水下兵器在航行过程中的阻力远大于空中武器，因此很有必要对水下航行体进行减阻设计，减阻设计主要包括超空泡减阻、减阻溶液减阻、流线型型面减阻。前两者主要依靠空化现象，使航行体周围的接触介质变为水蒸气和空气，但仍受到空泡不稳定，减阻溶液的携带量等诸多限制，流线型设计则避开了这些限制条件。忽略航行体的尾翼，可将其视为回转体，其流线型型面设计，国内外都有学者研究，其中Nesteruk^[1]采用负压梯度(dp/dx < 0)型面的非分离体设计，可抑制流体在表面发生分离以及空化，减小其阻力，并最近对其所设计的UA-2进行了实验^[2]，进一步说明了非分离体存在的可能。安伟光等^[3]对UA-2进行了数值模拟，在一定的范围内没有发生分离，但速度过大时却产生了空化现象。Hansen等^[4]通过延长弹体的层流段来减少其阻力。Jerome等^[5]提出了在不可压缩流中，最小阻力的回转体外形的设计方法。宋保维等^[6]利用复合形法，给出了回转体最小阻力的外形优化设计，延长层流段来减阻。杜月中等^[7]则概括了回转体的流线型设计的几种主要方法。肖华攀等^[8]对比了不同参数流线型水下航行体的阻力特性，为其设计了三维导流罩减小其阻力。总之，要想使其阻力最小，尽量使其处于层流状态下，而要想使其不发生流动分离，尽量使正压梯度范围小，且范围内表面流体速度下降趋势缓慢。本文采用负压梯度思想，仅依靠特殊外形就可以保持层流不分离状态，对水下弹体进行设计，并对其进行水下航行模拟，证实在一定的速度范围内，弹体表面未发生流动分离和空化，存在非分离的航行状态。

1 非分离体型面设计

要达到物面流体不发生边界层分离的目标，尽可能使物面均处于负压力梯度之下，但是根据伯努利方程可知，压力梯度必然在物面最高点处变为正压梯度，且此处的最大压力应大于空化压力，防止其空化。采用二阶连续物面曲线可以尽量使压力系数光滑过度，使边界层的流体不发生分离。

对于该非分离体的设计，由于速度达不到水中的音速，假设其匀速航行，故采用亚音速柱坐标系(x, r)下无量纲形式的稳态细长体理论，弹体表面的势函数为^[9-10]:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\varPhi (x,r,\varepsilon ) = {x^2} + {\varepsilon ^2}{\rm{ln}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon A(x) + }\\ {{\varepsilon ^2}\{ A(x){\rm{ln}}(\omega {r_*}) + B(x)\} + O({\varepsilon ^4}{\rm{l}}{{\rm{n}}^2}\varepsilon )} \end{array} $

(1)

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ 式中 }}:{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon = \frac{D}{{2L}} < < \frac{{{a_w}}}{U},}\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {r_*} = \frac{r}{\varepsilon },\quad A(x) = F\frac{{{\rm{d}}F}}{{{\rm{d}}x}}} \end{array}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{c}} {F(x) = \frac{{R(x)}}{\varepsilon },\quad B(x) = - A(x){\rm{ln}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 2 - I(x)}\\ {\omega = \sqrt {|{{(U/{a_w})}^2} - 1|} }\\ {I(x) = 0.5\int_0^1 {\frac{{{\rm{d}}A(\xi )}}{{{\rm{d}}\xi }}} {\rm{singn}} (x - \xi ){\rm{ln}}|x - \xi |{\rm{d}}\xi } \end{array} \end{array} $

式中：D为物体的最大直径；L为物体的长度；R为物体半径；ε是一个与长径比有关的小量；a_w为水中音速；U为弹体航行速度。

假设弹体所处的环境为不可压缩流体，根据式(1)和伯努利积分可得物面的压力系数为^[9-10]：

$ {C_p}(x) = - {\rm{ln}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon \frac{{{{\rm{d}}^2}{R^2}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} + O({\varepsilon ^2}) $

(2)

式(2)的一个精确解为^[11]：

$ {{C_p}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - ax - 2c,}&{0 \le x < {x_*}}\\ { - {a_1}(x - 1),}&{{x_*} \le x \le 1} \end{array}} \right.} $

(3)

$ {{R^2}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {E{x^2}(ax + 6c),}&{0 \le x < {x_*}}\\ {E{a_1}{{(x - 1)}^3},}&{{x_*} \le x \le 1} \end{array}} \right.} $

(4)

其中：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {a = {a_1}({x_*} - 1)(2x_*^2 + 2{x_*} - 1)/2{x^3}}\\ {c = {a_1}({x_*} - 1)(1 - 2{x_*})/4x_*^2}\\ {E = 1/(6{\rm{ln}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \varepsilon )} \end{array} $

式中：a₁、x_*、E为常数(其中x_*为弹体最大半径处)，因此a、c也为常数。然而，此解得出的物面方程是不连续的，在弹体x=x_*处有尖点，很可能发生流动，细长体理论在此处不适用，可以利用分布在对称轴处的源和汇对其修正，使其连续，这样物面连续，二阶也连续，流体就不容易发生流动分离了。

在柱坐标系下，流函数的表达式为：

$ \varPsi (x,r) = 0.5{r^2} - \frac{1}{{4\pi }}\int_0^1 {\frac{{(x - \xi )q(\xi )}}{{\sqrt {{{(x - \xi )}^2} + {r^2}} }}} {\rm{d}}\xi $

(5)

式中源和汇的强度为：

$ q(x) = \pi \frac{{{\rm{d}}{R^2}}}{{{\rm{d}}x}} $

(6)

将式(6)代入式(5)，流函数可重写为^[10]：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\varPsi (x,r) = 0.5{r^2} + {\beta _1}u({x_*}) - 0.75E\{ a[{F_1}({x_*}) - }\\ {{F_1}(0)] + {a_1}[{F_1}(1) - {F_1}({x_*})] + 2(ax + }\\ {2c)[{F_2}({x_*}) - {F_2}(0)] + }\\ {2{a_1}(x - 1)[{F_2}(1) - {F_2}({x_*})]\} } \end{array} $

(7)

其中：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1} = 0.75E[ax_*^2 + 4c{x_*} - {a_1}{{({x_*} - 1)}^2}]}\\ {u(s) = \sqrt {{r^2} + {{(s - x)}^2}} }\\ {{F_1}(s) = 2{u^3}(s)/3}\\ {{F_2}(s) = 0.5(s - x)u(s) + 0.5{r^2}{\rm{ln}}[s - x + u(s)} \end{array} $

所设计的弹体表面压力系数为^[10]：

$ {C_p}(x) = 1 - v_x^2(x,R(x)) - v_r^2(x,R(x)) $

(8)

式中物体表面速度分布为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_x} = \frac{1}{r}\frac{{\partial \varPsi }}{{\partial r}}}\\ {{v_r} = - \frac{1}{r}\frac{{\partial \varPsi }}{{\partial x}}} \end{array}} \right. $

且表面的流函数Ψ(x, R(x))=0，利用式(7)和式(8)就可以计算出所需要的弹体外形。

该弹体的长度L为3 478.98 mm，在x=0.35处弹体的直径(D)最大为149.27 mm，长径比L/D=23.3，且尾端面直径为50 mm，外形如图 1所示，由于该弹体长径比过大，因此将无量纲半径扩大10倍显示，图右上方为弹体三维模型。弹体表面压力系数也如图 1所示，可以看出负压梯度集中在弹体轴向的[0, 0.343]和[0.667, 1]这2个区间内，占弹体长度的67.6%。

临界空化数的定义为：

$ {\sigma _{cr}} = |{C_{p{\rm{min}}}}| = \frac{{{p_\infty } - {p_v}}}{{0.5\rho V_{cr}^2}} $

(9)

式中：σ_cr为临界空化数；ρ为流体的密度；p_∞为未扰动区域同一水深处的压强；p_v为饱和蒸汽压。由图 1可知C_pmin=-0.086 434，根据式(9)可以计算出在p_∞=150 000 Pa(5 m水深)，p_v=3 540 Pa的条件下的临界空化数和临界速度分别为0.086 434和58.27 m/s。因此所设计的弹体航行速度要低于此速度，以避免产生空化效应。

2 计算结果与分析 2.1 计算模型的验证

为了验证所设计的弹体UA-100在低速航行过程中是否存在非分离的层流状态，故对其在5 m水深下进行数值仿真。计算模型的选择可根据该航行速度下的体积雷诺数与下临界雷诺数的相对大小来判断^[12]。该临界雷诺数是利用Mangler变换^[13]，根据Tollmien-Schlichting-Lin理论^[14]和位移厚度的Blasius表达式^[15]确定的：

$ {R{e_V} = \rho U{V^{1/3}}/\mu } $

(10)

$ {R{e_{Vcr}} = 59{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 558\pi {L^2}/{V^{2/3}}} $

(11)

式中：V=0.023 1 m³为弹体体积；μ为动力粘度。体积雷诺数在弹体尺寸以及所处环境确定的情况下，与速度呈正比。当体积雷诺数不大于临界雷诺数时弹体表面流动状态为层流。代入空化临界速度58 m/s，Re_V=1.65×10⁷ < 2.80×10⁷=Re_Vcr。因此可以确定在此速度范围内弹体处于层流中，采用层流模型利用FLUENT对其进行模拟，流体为不可压流体计算域和边界条件如图 2所示。采用3套网格对其进行网格无关性验证。图 3为不同网格下，壁面剪切力的对比。3套网格从稀到密依次为mesh₁、mesh₂、mesh₃，可以看出3条曲线基本重合。再比较不同网格下的阻力(表 1)，可以看出精度达到在小数点后一位，差距很小，因此选择第1套网格进行后文的计算。

2.2 非分离状态的验证

图 4为弹体表面的压力系数，可以看出不同速度下的压力系数基本都是重合的，与理论计算的压力系数相符合，证明此弹体外形确实增大了表面的负压梯度的范围。

不同速度下的壁面剪切力分布和摩擦阻力系数如图 5所示。可以看出速度不影响其变化趋势，且其速度越小，边界层越厚，速度梯度越小，壁面剪切力越小，但是摩擦阻力系数越大。整体趋势从弹体顶点处摩擦阻力系数减小，在最大半径处左边出现些许上升，而后陡降，在弹体尾部由于负压梯度的原因，摩擦阻力系数逐渐上升。弹体表面壁面剪切力一直大于零，由牛顿内摩擦定律可知速度梯度为正，说明没有发生流动分离，在速度小于56 m/s的情况下存在非分离的航行状态。

为了进一步说明该弹体处于非分离的状态，提取56 m/s速度下弹体表面的流线图，如图 6所示，可以看出表面的流体都沿着弹体壁面向尾部有规律的移动，印证了在此速度下没有发生流动分离，当然速度小于56 m/s时，流动也没有发生分离。

但是如果继续增加弹体的航行速度，超过58 m/s，将产生空化现象，空化开始点在弹体最大直径处附近，空化云图如图 7所示。按照所设计的标准，阻止其发生流动分离，阻止其产生空化，因此该弹体处于非分离状态的临界速度略小于其理论值58.27 m/s。

2.2 阻力的对比

所设计的弹体在航行速度58 m/s以下处于非分离状态，可以大大减少其航行阻力，弹体在水中航行受到的阻力为^[12]：

$ F = 0.5{C_{d\nu }}\rho {U^2}{V^{2/3}} $

(12)

式中：C_dV为体积阻力系数。阻力由压差阻力和摩擦阻力构成，因此，体积阻力系数也可分为压差分量和摩擦分量。压差分量可根据物面压力积分获得，由于航行体表面流动处于层流状态，主要关心的是摩擦阻力与理论值的差别。摩擦分量为：

$ {C_{dVf}} = \frac{{4.708}}{{\sqrt {R{e_V}} }} $

(13)

代入式(12)即可求出弹体航行过程中的摩擦阻力。

不同速度下阻力如表 2、表 3所示。模拟计算的摩擦阻力略大于理论摩擦阻力，但误差在10%以内。当弹体不发生空化现象时(速度不大于56 m/s)，压差阻力基本不变，当弹体速度在58 m/s及其以上时发生空化，压差阻力急剧上升，而且出现空化现象会产生较大的噪音。因此所设计的弹体在目标水深(5 m)速度不大于56 m/s时符合不空化、非分离的层流状态，满足所设计的要求和目标。

3 结论

从上文对所设计的外形UA-100的模拟结果和分析，可以得出以下结论：

1) 所设计的外形，外形表面负压梯度的占比很大，高达67.6%，且模拟压力系数与理论压力系数吻合良好，与速度无关。

2) 弹体的壁面剪切力和摩擦阻力系数均大于零，由牛顿内摩擦定律可知速度梯度为正，说明流动没有发生分离。

3) 弹体在5 m水深航行过程中，产生空化现象的实际临界速度小于理论临界速度58.27 m/s，当航行速度大于临界速度时，空化导致压差阻力急剧上升。

4) 在所设计的航行速度范围之内(不大于56 m/s)，该弹体处于非分离的层流状态下，与理论相符合，且摩擦阻力与理论之间的误差在10%以内。非分离体确实在一定的条件下存在。