螺旋桨主要工作在船舶尾部，当螺旋桨在船后运行时，船舶航行时产生的不均匀流场会在船后桨上产生强烈的空化。空化在船后桨表面的不断产生和溃灭，会对船后桨产生极大的危害，不仅会引起船后桨的振动和噪声还会对桨叶产生侵蚀现象，损坏桨叶。

对于船后桨的空化进行研究仍然是目前的前沿课题，而目前应用数值模拟方法研究螺旋桨的空化特性已经非常成熟，国内外学者也进行了深入研究。

Rhee等^[1]使用非结构化网格研究了船用螺旋桨的空化性能。Shin等^[2]对位于船后的常规螺旋桨和高侧斜螺旋桨的空化性能进行了数值模拟。刘登成等^[3]基于不可压缩的RANS方程，使用Singal完整空化模型研究了敞水螺旋桨的空化性能。鞠磊^[4]等采用RANS方法分别计算了螺旋桨和船后螺旋桨的空化性能，计算结果较好。郑巢生^[5]采用OpenFOAM软件建立了船后螺旋桨空化的数值预报方法，并和试验值进行了比较分析。

到目前为止，研究人员采用了多种方法改善船后桨的空化。而导管螺旋桨作为一种特种推进器，由于桨外导管的存在，其相比于普通螺旋桨的空化有较大的改善。许多国内外学者都对导管桨进行了广泛的研究。Sanchez-Caja等^[6]采用CFD方法计算了在粘流中导管桨的性能。Gaggero等^[7]则采用雷诺平均模型(RANS)方法分别对导管桨的梢涡空化及尺度效应等进行了数值预报。胡健等^[8]利用面元法分析了模型导管桨的各种性能，并进一步研究了导管的大小、形状、位置等因素的改变对导管桨推力和扭矩的影响。张弘等^[9]采用STAR-CCM+软件对不同参数的不同导管桨进行了数值模拟，并分析了不同参数的改变对导管桨性能的改变。黄建伟等^[10]采用STAR-CD软件对导管桨内流场进行计算研究，并将数值模拟方法得到的水动力性能曲线和实际值进行了对比，计算结果吻合良好。

但是，传统导管桨的导管对螺旋桨的空化性能的改善有限。而在导管螺旋桨的导管基础上，本研究设计了一种不对称导管，并将其应用于船后螺旋桨，其可以改善船艉伴流，从而有效改善船后桨的空化。本文首先利用STAR-CCM+软件中的Schnerr-Sauer空化模型对E779A桨在敞水中的空化性能开展数值研究，验证Schnerr-Sauer空化模型的可行性。并对船-桨一体化模型和船-桨-不对称导管一体化模型的空化展开研究。通过对比分析研究不对称导管对船后桨空化性能的影响。

1 数学模型和计算条件 1.1 数学模型

本研究使用SST k-ω湍流模型。SST k-ω湍流模型结合了标准k-ω模型与k-ε模型的优点。该模型的k和ω运输方程分别为^[11]：

$ \frac{\partial k}{\partial t}+\bar{u}_{j} \frac{\partial k}{\partial x_{j}}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\left(\nu+\sigma_{k} \nu_{t}\right) \frac{\partial k}{\partial x_{j}}\right]+P_{k}-\beta^{*} k \omega $

(1)

$ \begin{aligned} \frac{\partial \omega}{\partial t}+\bar{u}_{j} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}=& \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\left(\nu+\sigma_{\omega} \nu_{t}\right) \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}\right]+\alpha S^{2}-\beta \omega^{2}+\\ & 2\left(1-F_{1}\right) \sigma_{\omega 2} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_{j}} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}} \end{aligned} $

(2)

湍流粘性系数：

$ \nu_{t}=\frac{\alpha_{1} k}{\max \left(\alpha_{1} \omega, S F_{2}\right)} $

其中：

$ \sigma_{k}=\frac{1}{F_{1} / \sigma_{k 1}+\left(1-F_{1}\right) / \sigma_{k 2}} $

$ \sigma_{\omega}=\frac{1}{F_{1} / \sigma_{\omega 1}+\left(1-F_{1}\right) / \sigma_{\omega 2}} $

其中，混合函数F₁和F₂有：

$ F_{1}=\tanh \varPhi_{1}^{4} $

(3)

其中：

$ \begin{gathered} \varPhi_{1}=\min \left[\max \left(\frac{\sqrt{k}}{\beta^{*} \omega y}, \frac{500 \nu}{y^{2} \omega}\right), \frac{4 \rho \sigma_{\omega 2} k}{C D_{k \omega} y^{2}}\right] \\ C D_{k \omega}=\max \left(2 \sigma_{\omega 2} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_{j}} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}, 10^{-10}\right) \\ F_{2}=\tanh \varPhi_{2}^{2} \\ \varPhi_{2}=\max \left(\frac{2 \sqrt{k}}{\beta^{*} \omega y}, \frac{500 \nu}{y^{2} \omega}\right) \\ P_{k}=\min \left[\mu_{t} \frac{\partial \overline{u_{i}}}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial \overline{u_{j}}}{\partial x_{i}}\right), 10 \beta^{*} \rho k \omega\right] \end{gathered} $

(4)

式中：$S = \sqrt {2{\mathit{\boldsymbol{S}}_{ij}}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{ij}}} $，其中S_ij为应变率张量；其余常数为：$\alpha_{1}=\frac{5}{9}, \alpha_{2}=0.44, \beta_{1}=\frac{3}{40}, \beta_{2}=0.082\;8$，$\beta^{*}=\frac{9}{100}, \sigma_{k 1}=0.88, \sigma_{k 2}=1, \sigma_{\omega 1}=\sigma_{\omega 2}=0.5$。

本节采用Schneer-Sauer空化模型对船后桨空化展开研究。Schnerr-Sauer空化模型是建立在Rayleigh-Plesset方程的基础上的：

$ \frac{P_{b}-P_{\infty}}{\rho_{L}}=r_{b} \frac{\mathrm{d}^{2} r_{b}}{\mathrm{~d} t^{2}}+\frac{3}{2}\left(\frac{\mathrm{d} r_{b}}{\mathrm{~d} t}\right)^{2}+\frac{4 v_{l}}{r_{b}} \frac{\mathrm{d} r_{b}}{\mathrm{~d} t}+\frac{2 S}{\rho_{L} r_{b}} $

(5)

式中：P_b为空泡内部的压力；P_∞为流场中的特征压力；ρ_L为液相的密度；r_b为空泡的半径；ν_l为空泡周围流场的运动粘度系数；S为流体的表面张力。

Schneer-Sauer^[12]以Rayleigh plesset方程为基础，导出了汽相体积分数α和密度之间的关系：

$ \frac{\partial}{\partial t}\left(\alpha \rho_{v}\right)+\nabla \cdot\left(\alpha \rho_{v} \boldsymbol{V}\right)=\frac{\rho_{v} \rho_{l}}{\rho_{m}} \frac{D \alpha}{D t} $

(6)

那么净质量流率相如下：

$ R=\frac{\rho_{v} \rho_{l}}{\rho_{m}} \frac{D \alpha}{D t} $

(7)

Schncrr-Sauer空化模型中的汽相体积分数α和单位体积气核数量n_b的关系为：

$ \alpha=n_{b} \frac{4}{3} {\rm{ \mathsf{ π} }} r_{b}^{3} /\left(1+n_{b} \frac{4}{3} {\rm{ \mathsf{ π} }} r_{b}^{3}\right) $

(8)

式中空泡半径r_b为：

$ r_{b}=\left(\frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{3}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}} \frac{1}{n}\right)^{1 / 3} $

最后得到的Schnerr-Sauer空化模型的公式为：

$ \left\{\begin{array}{l} S_{E}=\frac{\rho_{v} \rho_{l}}{\rho_{m}} \alpha(1-\alpha) \frac{3}{r_{b}} \sqrt{\frac{2}{3} \frac{P_{v}-P}{\rho_{l}}},\\ S_{C}=0 \end{array}\right. P_{v} \geqslant P $

(9)

$ \left\{\begin{array}{l} S_{E}=0 \\ S_{C}=\frac{\rho_{v} \rho_{l}}{\rho_{m}} \alpha(1-\alpha) \frac{3}{r_{b}} \sqrt{\frac{2}{3} \frac{P-P_{v}}{\rho_{l}}} , \end{array}\right.P_{v} \geqslant P $

(10)

1.2 计算条件

本文使用KCS船和KP505桨，以及由KCS船后伴流所设计的不对称导管。KCS船的垂线间长为7.278 6 m，型宽1.019 0 m，吃水0.341 8 m，湿表面积9.438 m²，方形系数0.65，设计雷诺数1.4×10⁷，傅汝德数0.26，建立模型时采用的缩尺比为31.599。计算用KP505桨模型直径0.25 m，盘面比0.7，0.7R处螺距比为1，毂径比0.167，侧倾角12.658 75°，叶数为5叶。图 1分别给出了KCS船、KP505桨和不对称导管的三维模型。

图 2给出了船-桨-不对称导管一体化计算模型，其和船-桨一体化模型相比，在船后桨外围加装了不对称导管。船-桨-不对称导管一体化模型的计算域分布如图 3所示。计算域由2个部分组成：一个是包含船后桨的圆柱状旋转区域；一个是包含船体和不对称导管的静止区域。其中，船体的作用是提供桨周围的非均匀流场，船与桨之间的匹配问题在本文中不予考虑。

进行网格划分时，需要对船、桨、不对称导管的网格进行单独划分。船体网格相对大小设置为0.015 m，最小网格为0.003 75 m；旋转域的网格大小设置为0.000 4 m，船后桨的网格相对尺寸则设为0.000 8 m，最小尺寸为0.000 4 m，交界面的网格尺寸为0.000 2 m。不对称导管的网格相对尺寸设为0.004 m，最小尺寸为0.002 m。为了对流体边界层进行计算，在船后桨周围生成20层棱柱层网格，棱柱层厚度为0.002 5 m。网格划分时船体处Y⁺取200，船后桨及不对称导管Y⁺设为20。图 4中为船后桨单一桨叶叶背和交界面上的网格。经过自动生成网格，得到的网格总数为700万左右。

2 螺旋桨的空化性能研究

在进行船后桨空化的研究之前，首先对螺旋桨在敞水中的空化进行研究，以验证本研究所选的Schnerr-Sauer空化模型的准确性。本节中所使用的螺旋桨为E779A桨，其几何图形如图 5所示。

2.1 计算条件

本研究的计算域划分为包含螺旋桨的圆柱形旋转域和圆柱形静止域，2个域之间通过交界面相接。计算域的划分如图 6所示。

在进行网格划分时。静止域的网格大小设置为0.01 m，旋转域的网格尺寸为0.005 m。在旋转域和静止域之间设置加密区，其网格大小为0.007 5 m。本研究为减小计算误差，2个域之间相接触的交界面网格尺寸设置一致。在划分螺旋桨的网格时，将Y⁺值设为10，第1层棱柱层的厚度为0.000 056 1 m，因此在螺旋桨周围生成15层棱柱层，厚度为0.001 m。最后得到的总网格数为250万，其中旋转域网格为150万，静止域网格为100万，具体网格划分如图 7所示。

2.2 计算结果

为得到最合适的网格，对船-桨一体的计算模型的网格收敛性进行分析。本研究分别对360万网格、700万网格和1 000万网格的螺旋桨模型进行了数值模拟，所得到的桨旋转一个周期内的推力脉动曲线对比如图 8所示。通过对比分析可知，360万网格的推力曲线和其他2种情况有明显差距，700万网格的推力曲线虽然与1 000万网格的推力曲线仍有差距，但相差已经不大。为了在确保精度的情况下，适当减小计算时间，本研究采用700万总网格数作为最终的网格。

采用Schnerr-Sauer空化模型对敞水中的E779A桨的空化性能开展数值研究。根据已有经验，螺旋桨的转速为20 r/s，来流速度V_A由进速系数J来决定，本节采用的3个计算工况为：1)进速系数J=0.71，空化数σ=1.515；2)进速系数J=0.77，空化数σ=1.783；3)进速系数J=0.83，空化数σ=2.016。进速系数的定义为：

$ J=\frac{V_{A}}{n D} $

(11)

进行螺旋桨空化的数值模拟时，保持螺旋桨的进速及转速不变，通过改变环境压力来改变空化数，其中空化数的定义为：

$ \sigma=\frac{p_{\infty}-p_{v}}{0.5 \rho(n D)^{2}} $

(12)

式中：n为E779A桨的转速; D为E779A桨的直径; ρ为水的密度，本节中为997.561 kg/m³; p_v为饱和蒸汽压力，本节中设为2 350 Pa。气核直径和气核数量使用默认值，分别为1.0×10^-6 m和1.0×10¹² m³。

经过计算，首先得到了有空化时3种给定工况下的推力和扭矩值。表 1给出了3种工况下的推力系数K_T与扭矩系数10K_Q和试验值^[15]的对比，而图 9为计算后的K_T和10K_Q和试验结果的对比曲线。从表 1可以看出，有空化时，除在J=0.83时推力系数计算值和试验值的误差为6.8%外，其余工况下的推力系数K_T和扭矩系数10K_Q的误差都小于5%。可见有空化时，螺旋桨的性能并没有发生较大改变。而且，通过研究表 1和图 9可得，随着进速系数的增大，有空化时，螺旋桨的K_T和K_Q的误差都逐渐增大。即进速越大，螺旋桨的水动力性能受到的影响越大。其中，K_T、K_Q的定义分别为：

$ K_{T}=\frac{T}{\rho n^{2} D^{4}}, K_{Q}=\frac{Q}{\rho n^{2} D^{5}} $

(13)

图 10给出了进速系数J=0.77，空化数σ=1.783时的螺旋桨空化图，从图中可以看出螺旋桨各个桨叶上的空化面积基本相同。图 11给出了3种工况下E779A桨某一桨叶上的空化云图和试验结果^[16]的对比。从图 11可以看出，桨叶空化主要发生在螺旋桨的叶背叶梢区域，且偏向导边。通过和E779A试验空化的对比能够得到，在3种工况下，螺旋桨桨叶表面片空化的形态基本保持不变，误差较小。且随着空化数和进速系数的增大，空化体积也逐渐减小，桨叶表面空化面积也随之减小。试验结果中，螺旋桨除产生片状空化外，还产生了梢涡空化，但在数值模拟结果中并未出现梢涡空化，仅仅在空化末端产生一小部分的梢涡空化，即只产生了梢涡空化的开端。但总体看来，本研究所采用的湍流模型和空化模型以及螺旋桨空化的求解方法是可行的。

3 计算结果与分析

在前文基础上使用STAR CCM+软件中的空化模型对进速系数J=0.7的4种空化数的工况下的船-桨一体化模型的船后桨空化进行了数值模拟。4种工况的空化数分别为：1.71、1.47、1.22、0.98。在本研究中，进速为2.196 m/s，转速为12.55 r/s。其饱和蒸汽压力为2 238 Pa。

图 12给出了空化数为1.71时的船后桨的空化面积云图，图中以水蒸气的体积分数来表示空化面积。从前文中可以得出，敞水中螺旋桨发生空化时，螺旋桨桨叶旋转一周的空化面积基本一致。而从图 12可以看出，由于船艉复杂的伴流影响，船后桨旋转一周内，各个桨叶的空化面积都完全不一样。本研究所使用的螺旋桨为5叶桨，其顶部右侧桨叶的空化面积最大，且沿螺旋桨旋转方向的桨叶空化面积逐渐减小，随后再增大。

随后对船-桨-不对称导管一体化模型的船后桨的空化性能开展了计算并进行对比分析。图 13给出了σ为1.71、1.47、1.22、0.98的4种工况下，有无不对称导管的船后桨的推力对比。从图中可以得出，有空化时，2种情况下的船后桨在不同空化数下的推力不同。随着σ的减小，2种情况下的推力曲线都是先增大或减小的。但其推力的变化较小，其中无导管的船后桨推力的最大值与最小值的差距2.485%，有导管的船后桨推力的最大值与最小值的差距为2.49%，说明在此种程度的空化下，空化对推力的影响较小。而且，有无不对称导管的船后桨的推力有较大差距。

图 14给出了空化数为1.71、1.47、1.22、0.98的4种工况下，有无不对称导管的船后桨的空化面积云图。

从图 14中可以看出，有无不对称导管时，当进速系数不变，随着空化数的减小，船后桨叶背表面的空化面积逐渐增大。而且，船后桨叶背空化的增加是从导边向随边方向和从叶梢向叶根方向同时进行的，且导边附近的空化面积比随边附近的空化面积要大。当空化数较大(σ=1.71，1.47)时，在船后桨上半部分的桨叶叶梢处出现了较小面积的无空化区。通过对相同空化数下的有无不对称导管的船后桨的空化图进行对比可以看出，总的来说加装此种不对称导管的船后桨桨叶上的空化面积比不加不对称导管的空化面积要稍微有所增加。

从图 14可得，由于加装不对称导管后螺旋桨的推力有较大增加，船后桨桨叶上的空化面积也有所增加，且4种工况下的船后桨空化的对比相差较小，不易观察。为了更准确地对不对称导管对船后桨空化的影响进行评估，本研究将桨叶上的空化面积除以推力，得到单位推力上的空化面积，并绘制不同空化数下的船后桨单位推力空化面积的对比曲线，如图 15所示。从图 15可知，随着σ的减小，无论有无不对称导管，船后桨的空化面积都是逐渐增大的，这一趋势与图 14中呈现的现象相对应。而且通过对比分析能够得到，加装不对称导管后，虽然船后桨的空化面积有所增加，但船后桨的单位推力空化面积比不加时有所减小。说明加装此种不对称导管可以改善船后桨的空化性能。

为更加精细地研究不对称导管对船后桨的空化性能的影响，本研究对比分析了船后桨旋转过程中单桨叶上的单位推力空化面积的变化。图 16给出了空化数为1.22和1.71这2种工况下，有无不对称导管的船后桨旋转过程中单桨叶上单位推力空化面积的变化对比曲线。从中可以看出，当σ=1.22时，加装不对称导管的船后桨的单桨叶上的单位推力空化面积的最大值小于不加不对称导管的最大值；最小值大于不加时的最小值。即加装不对称导管后，船后桨旋转过程中桨叶上的单位推力空化面积的变化减小，桨叶空化分布更加均匀；当σ=1.71时，加装不对称导管的船后桨的单桨叶上的单位推力空化面积的最大值基本等于不加不对称导管的最大值；最小值依然大于不加时的最小值，从图中仍可以看出加装不对称导管后，船后桨旋转过程中桨叶上的单位推力空化面积变化也有所减小。综合分析可得，加装此种不对称导管可以使船后桨上的空化分布更加均匀。

4 结论

1) 船后桨旋转一周内，各个桨叶的空化面积都不相同；随着空化数的减小，有无不对称导管的船后桨空化都逐渐增大；

2) 加装此不对称导管后，船后桨的空化面积也有所增大，但船后桨的单位推力空化面积有所减小，桨的空化性能得到较大改善；

3) 船后桨旋转过程中单桨叶上的单位推力空化面积的变化较不加不对称导管时要小，说明此不对称导管能够使船后桨的空化更加均匀。