中比转速离心泵广泛用于城市供水、农业灌溉、石油化工和船舶等领域。一般传统设计的中比转速离心泵轴功率随流量增加而增大，导致离心泵在大流量区工作时容易引起配套电机过载或电机烧毁。因此研究中比转速离心泵无过载性能具有重要意义。

目前国内外研究者对离心泵的无过载性能进行了大量研究，但主要集中于低比转速离心泵范围。研究内容涉及进口条件及压水室结构研究、叶轮关键参数优化、有无过载设计判别理论及方法^[1-3]等。文献[4]根据公式，通过推导得出低比转速离心泵功率备用系数K的表达公式并验证公式的准确性；文献[5]指出无过载离心泵的功率备用系数K值(即最大轴功率与额定工况下轴功率的比值)一般小于1.2；文献[6]通过对叶轮增加分流叶片的方式验证离心泵无过载设计；文献[7]通过数值模拟发现前置导叶安放角的取值范围决定了功率曲线是否有极值；文献[8]总结了离心泵的比转速和叶轮出口宽度系数和出口直径系数的比值的关系，得到了中比转速多级离心泵无过载的设计方程组；文献[9-10]采用正交优化的方法，通过数值模拟和试验都能达到无过载设计要求，对离心泵无过载设计具有一定的参考价值；文献[11]通过数值模拟方法验证了叶轮叶片出口角、出口宽度和叶片包角是影响离心泵无过载的因素。

综上，离心泵无过载的研究已取得了一些研究成果，但对于中比转速离心泵无过载理论的研究甚少。如何根据比转速和功率备用系数选取合适的叶轮参数，保证中比转速离心泵无过载且高效率方面的研究还是空白。因此本文在中比转速离心泵无过载性能与叶轮几何参数设计关系方面进行研究。

1 中比转速离心泵无过载叶轮设计方法

在文献[12]中，将功率备用系数K值(即最大轴功率与额定功率的比值)表示成叶轮滑移系数、叶片出口角和流量系数的函数：

$ K=\frac{P_{\max }}{P}=\frac{\mathit{\Phi}_{\max } h_{0}-\frac{\mathit{\Phi}_{\max }^{2}}{\tan \beta_{2}}}{\mathit{\Phi} h_{0}-\frac{\mathit{\Phi}^{2}}{\tan \beta_{2}}} $

(1)

式中：$ \mathit{\Phi}_{\max }=\frac{1}{2} h_{0} \tan \beta_{2} ; h_{0}=1-\frac{\pi}{Z} \sin \beta_{2} ; K$为功率备用系数；P_max为最大轴功率；P为额定轴功率；Φ_max为最大轴功率点的流量系数；h₀为斯托道拉定义的滑移系数；Φ为设计工况点的流量系数；β₂为叶片出口角。

将Φ_max和h₀代入式(1)并化简得^[13]：

$ \begin{array}{c} K=\frac{P_{\max }}{P}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{\pi}{Z} \sin \beta_{2}\right)^{2}\left[\frac{\mathit{\Phi}}{\tan \beta_{2}}(1-\right. \\ \left.\left.\frac{\pi}{Z} \sin \beta_{2}\right)-\left(\frac{\mathit{\Phi}}{\tan \beta_{2}}\right)^{2}\right]^{-1} \end{array} $

(2)

对于比转速为80≤n_s≤150的中比转速离心泵中有经验公式^[12]：

$ \frac{b_{2}}{D_{2}}=0.000147 n_{s}^{\frac{4}{3}} $

(3)

一般离心泵出口排挤系数^[13]φ₂=0.8~0.9，为研究方便，取φ₂=0.85。再通过一元理论计算得到流量系数的关系式：

$ \begin{array}{c} n_{s}^{\frac{4}{3}} \eta_{h}^{3}\left(h_{0}-\frac{\mathit{\Phi}}{\tan \beta_{2}}\right)^{3}- \\ 3435.287022\left(\frac{1}{1+0.68 n_{s}^{-2 / 3}}\right)^{2} \mathit{\Phi}^{2}=0 \end{array} $

(4)

其中水力效率：

$ \eta_{h}=1+0.0835 \lg \sqrt[3]{\frac{Q}{n}} $

(5)

由水力效率公式可绘出η_h-Q图像，如图 1所示。大部分中比转速离心泵(即80≤n_s≤150)的转速为1 450 r/min或2 900 r/min。

从图 1中可以看出当流量Q发生变化时，η_h变化很小，可取η_h=0.875。这样η_h的上下浮动不会超过0.015，不会影响计算的精度，将η_h=0.875代入到式(4)中得：

$ \begin{array}{c} 0.6585 n_{s}^{4 / 3}\left(h_{0}-\frac{\mathit{\Phi}}{\tan \beta_{2}}\right)^{3}- \\ 3435.287022\left(\frac{1}{1+0.68 n_{s}^{-2 / 3}}\right)^{2} \mathit{\Phi}^{2}=0 \end{array} $

(6)

由式(6)可以将流量系数Φ表示为：Φ= $ f\left(n_{s}, \beta_{2}, Z\right)$，将其代入式(2)中得：

$ \begin{aligned} K=\frac{P_{\max }}{P} =\frac{1}{4}\left(1-\frac{\pi}{Z} \sin \beta_{2}\right)^{2}\left[\frac{f\left(n_{s}, \beta_{2}, Z\right)}{\tan \beta_{2}}(1-\right.\\ \left.\left.\frac{\pi}{Z} \sin \beta_{2}\right)-\left(\frac{f\left(n_{s}, \beta_{2}, Z\right)}{\tan \beta_{2}}\right)^{2}\right]^{-1} \end{aligned} $

(7)

这样功率备用系数即K值就是n_s、β₂、Z的函数。

2 不同参数对功率备用系数的影响 2.1 利用Matlab软件绘制图像

根据式(7)利用Matlab计算并绘制出K值关于n_s、β₂、Z的三维函数图像^[14]。为了更具体地看出在叶片数不变的情况下K值与n_s、β₂的关系，将叶片数Z看作常数，绘制出K值关于n_s、β₂的等高线图。对于中比转速而言，叶片数Z一般赋值为5、6、7，绘制图像如图 2、3所示。

2.2 计算结果分析

从图 3中可以看出：对于中比转速离心泵，当叶片数和泵的比转速一定时，功率备用系数K值越大，叶轮叶片出口角越大；当泵的比转速和叶轮叶片出口角一定时，叶片数的增加对K值影响较小；当K值一定时，比转速越大，选取的最大叶片出口角也越大；随泵比转速增大，叶片出口角度范围的最小值和最大值也在增大，以K=1.15为例，在80~150变化的比转速过程中，可选取的最大叶片出口角也从23°增加到32°左右。可见比转速、叶片出口角对离心泵功率备用系数影响较大。

在进行中比转速离心泵无过载叶轮设计时，就可以根据不同的功率备用系数和比转速结合关系式(7)以及图 2、3快捷准确地选取合适的叶片出口角，对于叶轮、蜗壳等其他参数的计算和选择与普通离心泵设计相同。这种理论设计创新不仅避免了传统设计方法中叶片出口角选择的盲目性，同时还提高了设计效率。

3 中比转速离心泵无过载设计及数值预测 3.1 无过载离心泵设计

根据上述的理论方法，设计了2台不同的中比转速无过载离心泵，其设计要求如表 1所示。

根据表 1中的要求，根据离心泵设计理论及K值等高线图，设计时n_s=84.5无过载离心泵要求最大轴功率与额定功率的比值K≤1.13，取叶轮叶片数为Z=6，根据比转速n_s=84.5和叶片数从图 3(2)中查得叶片出口角β₂≤22°，取β₂=22°。同理n_s=125.3离心泵叶片数Z=5，要求K≤1.17，从图 3(1)中查得叶片出口角β₂≤29°取β₂=29°。叶轮及蜗壳的其他参数根据泵的设计理论通过计算可以得到，设计的这2种中比转速无过载离心泵叶轮、蜗壳的主要参数如表 2所示。

根据表 2及叶轮、蜗壳其他几何参数对这2台中比转速离心泵三维建模，如图 4所示。

3.2 模拟和试验

对设计的无过载离心泵进行性能预测时，利用ICEM软件采用非结构化四面体对该模型进行网格划分，利用Fluent软件选取RNGK-ε模型，对速度与压力耦合方式选择SIMPLE，进口采用速度进口、出口采用自由出流方式进行性能预测^[15]。首先对2台中比转速离心泵进行网格无关性检查，然后再对2台中比转速离心泵多个工况点进行性能预测。

为了验证数值模拟的准确性，对其中一台比转速为84.5的无过载离心泵进行外特性实验，图 5为离心泵试验台。试验台包括模型泵；进出水管路；型号为AMF-80-2.5-1000-COA，精度等级为0.5级的电磁流量计；型号为3351DP7E22M3B3C2，精度等级为0.25级的压力传感器；型号为NJ1，精度等级为0.2级的转矩转速传感器；ZA2.T调节阀型号。泵实验时，对该泵在小流量、额定流量、大流量等11个工况点进行测试。

3.3 中比转速离心泵性能曲线和静压分析

本文只是模拟了离心泵的水力效率，对于n_s=84.5的离心泵为了和实验进行对比，通过数值模拟得到的水力效率η_h，最终计算出总效率η：

$ \eta=\eta_{\mathrm{h}} \eta_{\mathrm{m}} \eta_{\mathrm{v}} $

(8)

式中机械效率η_m和容积效率η_v取自文献[13]中的经验公式，将模拟数据和试验数据统计整理，如图 6所示^[17]。同时又做出2台中比转速离心泵的模拟结果静压如图 7、8所示。

将图 6中最大轴功率点和最高效率点的数据整理如表 3、4所示。

由表 3可知，对于n_s=84.5的离心泵，在最高效率点和最大轴功率点时，其实验数据和数值模拟数据相对误差都在5%以内，相对误差较小。通过数值模拟和实验可以计算出模拟中的功率备用系数K=1.127，实验的功率备用系数K=1.131，此离心泵设计要求的功率备用系数K=1.13。由表 4可知，对于n_s=125.3的离心泵通过数值模拟计算得到功率备用系数K=1.168，设计要求K=1.17。可见2台中比转速离心泵通过模拟或实验与设计的功率备用系数相差很小。因此通过上述理论和功率备用系数等值图可以快速选取中比转速离心泵叶轮几何参数，从而能够得到无过载且高效率的中比转速离心泵。

图 7、8是2台中比转速无过载离心泵在不同流量工况下中间截面上内部静压分布云图^[17]。从图中可以发现：泵在设计工况下运行时，叶轮内的流场分布更合理，流体的流态较好；叶片工作面和背面的压力差对流体做功使流体的动能和压力能从进口到出口逐渐增高；叶轮各流道内的静压分布并不均匀，尤其是靠近隔舌处，这主要是由于蜗壳的几何结构以及蜗壳与叶轮的相互作用造成的。

4 结论

1) 本文通过理论推导得出中比转速离心泵功率备用系数能够表示成仅与比转速、叶片出口角和叶片数相关的函数。通过三维函数图和等高线图可知叶片出口角、比转速对功率备用系数K值影响较大，而叶片数对K值影响较小。

2) 中比转速离心泵无过载设计时，在已知叶片数下，可以利用图像根据比转速和功率备用系数直接选取最合适的叶片出口角，避免了叶片出口角选取的盲目性，简化了设计过程。

3) 实例表明：通过数值模拟及试验计算得到的功率备用系数K值与设计时要求的K值误差较小，在合理范围内。