地震时交通生命线工程的可靠性对灾后救援意义非常重大。历次地震灾害表明，桥梁是公路交通系统中容易受到地震损伤的环节^[1-2]，桥梁已成为影响交通生命线工程可靠性的关键因素。同时，一些早期桥梁设计时根本没有考虑抗震设计，桥梁抗震性能不足会增加地震带来的经济损失^[3]。

因此，有必要对路网桥梁进行震前的抗震加固，以提高路网在地震中的可靠性。路网桥梁抗震加固有不同的加固优化目标。一是以连通度为优化目标，如Bocchini等^[4]研究桥梁抗震加固对交通网络总体连通性的影响。连通度计算较为简便，反应了路网的拓扑结构特性，但忽略了路网的功能特性。二是以交通网络功能特性为优化目标，如Shinozuka等^[5]评估桥梁抗震加固产生的震后行车延误及伴随机会成本变化；Chang等^[6]提出加固桥梁以获得最大网络疏散交通流；Zhang等^[7]以所有OD(出发点origin和到达点destination)之间的总行驶时间作为加固优化目标。以路网功能特性做优化目标目的明确，可以保证路网的一些特性满足决策者的要求。三是以经济特性为优化目标，如Dong等^[8-9]将地震导致的社会损失，如行车延误、环境污染以经济损失形式衡量。经济特性为优化目标可以很好地解决多目标优化问题，保证决策的经济效益最大化，但该方法需要获取较多的数据，在地区路网抗震加固研究中存在困难。

在实际情况中，用于桥梁加固的资源是有限的。根据美国基础设施报告^[10]，用于桥梁和道路所需的投资存在约60%的缺口。考虑桥梁加固带来的效益时，还需要同时考虑相关的经济投入。在资金有限的情况下，需要制定桥梁加固策略，优先选择最需要的桥梁进行抗震加固。目前研究选择策略优先级的方法主要有2类：1)以一定的参考指标作为加固优先级，如Rokneddin等^[11]依据Google的PageRank分级法，提出综合考虑桥梁易损性和交通网络拓扑关系的桥梁重要性分级法；Yousefi等^[12]运用TOPSIS法对多种重要性评价指标进行权重分类，依据重要性排序选择桥梁加固优先级。以参考指标作为加固优先级运算量小，指标的选择非常关键，关系到优化结果是否最符合设定的优化目标。2)采用启发式算法求解加固优先级，如Bocchini等^[13]采用遗传算法计算桥梁加固的最优选择；Zio等^[14]采用遗传算法计算选择一条边至多条边时网络边的重要性组合；杨兆升^[15]提出一种粒子群优化算法研究城市路网应急救援路径选择方法。采用启发式算法运算量大，但是可以确保优化结果能最优地符合优化目标。

紧急疏散是地区面对突发事件时降低损失的有效手段^[16-17]。地震发生后，一些地震受灾点缺乏医疗、生存物资，同时可能伴随山体滑坡、泥石流等次生灾害风险，灾区群众需要紧急疏散到安全区域，这时的路网疏散能力尤为关键。本文以路网疏散能力为优化目标，以最小疏散总时间作为路网疏散能力的评价指标，提出确定路网中桥梁加固优先级的加固重要程度指标，研究路网桥梁抗震加固对地震灾区疏散能力的影响。本文首先介绍最小疏散总时间估计方法，然后结合路网桥梁加固案例，分析不同路网桥梁抗震加固策略对地震灾区快速疏散能力的影响。

1 最小疏散总时间估计方法

本文方法流程图如图 1所示。分别考虑震前路网、震后路网、经抗震加固后的路网震后最小疏散总时间，对比桥梁抗震加固对生命线系统疏散能力以及相关的经济投入的影响。

1.1 震后桥梁通行能力

桥梁结构的地震响应超过某一损伤极限状态的概率为^[18]：

$ P\left(\mathrm{DS} \geqslant \mathrm{DS}_{i} \mid \mathrm{IM}\right)=\varPhi\left(\frac{\ln (\mathrm{IM})-\ln \left(m_{\mathrm{DS}_{i}}\right)}{\zeta_{\mathrm{DS}_{i}}}\right) $

(1)

式中：DS_i代表损伤状态(i=1, 2, 3, 4)，DS₁、DS₂、DS₃、DS₄分别代表轻微损伤、中等损伤、严重损伤和完全损伤状态；P(DS≥DS_i|IM)表示桥梁在地震动强度为IM时损伤状态大于DS_i的概率；Φ(·)为标准累积正态分布函数；m_DSi和ζ_DSi分别为DS_i下易损性的均值和对数标准差。

桥梁结构的地震响应处于无损伤状态的概率为：

$ P\left(\mathrm{DS}_{0} \mid \mathrm{IM}\right)=1-P\left(\mathrm{DS} \geqslant \mathrm{DS}_{1} \mid \mathrm{IM}\right) $

(2)

式中DS₀代表无损伤状态。

依据灾害损失评估系统HAZUS-MH技术手册，震后桥梁功能恢复情况如表 1所示^[19]。桥梁在损伤状态为DS_i、恢复期为t时的功能以桥梁剩余功能占原有功能的百分比R(DS_i, t)表示，本文定义在恢复期为t时桥梁的震后通行能力比值为其期望值：

$ R(t)=\sum\limits_{i=0}^{4} R\left(\mathrm{DS}_{i}, t\right) P\left(\mathrm{DS}_{i} \mid \mathrm{IM}\right) $

(3)

桥梁进过抗震加固后，会得到不同的易损性均值和对数标准差参数，依据这些参数，由式(1)~(3)可以计算得到抗震加固后恢复期为t时桥梁震后通行能力比值R′(t)。

1.2 路网交通容量

在地震发生后路网受到桥梁损伤的影响，通行能力将会降低，继而使道路交通容量减少，人员及车辆的疏散时间增加。震后交通容量与恢复期t相关。

将路网定义为一组节点和一组边的集合，其中节点表示城镇、道路交叉点或桥梁，边表示连接节点的道路。如果节点i与节点j相连，则用节点对(i, j)表示连接节点i与节点j的道路。

R_i(t)表示节点i在恢复期t时的震后通行能力比值，如果节点i为桥梁，R_i(t)可由1.1节计算得到，如果节点i不为桥梁，本文不考虑其发生损坏，R_i(t)=1。u_ij表示道路(i, j)的交通容量，震后恢复期为t时道路(i, j)的交通容量变为：

$ \hat{u}_{i j}(t)=\min \left(u_{i j} \cdot R_{i}(t), u_{i j} \cdot R_{j}(t)\right), \forall(i, j) \in A $

(4)

以R′_i(t)表示经抗震加固后路网节点i在恢复期t时的震后通行能力比值，由式(4)可得经加固后震后道路交通容量û′_ij(t)。

1.3 最小疏散总时间

路网交通容量低、交通流大容易造成交通堵塞，导致疏散时间增加，以灾区车辆往安全区疏散的总时间作为目标函数：

$ \min Z=\sum\limits_{(i, j) \in A} x_{i j} t_{i j}\left(x_{i j}\right) $

(5)

$ t_{i j}\left(x_{i j}\right)=t_{i j 0} \cdot\left(1+\alpha\left(\frac{x_{i j}}{u_{i j}}\right)^{\beta}\right) $

(6)

约束条件：

$ 0 \leqslant x_{i j}, \quad \forall(i, j) \in A $

(7)

$ \sum\limits_{\{j:(i, j) \in A\}} x_{i j}-\sum\limits_{\{j:(i, j) \in A\}} x_{j i}=o_{i}, \forall i \in N_{O} $

(8)

$ \sum\limits_{\{j:(i, j) \in A\}} x_{i j}-\sum\limits_{\{j:(i, j) \in A\}} x_{j i}=-d_{i}, \forall i \in N_{D} $

(9)

$ \begin{array}{c} \sum\limits_{\{j:(i, j) \in A\}} x_{i j}-\sum\limits_{\{ j:(i, j) \in A\}} x_{j i}=0 \\ \forall i \in N \backslash\left(N_{O} \cup N_{D}\right) \end{array} $

(10)

式中：Z表示疏散总时间；x_ij表示道路(i, j)上从节点i到j的交通流量；t_ij(x_ij)表示交通流量为x_ij时道路(i, j)的汽车行驶时间；t_ij0表示道路(i, j)自由行驶时间；o_i表示疏散点可产生的交通流；N_O表示疏散点；d_i表示安全点能接受的交通流；N_D表示安全点。

式(6)汽车行驶时间采用美国联邦公路局路阻函数，α、β为模型参数，可按照建议值分别取值为0.15、4；式(7)约束交通流量不小于0；式(8)~(10)为各节点的流量约束。

式(5)计算震前路网最小疏散总时间Z；将式(5)、(6)中的u_ij以û_ij(t)代替，再进行式(5)的计算可得到震后路网恢复期为t时的最小疏散总时间Z(t)；同样，将u_ij以û′_ij(t)代替，可得经抗震加固后的路网震后恢复期为t时的最小疏散总时间Z′(t)。

1.4 加固策略

桥梁抗震加固除了考虑加固带来的社会影响，也需要考虑加固相关的经济投入。

疏散时间与交通饱和度相关，交通饱和度s_ij反映了道路(i, j)的拥挤程度：

$ s_{i j}=x_{i j} / \hat{u}_{i j}(t) $

(11)

疏散时间也与道路长度相关，结合式(6)中的路阻函数，本文提出抗震加固重要程度指标：

$ e_{i j}=l_{i j} \cdot\left(s_{i j}\right)^{\beta} $

(12)

式中：e_ij为道路(i, j) 加固重要程度指标；l_ij为道路(i, j)长度；β同式(6)。道路加固重要程度高的桥梁应当予以优先加固，依据加固重要程度指标进行优先级排列，制定桥梁加固策略y，其中，以y_i代表抗震加固选择，y_i=0表示桥梁i不进行加固，y_i=1表示对桥梁i进行加固。

在策略y下桥梁抗震加固投资计算公式为：

$ I=c_{i} y_{i} $

(13)

式中：I为总投资金额；c_i为桥梁i加固费用。

2 路网桥梁加固案例

本文使用某地区的交通网络模型进行案例研究，交通网络如图 2所示。该网络包含38座桥梁和7个城镇。桥梁在图中以字母“B”表示。T1~T3这3个镇储备了救灾物资，并且救援条件相对完善，是地震的安全点，S1~S4这4个镇为地震受灾点，储备救灾物资不足、存在次生灾害风险，群众需要疏散至T1~T3这3个镇。V1~V4为道路交叉点。该区域为地震设防烈度为9度，假设该区域地震峰值加速度PGA为0.4 g，未来可以通过跟区域地震动模拟方法有机结合进一步提高方法的准确性和实用性。

分析中考虑4种不同的桥梁类型，包括连续混凝土梁桥、简支混凝土梁桥、连续钢梁桥和简支钢梁桥，表 2中列出了B1~B38桥梁的类型。桥梁易损性以PGA作为地震动强度指标，有关桥梁易损性参数，参见参考文献[20]。

为了降低问题的复杂性，本文选择弹性隔震支座作为桥梁抗震加固措施，将来可以进一步考虑使用不同类型的加固措施。通过引入易损性均值调整系数以考虑抗震加固措施的作用，表 3中列出了调整系数^[21]。将桥梁各损伤状态下的易损性均值乘以调整系数即可得到抗震加固后桥梁在各损伤状态下的易损性均值。

根据文献[20]，弹性隔震支座的抗震加固费用是桥梁重建成本的5%，对于4种类型的桥梁，连续混凝土梁桥、简支混凝土梁桥、连续钢梁桥和简支钢梁桥的重建成本分别为43.8、28.6、70.0、40.6万美元，对应加固成本分别为2.19、1.43、3.50、2.03万美元。

路网中道路容量均为1 200 Pcu/h，道路设计时速为60 km/h，路段自由行驶时间按照路段长度除以设计时速计算。

S1~S4镇可产生的最大流分别为900、850、850、900 Pcu/h，T1~T3镇可接收的最大流分别为-1 200、-1 200、-1 100 Pcu/h，正数表示流出，负数表示流入。

3 分析和讨论

采用LINGO软件求解最小疏散总时间，在震前，路网的最小疏散总时间为1 071.7 h，在震后恢复期t为1 d时，未进行桥梁抗震加固下路网疏散总时间为1 413.2 h，疏散总时间增加31.9%。

考虑对桥梁进行抗震加固，图 3绘制了震后恢复期t为1 d时各路段抗震加固重要程度指标，为无量纲数值。图中非桥梁节点之间的路径共有18条，如路径S1~V1、路径V1~T1，以路径作为抗震加固的选择单元，将这些路径上的重要程度指标相加，按照路径重要程度指标之和进行路径重要性排序，如表 4所示，并制定加固策略及计算相应经济投入，如表 5所示。

总共分为10种加固策略，策略1不选择桥梁进行加固，之后各策略所选加固桥梁数目递增，策略10不受资金限制，选择所有桥梁进行加固，分别计算每种加固策略下的路网最小疏散总时间与经济投入，得到如图 4所示关系，图中数字为加固策略编号。

从图 4可以看出，桥梁抗震加固有助于提升生命线系统的疏散能力。无论采用哪种加固策略，随着路网投资的增加，路网系统的最小疏散总时间呈下降趋势。当选择所有桥梁进行抗震加固时，因桥梁破坏造成的疏散总时间增加由不加固下的31.9%降低至15.8%。在本文提出的加固策略下，随着投资的增加，路网系统最小疏散总时间的下降速度逐渐减慢，线段接近平滑，其中略有小幅波动，这是因为本文依据路径选择桥梁进行加固，同一路径上的桥梁加固重要程度可能不同，考虑的是其组合重要性。

当投资额度超过策略9的金额时，最小疏散总时间仅有少量的降低。图 5(a)、(b)分别绘出了策略1、策略9下的道路交通饱和度，为无量纲数值。

图 5(a)可以看到震后路网交通饱和度大，最大达到1.56，该路段行驶时间比自由行驶时间增加88.8%，极大地增加了疏散时间。经过策略9下的桥梁抗震加固后，图 5(b)可见路网交通饱和度有了明显降低，同样路段的交通饱和度1.32，比自由行驶时间增加45.5%。策略9选择加固的路径饱和度较大，未选择部分的路径交通饱和度不超过0.5，在交通饱和度较低时，饱和度的变化对行驶时间的影响较小，因此加固剩余桥梁对路网疏散总时间的影响有限。此时，对于决策者来说，为获得更高的系统疏散能力，可考虑在拥堵的路径上进一步采用其他抗震加固措施。

4 结论

1) 本文提出的资金有限情况下桥梁抗震加固策略可以有效地降低路网最小疏散总时间，验证了本文提出的研究方法可行性。

2) 桥梁抗震加固有助于提升生命线系统的疏散能力。随着路网投资的增加，路网系统的最小疏散总时间呈下降趋势。

3) 在本文提出的加固策略下，随着投资的增加，路网系统最小疏散总时间的下降速度逐渐减慢。

4) 当投资额超过一定数量时，加固剩余桥梁对路网疏散总时间的影响有限。