距离谱理论^[1]作为图论的一个重要研究方向，主要是通过图的各类矩阵(距离矩阵、距离拉普拉斯矩阵等)、特征根及其特征向量来研究图的拓扑结构和代数性质，广泛应用于计算机、复杂系统、化学、物理等学科中。关于距离谱和距离(无符号)拉普拉斯谱的研究现状如下：学者们已经计算得到了圈图^[2]、路图^[3]和完全二部图^[4]等简单图的距离谱；Stevanovic和Indulal^[5-6]得到了正则图的联图的距离谱，距离正则图和完全图的簇图的距离谱；Barik和Sahoo^[7]得到了距离正则图和正则图的冠图的距离谱和距离(无符号)拉普拉斯谱；其他研究成果见文献[8-11]。在此基础上，本文计算了一类组合图的广义距离谱。通过简单地参数赋值，就可以得到距离(无符号)拉普拉斯谱，大大减少了距离矩阵相关谱的计算量。

1 基本概念和引理

本文只讨论简单连通图。图G=(V(G), E(G))，其中顶点集和边集分别为V(G)={v₁, v₂, …, v_n}，E(G)={e₁, e₂, …, e_m}。图G中任意2个顶点u、v之间的距离记为d_G(u, v)，它表示顶点u和顶点v之间最短路径的长度。顶点u的传递Tr(u)定义为顶点u到G中其他顶点距离的和，记为Tr(u)=$\sum\limits_{v \in V(G)} {{d_G}} (u, v)$，平均传递t(G)=$\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{\mathop{\rm Tr}\nolimits} } \left( {{v_i}} \right)$。图G的距离矩阵记为D(G)=(d_uv)_n×n，是一个n×n维矩阵，其中d_uv=d_G(u, v)，矩阵D(G)的特征值记为λ₁^D(G)≥λ₂^D(G)≥…≥λ_n^D(G)，距离矩阵D(G)的特征值及其对应重数所构成的集合为图G的距离谱，记为D-谱。图G的距离谱能量^[14]定义为:

$ \mathit{\boldsymbol{D}}E(G) = \sum\limits_{i = 1}^n | \lambda _i^D(G)| $

2013年，Aouchiche和Hansen^[1]受拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的启发，提出了图的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵的概念，并研究它们的谱。图G的传递矩阵记为Tr(G)，是对角线元素为Tr(v_i)的n×n维对角矩阵。图G的距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵分别记为L(G)=Tr(G)-D(G)和Q(G)=Tr(G)+D(G)，相应的特征值分别为λ₁^L(G)≥λ₂^L(G)≥…≥λ_n^L(G)=0，λ₁^Q(G)≥λ₂^Q(G)≥…≥λ_n^Q(G)，相应的特征值及其重数所构成的集合称为图G的距离拉普拉斯谱和距离无符号拉普拉斯谱，记为L-谱和Q-谱。

2019年，Guixian Tian^[16]等研究了距离矩阵和传递矩阵的线性组合，提出了广义距离矩阵，记作D_α(G)=αTr(G)+(1-α)D(G)，0≤α≤1。由此可以通过一个参数α将3个矩阵联系在一起，D₀(G)=D(G)，${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\frac{1}{2}}}(G) = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{Q}}(G)$，D₁(G)=Tr(G)，D_α(G)-D_β(G)=(α-β)L(G)。广义距离矩阵的特征值记作λ₁(D_α)≥λ₂(D_α)≥…≥λ_n(D_α)，特征值及其重数的集合称作广义距离谱。

受到Ligong Wang^[12]和G. Indulal^[13]论文的启发。文献[12]中，图K_{n, n+1}≡K_{n+1, n}是将K_{n, n+1}复制2次，然后将2个复制图中的n+1个对应顶点相连接，其中K_{n, n+1}是完全二部图，作者证明了K_{n, n+1}≡K_{n+1, n}是邻接整谱图。文献[13]中，作者将图K_{n, n+1}≡K_{n+1, n}一般化到图G₁▽G₂，是将G₁和G₂的联图复制2次，然后将2个复制图中G₂的对应顶点相连接所得到的图，计算了其距离谱。明显地，图K_{n, n+1}≡K_{n+1, n}是图G₁▽G₂的一种特殊图$\overline {{K_n}} \nabla \overline {{K_{n + 1}}} $，在此基础上计算了G₁▽G₂的广义距离谱，进而求得距离(无符号)拉普拉斯谱。

引理1^[15]  设图G的距离拉普拉斯谱为{λ_L¹(G)≥λ_L²(G)≥…≥λ_n^L(G)=0}，平均传递为t(G)，则图G的距离拉普拉斯谱能量定义为:

$ {\rm{DLE}} (G) = \sum\limits_{i = 1}^n | {\lambda _i}^L(G) - t(G)| $

引理2^[15]  设图G的距离无符号拉普拉斯谱为{λ_Q¹(G)≥λ_Q²(G)≥…≥λ_n^Q(G)}，平均传递为t(G)，则图G的距离无符号拉普拉斯谱能量定义为:

$ {\rm{DSLE}} (G) = \sum\limits_{i = 1}^n | {\lambda _i}^Q(G) - t(G)| $

2 图G₁▽G₂的广义距离谱

定理1   设图G_i是有n_i个顶点的r_i-正则图，其邻接矩阵A_i对应的邻接谱为{r_i, λ_i2, λ_i3, …, λ_ini}，i=1, 2。那么图G₁▽G₂的广义距离谱为:

1)(5n₁+3n₂-r₁+λ_1j)α-λ_1j-2，j=2, 3, …, n₁, 每一个重数为2；

2)(3n₁+5n₂-2r₂+2λ_2j)α-2λ_2j-4，j=2, 3, …, n₂；

3)(3n₁+5n₂-2r₂-4)α，重数为n₂-1；

4) 方程组的解

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{B^*}\beta + (1 - \alpha ){n_2}\gamma + 2(1 - \alpha ){n_2}\delta + }\\ {3(1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \beta }\\ {(1 - \alpha ){n_1}\beta + {C^*}\gamma + (1 - \alpha )(3{n_2} - {r_2} - 2)\delta }\\ {2(1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \gamma }\\ {2(1 - \alpha ){n_1}\beta + (1 - \alpha )(3{n_2} - {r_2} - 2)\gamma + }\\ {{C^*}\delta + (1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \delta }\\ {3(1 - \alpha ){n_1}\beta + 2(1 - \alpha ){n_2}\gamma + (1 - \alpha ){n_2}\delta + }\\ {{B^*}\varepsilon = \sigma \varepsilon } \end{array}} \right. $

其中，B^*=(3n₁+3n₂)α+2n₁-r₁-2，C^*=(3n₁+3n₂-r₂-2)α+2n₂-r₂-2。

证明：对图G₁▽G₂的顶点进行适当编号，图G₁▽G₂的距离矩阵可以表示为:

$ \mathit{\boldsymbol{D}}({G_1}\nabla {G_2}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2(\mathit{\boldsymbol{J}} - \mathit{\boldsymbol{I}}) - {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}}&\mathit{\boldsymbol{J}}&{2\mathit{\boldsymbol{J}}}&{3\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ \mathit{\boldsymbol{J}}&{2(\mathit{\boldsymbol{J}} - \mathit{\boldsymbol{I}}) - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}}&{3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}}&{2\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {2\mathit{\boldsymbol{J}}}&{3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}}&{2(\mathit{\boldsymbol{J}} - \mathit{\boldsymbol{I}}) - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}}&\mathit{\boldsymbol{J}}\\ {3\mathit{\boldsymbol{J}}}&{2\mathit{\boldsymbol{J}}}&\mathit{\boldsymbol{J}}&{2(\mathit{\boldsymbol{J}} - \mathit{\boldsymbol{I}}) - {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}} \end{array}} \right] $

根据距离矩阵，得到图G₁▽G₂中每个顶点的传递Tr(u)=5n₁+3n₂-r₁-2，u∈V(G₁)；Tr(v)=3n₁+5n₂-2r₂-4，v∈V(G₂)。因此，图G₁▽G₂的广义距离矩阵可以表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_\alpha }({G_1}\nabla {G_2}) = = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N^*}}&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{3(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{{M^*}}&{(1 - \alpha )(3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2})}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{(1 - \alpha )(3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2})}&{{\mathit{\boldsymbol{M}}^*}}&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {3(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{{N^*}} \end{array}} \right] $

式中：M^*=(3n₁+5n₂-2r₂-4)αI+(1-α)(2J-2I-A₂); N^*=(5n₁+3n₂-r₁-2)αI+(1-α) (2J-2I-A₁); J是全1矩阵; I是单位矩阵。

因为G_i是r_i-正则图，所以A_i的特征值r_i所对应的特征向量是全1向量1，其他特征向量都和1正交。设A_i的特征值λ_i≠r_i所对应的特征向量为X_i，则A_iX_i=λ_iX_i，1^TX_i=0，i=1, 2。

向量ϕ₁=[X₁  0  0  0]^T是矩阵D_α(G₁▽G₂)的特征值(5n₁+3n₂-r₁+λ_1j)α-λ_1j-2，j=2, 3, …, n₁所对应的特征向量。即:

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{D}}_\alpha }({G_1}\nabla {G_2}){\phi _1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N^*}}&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{3(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{{M^*}}&{(1 - \alpha )(3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2})}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{(1 - \alpha )(3\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2})}&M&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}\\ {3(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{2(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{(1 - \alpha )\mathit{\boldsymbol{J}}}&{{N^*}} \end{array}} \right] \times \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_1}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {((5{n_1} + 3{n_2} - {r_1} - 2)\alpha \mathit{\boldsymbol{I}} + (1 - \alpha )(2\mathit{\boldsymbol{J}} - 2\mathit{\boldsymbol{I}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_1})){\mathit{\boldsymbol{X}}_1}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right]{\rm{ = }}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (5{n_1} + 3{n_2} - {r_1} + {\lambda _{{1_j}}})\alpha - {\lambda _{{1_j}}} - 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_1}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right] \end{array} $

同样地，向量ϕ₂=[0  0  0  X₁]^T是矩阵D_α(G₁▽G₂)的特征值(5n₁+3n₂-r₁+λ_1j)α-λ_1j-2，j=2, 3, …, n₁所对应的特征向量。

设向量ψ=[0  tX₂  X₂  0]^T是矩阵D_α(G₁▽G₂)的特征值μ所对应的特征向量，然后根据D_α(G₁▽G₂)ψ=μψ可得:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {[(3{n_1} + 5{n_2} - 2{r_2} + {\lambda _2} - 2)\alpha - 2 - {\lambda _2}]t - (1 - \alpha )({\lambda _2} + 2) = \mu t}\\ { - (1 - \alpha )({\lambda _2} + 2)t + (3{n_1} + 5{n_2} - 2{r_2} + {\lambda _2} - 2)\alpha - 2 - {\lambda _2} = \mu } \end{array}} \right. $

求解方程组可得：

μ=(3n₁+5n₂-2r₂+2λ_2j)α-2λ_2j-4，j=2, 3, …, n₂；μ=(3n₁+5n₂-2r₂-4)α，重数为n₂-1。

已经得到了2(n₁-1)+2(n₂-1)=2(n₁+n₂)-4个特征向量，这些特征向量正交于[1  0  0  0]^T、[0  1  0  0]^T、[0  0  1  0]^T和[0  0  0  1]^T。

因此，剩余4个特征向量有如下形式φ=[β1  γ1  δ1  ε1]^T，(β, γ, δ, ε)≠(0, 0, 0, 0)。

设σ是矩阵D_α(G₁▽G₂)的特征向量φ所对应的特征值，根据D_α(G₁▽G₂)φ=σφ和A_i1=r_i1，i=1, 2可得:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{B^*}\beta + (1 - \alpha ){n_2}\gamma + 2(1 - \alpha ){n_2}\delta + 3(1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \beta }\\ {(1 - \alpha ){n_1}\beta + {C^*}\gamma + (1 - \alpha )(3{n_2} - {r_2} - 2)\delta + 2(1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \gamma }\\ {2(1 - \alpha ){n_1}\beta + (1 - \alpha )(3{n_2} - {r_2} - 2)\gamma + {C^*}\delta + (1 - \alpha ){n_1}\varepsilon = \sigma \delta }\\ {3(1 - \alpha ){n_1}\beta + 2(1 - \alpha ){n_2}\gamma + (1 - \alpha ){n_2}\delta + {B^*}\varepsilon = \sigma \varepsilon } \end{array}} \right. $

式中:B^*=(3n₁+3n₂)α+2n₁-r₁-2，C^*=(3n₁+3n₂-r₂-2)α+2n₂-r₂-2。

假设β=0代入上面方程组，化简得γ=δ=ε=0，矛盾。因此，不失一般性，假设α=1求解上面方程组可得定理中的第(4)部分，证毕。

3 图G₁▽G₂的距离拉普拉斯谱

定理2   设图G_i是有n_i个顶点的r_i-正则图，其邻接矩阵A_i对应的邻接谱为{r_i, λ_i2, λ_i3, …, λ_ini}，i=1, 2。那么图G₁▽G₂的距离拉普拉斯谱为:

1) 5n₁+3n₂-r₁+λ_1j，j=2, 3, …, n₁, 每一个重数为2；

2) 3n₁+5n₂-2r₂+2λ_2j，j=2, 3, …, n₂；

3) 3n₁+5n₂-2r₂-4，重数为n₂-1；

4) $\frac{{9{n_1}}}{2} + \frac{{9{n_2}}}{2} - {r_2} - 2 \pm \frac{{\sqrt {{A^*}} }}{2}$；3(n₁+n₂)；0。

其中A^*=9n₁²-14n₁n₂+12n₁r₂+24n₁+9n₂²-12n₂r₂-24n₂+4r₂²+16r₂+16。

证明：已知D_α(G)-D_β(G)=(α-β)L(G)，取α=1，β=0得L(G₁▽G₂)=D₁(G₁▽G₂)-D₀(G₁▽G₂)，则由定理1可得定理2，证毕。

推论1   设图K_n是n个顶点的完全图的补图，图K_n+1是n+1个顶点的完全图的补图，则图K_n▽K_n+1是距离拉普拉斯整谱图。

证明：在定理2中，令G₁=K_n，G₂=K_n+1。即：n₁=n, n₂=n+1和r₁=r₂=0，则K_n▽K_n+1的距离拉普拉斯谱为:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10n + 3}&{8n + 5}&{8n + 3}&{8n + 2}&{8n + 1}&{6n + 3}&0\\ 1&n&{2(n - 1)}&1&n&1&1 \end{array}} \right]$显然，$\overline {{K_n}} \nabla \overline {{K_{n + 1}}} $是距离拉普拉斯整谱图。

推论2   图$\overline {{K_n}} \nabla \overline {{K_{n + 1}}} $的距离拉普拉斯谱能量为DLE(K_n▽K_n+1)=32n²-28n+9-$\frac{7}{{2n + 1}}$。

证明：已知$\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i^L} (G) = \sum\limits_{i = 1}^n {Tr} \left( {{v_i}} \right)$=nt(G), 则t(K_n▽K_n+1)=$\frac{1}{{4n + 2}}\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i^L} $(K_n▽K_n+1)= 12-$\frac{7}{{4n + 2}}$，当n≥2时，除了特征值0之外，其余特征值λ_i^L(K_n▽K_n+1)>t(K_n▽K_n+1)。最后由引理1得到推论2，得证。

4 图G₁▽G₂的距离无符号拉普拉斯谱

定理3   设图G_i是有n_i个顶点的r_i-正则图，其邻接矩阵A_i对应的邻接谱为{r_i, λ_i2, λ_i3, …, λ_ini}，i=1, 2。那么图G₁▽G₂的距离无符号拉普拉斯谱为:

1) 5n₁+3n₂-r₁-λ_1j-4，j=2, 3, …, n₁, 每一个重数为2；

2) 3n₁+5n₂-2r₂-2λ_2j-8，j=2, 3, …, n₂；

3) 3n₁+5n₂-2r₂-4，重数为n₂-1；

4) $\frac{{7{n_1}}}{2} + \frac{{7{n_2}}}{2}$-r₁-r₂-4±$\frac{{\sqrt {{A^*}} }}{2}$；$\frac{{13{n_1}}}{2} + \frac{{13{n_2}}}{2}$-r₁-2r₂-6±$\frac{{\sqrt {{A^{**}}} }}{2}$ 2。

其中A^*=n₁²+2n₁n₂-4n₁r₁+4n₁r₂+n₂²+4n₂r₁-4n₂r₂+4r₁²-8r₁r₂+4r₂²; A^**=49n₁²-62n₁n₂-28n₁r₁+56n₁+49n₂²+28n₂r₁-56n₂r₂-56n₂+4r₁²-16r₁r₂-16r₁+16r₂²+32r₂+16。

证明：已知${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\frac{1}{2}}}(G) = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{Q}}(G)$，则Q(G₁▽G₂)=2${\mathit{\boldsymbol{D}}_{\frac{1}{2}}}$(G₁▽G₂)，由定理1可得定理3，证毕。

推论3   图K_n是n个顶点的完全图的补图，图K_n+1是n+1个顶点的完全图的补图，则图K_n▽K_n+1是距离无符号拉普拉斯整谱图。

证明：在定理3中，令G₁=K_n，G₂=K_n+1。即：n₁=n, n₂=n+1和r₁=r₂=0，则K_n▽K_n+1的距离无符号拉普拉斯谱为:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {16n + 2}&{10n - 1}&{8n + 1}&{8n}&{8n - 1}&{8n - 3}&{6n - 1}\\ 1&1&n&1&{2(n - 1)}&n&1 \end{array}} \right]$显然，K_n▽K_n+1是距离无符号拉普拉斯整谱图。

推论4   图K_n▽K_n+1的距离无符号拉普拉斯谱能量为DSLE(K_n▽K_n+1)=32n²-44n-1。

证明：已知$\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i^L} (G) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\rm{Tr}}} \left( {{v_i}} \right)$=nt(G), 则t(K_n▽K_n+1)=$\frac{1}{{4n + 2}}\sum\limits_{i = 1}^n {\lambda _i^Q} $(K_n▽K_n+1)=16-$\frac{{29}}{{4n + 2}}$，当n≥3时，特征值λ_i^L(K_n▽K_n+1)>t(K_n▽K_n+1)。最后由引理2得到推论4，得证。

5 结论

1) 主要研究了2个正则图经过Indu-Bala乘积这一图操作之后所形成的合成图的广义距离谱，揭示了合成图的广义距离谱、距离(无符号)拉普拉斯谱与原图的邻接谱之间的关系，不仅拓宽了组合图广义距离谱的研究范围，而且大大减少了距离(无符号)拉普拉斯谱的计算量；

2) 得到了一类特殊的距离(无符号)拉普拉斯整谱图；

3) 得到了特殊图的距离(无符号)拉普拉斯谱能量公式。