挖掘机自动控制一直是工程领域研究的热点。文献[1-4]采用滑模变结构或其与模糊逻辑、自适应理论的结合，调节挖掘机输入转矩，使关节转角跟踪规划值，仿真结果证明了算法有效性。挖掘机工作装置由单活塞杆液压缸驱动，相较于电机驱动的机械臂，由于液压缸系统的非线性，采用关节转矩作为输入，控制不直接且控制精度低，使关节转角实际轨迹与规划轨迹存在很大误差，进而使铲斗斗尖在工作空间不能有效跟踪规划路径。为此，文献[5]分析了某机械臂系统液压伺服驱动空间与关节空间关系，以关节转矩为纽带，建立输入伺服电流与输出关节转角间的数学模型，从而将控制器设计转移到伺服驱动空间。

针对液压伺服系统的控制，阻抗滑模控制^[6]、高阶滑模控制^[7]、非连续投射^[8-9]、及其与滑模控制的结合^[10]、反馈线性化滑模控制^[11-13], 被广泛应用并取得较好的仿真试验效果。然而上述控制方式需要采集活塞杆位移、速度或加速度，以及液压缸两腔压力信号，增加了控制成本。为降低传感器使用数量，观测器被引入至控制器的设计，用来对状态变量或干扰进行观测^[14-19]。文献[14]基于投射法对干扰进行观测，文献[15]基于低通滤波对速度观测，文献[16]基于扩张观测器对状态变量及干扰观测，并采用反演法设计液压系统控制器。相较于上述观测器，高增益观测器能够对控制所需的所有状态信息进行有效估计，且设计更为简单，容易实现。文献[17]构造了基于高增益状态观测器的电液系统无源控制器，仿真与试验验证了控制输出活塞杆位移对目标位移信号优良的跟随性能。文献[18]设计了基于高增益观测器的积分滑模控制器，并采用奇异摄动理论证明了闭环系统的稳定性。文献[19]针对电液系统构造了基于高增益观测器的反演控制器，仿真与试验效果较好。

本文通过计算挖掘机关节空间与驱动空间的位移、速度与力之间的关系，得到控制输入伺服阀电压与关节转角之间的关系。采用基于高增益观测器的滑模控制理论，对驱动空间电液系统进行轨迹控制。并采用奇异摄动方法，将观测器状态观测误差与系统控制误差分别作为快变子系统变量与慢变子系统变量，基于李雅普诺夫函数，证明闭环系统稳定。相较于文献[18]，本文采用文献[20]中高增益观测器的设计方法，只需调节观测器带宽参数，不需整定其他增益参数，因而观测器设计更加简便；在滑模控制中，采用滑模面函数代替符号函数，消除了抖振且对闭环系统稳定性有重要作用；在液压系统中引入匹配不确定项与非匹配不确定项，通过定义新的状态变量，对非匹配不确定项补偿。仿真结果表明本文设计的基于高增益观测器的滑模控制器效果较好，且对匹配与非匹配不确定项有良好的鲁棒性。

1 挖掘机规划轨迹生成 1.1 挖掘机驱动空间与关节空间关系

图 1为挖掘机工作装置模型，采用D-H方法建立了系统坐标。

则挖掘机关节空间关节转角与驱动空间液压缸活塞杆长度之间的关系：

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\theta _2} = \arccos \left( {\frac{{l_{{O_1}C}^2 + l_{{O_1}A}^2 - l_{AC}^2}}{{2{l_{{O_1}C}}{l_{{O_1}A}}}}} \right) - \angle C{O_1}{O_2} - \angle A{O_1}{x_1}}\\ {{\theta _3} = {\rm{ \mathsf{ π} }} - \arccos \left( {\frac{{l_{{O_2}D}^2 + l_{{O_2}B}^2 - l_{BD}^2}}{{2{l_{{O_2}D}}{l_{{O_2}B}}}}} \right) - \angle {O_1}{O_2}B - \angle D{O_2}{O_3}}\\ {{\theta _4} = {\rm{ \mathsf{ π} }} - \angle G{O_3}{O_2} - \angle G{O_3}F - \angle H{O_3}F - \angle H{O_3}{O_4}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {\angle EGF = \arccos \left( {\frac{{l_{GE}^2 + l_{GF}^2 - l_{EF}^2}}{{2{l_{GE}}{l_{GF}}}}} \right)}\\ {\angle {O_3}GF = 2{\rm{ \mathsf{ π} }} - \angle EGF - \angle EG{O_2} - \angle {O_2}G{O_3}} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{l_{{O_3}F}} = \sqrt {l_{{O_3}G}^2 + l_{FG}^2 - 2{l_{{O_3}G}}{l_{FG}}\arccos \angle {O_3}GF} }\\ {\angle G{O_3}F = \arccos \left( {\frac{{l_{{O_3}G}^2 + l_{{O_3}F}^2 - l_{GF}^2}}{{2{l_{{O_3}G}}{l_{{O_3}F}}}}} \right)}\\ {\angle H{O_3}F = \arccos \left( {\frac{{l_{{O_3}H}^2 + l_{{O_3}F}^2 - l_{FH}^2}}{{2{l_{{O_3}H}}{l_{{O_3}F}}}}} \right)} \end{array} \end{array} \right. $

(1)

式中：∠CO₁O₂、∠AO₁x₁、∠O₁O₂B、∠DO₂O₃、∠GO₃O₂、∠HO₃O₄、∠EGO₂、∠O₂GO₃与杆长l_O1C、l_O1A、l_O2D、l_O2B、l_GE、l_GF、l_O3G、l_O3H、l_FG、l_FH为常量，代入本文研究对象柳工某型液压挖掘样机参数，得到关节转角与对应液压缸活塞杆长度曲线如图 2所示。

由虚功原理，关节转矩与驱动力关系表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{J} \dot{\boldsymbol{l}} \\ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{\theta}+\boldsymbol{C}(\boldsymbol{\theta}, \dot{\boldsymbol{\theta}}) \dot{\boldsymbol{\theta}}+\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\theta}) \\ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\tau} \end{array}\right. $

(2)

式中: θ=(θ₂ θ₃ θ₄)^T为关节转角向量；l=(l_AC l_BD l_EF)^T为活塞杆长度向量；τ=(τ_O1 τ_O2 τ_O3)^T为对应关节转矩向量；D(θ)为关节空间惯性矩阵；$ \boldsymbol{C}(\boldsymbol{\theta}, \dot{\boldsymbol{\theta}})$为关节空间向心力与哥氏力矩阵；G(θ) 为关节空间重力向量；J为液压缸速度雅可比矩阵且为对角矩阵；F=(F_AC F_BD F_EF)^T为活塞杆驱动力向量。J表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{J}} = {\mathop{\rm diag}\nolimits} \left( {{J_1},\quad {J_2},\quad {J_3}} \right) = }\\ {{\mathop{\rm diag}\nolimits} \left( {\frac{{{l_{AC}}}}{{{l_{{O_1}C}}{l_{{O_1}A}}\sin {\varphi _2}}},\quad \frac{{{l_{BD}}}}{{{l_{{O_2}D}}{l_{{O_2}B}}\sin {\varphi _3}}},\quad \frac{{{l_{EH}}}}{{{l_{{O_3}E}}{l_{{O_3}H}}\sin {\varphi _4}}}} \right)} \end{array} $

(3)

式中：$\varphi_{2}=\theta_{2}+\angle C O_{1} O_{2}+\angle A O_{1} x_{1}, \varphi_{3}=\theta_{3}+ \angle O_{1} O_{2} B+\angle D O_{2} O_{3}, \varphi_{2}=\theta_{4}+\angle E O_{3} O_{2}+ \angle H O_{3} O_{40} $。由式(1)，θ₄与l_EF之间机构连接关系导致雅克比矩阵J中J₃项表达复杂，在误差可控条件下，采用θ₄与l_EH的雅克比关系代替(或直接由图 2曲线函数拟合后求导得到对应各关节转角的雅克比项)。

1.2 挖掘机驱动空间轨迹规划

挖掘机不考虑回转时，其铲斗末端轨迹在基坐标系O₀x₀y₀z₀(图 1)中表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} x_{0}=a_{4} c_{234}+a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2}+a_{1} \\ z_{0}=a_{4} s_{234}+a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2} \end{array}\right. $

(4)

式中：a₁为动臂铰接点水平长度，a₂为动臂杆长，a₃为斗杆杆长，a₄为铲斗杆长，c₂₃₄=cos(θ₂+θ₃+θ₄)，s₂₃₄=sin(θ₂+θ₃+θ₄)等。以挖掘机整平作业为例，实际中要求铲斗相对设定直线轨迹以固定的切削角进行工作。如图 3所示，θ_d为固定切削角，θ_b为铲斗齿尖与销轴的连线与切削板的夹角，则铲斗位姿角φ表示为：

$ \varphi = {\theta _2} + {\theta _3} + {\theta _4} = {\theta _d} + {\theta _b} - {\rm{ \mathsf{ π} }} $

(5)

即φ为固定值。

采用速度规划曲线^[21]

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}_{0}=-0.4 t(\mathrm{m} / \mathrm{s}), \quad 0 \leqslant t \leqslant 1.5 \mathrm{~s} \\ \dot{x}_{0}=-0.6(\mathrm{m} / \mathrm{s}), \quad 1.5 \mathrm{~s}<t \leqslant 5.5 \mathrm{~s} \\ \dot{x}_{0}=-7.2+1.2 t(\mathrm{m} / \mathrm{s}), \quad 5.5 \mathrm{~s}<t \leqslant 6.0 \mathrm{~s} \end{array}\right. $

(6)

在水平作业面，以切削角θ_b=π/6进行整平作业(铲斗斗尖从机身远端移动至近端)，由几何关系式：

$ \left\{\begin{array}{l} \theta_{3} =-\arccos \left(\frac{\left(x_{0}-a_{1}-a_{4} \cos \varphi\right)^{2}}{2 a_{2} a_{3}}+\right.\\ \ \ \ \ \left.\frac{\left(z_{0}-a_{4} \sin \varphi\right)^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}}{2 a_{2} a_{3}}\right) \\ \alpha =\arctan \left(\frac{z_{0}-a_{4} \sin \varphi}{x_{0}-a_{1}-a_{4} \cos \varphi}\right) \\ \beta =\arccos \frac{\left(x_{0}-a_{1}-a_{4} \cos \varphi\right)^{2}+\left(z_{0}-a_{4} \sin \varphi\right)^{2}+a_{2}^{2}-a_{3}^{2}}{2 a_{2} \sqrt{\left(x_{0}-a_{1}-a_{4} \cos \varphi\right)^{2}+\left(z_{0}-a_{4} \sin \varphi\right)^{2}}} \\ \theta_{2} =\alpha+\beta \\ \theta_{4} =\varphi-\theta_{2}-\theta_{3} \end{array}\right. $

(7)

得到研究对象挖掘机动臂、斗杆与铲斗关节空间角度规划曲线及相应液压缸杆轨迹规划曲线，结果如图 4所示。

2 阀控非对称液压缸数学模型

根据文献[22]，对挖掘机进行电液比例改造，图 5为改造后斗杆阀控非对称液压缸结构框图。P_S与P_T分别为液压泵供油压力与回油压力，U_V为电磁阀阀芯位移，x_p=l_BD为斗杆活塞杆长度，Q_A与Q_B分别表示流入非对称缸无杆腔的流量与流出有杆腔的流量，P_A、A_A与V_A分别表示无杆腔压力，活塞面积与容积。P_B、A_B与V_B则表示有杆腔压力，活塞面积与容积。

斗杆液压缸力平衡方程为：

$ m \ddot{x}_{p}+c \dot{x}_{p}+k x_{p}+F_{B D}=P_{A} A_{A}-P_{B} A_{B} $

(8)

式中：m为活塞杆及腔内液体等效质量；c为活塞杆粘性阻尼系数；k为活塞杆刚度系数。F_BD为式(2)中对应于斗杆的驱动力分量。挖掘机在水平作业面按照规划速度整平作业，考虑自重影响不计斗尖阻力时，F_BD理论计算结果如图 6。

斗杆阀控非对称液压缸在不考虑泄露因素条件下的流量连续性方程为：

$ \left\{\begin{array}{l} Q_{A}=\frac{V_{A}}{\beta} \dot{P}_{A}+A_{A} \dot{x}_{p} \\ Q_{B}=-\frac{V_{B}}{\beta} \dot{P}_{B}+A_{B} \dot{x}_{p} \end{array}\right. $

(9)

式中：V_A=V_A0+A_Ax_p为无杆腔容积，V_B=V_B0-A_Bx_p有杆腔容积，V_A0与V_B0为各腔初始容积, β为液压油液弹性模量。阀的节流方程：

$ \left\{\begin{array}{l} Q_{A}=h_{1} U_{V} \sqrt{\Delta P_{A}}, \Delta P_{A}=\left\{\begin{array}{l} P_{S}-P_{A}, U_{V} \geqslant 0 \\ P_{A}-P_{T}, U_{V}<0 \end{array}\right. \\ Q_{B}=h_{2} U_{V} \sqrt{\Delta P_{B}}, \Delta P_{B}=\left\{\begin{array}{l} P_{B}-P_{T}, U_{V} \geqslant 0 \\ P_{S}-P_{B}, U_{V}<0 \end{array}\right. \end{array}\right. $

(10)

式中h₁与h₂为流量增益系数。根据比例伺服阀特性曲线，流量Q_A和Q_B与伺服阀输入电压V_in的关系可线性化表示为^[23]：

$ \left\{\begin{array}{l} Q_{A}=\left\{\begin{array}{ll} K V_{\mathrm{in}}, & \dot{x}_{p} \geqslant 0 \\ \gamma K V_{\mathrm{in}}, & \dot{x}_{p}<0 \end{array}\right. \\ Q_{B}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{K}{\gamma} V_{\mathrm{in}}, & \dot{x}_{p} \geqslant 0 \\ K V_{\mathrm{in}}, & \dot{x}_{p} <0 \end{array}\right. \end{array}\right. $

(11)

式中：K为流量信号增益，γ=A_A/A_B。令$ x_{1}=x_{p}, x_{2}=\dot{x}_{p}, x_{3}=P_{A} A_{A}-P_{B} A_{B}$，由式(8)、(9)、(11)，阀控斗杆液压缸系统可表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}_{1}=x_{2} \\ \dot{x}_{2}=-k_{1} x_{1}-k_{2} x_{2}+k_{3} x_{3}-T+d_{1}(t) \\ \dot{x}_{3}=-g_{1}\left(x_{1}\right) x_{2}+g_{2}\left(x_{1}\right) u+d_{2}(t) \end{array}\right. $

(12)

式中：$ k_{1}=\frac{k}{m}, k_{2}=\frac{c}{m}, k_{3}=\frac{1}{m}, T=\frac{F_{B D}}{m}, g_{1}\left(x_{1}\right)= \frac{A_{A}^{2} \beta}{V_{A 0}+A_{A} x_{1}}+\frac{A_{B}^{2} \beta}{V_{B 0}-A_{B} x_{1}}, g_{2}\left(x_{1}\right)=\frac{K \beta A_{A}}{V_{A 0}+A_{A} x_{1}}+ \frac{K \beta A_{B}}{\left(V_{B 0}-A_{B} x_{1}\right) \gamma}, d_{1}(t)$与$ d_{2}(t) $为建模误差或不确定项，$ u=\left\{\begin{array}{l} V_{\text {in }}, \dot{x}_{p} \geqslant 0 \\ \gamma V_{\text {in }}, \dot{x}_{p} <0 \end{array}\right.$。

3 基于观测器的滑模变结构控制 3.1 滑模高增益状态观测器设计

以斗杆液压缸活塞杆轨迹控制为例，挖掘机在水平作业面整平作业时，采用规划速度曲线得到的斗杆液压缸活塞杆规划轨迹如图 4(b)点划线所示。为了降低控制成本，减少传感器使用数量，仅使用位移传感器测量活塞杆实际长度，采用高增益观测器对其他控制状态变量进行观测。为对非匹配不确定项d₁(t)补偿，定义状态变量：

$ \left\{\begin{array}{l} z_{1}=x_{1} \\ z_{2}=x_{2} \\ z_{3}=-k_{1} x_{1}-k_{2} x_{2}+k_{3} x_{3}-T+d_{1}(t) \end{array}\right. $

(13)

则式(12)转换为：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{z}_{1}=z_{2} \\ \dot{z}_{2}=z_{3} \\ \dot{z}_{3}=-\left[g_{1}\left(z_{1}\right) k_{3}+k_{1}\right] z_{2}-k_{2} z_{3}+ \\ \quad g_{2}\left(z_{1}\right) k_{3} u+d(t) \end{array}\right. $

(14)

式中$d(t)=\dot{d}_{1}(t)-\dot{T}+k_{3} d_{2}(t) $。针对式(14)转换后具有匹配不确定性系统设计观测器^[20]：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{z}_{1}=\hat{z}_{2}+\frac{3}{\varepsilon}\left(y-\hat{z}_{1}\right) \\ \dot{z}_{2}=\hat{z}_{3}+\frac{3}{\varepsilon^{2}}\left(y-\hat{z}_{1}\right) \\ \dot{\hat{z}}_{3}=-\left[g_{1}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3}+k_{1}\right] \hat{z}_{2}-k_{2} \hat{z}_{3} \\ +g_{2}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3} u+\frac{1}{\varepsilon^{3}}\left(y-\hat{z}_{1}\right) \end{array}\right. $

(15)

式中：状态$ \hat{\boldsymbol{z}}=\left[\begin{array}{lll} \hat{z}_{1} & \hat{z}_{2} & \hat{z}_{3} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} $为实际状态z=[z₁ z₂ z₃]^T的观测值，y=z₁为活塞杆实际位移，ε为微小正常数。由文献[20]，$ \exists \varepsilon_{0}>0 ; \forall \varepsilon <\varepsilon_{0} ; \exists \lambda>0 ; \exists \mu_{s}>0 ; \exists M_{\varepsilon}>0 ; \forall u \in U ; \forall \hat{z}(0) \in \bf{R}^{3}$，

$ \left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat z}}(t) - \mathit{\boldsymbol{z}}(t)} \right\| \le \lambda \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}{e^{ - {\mu _\varepsilon }t}}\left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat z}}(0) - \mathit{\boldsymbol{z}}(0)} \right\| + {M_\varepsilon }\sigma $

(16)

式中σ为不确定项上界。且有$ \lim\limits _{s \rightarrow 0} \mu_{\varepsilon}=+\infty, \lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0} M_{\varepsilon}=0$及$ \lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \hat{z}-z=0 $。

3.2 滑模控制器设计

根据滑模变结构理论定义滑模面：

$ \left\{\begin{array}{l} s=a^{2} e_{1}+2 a e_{2}+e_{3} \\ \hat{s}=a^{2} \hat{e}_{1}+2 a \hat{e}_{2}+\hat{e}_{3} \end{array}\right. $

(17)

式中：s为闭环系统实际滑模面；$ \boldsymbol{e}=\left[\begin{array}{lll}e_{1} & e_{2} & e_{3}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$为轨迹状态跟踪误差且$e_{1}=y_{d}-z_{1}, e_{2}=\dot{y}_{d}-z_{2}, e_{3}= \ddot{y}_{d}-z_{3} ; y_{d} $为斗杆液压缸活塞杆规划轨迹；a为正数常量；$\hat{s}$为中间控制滑模面；$ \hat{\boldsymbol{e}}=\left[\begin{array}{lll}\hat{e}_{1} & \hat{e}_{2} & \hat{e}_{3}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \hat{e}_{1}= y_{d}-\hat{z}_{1}, \hat{e}_{2}=\dot{y}_{d}-\hat{z}_{2}, \hat{e}_{3}=\ddot{y}_{d}-\hat{z}_{3 }$。由式(16)通过选择恰当的ε，$ \varepsilon, y-\hat{z}_{1} \rightarrow 0$，则控制滑模面的微分$ \hat{s}$为：

$ \begin{array}{c} \dot{\hat{s}}=a^{2} \dot{\hat{e}}_{1}+2 a \dot{\hat{e}}_{2}+\dot{\hat{e}}_{3}=a^{2} \hat{e}_{2}+2 a \hat{e}_{3}+\dddot{y}_{d}+ \\ {\left[g_{1}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3}+k_{1}\right] \hat{z}_{2}+k_{2} \hat{z}_{3}-g_{2}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3} u} \end{array} $

(18)

设计控制输入u为：

$ \left\{ \begin{array}{l} u = {u_{eq}} + {u_{sw}}\\ {u_{eq}} = \frac{1}{{{g_2}\left( {{{\hat z}_1}} \right){k_3}}}\left( {{a^2}{{\hat e}_2} + 2a{{\hat e}_3} + {{\dddot y}_d} + } \right.\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left. {\left[ {{g_1}\left( {{{\hat z}_1}} \right){k_3} + {k_1}} \right]{{\hat z}_2} + {k_2}{{\hat z}_3}} \right)\\ {u_{sw}} = \frac{1}{{{g_2}\left( {{{\hat z}_1}} \right){k_3}}}\kappa {\mathop{\rm sign}\nolimits} (\hat s) \end{array} \right. $

(19)

式中：u_eq为$ \hat{s}$=0时的等效控制项，u_sw为满足滑模到达条件$ \hat s\dot {\hat s} \le 0$的切换项；κ为正数常量。为消除抖振，将切换项u_sw替换为^[24]：

$ u_{s w}=\frac{1}{g_{2}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3}} \kappa\hat{s} $

(20)

3.3 闭环系统稳定性

因为$ \tilde{s}=s-\hat{s}=-a^{2} \tilde{z}_{1}-2 a \tilde{z}_{2}-\tilde{z}_{3} $，且有$ \dot{\tilde{s}}=\dot{s}- \dot{\hat{s}}=\left[-a^{2} \varepsilon \quad-2 a \quad-\frac{1}{\varepsilon}\right] \varepsilon \tilde{z} $。则闭环系统滑模面微分$ {\dot s}$：

$ \begin{array}{c} \dot{s}=\dot{\tilde{s}}+\dot{\hat{s}}=\dot{\tilde{s}}+a^{2} \hat{e}_{2}+2 a \hat{e}_{3}+\dddot{y}_{d}+k_{2} \hat{z}_{3}+ \\ {\left[g_{1}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3}+k_{1}\right] \hat{z}_{2}-g_{2}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3} u=\dot{\tilde{s}}-\kappa \hat{s}=} \\ \kappa \tilde{s}+\dot{\tilde{s}}-\kappa s=-\kappa s+f(\tilde{s}) \end{array} $

(21)

式中$ f(\tilde s) = \kappa \tilde s + \dot {\tilde s}$。定义状态观测误差${\mathit{\boldsymbol{\tilde z}}} $与状态观测尺度误差η:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\tilde z}} = \mathit{\boldsymbol{z}} - \mathit{\boldsymbol{\hat z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde z}_1}}\\ {{{\tilde z}_2}}\\ {{{\tilde z}_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} - {{\hat z}_1}}\\ {{z_2} - {{\hat z}_2}}\\ {{z_3} - {{\hat z}_3}} \end{array}} \right]}\\ {\mathit{\boldsymbol{\eta }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\eta _1}}\\ {{\eta _2}}\\ {{\eta _3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}{{\tilde z}_1}}\\ {\frac{1}{\varepsilon }{{\tilde z}_2}}\\ {{{\tilde z}_3}} \end{array}} \right]} \end{array}} \right. $

(22)

则状态变量η与s可表示为奇异摄动标准形式：

$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon \dot{\boldsymbol{\eta}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{z}, \hat{\boldsymbol{z}}, u) \\ \dot{s}=-\kappa s+f(\tilde{s}) \end{array}\right. $

(23)

式中：η为快变子系统状态变量；s为慢变子系统状态变量，且

$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right], $

$ \begin{array}{c} \boldsymbol{\delta}(\eta, z, \hat{z}, u)=\left[\begin{array}{l} \delta_{1} \\ \delta_{2} \\ \delta_{3} \end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ g_{1}\left(\hat{z}_{1}\right) k_{3} \hat{z}_{2}-g_{1}\left(z_{1}\right) k_{3} z_{2}-k_{1} \varepsilon \eta_{2}+ \\ d-k_{2} \eta_{3}+\left(g_{2}\left(z_{1}\right)-g_{2}\left(\hat{z}_{1}\right)\right) k_{3} u \end{array}\right] \end{array} $

当$ \varepsilon \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{\eta} \rightarrow 0 \Rightarrow \tilde{z}_{i} \rightarrow 0, i \in[1, 2, 3] \Rightarrow f(\tilde{s}) \rightarrow 0$，式(23)变换为：

$ \dot{s}=-\kappa $

(24)

定义李雅普诺夫函数：

$ V=\frac{1}{2} s^{2} $

(25)

则有：

$ \dot{V}=s \dot{s}=-\kappa s^{2}=-2 \kappa V \leqslant 0 $

(26)

易知V指数收敛，且在有限时间内$V=0 \Rightarrow s=0 $，

$ \left[\begin{array}{c} \dot{e}_{1} \\ \dot{e}_{2} \end{array}\right]=\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a^{2} & -2 a \end{array}\right]}_{A_{e}}\left[\begin{array}{l} e_{1} \\ e_{2} \end{array}\right] $

(27)

因为A_e为Hurwitz，则跟踪误差e有限时间指数收敛。将式(23)时间尺度变换为τ=t/ε，则系统变换为：

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}+\varepsilon \boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{z}, \hat{\boldsymbol z}, u) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} s=-\varepsilon \kappa s+\varepsilon f(\tilde{s}) \end{array}\right. $

(28)

当ε→0，式(28)表示为：

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta} $

(29)

因为A是Hurwitz，存在正定矩阵P_η使得：

$ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\eta}+\boldsymbol{P}_{\eta} \boldsymbol{A}=-\boldsymbol{I} $

(30)

定义李雅普诺夫函数为：

$ V_{\eta}=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\eta} \boldsymbol{\eta} $

(31)

则其对时间尺度τ的微分：

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau} V_{\eta}=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{\eta}+\boldsymbol{P}_{\eta} A\right) \boldsymbol{\eta}=-\boldsymbol{\eta}^{T} \boldsymbol{\eta} \leqslant 0 $

(32)

$ V_{\eta} \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{\eta} \rightarrow 0 \Rightarrow \tilde{z}_{i} \rightarrow 0, i \in[1, 2, 3] \Rightarrow f(\tilde{s}) \rightarrow 0, \boldsymbol{\eta}$相较于s快变收敛，$ \dot{s}=-\kappa s \Rightarrow s \rightarrow 0$，跟踪误差$ s \rightarrow 0 \Rightarrow \boldsymbol{e} \rightarrow 0$。综上采用控制输入式(19)与(20)，闭环系统稳定，且跟踪误差有限时间收敛。实际中，ε=0并不能达到，但由本文引入的观测器式(16)，$ \exists \varepsilon_{0}>0 ; \forall \varepsilon <\varepsilon_{0} ; \lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \hat{z}=z$且$ \lim\limits _{t \rightarrow+\infty} \boldsymbol{\eta}=0$。通过选择较小的观测器带宽参数ε能够使观测误差更加快速收敛，但过小的ε，会使观测器对系统中的噪声敏感，因此对ε的值应折中设计^[25-27]。

3.4 仿真

以斗杆液压系统轨迹控制为例，活塞杆及腔内液体等效质量m=160 kg，c=600 N ·s/m，由于液压缸负载以惯性负载为主，弹性负载近似为0，设定k=0 N/m，$ \gamma = \frac{{{A_A}}}{{{A_B}}}$ =1.853 0，V_A0=1.739 5×10^-3 m³，V_B0= 1.110 5×10^-2 m³，A_A=1.539 0×10^-2 m²，A_B=8.305 6× 10^-3 m²，K=6.0×10^-4 m³/V，β=6×10⁸ Pa，d(t)表示为：

$ \begin{array}{c} d(t)=\left(-89.1 t^{4}+1142.16 t^{3}-4\ 805.82 t^{2}+\right. \\ 7\ 149.8 t+157.09) / 160+100 \cos (2 t)+ \\ 100 \sin (5 t) / 160 \end{array} $

(33)

式中T的名义值${\hat T} $：

$ \begin{array}{c} \hat T = \left( {17.82{t^5} - 285.54{t^4} + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} 601.94{t^3} - } \right.\\ \left. {3{\kern 1pt} {\kern 1pt} 574.90{t^2} - 157.09t + 20{\kern 1pt} {\kern 1pt} 816.56} \right)/160 \end{array} $

T的误差及干扰包含于非匹配不确定项, d₁(t)=50sin(2t)，设计匹配不确定项为d₂(t)=100cos(5t)。考虑斗杆活塞杆工作范围[2.063 m 3.513 m]及初始位姿，初始状态设定为$\mathit{\boldsymbol{z}} = \mathit{\boldsymbol{\hat z}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2.176}&0&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $，设计滑模面参数a=25。图 7为在κ=100时，不同带宽参数ε对观测误差的影响，图 8为在ε=0.001时，不同κ值轨迹跟踪效果，图 9为不同κ值对应的轨迹跟踪误差。

由图 7易知，在不考虑系统噪声环境下，ε值越小，对非匹配不确定项与匹配不确定项补偿效果越好，观测误差越小。由图 8和图 9，κ值越大，闭环系统收敛越快。

4 结论

1) 通过建立挖掘机关节空间与驱动空间关系，以液压缸杆规划曲线为跟踪目标，伺服阀输入电压为控制输入，使控制方式更加直接，易于实践。

2) 以斗杆活塞杆轨迹控制为例，采用高增益观测器减少了传感器使用数量，降低了控制成本。观测器只需设计增益带宽ε，设计参数少，方法更为简便。在滑模控制中，通过对输入切换项的符号函数采用滑模面函数代替，消除了抖振。闭环系统通过奇异摄动理论验证了稳定性，跟踪误差有限时间收敛。

3) 对于式(12)型的一类系统，通过定义新的状态变量，采用基于高增益观测器的滑模控制时，可选择较小的带宽参数ε与较大的κ值，满足控制需要。对于挖掘机其他液压缸的控制，在进行流量分配后，可类似斗杆液压缸系统进行分析控制。