者基本重合。所以，通过引入海底反射系数的幅值参数和相移参数，将全波动混响平均强度的简正模态求和形式近似描述为角度积分的形式是合理的，而且近似结果可信。

2.4 混响水平纵相关

根据角度谱理论的思想^[6-8]，混响平均强度可以描述为角度积分的函数，则混响的垂直相关可以通过角度谱函数描述。

在式(19)所示的混响平均强度的角度积分形式中，定义角度谱函数为:

$ \begin{aligned} &A^{\mathrm{rev}}(t, \phi)=r^{-2} \sin ^{2}(\phi P / 2) \exp [-2 Q r \phi / D(\phi)]\cdot \\ &\int_{0}^{\theta_{c}} M_{b}(\theta, \phi) \cdot \sin ^{2}(\theta P / 2) \exp [-2 Q r \theta / D(\theta)] \mathrm{d} \theta \end{aligned} $

(26)

则式(19)可以简化为:

$ I^{\mathrm{rev}}(t)=E \cdot 16 {\rm{ \mathsf{ π} }} r c_{w} H^{-2} \int_{0}^{\theta_{c}} A^{\mathrm{rev}}(t, \phi) \mathrm{d} \phi $

(27)

这与文献[8-9]的角度谱理论的混响平均强度具有一致的形式。结合混响角度谱描述垂直相关的思想和全波动混响的角度积分解，可以得到混响的水平纵相关系数：

$ \rho^{\mathrm{rev}}(x)=\int_{0}^{\theta_{c}} A^{\mathrm{rev}}(t, \phi) \exp \left[\mathrm{i} k_{w} x \cos \phi\right] \mathrm{d} \phi $

(28)

归一化的相关系数为：

$ \rho_{0}^{\mathrm{rev}}(x)=\int_{0}^{\theta_{c}} A^{\mathrm{rev}}(t, \phi) \exp \left[\mathrm{i} k_{w} x \cos \phi\right] \mathrm{d} \phi\left[\int_{0}^{\theta_{c}} A^{\mathrm{rev}}(t, \phi) \mathrm{d} \phi\right]^{-1} $

(29)

其中x是水听器的水平距离。

将式(26)代入到式(29)中，可以得到海底混响水平纵相关的一般形式：

$ \begin{aligned} \rho_{0}^{\mathrm{rev}}(x)=& \int_{0}^{\theta_{c}}\left\{\int_{0}^{\theta_{c}} C^{2}(\theta, \phi) \cdot \sin ^{2}(\theta P / 2) \cdot\right.\\ & \exp [-2 Q r \theta / D(\theta)] \mathrm{d} \theta \cdot \exp \left[\mathrm{i} k_{w} x \cos \phi\right]\cdot \\ &\left.\sin ^{2}(\phi P / 2) \exp [-2 Q r \phi / D(\phi)] \mathrm{d} \phi\right\} \cdot\\ &\left\{\int _ { 0 } ^ { \theta_c } \left[\int_{0}^{\theta_{c}} C^{2}(\theta, \phi) \cdot \sin ^{2}(\theta P / 2) \cdot\right.\right.\\ & \exp [-2 Q r \theta / D(\theta)] \mathrm{d} \theta \cdot \sin ^{2}(\phi P / 2) \cdot\\ &\exp [-2 Q r \phi / D(\phi)] \mathrm{d} \phi]\}^{-1} \end{aligned} $

(30)

式(30)所示的归一化混响水平纵相关模型完全由海底反射系数的幅值参数和相移参数控制，与海底界面起伏和海底沉积层体积不均匀性无关。

在小掠射角近似的条件下，式(23)表明C(θ, ϕ)是与角度无关的常数量。此时，对θ的定积分结果是与散射掠射角ϕ无关的量，进一步简化为：

$ \begin{aligned} \rho_{0}^{\text {rev }}(x)=& \int_{0}^{\theta_{c}} \exp \left[\mathrm{i} k_{w} x \cos \phi\right] \sin ^{2}(\phi P / 2) \cdot \\ & \exp [-2 Q r \phi / D(\phi)] \mathrm{d} \phi \cdot\left[\int_{0}^{\theta_{c}} \sin ^{2}(\phi P / 2)\cdot\right.\\ &\exp [-2 Q r \phi / D(\phi)] \mathrm{d} \phi]^{-1} \end{aligned} $

(31)

在Pekeris波导环境中，D(ϕ)可以表示为：

$ D(\phi)=2 H \tan ^{-1}(\phi) \approx 2 H \phi^{-1} $

(32)

混响的水平纵相关系数可以进一步简化为：

$ \begin{aligned} \rho_{0}^{\mathrm{rev}}(x) &=\int_{0}^{\theta_c} \mathrm{d} \phi\{\exp [\mathrm{i} k(z) x \cos \phi] \cdot \\ &\left.\sin ^{2}(\phi P / 2) \exp \left[-Q r \phi^{2} / H\right]\right\} \cdot \\ &\left\{\int_{0}^{\theta_{c}} \mathrm{~d} \phi \sin ^{2}(\phi P / 2) \cdot \exp \left[-Q r \cdot \phi^{2} / H\right]\right\}^{-1} \end{aligned} $

(33)

根据式(33)数值仿真Pekeris波导环境中，理想条件下的混响水平纵相关系数，如图 4所示。数值仿真表明混响水平纵相关存在稳定的亮暗条纹。当接收水听器的水平间距为波长的整数倍时，呈现较强的正相关特性；当水听器间距为半波长的奇数倍时，呈现较强的负相关特性；当水听器间距为λ/4的奇数倍时，混响的相关性最弱。

3 海上实验验证

实验海域为89 m水平均匀波导环境，声速剖面如图 5所示，为典型的负梯度声速剖面。海底地声参数为典型的砂泥类海底，实测地声参数为，声速1 664 m/s, 密度1.787 g/cm³，声吸收系数1.258 dB/λ，对应的海底反射系数的幅值参数和相移参数分别为P=8.21，Q=0.27。声源位于水下40 m，发射420 Hz的单频脉冲信号，信号脉宽2 s。拖曳水平阵位于船艉，布放方式如图 6所示。水平阵上的深度传感器和姿态仪的实时监控表明，实验期间阵型较好。

取混噪比大于6 dB的混响信号分析，图 7给出混响水平纵相关的实验数据处理结果，表现出稳定的亮暗相间的条纹。在波长的整数倍的阵元间距出现较强的正相关，而在半波长的奇数倍间距则出现较强的负相关，在λ/4的奇数倍间距则出现0相关。这与数值仿真结果一致。

图 8给出更直观的相关系数量值。两者在相关周期上一致，并且第3λ/2内，实验数据和数值仿真符合的较好，但是随着阵元间距的增大，实验数据中的相关性减弱，体现在峰值和谷值均向0值靠近。实验数据中阵元位置误差，引入散射区域的误差，使得散射回波的声场相位比较复杂，从而导致混响的水平纵相关特性减弱。在数值仿真中没有考虑该部分误差，因此相关性在波长的正整数倍的位置的峰值和谷值只是接近于1。随着阵元间距的增大，这种误差越来越明显，相关特性并没有预期的强，但整体会有明显的周期性，并且阵元水平距离在λ/4的奇数倍时，实验数据也体现出混响几乎没有相关性。

4 结论

1) 在浅海水平均匀波导环境中，建立的浅海混响水平纵相关的数值模型受波导的格林函数严格约束，更有利于对混响水平纵相关特性的物理分析。

2) 归一化模型可以消除海底粗糙界面或者海底沉积层体积不均匀性的影响，海底反射系数参数代替地声参数描述模型，减少模型参数，使模型更简单。

3) 数值仿真和海上实验均表明，本地混响水平纵相关存在比较稳定的相关特性，在时空域上存在明显的亮暗相间的稳定结构。利用阵元间距在四分之一波长的奇数倍时相关性最弱的特性能够通过阵元相关或波束形成很好的抑制混响。