随着化石能源的短缺及环境污染严重，海洋能利用成为一种有效的解决途径，其中波浪能资源丰富，具有很好的开发前景^[1]。但是由于我国海域的波能流密度相比欧洲国家较低，致使传统的振荡浮子和振荡水柱等波能装置的波能转化功率低和开发成本高，制约了波浪能装置的商业化发展^[2-3]。利用聚波装置先将波浪能集聚后再进行俘获波能，可以使波浪功率聚集在空间较小的波浪能转换装置上，提升波能转化装置的工程化应用。

国内外开展了聚波装置研究，聚波装置集聚入射波能量。现有的聚波方法有共振聚波、折射聚波、反射聚波等^[4]，利用布拉格共振增大反射波高^[5]，但是诸多方法处于试验证明和理论分析阶段。杨志坚等^[6]利用模型试验探究喇叭形状开口的聚波水道的水动力特性，利用喇叭形前墙及收缩水道可提高聚焦波浪波幅。史宏达等^[7]针对简单的聚波装置的波浪集聚行为开展数值模拟研究，分析聚波装置前端最优开角，探究了收缩角、收缩坡道长度、收缩口门宽度和入射波高对聚波特性的影响，并建立波高集聚系数经验拟合公式，但是对其物理机理原因未深入分析。Saadat等^[8-9]提出一种Helmholtz共振器，可实现凹槽内水体共振。

将海工结构物与波能装置集成设计，可实现海洋结构物空间共享和功能共享，又可实现海洋结构物多功能化，其中包括防波堤与振荡水柱装置^[10-14]或振荡浮子装置^[15-16]集成设计，研究表明集成系统一方面可以提高波能装置性能，另一方面可以改善防波堤消浪性能。因此将聚波结构与波浪能转化装置集成设计研究，可有效提高波浪能转化效率，降低聚波装置的波浪力。秦辉等^[17]提出一种带收缩水道的沉箱防波堤兼振荡水柱装置结构形式。Zhang等^[18]利用数值模拟方法探究放置在收缩口处波能转化装置的水动力特性，发现聚波装置可有效提高波能转化装置的运动响应幅值。在实际工程应用中，如已建成的挪威的350 kW固定式收缩波道装置及丹麦的Wave Dragon^[19-20]，研究表明收缩坡道的存在可有效地提高该类型波浪能发电效率。此外，越浪式收缩水道结构形式也应用于建造在挪威西部海岸的SSG装置^[21]和建造于意大利那不勒斯港的OBREC装置^[22]。

本文基于线性势流理论，采用匹配特征函数展开法和边界逼近法建立波浪与收缩波道相互作用的解析模型，通过引入波幅放大因子描述聚波水道结构波浪聚焦行为，主要探讨聚波室宽度比、长度比和收缩坡道长度比对聚波水道结构聚波效果的影响规律，并分析聚波行为产生的物理原因。

1 波浪与聚波结构作用数学模型 1.1 问题描述

聚波水道结构如图 1沉箱之间构成聚波室，收缩坡道位于沉箱迎浪侧。选取笛卡尔坐标系o-xyz，o-xy平面在自由水面上，原点位于聚波室迎浪侧中点处，z方向为沿着水深垂直向上。聚波水道结构长度为l=l₁+l₂，宽度为2B，其中收缩坡道长度为l₁，收缩夹角为a，矩形沉箱长度为l₂，宽度为a，聚波室宽度为2b。波浪沿x轴负方向正向入射，入射波波长、波幅、频率和周期分别为L、A、ω和T。考虑势流理论与线性简谐波，时间和z因子可分离^[10]，速度势为$ \mathit{\Phi} \left( {x, y, z, t} \right) = {\rm{Re}}\left[ {\phi \left( {x, y} \right){Z_1}\left( z \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\omega {\rm{t}}}}} \right] $，水深h，$ {Z_1}\left( z \right) = {\rm{cosh}}\left[ {{\kappa _1}\left( {z + h} \right)} \right]/{\rm{cosh}}\left( {{\kappa _1}h} \right) $，波数κ₁满足色散方程：ω²=gκ₁tanh(κ₁h)。空间速度势ϕ(x, y) 满足Helmholtz方程^[23]：

$ \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {y^2}}} + {\kappa _1}\phi = 0 $

(1)

入射势表达式为：

$ {\phi _I} = - \frac{{{\rm{i}}gA}}{\omega }{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\kappa _1}\left( {x - {l_1}} \right)}} $

(2)

1.2 边界条件

计算流域划分为4个子流域Ω_i(i=1，2，3，4)，其中Ω₁区域为：l₁≤x≤+∞和-B≤y≤B；Ω₃区域为：-l₂≤x≤0和-(B-a)≤y≤(B-a)；Ω₄区域为：-∞≤x≤-l₂和-B≤y≤B。考虑流域Ω₂收缩坡道边界与x和y方向不平行，无法直接通过分离变量法找到满足该边界条件的特征函数，因此采用边界逼近法对收缩坡道边界离散成若干个连续的矩形流域，然后再利用传统的分离变量和匹配特征函数展开法求解各离散流域速度势。当边界的离散数量达到一定值时，满足若干个矩形面的特征函数逼近满足收缩边界的特征函数，进而可以得到聚波水道结构解析方法。图 1中流域Ω₂，由若干个流域$ {I_p}\left( {{h_{p - 1}} \le x \le {h_p}, - {V_p} \le y \le {V_p}} \right) $组成，其中p=1, 2, …, M，对应速度势为$ {\phi _{2\_p}}\left( {x, y} \right) $。假设收缩边界等比例离散为M个直线段，各流域边界条件为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {\phi _i}}}{{\partial y}} = 0,y = \pm B,i = 1,4}\\ {\frac{{\partial {\phi _i}}}{{\partial y}} = 0,y = \pm (B - a),i = 3}\\ {\frac{{\partial {\phi _{2\_j}}}}{{\partial y}} = 0,y = \pm \left( {B - \frac{j}{M}a} \right),j = 1,2, \cdots ,M} \end{array}} \right. $

(3)

1.3 绕射势求解

根据边界条件和Helmholtz控制方程，可得到各流域速度势表达式为：

$ {\phi _1} = - \frac{{{\mathop{\rm ig}\nolimits} A}}{\omega }\left[ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{\kappa _1}\left( {x - {l_1}} \right)}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{A_n}} {{\rm{e}}^{\beta _n^{(0)}\left( {x - {l_1}} \right)}}C_n^{(0)}(y)} \right] $

(4)

$ {\phi _{2\_p}} = - \frac{{{\mathop{\rm ig}\nolimits} A}}{\omega } \cdot \left\{ {\sum\limits_{n = 1}^ \propto {\left( {B_n^{(p)}\frac{{\cosh \beta _n^{(p)}\left( {x - \frac{{(2M + 2j - 3){l_1}}}{{2M}}} \;\;\;\;\right)}}{{\cosh \beta _n^{(p)}\frac{{{l_1}}}{{2M}}}} + C_n^{(p)}\frac{{\sinh \beta _n^{(p)}\left( {x - \frac{{(2M + 2j - 3){l_1}}}{{2M}}}\;\;\;\;\right)}}{{\sinh \beta _n^{(p)}\frac{{{l_1}}}{{2M}}}}}\; \right)} C_n^{(p)}(y)} \right\} $

(5)

$ \begin{array}{l} {\phi _3} = - \frac{{{\rm{i}}gA}}{\omega } \cdot \left\{ {\sum\limits_{n = 1}^ \propto {\left( {{D_n}\cosh \beta _n^{(M)}\left( {x + \frac{{{l_2}}}{2}} \right)/\cosh \beta _n^{(M)}\frac{{{l_2}}}{2}} \right) + } } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left( {{E_n}\sinh \beta _n^{(M)}\left( {x + \frac{{{l_2}}}{2}} \right)/\sinh \beta _n^{(M)}\frac{{{l_2}}}{2}} \right)C_n^{(M)}(y)} \right\} \end{array} $

(6)

$ {\phi _4} = - \frac{{{\rm{i}}gA}}{\omega }\left[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{F_n}} {{\rm{e}}^{ - \beta _n^{(0)}\left( {x + {l_2}} \right)}}C_n^{(0)}(y)} \right] $

(7)

式中：p=1, 2，…, M，流域Ω₁和Ω₄的y方向特征函数为$ C_n^{\left( 0 \right)}\left( y \right) $，流域Ω₂子流域I_p的y方向特征函数为$ C_n^{\left( p \right)}\left( y \right) $，流域Ω₃的y方向特征函数为$ C_n^{\left( M \right)}\left( y \right) $，因此，函数$ C_n^{\left( i \right)}\left( y \right) $和$ b_n^{\left( i \right)}\left( {i = 0, 1, 2, \cdots , M} \right) $表达式为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {C_n^{(i)} = \cos \lambda _n^{(i)}\left[ {\left( {B - \frac{a}{M}i} \right) - y} \right]}\\ {\lambda _n^{(i)} = (n - 1){\rm{ \mathsf{ π} }}/\left( {B - \frac{a}{M}i} \right),i = 0,1,2, \cdots ,M} \end{array} $

(8)

$ {\beta _n^{(i)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {\gamma _n^{(i)}} ,\quad \gamma _n^{(i)} > 0}\\ {{\rm{i}}\sqrt { - \gamma _n^{(i)}} ,\quad \gamma _n^{(i)} \le 0} \end{array}} \right.} $

(9)

$ {\gamma _n^{(i)} = {{\left[ {\frac{{(n - 1){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{B - ai/M}}} \right]}^2} - \kappa _1^2} $

(10)

同时特征函数$ C_n^{\left( i \right)}\left( y \right) $满足正交关系。相邻流体区域的速度势连续条件和速度连续条件为：

$ {\phi _1} = {\phi _{2\_1}},x = {l_1}, - (B - a/M) \le y \le (B - a/M) $

(11)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{2\_j}} = {\phi _{2\_j + 1}},\quad x = {l_1} - \frac{{{l_1}}}{M}j}\\ { - B + \frac{a}{M}(j + 1) \le y \le B - \frac{a}{M}(j + 1)} \end{array} $

(12)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {j = 1,2, \cdots ,M - 1}\\ {{\phi _{2\_M}} = {\phi _3},x = 0, - b \le y \le b} \end{array} $

(13)

$ {{\phi _3} = {\phi _4},x = - {l_2}, - b \le y \le b} $

(14)

$ {\frac{{\partial {\phi _1}}}{{\partial x}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {\phi _{2\_1}}}}{{\partial x}},x = {l_1}, - B + \frac{a}{M} \le y \le B - \frac{a}{M}}\\ {0,\left( { - B \le y \le - B + \frac{a}{M}} \right) \cup \left( {B - \frac{a}{M} \le y \le B} \right)} \end{array}} \right.} $

(15)

$ \frac{{\partial {\phi _{2\_j}}}}{{\partial x}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {\phi _{2\_j + 1}}}}{{\partial x}},x = {l_1} - \frac{{{l_1}}}{M}j, - B + \frac{a}{M}(j + 1) \le y \le B - \frac{a}{M}(j + 1)}\\ \begin{array}{l} 0,x = {l_1} - \frac{{{l_1}}}{M}j,\left( { - B + \frac{a}{M}j \le y \le - B + \frac{a}{M}(j + 1)} \right) \cup \left( {B - \frac{a}{M}(j + 1) \le y \le B\frac{a}{M}j} \right)\\ j = 1,2, \cdots ,M - 1 \end{array} \end{array},} \right. $

(16)

$ \frac{{\partial {\phi _{2\_M}}}}{{\partial x}} = \frac{{\partial {\phi _3}}}{{\partial x}},x = 0, - b \le y \le b $

(17)

$ \frac{{\partial {\phi _4}}}{{\partial x}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{\partial {\phi _3}}}{{\partial x}},x = - {l_2}, - b \le y \le b}\\ {0,x = - {l_2},( - B \le y \le - b) \cup (b \le y \le B)} \end{array}} \right. $

(18)

分别将各区域的速度势表达式代入速度势和速度连续条件，并利用匹配特征函数展开法以及正交关系，将级数n截断到N，满足收敛性要求，可以得到(2M+4)×N个方程，通过求解线性方程组中各积分值，然后利用高斯消元法求得联立方程的未知系数$ {A_n}、B_n^{\left( p \right)}、C_n^{\left( p \right)}、{D_n}、{E_n} $和F_n(n=1, 2, …, N和p=1, 2, …, M)，求解各流域速度势具体表达式。

1.4 水动力参数

对于聚波水道结构，反射系数K_r为聚波水道迎风侧的反射波高与入射波高比值，透射系数K_t为背风侧的透射波高与入射波高比值，具体表达式为：

$ {K_{\rm{r}}} = \sqrt {{{\left| {{A_1}} \right|}^2} + \sum\limits_{n = 2}^k {\sqrt {\kappa _1^2 - {{\left[ {\frac{{(n - 1){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{B}} \right]}^2}} } /2{\kappa _1}{{\left| {{A_n}} \right|}^2}} $

(19)

$ {K_{\rm{t}}} = \sqrt {{{\left| {{F_1}} \right|}^2} + \sum\limits_{n = 2}^k {\sqrt {\kappa _1^2 - {{\left[ {\frac{{(n - 1){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{B}} \right]}^2}} } /2{\kappa _1}{{\left| {{F_n}} \right|}^2}} n $

(20)

式中：k为κ₁B/π+1向下取整的最大整数。

当波浪进入聚波水道会发生波浪反射和聚焦现象，聚波室内的波幅会相应增加，因此该位置也是波浪能俘获的理想位置，可放置波浪能转换装置。因此，定义聚波室中点处波幅A_g与入射波波幅A的比值为波幅放大因子ζ，其表达式为：

$ \zeta = {A_{\rm{g}}}/A $

(21)

考虑到波浪能量与周期和波高要素相关，因此波幅放大因子可有效反映聚波水道内波浪聚焦行为，波幅放大因子越大，表示聚波水道的聚焦波浪能效果越好。

2 解析模型验证 2.1 收敛性验证

在理论求解过程中，利用边界逼近法处理收缩边界，当边界的离散数量达到一定值时，满足若干阶梯面的特征函数逼近满足收缩斜面边界的特征函数，进而可以得到收缩水道水动力问题的解析方法。利用匹配特征函数展开法确定速度势级数解中的未知系数，必须保证截断值N增大时，其结果时收敛的。计算参数为：a/h=1/3、l₂/h=1/2、B/h=2/3和l₁/h=1/3(h=6.0 m)。可以看出，随着离散数量和y方向特征函数的增大，计算结果趋近于收敛，因此在后文计算中取M=10和N=15。

2.2 波能流守恒验证

根据势流理论中波能流守恒定理可知，反射系数和透射系数应满足关系是K_r²+K_t²=1，因此本文采用该关系式验证解析模型正确性。为了验证本文所建立的解析模型准确性，选取以下计算参数为例：a/h=1/3、l₂/h=1/2、B/h=2/3和l₁/h=1/3，通过收敛性计算，收缩边界离散个数与y方向特征函数项数截断值选取为M=10和N=15，图 3为K_r²+K_t²、K_r和K_t计算结果图。由图 3可知，反射系数K_r和透射系数K_t满足关系K_r²+K_t²=1，因此本文所建立的解析模型满足波能流守恒定律。

2.3 与已发表结果对比

假设沉箱长度为零，收缩长度为零(计算取a/h=0.5、B/h=0.75和l₁/h=l₂/h=10^-4)，理论解可以分析周期性等间距单层薄板结构的反射系数和透射系数。从对比图中可以看出，本文解析模型计算结果与Porter和Evans结果^[24]吻合较好。

3 结果分析与讨论

影响聚波水道水动力特性的因素有很多，史宏达等^[7]通过物理模型试验研究了规则波作用下收缩坡道波浪集聚行为的影响因素，主要包括收缩角度、收缩坡道长度、收缩口门宽度和入射波高要素。所以本文主要考虑聚波室宽度、长度、收缩坡道长度的变化对聚波水道反射系数、透射系数和波幅放大因子的影响，研究聚波水道的水动力特性，进一步分析收缩坡道的波浪聚焦效应。

3.1 聚波室宽度比对水动力特性的影响

图 5为不同聚波室宽度比(b/a)下聚波水道反射系数、透射系数和波幅放大因子的计算结果图，计算参数为：a/h=1/3、l₂/h=1/3、l₁/h=1/3和α=45°。反射系数随着无因次波数的增大呈抛物线变化趋势。透射系数随波数的变化趋势与反射系数的变化趋势相反。在某一频率下发生全反射(K_r=1.0)或全透射现象(K_t=1.0)，随着聚波室宽度比增大，全反射现象及全透射现象的发生频率向低频区移动。前者主要是由于某一特定频率下收缩坡道和聚波室流域产生的反射波的相位相同，造成强反射现象；对于后者的全透射现象，当入射波波长L(=2π/κ₁)等于收缩坡道宽度(2B)，在y方向上发生波浪共振，透射系数发生突变值，产生多阶透射现象，即透射系数K_t表达式中存在整数k>1，因此K_t由A₁, A₂, …, A_k组成，反之，K_t=|A₁|。值得注意的是小宽度比b/a=0.5下，在计算域范围内(0≤κ₁h≤6)，入射波波长(2π/κ₁)大于收缩坡道宽度(2B)，因此y方向未发生波浪共振，即未发生多阶透射现象。

3.2 聚波室长度比对水动力特性的影响

图 6为不同聚波室长度比(l₂/a)下聚波水道反射系数、透射系数和波幅放大因子的计算结果图，计算参数为：a/h=1/3、b/h=1/3、l₁/h=1/3和α=45°。从图中可以看出，反射系数总体趋势随着无因次波数的增大呈抛物线变化，但是随着聚波室长度比增大，聚波水道结构出现全反射和多阶透射现象，且全反射现象发生频率向低频区移动。

波幅放大因子变化趋势与图 5变化趋势相似，且聚波室内波浪共振频率和波幅均随着聚波室长度的增大而增大；在高频区，波幅放大因子峰值附近变化平缓，主要由于全透射引起。值得注意的是在大长度比(l₂/a=2.5)，波幅放大因子变化较小，波浪聚焦效果不佳。

3.3 收缩坡道长度对水动力特性的影响

图 7为不同收缩坡道长度比(l₁/a)下聚波水道反射系数、透射系数和波幅放大因子的计算结果图，计算参数为：a/h=1/3、l₂/h=2/3和b/h=1/3。为了研究不同收缩情况下的波浪聚焦，改变收缩坡道长度调整收缩角度a。随着角度的增大，反射系数变化趋势与图 3变化趋势相似，但是在高频区出现峰值。全反射的现象发生频率向低频区移动，同时出现异常透射现象。

波幅放大因子存在2个峰值，在低频区，波幅放大因子随着角度的增大而增大，但是波浪共振峰值变化尖锐，不利于波浪能量的集聚；在中频区，波幅放大因子存在零点，对应发生全反射现象；在高频区，波幅放大因子在3.0左右，且小角度下(l₁/a=0.5)出现共振波高。

4 结论

1) 聚波室宽度比的增大可有效提高波幅放大因子，增强聚波水道的聚波效果，但是聚波水道结构在某一频率下出现全反射或多阶透射现象，波幅放大因子增大不明显，聚波效果不显著。

2) 随着聚波室长度的增大，聚波室内波浪共振频率朝低频区移动，但在相同频率下发生垂直于入射波方向的波浪共振现象，对比聚波室发生沿入射波方向波浪共振下，波幅放大因子峰值较小。

3) 全反射现象随着聚波室宽度比、长度比和收缩坡道长度比增大向低频区移动，全透射现象与聚波水道垂直于入射波方向长度有关。

4) 波幅放大因子幅值随着收缩角度增大而增大，收缩角度改变聚波室内波浪共振发生频率，但是在收缩角度较大时，波幅放大因子峰值变化尖锐，整体聚波效果不佳。

本文主要基于势流理论建立的波浪与聚波水道相互作用的解析模型，实验室环境下聚波水道的水动力特性研究待进一步开展。