在过去的几十年里，为保证船舶货物的安全，提高船员的工作效率，船舶减摇装置被广泛使用，用来保持良好的船舶操纵性能和人员工作效率。目前，减摇鳍是在众多减摇设备中公认效果最好的，船舶减摇鳍减摇控制的相关文献数量巨大，其中大量文献使用传统频域方法的PID控制器来进行减摇鳍的控制。但传统PID控制中参数的选择策略决定了其控制效果只能针对特定的船型、特定航行环境才能有效^[1]，缺乏对环境变化和横摇未知非线性动态的考虑，导致鲁棒性能不佳，因此众多先进的控制算法被引入到减摇鳍控制器的设计中。Hickey等^[2]将船舶减摇鳍系统模型简化为二阶线性传递函数，并通过H_∞控制理论进行了对减摇鳍控制器进行了设计。随后，Hickey等^[3]将传统PID减摇鳍控制器转化为非约束化最优控制问题，进行了最优控制器的设计。学者们还进行了大量的横摇非线性特性研究工作和先进非线性减摇鳍控制器的设计工作。Taylan等^[4]研究了非线性阻尼力矩和非线性恢复力矩的不同表达形式对船舶横摇运动建模的影响。Surendran讨论了不同线性和非线性组合形式及其对船舶横摇运动的影响。随后，Surendran等^[5]详细阐述了如波倾角、波浪遭遇角、船舶初稳性高度等参数对船舶横摇在动态环境中非线性特性的影响。在船舶减摇鳍非线性控制器的设计方面，Do等^[6]设计了一种基于神经网络的非线性鲁棒自适应控制器。Yang等^[7]用模糊逻辑推理系统设计了减摇鳍控制器。Alarcin^[8]基于内模控制策略设计了一种自适应神经网络减摇鳍控制器。Perez等^[9]采用约束最优化预测控制方法来进行减摇鳍控制器的设计。罗伟林等^[10]则提了一种函数链接神经网络控制方法的减摇鳍控制器。Moradi等^[11]使用滑模变结构自适应鲁棒控制方法对减摇鳍控制中的不确定项进行处理。Hinostroza等^[12]提出一种基于L₂鲁棒控制的减摇鳍控制器。李荣辉等^[13]针对减摇鳍存在输出饱和和模型参数不确定的问题，采用自适应神经网络进行非线性减摇鳍控制器的设计。

从以上所述文献中可以看出，非线性鲁棒控制器设计策略是一种非常有效的控制器设计方法用以解决减摇鳍系统中所存在的不确定项、模型参数摄动和抑制外界干扰的有效解决策略。因此，本文将借鉴L₂增益鲁棒控制理论和Lyapunov控制器设计方法，并在此过程中采用闭环成形滤波的概念，用于进一步增强减摇鳍控制系统的稳态性能和鲁棒性而展开研究。

1 船舶横摇系统非线性数学模型

通常船舶的横摇运动方程可以表述为：

$ {F_1}\left( {\ddot \theta } \right) + {F_2}\left( {\dot \theta } \right) + {F_3}\left( \theta \right) = {F_C} + {F_W} $

(1)

式中：θ表示为船舶的横摇角度; F₁为船舶的横摇惯性矩; F₂为船舶的横摇阻尼力矩; F₃为船舶的横摇恢复力矩; F_C为减摇鳍所产生的船舶控制力矩; F_W为外界风浪干扰所引起的船舶扰动力矩。

船舶横摇惯性力矩为I₄₄+δI₄₄，其中${I_{44}}\delta {I_{44}} = \Delta \left( {{B^2} + 4K{G^2}} \right)/12g$。船舶的横摇惯性矩为船舶的横摇惯性力矩与船舶横摇角加速度的乘积，由此可得:

$ {F_1}\left( {\ddot \theta } \right) = \Delta \left( {{B^2} + 4K{G^2}} \right)\ddot \theta /\left( {12g} \right) $

(2)

船舶的非线性阻尼力矩通常可描述为:

$ {F_2}\left( {\dot \theta } \right) = {B_{L2}}\dot \theta + {B_{N2}}\dot \theta \left| {\dot \theta } \right| $

(3)

式中:线性阻尼系数${B_{L2}} = (2a\sqrt {\left( {{I_{44}} + \delta {I_{44}}} \right)\Delta {G_M}} )/{\rm{ \mathit{ π} }}$; 非线性阻尼系数${B_{N2}} = 0.75b\left( {{I_{44}} + \delta {I_{44}}} \right)$。其中，G_M为船舶的初稳性高度；a、b为船舶的无因次衰减系数。

船舶的横摇恢复力矩可表示为船舶的稳性力臂G_Z乘上船舶的排水量Δ:

$ {F_3}\left( \theta \right) = \Delta \cdot {G_Z} $

(4)

式中：G_Z为船舶的非线性恢复力臂，可描述为一个关于船舶横摇角度θ的代数多项式，近似表达为${G_Z}(\theta ) = {C_1}\theta + {C_3}{\theta ^3} + {C_5}{\theta ^5}$；多项式系数C₁和C₃可由船型和船舶的装载状态所决定，如船舶的初稳性高度G_M，船舶横摇稳性消失角θ_v和静稳性曲线下的面积A_θv，其估算公式为${C_1} = {G_M}, {C_3} = 4\left( {3{A_{{\theta _r}}} - } \right.\left. {{G_M}\theta _v^2} \right)/\theta _v^4, {C_5} = - \frac{3}{{{\theta ^6}}}\left( {4{A_{{\theta _r}}} - {G_M}\theta _v^2} \right)$。

减摇鳍作为一种最为有效的船舶减摇设备通常装在船弦两侧，其工作时产生升力F_C用以抵消风浪等外界干扰产生的扰动力矩，从而到达减小船舶横摇的目的。一般其控制力矩可表示为：

$ {F_C} = - \rho {V^2}{A_F}{l_F}{C_L}{\alpha _{{\rm{act}}}} $

(5)

式中：ρ为流体密度；V为船舶航速；A_F为减摇鳍的面积；l_F为减摇鳍力臂；C_L表示为减摇鳍升力系数，它可通过船舶的水池试验进行获取；α_act表示减摇鳍与船舶前进方向所形成的冲角，其主要包括减摇鳍的转动角度α和斜流角α′2部分，即α_act=α+α′。通常${\alpha ^\prime } = \dot \theta {l_F}/V$，则式(5)可改写为：

$ {F_C} = - \rho {V^2}{A_F}{C_L}\left( {\alpha + \dot \theta {l_F}/V} \right){l_F} $

(6)

鳍机伺服系统本身是一个具有延迟、滞环、饱和等非线性特性的电动液压系统。在设计控制器中，通常将其近似成一阶线性系统：

$ {T_e}\dot \alpha = {K_\alpha }{\alpha _c} - \alpha $

(7)

式中：T_e为减摇鳍时间常数；K_α为减摇鳍控制输入增益；α_c为减摇鳍控制命令角。

船舶在海上航行时，船舶产生横摇运动的主要外力是波浪力。其中规则正弦波所产生的横摇力矩F_W，其可表示为：

$ {F_W} = \omega _e^2{a_m}{I_{44}}\cos \left( {{\omega _e}t} \right) $

(8)

令ω_w表示为波浪源频率(ω_w=2π/T_w)，其中T_w为波浪的运动周期；波浪的遭遇频率可近似表达为${\omega _e} = {\omega _w} - \omega _{w}^2V\cos {\mu _w}/g$, 其中μ_w为波浪的遭遇角。最大波倾角a_m的表达式为a_m=πh/λ(h为波浪的波高，λ为波浪的波长)。

因此，将式(1)进行整理得：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{I_{44}} + \delta {I_{44}}} \right)\ddot \theta + {B_{L2}}\dot \theta + {B_{N2}}\dot \theta \left| {\dot \theta } \right| + \mathit{\Delta }\left( {{C_1}\theta + {C_3}{\theta ^3}} \right) = }\\ {\omega _e^2{a_m}{I_{44}}\cos \left( {{\omega _e}t} \right) - \rho {V^2}{A_F}{C_L}\left( {\alpha + \dot \theta {l_F}/V} \right){l_F}} \end{array} $

(9)

将式(9)两端同时除以(I₄₄+δI₄₄)，可得到：

$ \ddot \theta + {b_L}\dot \theta + {b_N}\dot \theta \left| {\dot \theta } \right| + \omega _\theta ^2\theta + {m_3}{\theta ^3} = {f_W} - {b_1}\alpha - {b_2}\dot \theta $

(10)

式中：b_L=B_L2/(I₄₄+δI₄₄)；ω_θ²=(GM ·Δ)/(I₄₄+δI₄₄)；b₁=(ρV²A_FC_Ll_F)/(I₄₄+δI₄₄)；b_N=B_N2/(I₄₄+δI₄₄)；m₃=C₃/(I₄₄+δI₄₄)；b₂=(ρVA_FC_Ll_F²)/(I₄₄+δI₄₄)；f_W=λ_eω_e²a_mcos(ω_et)；ω_θ为船舶的横摇固有频率；λ_e为船舶的无因次惯性矩系数，其值通常为0.80。如果假设船舶所受到的外部波浪干扰f_W有界，且系统和减摇鳍的未建模误差${\mathit{\Delta }_1}(\theta , \dot \theta , t)$和${\mathit{\Delta }_2}(\alpha ,\dot \alpha ,t)$有界，则可得到下面的非线性船舶横摇运动方程：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\ddot \theta - f\left( {\theta ,\dot \theta } \right) + {\Delta _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) - {f_W} = b\alpha }\\ {{T_e}\dot \alpha + \alpha + {\Delta _2}\left( {\alpha ,\dot \alpha ,t} \right) = {K_\alpha }{\alpha _c}} \end{array}} \right. $

(11)

式中：${a_1} = - \left( {{b_L} + {b_2}} \right), {a_2} =$$- {b_N}, {a_3} = - \omega _\theta ^2, {a_4} = - {m_3}, b = - {b_1}, f(\theta , \dot \theta ) = $$ {a_1}\dot \theta + {a_2}\dot \theta |\dot \theta | + {a_3}\theta + {a_4}{\theta ^3}$

2 减摇鳍非线性鲁棒控制器设计

整个船舶减摇鳍非线性鲁棒控制器的设计采用反步法的基本框架进行。在进行反步法设计前需要对非线性横摇模型式(11)采用反馈线性的化方法进行线性化处理，并在此过程中引入闭环成形滤波器，用于提升控制器对模型误差和不确定干扰的鲁棒性能。而L₂增益鲁棒控制器设计策略的使用实现了对外界环境干扰的抑制。

2.1 反馈线性化

令系统的输出为y=θ，y_r为船舶横摇角输出命令信号。考虑到船舶横摇控制的实际工程情况，可假定${y_r} = {\dot y_r} = {\ddot y_r} = 0$同时定义系统的跟踪误差变量为：

$ z = y - {y_r} = \theta $

(12)

定义系统控制输入：

$ {\alpha _d} = - \left( {f\left( {\theta ,\dot \theta } \right) + {u_1}} \right)/b $

(13)

式中：u₁为引入的虚拟控制器，可用来处理船舶横摇系统的未建模误差${\mathit{\Delta }_1}(\theta , \dot \theta , t)$和外界干扰f_W。

定义减摇鳍系统的控制误差信号ξ为：

$ \xi = {\alpha _d} - \alpha $

(14)

则式(11)第1子系统可改写为：

$ \ddot \theta = - {u_1} - b\xi - {\Delta _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) + {f_W} $

(15)

定义虚拟控制量为：

$ {\alpha _c} = \frac{1}{{{K_\alpha }}}\left( {{\alpha _d} + {u_2}} \right) $

(16)

因为$\alpha = {\alpha _d} - \xi $，则式（11）第2子系统可改写为：

$ {T_e}\dot \xi = {T_e}{{\dot \alpha }_d} - \xi - {u_2} + {\Delta _2} $

(17)

2.2 闭环成形滤波

图 1是个典型的反馈控制系统结构图，其中G和K分别为被控对象和闭环系统控制器的传递函数，w为系统的外界干扰。其中对图 1的理解可从控制和滤波2个角度进行。

理解1  从控制的角度看，图 1系统中控制器K设计的主要目的就是通过控制器K对被控对象G施加控制，实现整个系统输出y对系统外部输入r的跟踪，即可表达为传递函数GK/(1+GK)。

理解2  从滤波的角度看，图 1系统可以看出在外界干扰w的作用下，通过控制器K和被控对象G的闭环反馈组合，实现整个系统输出y信号对目标信号r的稳定跟踪，或者说是如何实现系统输出y信号在有噪声信号w的情况下实现对目标信号r的稳定跟踪，其可表达为传递函数1/(1+GK)。

根据数学关系GK/(1+GK)+1/(1+GK)=I，可以看出，只要找到合适的控制器K，图 1系统的控制问题就会得到较好的解决(理解1)，同时该控制器K也可以较好地解决图 1所示系统的滤波问题(理解2)。正是基于此思想下，对控制系统的需求做如下假设：

假设1  闭环系统的工作频谱为低通，即系统的主要工作在低频区域，高频区域作为干扰存在；

假设2  闭环系统的频谱最大奇异值设置为1，即系统的频谱峰值为0，从而保证系统稳定、无静差地跟踪参考信号r；

假设3  闭环系统频谱的关门斜率可取-20 dB/(°)用来对外界干扰的抑制。

在这3个控制系统需求假设的基础上，根据理解1可知，整个闭环控制系统的控制性能可由传递函数T=G_K/(G_K+1)决定，这时根据假设3，整个闭环系统可描述为一个一阶低通滤波器F(s)，即：

$ F\left( s \right) = \frac{{G\left( s \right)K\left( s \right)}}{{1 + G\left( s \right)K\left( s \right)}} = \frac{1}{{\lambda s + 1}} $

(18)

此时整个闭环控制系统的性能将主要由系统的闭环系统的带宽频率1/λ所决定。如果闭环系统的被控对象已知，则可根据式(18)推导出闭环系统的控制器K，即：

$ K\left( s \right) = 1/\left( {\lambda G\left( s \right)s} \right) $

(19)

而且结合理解1和理解2，可知通过控制器式(19)实现整个如图 1所示闭环系统成形滤波效果。

针对船舶减摇鳍控制系统，其被控对象的传递函数可近似表达为：

$ G\left( s \right) = a/\left( {{s^2} + bs} \right) $

(20)

为了实现整个控制系统闭环成形滤波的效果，则对应的系统反馈信号可根据式(19)定义为：

$ \eta = \left( {{\lambda _2}\theta + \dot \theta } \right)/{\lambda _1} $

(21)

式中：λ₁=aλ；λ₂=b。

因此，为了在控制器的设计中，通过式(21)的引入可实现对整个控制系统闭环成形滤波效果，而且起到了控制器设计降阶的效果，即将二阶方程式(15)降为一阶方程式为：

$ {\lambda _1}\dot \eta = {\lambda _2}\dot \theta - {u_1} - b\xi - {\Delta _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) + {f_W} $

(22)

从而系统(11)可改写为关于变量ξ和η的一阶方程(17)和(22)，而虚拟输入u₁和u₂则作为系统的输入。

2.3 Lyapunov函数控制器设计

针对式(17)和式(22)进行控制器设计，定义Lyapunov函数式为：

$ {V_0} = \frac{1}{2}{z^2} + \frac{1}{2}{\lambda _1}{\eta ^2} + \frac{1}{2}{T_e}{\xi ^2} $

(23)

则V₀的导数为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_0} = z\dot z + \eta {\lambda _1}\dot \eta + \xi {T_e}\dot \xi = }\\ { - {\lambda _2}{z^2} + \xi \left( {{T_e}{{\dot \alpha }_d} - \xi - {u_2} + {\Delta _2}} \right) + }\\ {\eta \left( {{\lambda _1}\theta + {\lambda _2}\dot \theta - {u_1} - b\xi - {\Delta _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) + {f_W}} \right)} \end{array} $

(24)

2.4 L₂增益非线性鲁棒控制器设计

为了能够使最终设计出的控制器能够抑制外界干扰f_W，定义L₂增益鲁棒性能函数为：

$ \int_0^t {{{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2}} \le \mu _1^2\int_0^t {f_W^2\left( \tau \right){\rm{d}}\tau + {\mu _2}} $

(25)

式中μ₁和μ₂为接近零的正数，通常情况下，他们的值越小，对外界干扰的抑制能力越好，同时对控制力矩的需求也就越大。

考虑到本文主要是对船舶横摇的控制，所以可将性能评价变量X定义为$\mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} \theta &{\dot \theta } \end{array}} \right]$，则可得到:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2} - \mu _1^2f_W^2 \equiv \frac{1}{{4\mu _1^2}}{\eta ^2} - {{\left( {\frac{1}{{2{\mu _1}}}\eta - {\mu _1}{f_W}} \right)}^2} + }\\ {{{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2} - \eta {f_W} \le \frac{1}{{4\mu _1^2}}{\eta ^2} + {{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2} - \eta {f_W} = }\\ {\frac{1}{{4\mu _1^2}}{\eta ^2} + {\theta ^2} + \lambda _1^2{\eta ^2} + \lambda _2^2{\eta ^2} - }\\ {2{\lambda _1}{\lambda _2}\eta \theta - \eta {f_W}} \end{array} $

(26)

将式(24)和(26)合并，得到:

$ \begin{array}{l} {{\dot V}_0} + {\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|^2} - \mu _1^2f_W^2 \le \eta \left( {{\lambda _1}\theta + {\lambda _2}\dot \theta - {u_1} - } \right.\\ \left. {b\xi - {\Delta _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) + {f_W}} \right) + \\ \xi \left( {{T_e}{{\dot \alpha }_d} - \xi - {u_2} + {\mathit{\Delta } _2}} \right) + \frac{1}{{4\mu _1^2}}{\eta ^2} + {\theta ^2} + \\ \lambda _1^2{\eta ^2} + \lambda _2^2{\theta ^2} - 2{\lambda _1}{\lambda _2}\eta \theta - \eta {f_W} - {\lambda _2}{z^2} = \\ - \left( {{\lambda _2} - \lambda _2^2 - 1} \right){z^2} + \xi \left( {{T_e}{{\dot \alpha }_d} - \xi - {u_2} - b\eta + {\mathit{\Delta } _2}} \right) + \\ \eta \left( {{\lambda _1}\theta + {\lambda _2}\dot \theta - 2{\lambda _1}{\lambda _2}\theta - {u_1} - {\mathit{\Delta } _1}\left( {\theta ,\dot \theta ,t} \right) + } \right.\\ \left. {\frac{1}{{4\mu _1^2}}\eta + \lambda _1^2\eta + {\lambda _1}\eta - {\lambda _1}\eta } \right) \end{array} $

(27)

则虚拟控制器u₁可设计为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {\lambda _1}\theta + {\lambda _2}\dot \theta - 2{\lambda _1}{\lambda _2}\theta + \frac{1}{{4\mu _1^2}}\eta + }\\ {\lambda _1^2\eta + {\lambda _1}\eta + \frac{{\rho _1^2}}{{\left| \eta \right|{\rho _1} + {\varepsilon _1}}}\eta } \end{array} $

(28)

假设系统未建模误差${\mathit{\Delta }_1}(\theta , \dot \theta , t)$有界，且$\left| {{\mathit{\Delta }_1}} \right| \le {\rho _1}, \forall {\rho _1} > 0$则存在：

$ \left| \eta \right|{\rho _1} - \frac{{\rho _1^2}}{{\left| \eta \right|{\rho _1} + {\varepsilon _1}}}{\eta ^2} \le {\varepsilon _1} $

(29)

式中ε₁为大于零的数。

则式(27)转化为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_0} + {{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2} - \mu _f^2f_W^2 \le - \left( {{\lambda _2} - \lambda _2^2 - 1} \right){z^2} - }\\ {\lambda _1^2\eta + {\varepsilon _1} + \xi \left( {{T_e}{{\dot \alpha }_d} - \xi - {u_2} - b\eta + {\Delta _2}} \right)} \end{array} $

(30)

接下来的设计主要使用虚拟控制器u₂来抵消误差Δ₂。对于式(25)中的变量${\dot a_d}$由于其较高的复杂度，所以在控制器设计过程中需要进行简化，并假设${\dot a_d}$为有界函数，并满足$\left| {{{\dot a}_d}} \right| < {\rho _3}$所以虚拟控制器u₂可设计为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = - \xi - b\eta + \frac{{\rho _2^2}}{{\left| \eta \right|{\rho _2} + {\varepsilon _2}}}\xi + }\\ {\frac{{\rho _3^2}}{{{T_e}\left| \xi \right|{\rho _3} + {\varepsilon _3}}}T_e^2\xi + {\lambda _3}{T_e}\xi } \end{array} $

(31)

同时式(30)简化为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot V}_0} + {{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2} - \mu _1^2f_W^2 \le - \left( {{\lambda _2} - \lambda _2^2 - 1} \right){z^2} - }\\ {{\lambda _1}{\eta ^2} - {\lambda _3}{T_e}{\xi ^2} + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}} \end{array} $

(32)

定义${a_0} = \min \left\{ {\left( {{{\rm{ \mathit{ λ} }}_2} - {\rm{ \mathit{ λ} }}_2^2 - 1} \right), {{\rm{ \mathit{ λ} }}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{ \mathit{ λ} }}_3}} \right\}$同时定义${\varepsilon _0} = \max \left\{ {{\varepsilon _1}, {\varepsilon _2}, {\varepsilon _3}} \right\}$，则不等式(32)可简化为：

$ {{\dot V}_0} + {\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|^2} - \mu _1^2f_W^2 \le - 2{a_0}{V_0} + {\varepsilon _0} $

(33)

对(33)进行积分，则：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{V_0}\left( t \right) + \int_0^t {{{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2}} {\rm{d}}\tau - \mu _1^2\int_0^t {f_W^2} {\rm{d}}\tau \le \frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{a_0}}} + }\\ {\left( {{V_0}\left( 0 \right) - \frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{a_0}}}} \right)\exp \left( { - 2{a_0}t} \right)} \end{array} $

(34)

因此$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{V_0}(t) + \int_0^t {||X||{^2}} {\rm{d}}\tau - \mu _1^2\int_0^t {f_W^2} {\rm{d}}\tau - \frac{{{\varepsilon _0}}}{{2{a_0}}}} \right) = 0$

同时根据Lyapunov函数V₀的定义可知V₀(t)≥ε₀/2a₀，则进一步推导可得到:

$ \int_0^t {{{\left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|}^2}} {\rm{d}}\tau - \mu _1^2\int_0^t {f_W^2} {\rm{d}}\tau \le \varepsilon ' $

(35)

式中：ε′为接近零的正数。则最终可推导出本文所设计的控制器可满足L₂增益鲁棒性能指标。最终所得到的船舶减摇鳍非线性鲁棒控制系统的结构如图 2所示。

3 仿真实验与应用分析

以大连海事大学专用教学实习船“育鲲轮”为例，在设计航速下，采用四阶龙哥库塔方法对船舶横摇响应状态进行分析，并通过数字仿真对比实验来验证本文所提出的减摇鳍非线性鲁棒控制器设计方法的有效性。“育鲲轮”^[14]的船舶总长为L=116.0 m，两柱间长为L_M=105.0 m，型宽为B=18.0 m，型深(至主甲板)为D=8.35 m，型深(至游步甲板)为D_M=11.10 m，船舶设计吃水为T=5.4 m，船舶排水量(设计吃水)为Δ=5 735.50 m³，船舶初稳性高度为G_M=1.71 m，横摇稳性消失角为θ_v=53°，方形系数为C_b=0.559 5，设计航速为V=16.7 kn，减摇鳍鳍叶面积(单侧)为A_F=3.6 m²，减摇鳍展弦比为λ=2.0，减摇鳍升力系数为C_L=2.602 6，减摇鳍力臂为L_F=12.25 m。由此该船在设计上充分考虑航行安全，因此抗沉性能十分良好，但同时在相同的航行条件下抗风浪摇摆能力一般，所以该船配置了收放式减摇鳍。

图 3为不同波倾角下的船舶横摇频率响应曲线和静稳性力臂曲线曲线图，其中波倾角从1/100~1/25变化，船舶的横摇幅值随着波浪的波倾角的变大而变大，并且根据船舶的静稳性力臂曲线图可以看出，当船舶横摇幅值到达28°时，随着横摇角度的增大船舶横摇的稳性将逐渐减少，而当船舶横摇幅值达到53°时，船舶将完全丧失横摇稳性，从而发生倾覆的危险。同时当波浪的遭遇频率从0~2.0 rad/s变化，船舶横摇最大幅值发生在波浪遭遇频率是在低频范围内，其值约为0.68 rad/s。仿真研究中，除将鳍机伺服系统看成如式(7)所示的一阶惯性系统外，鳍机本身的输出饱和特性也的影响也是不可忽略的。对于“育鲲轮”，可将鳍机输出角度饱和值(max_angle)设为20°，减摇鳍控制输入增益K_α=1，减摇鳍时间常数T_e=2。

3.1 仿真场景1

取6级风情况下的规则波进行仿真对比实验如图 4所示。其中仿真环境下设定海浪周期T_w=8 s，波高h=3 m，波倾角a_m=1/30，船舶与波浪的遭遇角为μ_w=30，船舶的横摇初始角设定为10°。取系统的带宽频率倒数λ=0.1，则可按照式(21)得到系统的闭环成形滤波函数参数值为λ₁=0.005 04，λ₂=0.085 4。在确定了本文控制器的最主要的滤波变量后，其他变量的取值可根据控制效果和控制性能指标的需要进行选择，本文选取其他控制参数为λ₃= 0.01，μ₁=100，ρ₁=ρ₂=ρ₃=0.001，ε₁=ε₂=ε₃=10。最终得到本文控制器的横摇控制仿真结果和减摇鳍控制器执行仿真结果如图 5(a)和图 5(b)所示。

由于本文所提出的控制器设计方法借鉴了文献[12]的L₂增益鲁棒控制器设计策略和文献[15]的闭环增益成形控制器设计策略，所以本文所提出的控制器设计方法将会和这2种方法进行对比试验，其中实线(本文)为利用本文所提出方法设计出的控制器的仿真试验结果，虚线(文献[15])为闭环增益成形控制器设计策略进行仿真试验的结果，其主要控制器参数为系统的带宽频率倒数T₁=0.1，双划线(文献[12])为利用L₂增益鲁棒控制策略所设计出控制器的仿真试验结果，其控制器参数采用和文献[12]相同的参数进行仿真试验。

通过对比仿真试验可以发现，本文和L₂增益鲁棒控制所设计的控制器在横摇角的控制效果上明显好于CGSA所设计的线性控制器，而在控制器的减摇鳍执行输出方面，本文所提出的控制器由于引入的闭环成形滤波的概念，所以所得到的控制器输出在幅度和频率上要明显要小于CGSA和L₂增益鲁棒控制策略的效果。可以说本文所提出的控制器设计策略就是利用CGSA和L₂增益鲁棒控制在频域控制理论和时域控制理论的各自优点进行融合而产生的新型融合型控制器设计策略，而仿真试验的结果也证明了这种结合对控制系统性能的提升是有明显效果的。

3.2 仿真场景2

在海上航行时，海浪对船舶的横向输入干扰是引起船舶横摇的主要原因。而真实海浪多为随机过程下的多向不规则波浪，因此采用多向不规则波进行船舶横摇控制仿真试验比目前船舶横摇控制系统研究中普遍采用二维不规则波从仿真结果的可信度来说具有无可比拟的优越性，因此本文解析来将采用三维不规则波进行船舶横摇控制系统的进行仿真实验。

采用合田改进的JONSWAP波浪频谱：

$ S\left( f \right) = {\beta _j}h_{1/3}^2T_p^{ - 4}f_w^{ - 5}\exp \left[ { - \frac{5}{4}{{\left( {{T_p}{f_w}} \right)}^{ - 4}}} \right]{\gamma ^{\exp \left[ { - {{\left( { - {f_w}/{f_p} - 1} \right)}^2}/2{\sigma ^2}} \right]}} $

(36)

式中γ为频谱参数，计算时取：

$ \left\{ \begin{array}{l} \gamma = 3.3,{\beta _j} = \frac{{0.06238}}{{0.23 + 0.0836\gamma - 0.185{{\left( {1.9 + \gamma } \right)}^{ - 1}}}} \cdot \\ \left( {1.094 - 0.01915\ln \gamma } \right),\\ \sigma = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.07,}&{{f_w} \le {f_p}}\\ {0.09,}&{{f_w} > f} \end{array}} \right.\\ {T_p} = \frac{{{T_w}}}{{1 - 0.132{{\left( {\gamma + 0.2} \right)}^{ - 0.559}}}}。\end{array} \right. $

海浪方向函数如式(37)所示：

$ G\left( {f,\theta } \right) = {\left[ {\int_{ - \frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2}}^{\frac{{\rm{ \mathit{ π} }}}{2}} {{{\cos }^{2s}}\left( {\frac{\theta }{2}} \right){\rm{d}}\theta } } \right]^{ - 1}} \cdot {\left| {\cos \left( {\frac{{\theta - {\theta _0}}}{2}} \right)} \right|^{2s}} $

(37)

采用双叠加法模拟多向不规则波，即把多向不规则波的波能同时分布在一定频域和方向范围内，并把频域范围分成M份，方向分割成I份，同时把每个单元的波看出简谐波，其振幅表达式为:

$ {a_{mi}} = \sqrt {2s\left( {{\omega _m},{\theta _i}} \right)\Delta \omega \Delta \theta } $

(38)

式中：$s\left( {{\omega _{mi}}, {\theta _i}} \right) = s\left( {{\omega _{mi}}} \right) \cdot G\left( {{\omega _{mi}}, {\theta _i}} \right);\Delta \theta = \left( {{\theta _{\max }} - } \right.\left. {{\theta _{\min }}} \right)/I;\Delta \omega = \left( {{\omega _H} - {\omega _L}} \right)/M$。

最后利用式(39)进行多向不规则波的数值计算：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\eta \left( {x,y,t} \right) = \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{i = 1}^I {{a_{mi}}\cos \left[ {{k_{mi}}\left( {x\cos {\theta _i} + } \right.} \right.} } }\\ {\left. {\left. {y\sin {\theta _i}} \right) - {\omega _{mi}}t + {\varepsilon _{mi}}} \right]} \end{array} $

(39)

式中：ω_mi为波浪的角频率，其值可取：

$ {\omega _{mi}} = {\omega _m} - \frac{1}{2}\Delta \omega + \left( {i - 1 + {R_{{\rm{an}}mi}}} \right)\Delta \omega /I $

(40)

式中：R_anmi为(0，1)内的均匀分布随机数。

假定仿真场景仍设定为6级风，即平均海浪周期仍然取T_w=8 s，海浪的有义波高h_1/3=3 m，则可得到如图 4所示的多向不规则波浪面仿真结果。此时设定船舶保持航向正北0°，船舶与波浪的遭遇角为μ_w=30°进行仿真计算时，将坐标轴的原点设定为船舶的重心点，则利用式(8)~(10)可计算出船舶在多向不规则波中的横摇角度响应曲线如图 7所示。设定控制器对比实验的控制器参数与之前仿真场景1的相同，则可得到如图 6所示的仿真对比试验结果。通过对图 6所示仿真对比试验的结果分析，可以更加证实仿真场景1的试验结论，同时通场景1和场景2的仿真对比可以看出，多向不规则波中的控制效果要明显变差，这主要是由于多向不规则波中包含有产生“育鲲轮”横摇最大幅值附近的频率分量所致，因此需要更多的控制输出能量才能加以抵消。

4 结论

1) 将控制问题从滤波的角度进行本质理解，采用Lyapunov函数方法，融合了闭环成形滤波理论和L₂增益鲁棒控制理论各自优点，从实际应用角度出发，采用了频域控制器设计和时域控制器设计方法的完美结合，并应用于船舶减摇鳍控制器设计中，仿真试验的结果也证明了这种结合对控制系统性能的提升是有明显效果的。

2) 在规则波和非规则波的条件下，通过与闭环增益成形算法和L₂增益鲁棒控制方法的仿真对比实验，证明了本文所提出方法对减摇鳍控制系统性能的提升具有明显的优势。

3) 未来将会将本文所提出的方法应用于大型商船和小型无人船进行应用性试验，为本文控制器设计方法的推广提供更为可靠的实验数据。