2. 齐齐哈尔大学 通信与电子工程学院, 黑龙江 齐齐哈尔 161006;
3. 中国电信股份有限公司河池分公司, 广西 河池 547000
2. College of Communication and Electronic Engineering, Qiqihar University, Qiqihar 161006, China;
3. China Telecom Co. Hechi branch, Hechi 547000, China
传统的采样定理要求采样频率至少是信号带宽的2倍,才能完全恢复出原信号。随着信号带宽的日益增加,传统的采样定理对采样速率要求越来越高。随着压缩感知(compressive sensing,CS)概念的提出,由于其允许采样和压缩同时进行,且对采样速率要求很低,故压缩感知迅速成为研究热点[1-2]。压缩感知是在远小于奈奎斯特采样率的条件下,通过随机采样来获取离散信号。该理论指出一个可压缩信号或在变换域为稀疏的信号,可通过一个与变换基无关的测量矩阵,将变换后的高维信号投影到低维空间,并采用优化算法从少量投影中完成高质量重构。近年来,基于压缩感知的图像采样和重构引起了人们的广泛关注[3-8]。在传统方法中,图像压缩通常在变换域内进行,而压缩感知可以直接作用在原始图像上,并可通过任意CS重构技术来恢复图像[9]。将压缩感知算法应用到二维图像上时,面临的一个挑战在于重建多维信号需要巨大的计算量。另外,当随机采样算子表示为一个稠密矩阵时,会带来很大的存储负担。为了解决这些问题,有效的方法是将图像划分为若干块,然后以块为单位进行采样[10]。文献[11]提出了基于平滑投影重建的块压缩感知算法(block-based CS with smoothed projected Landweber reconstruction, BCS-SPL)。相比于对整幅图像直接处理,能够减小测量矩阵所需的存储空间。同时,在采样端对分块信号采样时直接进行压缩,降低了采样端的复杂度。这种块处理方法能够实现图像快速重建,但这是以重建图像质量变差为代价的。此外,分块压缩感知还容易出现块效应现象。文献[12]提出了一种基于非局部相似模型的压缩感知恢复算法,将传统的二维图像块的稀疏性扩展到相似图像块组在三维空间上的稀疏性,在提高图像表示稀疏度的同时,提高了压缩感知图像恢复效率,使恢复图像在纹理和结构保持方面有了较大的改善,提高了重建图像质量。文献[13]提出了一种基于秩极小化的压缩感知图像恢复方法,将相似图像块作为列向量构建一个二维相似块矩阵,然后将压缩感知测量作为约束条件,通过增广拉格朗日方法将受限优化问题转换为非受限优化问题,对二维相似块矩阵进行恢复求解。文献[14]提出了一种加权结构组稀疏表示的图像压缩感知重构方法,其采用非局部相似图像块结构组加权系数表示的L1范数作为规则化项,进行优化重构约束,能够在更好地恢复图像高频信息的同时,减少图像低频成分的损失,从而改善图像重构质量。文献[15]在BCS-SPL的基础上,提出了一种基于多假设预测的块压缩感知方法(multihypothesis predictions BCS-SPL, MH-BCS-SPL),该方法先用初始BCS-SPL方法对图像进行重建,然后在CS随机投影域内对每个图像块进行多假设预测。相比于BCS-SPL方法,MH-BCS-SPL能较大程度改善重建图像质量,但重建时间却大大延长了。从重建图像质量的角度,对整幅图像采样的结果,要优于局部采样的结果。一个典型的例子是基于全变差(total-variation, TV)的压缩感知方法,其能得到较高质量的重构图像,但重构时间也特别长[16]。可见,重构图像质量和重构时间,往往是矛盾的。为了实现2者间的相对平衡,文献[17]提出了一种基于多尺度变量的块压缩感知方法(multiscale variant BCS-SPL, MS-BCS-SPL),该方法是在离散小波变换(Discrete wavelet transform, DWT)域内进行的。其重构图像的速度只比BCS-SPL略慢,但能获得重构质量上较大的增益。然而,MS-BCS-SPL方法对小波域内各层子带中的各子块,均采用相同的采样速率。由于小波子带间信息量差别很大,这种采样方式会限制重构质量的提升。针对该问题,本文在MS-BCS-SPL方法的基础上,通过研究图像上下文特征,同时考虑扫描顺序对图像重构性能的影响,提出了一种基于自适应采样及平滑投影的分块压缩感知方法。
1 改进的多尺度块及平滑投影的压缩感知算法对传统块压缩感知算法,在对原始图像信号进行采样时,各图像块往往采用固定的采样率。这种不考虑图像内容的采样方式,限制了压缩感知算法性能的提升。本文提出了一种改进的多尺度块及平滑投影压缩感知算法。首先,通过分析图像上下文特征,同时考虑扫描顺序对图像重构性能的影响,设计了一种面向分块的自适应扫描和采样方法。该方法充分利用了子带中各块对图像重构的不同贡献,基于块内容进行子带自适应采样率计算。然后,采用基于迭代投影的压缩感知重建算法进行图像重构。实验结果表明,本文方法能够有效提升整体重构图像质量,且重构速度更快。改进的多尺度块及平滑投影的压缩感知算法整体框架如图 1所示。
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分块压缩感知(block-based CS,BCS)先将目标图像信号变换到小波域,然后分割成大小相同但不重叠的块。每个图像块大小为B×B,采用相同的观测矩阵ΦB分别对每个块进行观测。假设xi是第i块的原始输入图像,则其输出分块可表示为:
${{\bf{y}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_B}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}$ | (1) |
式中:ΦB是矩阵为MB×B2的观测矩阵,ΦB与图像块不相关。xi是具有B2个样本的列矢量。在BCS中,整个测量矩阵Φ变为块对角结构,可表示为:
$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_B}}&0& \cdots &0\\ 0&{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_B}}&{}&0\\ \vdots &{}&{}& \vdots \\ 0& \cdots &0&{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}_B}} \end{array}} \right]$ | (2) |
对BCS来讲,其块采样率为R=MB/B2。基于BCS的算法对图像进行采样时,只需存储大小为MB×B2的观测矩阵对每个图像块进行观测即可,降低了计算成本和存储要求。然而,这种方法对每个图像块采用相同的采样率,这较大地限制了重构图像的质量。事实上,由于各高频子带反映的图像信息不同,且子带间的信息量可能相差很多,不同的块采样顺序和采样率会导致重构图像质量相差很多,故本文采用了一种基于自适应采样顺序和采样率的方法。
设原始图像为X,具体步骤如下:
1) 用A表示变换矩阵,经L级小波变换后,变换图像为:
$\mathit{\boldsymbol{Y}} = \left[ {{{(Y)}^{(1)}}\quad {{(Y)}^{(2)}}\quad \cdots \quad {{(Y)}^{k)}}} \right]$ | (3) |
式中k表示小波子带总数。
2) 对每个子带(Y)(i), (i=1, 2,…, k),其高频子带的能量为:
${E_i} = \frac{1}{{PQ}}\sum\limits_{m,n}^{P,Q} c {(m,n)^2}$ | (4) |
式中:c(m, n)表示子带中(m, n)位置处的系数;P和Q分别表示子带的行和列。
3) 将高频子带按能量Ei降序的顺序,确定子带间的扫描顺序。即:
${(Y)^{(i)}} \mapsto {\mathop{\rm permu}\nolimits} \left( {{{(Y)}^{(i)}}} \right)$ | (5) |
式中permu表示子带顺序的重排。
4) 设子带(Y)(i)的能量为Ei,子带的基础采样率为Ri,其内部被分割为N个块,块大小为B×B。对每一个块Bl,其块采样率为:
${r_l} = \frac{{{R_i}{e_l}PQ}}{{{E_i}BB}},l = 1,2, \cdots ,N$ | (6) |
式中:el是第l个块的能量;rl表示计算出的该块的采样率。
可以使用最小线性均方误差准则(MMSE)估计出较好的初始图像,以此可以加速重构过程。在MMSE中,图像块的初始解计算公式为:
${\mathit{\boldsymbol{R}}_{xx}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\rho & \cdots &{{\rho ^{\sqrt 2 (B - 1)}}}\\ \rho &1& \cdots &{{\rho ^{\sqrt {{{(B - 1)}^2} + {{(B - 2)}^2}} }}}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ {{\rho ^{\sqrt 2 (B - 1)}}}&{{\rho ^{\sqrt {{{(B - 1)}^2} + {{(B - 2)}^2}} }}}& \cdots &1 \end{array}} \right]$ | (7) |
式中ρ的取值为0.9~1。通过仿真得知,只有当ρ取值为0.95,分块尺寸B取值为32时,图像重建效果最佳。
1.2 平滑投影算法原始的Landweber算法是一种简单的线性恢复方法,该算法适用于简单的一维信号重建,而对于图像信号却不是很适用。当图像信号的亮度值趋近于0时,若采用Landweber算法进行迭代,则在恢复过程中可能会出现亮度值为负的情况[15]。另外,原始的Landweber算法收敛速度比较慢,这增加了重构时间,并且很难选择到对应该算法的一个合适的松驰参数。
本文采用了一种基于迭代投影的CS重建算法,该算法将投影Landweber算法应用到CS中[12]。实现过程主要包含2步:先进行初始化x[0=ΦTy,然后再进行n+1次迭代过程,从x[n]产生近似图像x[n+1]。具体过程为:
1) 将维纳滤波过程应用到时域图像x[n]中,得到:
2)对每一图像块j进行投影计算:
3) 将进行投影后的图像
4) 进行反变换过程后再一一对应地对每一图像块j进行平滑投影迭代:
维纳滤波过程是空间域中逐像素在3×3邻域的自适应维纳滤波;
传统的BCS-SPL算法虽然改善了重构图像的块效应,但是在平滑块效应和噪声的同时,也把图像信号中存在的一些边缘和纹理平滑了,这使得图像的边缘和纹理信息变得模糊。本研究采用了一种基于迭代投影的CS重建算法,对每一图像块分别进行投影,改善了重构图像信号中存在的边缘模糊的问题。
本文优化的多尺度块及平滑投影压缩感知算法重构图像的过程,主要根据各子块及对应的采样率rl,求出各层子块中各块的测量向量和测量矩阵,在进行平滑投影Landweber重建算法进行图像重构的过程中,先通过测量向量和测量矩阵求出小波域图像,然后进行逆变换,并采取维纳滤波去除块效应。在此期间,平滑投影和滤波操作持续交替的进行迭代,直到恢复图像。
2 实验结果分析为了验证本文算法的有效性,这里将本文算法与BCS-SPL、基于梯度投影的稀疏重建(gradient projection for sparse reconstruction, GPSR)[17]、TV、MH-BCS-SPL 4种算法进行比较。实验选取了不同场景的6幅图像作为测试图像,包括人物、物体以及自然景象。图像具有不同的复杂度,其中,Lena、pepper相对平滑,goldhill、Barbara、mandrill具有复杂的纹理,SanDiego是遥感图像,其反映的是城市地貌,包含了大量的纹理细节。每幅图像的大小均为512×512,测试图像如图 2所示。
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实验分块大小均采用8×8。在采样率为0.1~0.5时,对lena图像分别采用上述5种算法进行重构,并对重构图像的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)进行比较,结果如图 3所示。实验根据基础采样率计算得到的各块采样率,保留到小数点后5位。由图 3可见,相比于其他4种方法,本文方法在图像的重构质量上具有较大的优势。对于其他5幅测试图像,其重构图像对应的PSNR结果,分别见表 1~表 5。
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为了进一步验证本文算法,在采样率为0.3时,对这5种算法的平均重构时间进行了比较。实验中计算机硬件配置为Intel i5-3317U处理器,1.7 GHz,4 G内存,Windows 7系统。编程语言为Matlab。实验结果见表 6。
由图 3以及表 1~表 6的结果可知,在0.1~0.5的采样率下,本文提出的多尺度块及平滑投影压缩感知算法,总体上比其他5种算法得到的图像重构质量更高。
相比于常见的BCS-SPL算法,采用本文算法得到的重构图像,其PSNR值要提高1~3 dB,证明了本文算法的有效性。从计算复杂度上看,本文算法是在MS-BCS-SPL算法上的改进。相比于MS-BCS-SPL,本文算法增加了子带间扫描顺序的确定及子带块自适应采样率的计算。设图像大小为M×N,小波分解层数为J,则乘法计算次数为CM=MN (1-1/22J),加法计算次数为CA=MN(1-1/22J)- 3J-1,比较次数为CM=2J。其中,增加的乘法主要是平方运算。平方运算的实现并不复杂。由表 5可见,从重构时间上看,本文算法所需时间比MS-BCS-SPL略长。但相比于其他4种算法,本文算法所需的重构时间还是短很多。
下面对一些纹理信息较多的图像结果进行分析。以Barbara图像为例,由表 1~6可见,相对于BCS-SPL算法,本文算法无论是重构图像的PSNR值,还是重构时间,均能得到更好的结果;相对于TV算法,本文算法的重构质量基本与TV算法重构质量持平,本文算法更明显的优点在于算法的重构时间,对比TV算法,本文算法所需时间大大减少。在个别采样率下,MH-BCS-SPL算法的图像重构质量要优于本文算法,但MH-BCS-SPL算法的缺点在于时间过长,本文算法在重构时间上有较大优势。对于细节和纹理较多的图像,本文算法重构质量有时优势不明显。其原因在于:较少的平滑区域会导致信号更难稀疏,而一些计算复杂度较高的算法,如GPSR算法,其采用了凸优化,这使得该算法利用L1范数求解优化问题时,得到的局部最优解为全局最优解。这种重构性能的提升是以大幅牺牲图像重构时间为代价的。尽管如此,在大多数情况下,本文方法的重构质量,依然优于GPSR算法。对于SanDiego图像,其细节信息也较多,但采用本文方法,在多个采样率下,均能得到最佳的性能,进一步证明了本文方法的有效性。与MS-BCS-SPL方法相比,本文算法采用了块自适应采样率计算,在给定基础采样率下,能够根据各块对重构的贡献动态分配采样率,故能得到更好的重构质量。这种优势在低码率的情况下更为明显。这是由于低码率下,对有限比特数的不同分配方法,对整幅图像重构效果影响更大。
图 4给出了采样率为0.1时,分别采用本文算法和其他5种算法,得到的重构图像及残差图像的结果比较。可见,与其他算法相比,本文算法的残差相对小一些,尤其是在方框内的区域。结合表 6的结果可知,本文算法在重构时间上具有较大的优势,不同于一般的以牺牲重构图像质量为代价换取重构速度的算法,本文算法得到的总体重构质量依然较好,证明了本文算法的有效性。
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1) 本文提出的基于自适应采样及平滑投影的分块压缩感知方法,通过对图像内容的分析,同时考虑扫描顺序对重构性能的影响,较好地解决了传统压缩感知方法由于固定码率分配从而限制了稀疏表示性能的问题。
2) 本文提出的方法重构速度很快,且能得到质量较好的重构图像。
本文提出的算法仅是从稀疏效果的角度进行设计,并未考虑图像的后续应用。在一些应用中,有时会对图像稀疏提出特别要求,比如保留小目标。在特定应用背景下设计高效的压缩感知算法,将作为下一步工作进行探索研究。
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